นักคำนวณทราย (อารีนาริอุส)

ผู้เขียน	อาร์คิมิดีส
ภาษา	กรีก
ประเภท	กูโกโลยี , ดาราศาสตร์

หนังสือ "เครื่องคำนวณทราย" (ภาษากรีก : Ψαμμίτης , Psammites ) เป็นผลงานของอาร์คิมิดีส นักคณิตศาสตร์ ชาวกรีกโบราณในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราชซึ่งเขาพยายามหาขอบเขตสูงสุดของจำนวนเม็ดทรายที่สามารถบรรจุอยู่ในจักรวาลได้ ในการทำเช่นนั้น อาร์คิมิดีสต้องประมาณขนาดของจักรวาลตามแบบจำลองในยุคนั้น และคิดค้นวิธีการพูดถึงตัวเลขขนาดใหญ่มาก ๆ

งานเขียนนี้ซึ่งในภาษาละตินเรียกว่าArenariusมีความยาวประมาณแปดหน้าเมื่อแปลเป็นภาษาไทยและเขียนถึงกษัตริย์Gelo II แห่ง ซีราคิวส์ (บุตรชายของHiero II ) ถือเป็นงานเขียนที่เข้าถึงได้ง่ายที่สุดของอาร์คิมิดีส^{[ 1 ]}

ก่อนอื่น อาร์คิมิดีสต้องคิดค้นระบบการตั้งชื่อจำนวนมากระบบตัวเลขที่ใช้ในเวลานั้นสามารถแสดงตัวเลขได้ถึงจำนวนหมื่น (μυριάς — 10,000) และโดยการใช้คำว่าหมื่นเอง เราสามารถขยายสิ่งนี้ไปสู่การตั้งชื่อตัวเลขทั้งหมดได้ถึงหมื่นหมื่น (10⁸) ได้ทันที^[ 3 ^{]อาร์}คิมิดีสเรียกตัวเลขถึง 10⁸ ว่า^"ลำดับที่หนึ่ง" และเรียก^10⁸ว่า "หน่วยของลำดับที่สอง" พหุคูณของหน่วยนี้จึงกลายเป็นลำดับที่สอง จนถึงหน่วยนี้ที่คูณด้วยหมื่นหมื่นครั้ง 10⁸ ^· 10⁸ ⁼ 10¹⁶ ^ซึ่งกลายเป็น "หน่วยของลำดับที่สาม" พหุคูณของมันคือลำดับที่สาม และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป อาร์คิมิดีสยังคงตั้งชื่อตัวเลขในลักษณะนี้ต่อไปจนถึงจำนวนมหาศาลเท่าของหน่วยลำดับที่ 10⁸ ^นั่นคือ (10⁸ ⁾ ^( ^10⁸ )

หลังจากทำเช่นนั้นแล้ว อาร์คิมิดีสเรียกอันดับต่างๆ ที่เขากำหนดไว้ว่า "อันดับของช่วงแรก" และเรียกอันดับสุดท้ายว่า"หน่วยของช่วงที่สอง" จากนั้นเขาก็สร้างอันดับของช่วงที่สองโดยการนำจำนวนทวีคูณของหน่วยนี้มาใช้ในลักษณะเดียวกับวิธีการสร้างอันดับของช่วงแรก ทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ จนกระทั่งเขาได้อันดับของช่วงหมื่นล้าน จำนวนที่มากที่สุดที่อาร์คิมิดีสตั้งชื่อคือจำนวนสุดท้ายในช่วงนี้ ซึ่งก็คือ ${\displaystyle (10^{8})^{(10^{8})}}$

${\displaystyle \left(\left(10^{8}\right)^{(10^{8})}\right)^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{16}}.}$

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายตัวเลขนี้คือ เลขหนึ่งตามด้วย เลขศูนย์จำนวน แปดสิบพันล้านล้าน (80·10¹⁵ ⁾ตัว ( ในมาตราส่วนสั้น )

ระบบของอาร์คิมิดีสชวนให้นึกถึงระบบตัวเลขแบบตำแหน่งที่มีฐาน^10⁸ซึ่งเป็นสิ่งที่น่าทึ่งเพราะชาวกรีกโบราณใช้ระบบการเขียนตัวเลขที่เรียบง่าย มาก โดยใช้ตัวอักษร 27 ตัวที่แตกต่างกันสำหรับหลักหน่วย 1 ถึง 9 หลักสิบ 10 ถึง 90 และหลักร้อย 100 ถึง 900

นอกจากนี้ อาร์คิมิดีสยังค้นพบและพิสูจน์กฎของเลขยกกำลังซึ่งจำเป็นต่อการจัดการเลขยกกำลังของฐานบางฐาน(โดยเฉพาะในกรณีนี้คือเลขยกกำลังของ 10) ${\displaystyle b^{m}b^{n}=b^{m+n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b=10}$

จากนั้นอาร์คิมิดีสได้ประมาณค่าขอบเขตบนของจำนวนเม็ดทรายที่จำเป็นในการเติมเต็มจักรวาล เพื่อทำเช่นนี้ เขาใช้แบบจำลองเฮลิโอเซนทริกของอริสตาร์คัสแห่งซามอสงานต้นฉบับของอริสตาร์คัสได้สูญหายไปแล้ว อย่างไรก็ตาม งานของอาร์คิมิดีสนี้เป็นหนึ่งในเอกสารอ้างอิงไม่กี่ฉบับที่ยังคงหลงเหลืออยู่เกี่ยวกับทฤษฎีของเขา^{[ 4 ]}ซึ่งดวงอาทิตย์ยังคงไม่เคลื่อนที่ในขณะที่โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ ตามคำพูดของอาร์คิมิดีสเอง:

สมมติฐานของเขา [อริสตาร์คัส] คือดาวฤกษ์และดวงอาทิตย์ยังคงอยู่กับที่ โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์บนเส้นรอบวงของวงกลม โดยดวงอาทิตย์อยู่ตรงกลางวงโคจร และทรงกลมของดาวฤกษ์ซึ่งมีจุดศูนย์กลางเดียวกับดวงอาทิตย์นั้นมีขนาดใหญ่มากจนวงกลมที่เขาสมมติว่าโลกโคจรรอบนั้นมีสัดส่วนกับระยะห่างของดาวฤกษ์เช่นเดียวกับที่จุดศูนย์กลางของทรงกลมนั้นมีสัดส่วนกับพื้นผิวของมัน^{[ 5 ]}

สาเหตุที่แบบจำลองนี้มีขนาดใหญ่ก็เพราะว่าชาวกรีกไม่สามารถสังเกตพารัลแลกซ์ของดาวฤกษ์ด้วยเทคนิคที่มีอยู่ ซึ่งหมายความว่าพารัลแลกซ์ใดๆ ก็ตามจะมีค่าน้อยมาก ดังนั้นดาวฤกษ์จึงต้องอยู่ห่างจากโลกเป็นระยะทางไกลมาก (โดยสมมติว่าระบบสุริยะเป็น ศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ นั้นถูกต้อง)

ตามที่อาร์คิมีดีสกล่าว อริสตาร์คัสไม่ได้ระบุว่าดวงดาวอยู่ห่างจากโลกเท่าใด ดังนั้นอาร์คิมีดีสจึงต้องตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้:

• จักรวาลมีรูปทรงกลม
• อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของจักรวาลต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์ เท่ากับอัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์ต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของโลก

ข้อสมมติฐานนี้สามารถแสดงได้อีกอย่างหนึ่งว่า พารัลแลกซ์ของดาวฤกษ์ที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของโลกไปรอบวงโคจรนั้น เท่ากับ พารัลแลกซ์ของดวงอาทิตย์ที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของโลกไปรอบวงโคจร กล่าวคือ อยู่ในรูปอัตราส่วน:

${\displaystyle {\frac {\text{เส้นผ่านศูนย์กลางของจักรวาล}}{\text{เส้นผ่านศูนย์กลางของวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์}}}={\frac {\text{เส้นผ่านศูนย์กลางของวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์}}{\text{เส้นผ่านศูนย์กลางของโลก}}}}$

เพื่อให้ได้ค่าขอบเขตบน อาร์คิมิดีสจึงตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับมิติของวัตถุเหล่านั้นดังนี้:

• ว่าเส้นรอบวงของโลกนั้นไม่ใหญ่ไปกว่า 300 ล้านสตาเดีย (5.55 × 10⁵ ^{กิโลเมตร}ซึ่งเป็นการประมาณค่าที่สูงเกินไปประมาณ 40 เท่า)
• ว่าดวงจันทร์มีขนาดไม่ใหญ่กว่าโลก และดวงอาทิตย์มีขนาดใหญ่กว่าดวงจันทร์ไม่เกินสามสิบเท่า (1.65·10⁷ ^{กิโลเมตร}ซึ่งเป็นการประมาณค่าที่สูงเกินไปประมาณ 10 เท่า)
• ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมของดวงอาทิตย์เมื่อมองจากโลกนั้นมีค่ามากกว่า 1/200 ของมุมฉาก (π/400 เรเดียน = 0.45 องศาซึ่งเป็นการประมาณค่าที่สูงเกินไป แต่มีความแม่นยำภายใน 20% ของค่าที่แท้จริง)

จากนั้นอาร์คิมิดีสจึงสรุปว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของจักรวาลมีขนาดไม่เกิน 10¹⁴ ^สตาเดีย (ในหน่วยวัดปัจจุบัน ประมาณ 2 ปีแสง ) และจะต้องใช้เม็ดทรายไม่เกิน^10⁶³เม็ดในการเติมเต็มจักรวาลนั้น ด้วยการวัดเหล่านี้ เม็ดทรายแต่ละเม็ดในแบบจำลองทางความคิดของอาร์คิมิดีสจะมีเส้นผ่านศูนย์กลางประมาณ 19 ไมโครเมตร (0.019 มิลลิเมตร)

อาร์คิมิดีสอ้างว่าเมล็ดฝิ่น 40 เมล็ดที่วางเรียงกันจะเท่ากับหนึ่งดักทิลอส (ความกว้างของนิ้วมือ) ของชาวกรีก ซึ่งมีความยาวประมาณ 19 มิลลิเมตร (3/4 นิ้ว) เนื่องจากปริมาตรแปรผันตามกำลังสามของมิติเชิงเส้น ("เพราะได้มีการพิสูจน์แล้วว่าทรงกลมมีอัตราส่วนสามเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางต่อทรงกลม") ดังนั้นทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางหนึ่งดักทิลอสจะบรรจุเมล็ดฝิ่นได้ (โดยใช้ระบบตัวเลขปัจจุบันของเรา) 40³ ^หรือ 64,000 เมล็ด

จากนั้นเขาอ้าง (โดยไม่มีหลักฐาน) ว่าเมล็ดฝิ่นแต่ละเมล็ดอาจมีเม็ดทรายอยู่มากมาย (10,000) เม็ด เมื่อคูณตัวเลขทั้งสองเข้าด้วยกัน เขาเสนอว่าจำนวนเม็ดทรายสมมุติในทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางหนึ่งดักทิลอาจมีถึง 640,000,000 เม็ด

เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น เขาจึงปัดเศษ 640 ล้านขึ้นเป็น 1 พันล้าน โดยสังเกตเพียงว่าตัวเลขแรกนั้นเล็กกว่าตัวเลขที่สอง และด้วยเหตุนี้จำนวนเม็ดทรายที่คำนวณได้ในภายหลังจึงจะมากกว่าจำนวนเม็ดทรายจริง โปรดจำไว้ว่าเป้าหมายหลักของอาร์คิมิดีสในบทความนี้คือการแสดงให้เห็นวิธีการคำนวณด้วยตัวเลขที่เคยถูกมองว่าใหญ่เกินกว่าจะคำนวณได้ ไม่ใช่เพียงแค่การคำนวณจำนวนเม็ดทรายที่จะบรรจุอยู่ในจักรวาลได้อย่างแม่นยำเท่านั้น

สนามกีฬากรีกมีความยาว 600 ฟุตกรีก และแต่ละฟุตมีความยาว 16 แด็กทิล ดังนั้นในสนามกีฬาจึงมีแด็กทิล 9,600 หน่วย อาร์คิมิดีสปัดตัวเลขนี้ขึ้นเป็น 10,000 (หมื่น) เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น โดยสังเกตว่าตัวเลขที่ได้จะเกินจำนวนเม็ดทรายจริง

กำลังสามของ 10,000 คือหนึ่งล้านล้าน (10¹² ⁾ ; และการคูณหนึ่งพันล้าน (จำนวนเม็ดทรายในทรงกลมดักทิล) ด้วยหนึ่งล้านล้าน (จำนวนทรงกลมดักทิลในทรงกลมสนามกีฬา) จะได้ 10²¹ ^ซึ่งเป็นจำนวนเม็ดทรายในทรงกลมสนามกีฬา

อาร์คิมิดีสได้ประมาณการว่าจักรวาลอริสตาร์เคียนมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 ^{14 สเตเดีย ดังนั้นจะมีทรงกลมสเตเดียจำนวน (10 14} ) ³ลูกในจักรวาล หรือ 10 ⁴² ลูก การคูณ 10 ²¹ด้วย 10 ⁴²จะได้ 10 ⁶³ซึ่งเป็นจำนวนเม็ดทรายในจักรวาลอริสตาร์เคียน^{[ 6 ]}

จากประมาณการของอาร์คิมิดีสที่ว่าเมล็ดฝิ่นหนึ่งเมล็ดมีเม็ดทรายอยู่จำนวนมหาศาล (10,000 เม็ด) ทรงกลมขนาดเท่าหน่วยแดคทิลมีเมล็ดฝิ่น 64,000 เมล็ด ความยาวของสนามกีฬาเท่ากับ 10,000 แดคทิล และเมื่อยอมรับว่าความกว้างของแดคทิลเท่ากับ 19 มิลลิเมตร เส้นผ่านศูนย์กลางของเม็ดทรายทั่วไปของอาร์คิมิดีสจึงจะมีขนาด 18.3 ไมโครเมตร ซึ่งในปัจจุบันเราเรียกว่าเม็ดตะกอนละเอียด ปัจจุบัน เม็ดทรายที่เล็กที่สุดจะมีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 ไมโครเมตร

อาร์คิมิดีสได้ทำการทดลองและการคำนวณที่น่าสนใจบางอย่างระหว่างทาง การทดลองหนึ่งคือการประมาณขนาดเชิงมุมของดวงอาทิตย์เมื่อมองจากโลก วิธีการของอาร์คิมิดีสน่าสนใจเป็นพิเศษเพราะคำนึงถึงขนาดที่จำกัดของรูม่านตา^{[ 7 ]}และด้วยเหตุนี้จึงอาจเป็นตัวอย่างแรกของการทดลองในจิตฟิสิกส์ ซึ่งเป็น สาขาของจิตวิทยาที่เกี่ยวข้องกับกลไกการรับรู้ของมนุษย์ซึ่งโดยทั่วไปแล้วการพัฒนาสาขานี้ได้ รับการยกย่องให้เป็นผลงานของ เฮอร์มันน์ ฟอน เฮล์มโฮลทซ์การคำนวณที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งคำนึงถึงพารัลแลกซ์ของดวงอาทิตย์และระยะทางที่แตกต่างกันระหว่างผู้สังเกตการณ์กับดวงอาทิตย์ ไม่ว่าจะมองจากศูนย์กลางของโลกหรือจากพื้นผิวโลกในตอนพระอาทิตย์ขึ้น นี่อาจเป็นการคำนวณครั้งแรกที่ทราบเกี่ยวกับพารัลแลกซ์ของดวงอาทิตย์^{[ 1 ]}

มีบางคน พระเจ้าเจลอน ที่คิดว่าจำนวนของทรายนั้นมีจำนวนมหาศาลอย่างไม่มีที่สิ้นสุด และข้าพเจ้าหมายถึงทรายไม่เพียงแต่ที่อยู่รอบเมืองซีราคิวส์และส่วนอื่นๆ ของเกาะซิซิลีเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทรายที่พบในทุกภูมิภาคไม่ว่าจะมีผู้คนอาศัยอยู่หรือไม่ก็ตาม นอกจากนี้ยังมีบางคนที่ไม่คิดว่ามันมีจำนวนมหาศาลอย่างไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็คิดว่าไม่มีจำนวนใดที่เคยถูกกล่าวถึงมาก่อนที่จะมีจำนวนมากเกินกว่าปริมาณของทรายนั้นได้ และเป็นที่ชัดเจนว่าผู้ที่ถือความคิดนี้ หากพวกเขาลองจินตนาการถึงมวลที่ประกอบด้วยทรายในทุกด้านที่มีขนาดใหญ่เท่ากับมวลของโลก รวมทั้งทะเลและโพรงต่างๆ ของโลกที่เต็มไปด้วยทรายจนถึงความสูงเท่ากับยอดเขาที่สูงที่สุด พวกเขาก็จะยิ่งห่างไกลจากการตระหนักว่าไม่มีจำนวนใดที่สามารถแสดงออกมาได้ซึ่งมีจำนวนมากเกินกว่าปริมาณของทรายเหล่านั้น

แต่ฉันจะพยายามแสดงให้คุณเห็นโดยใช้การพิสูจน์ทางเรขาคณิต ซึ่งคุณจะสามารถเข้าใจได้ว่า ในบรรดาตัวเลขที่ฉันตั้งชื่อและให้ไว้ในงานที่ฉันส่งให้ Zeuxippus นั้น บางตัวไม่เพียงแต่เกินจำนวนมวลของทรายที่มีขนาดเท่ากับโลกที่เติมเต็มในลักษณะที่อธิบายไว้เท่านั้น แต่ยังเกินมวลที่มีขนาดเท่ากับจักรวาลอีกด้วย^{[ 8 ]}

• หนังสือ The Sand-ReckonerโดยGillian Bradshawสำนักพิมพ์ Forge (2000) จำนวน 348 หน้าISBN 0-312-87581-9นี่คือนิยายอิงประวัติศาสตร์เกี่ยวกับชีวิตและผลงานของอาร์คิมีดีส

• ข้อความต้นฉบับภาษากรีก
• หนังสือ The Sand Reckoner (ฉบับมีคำอธิบายประกอบ)
• หนังสือคำนวณทราย (Arenario) ฉบับแปลภาษาอิตาลีพร้อมคำอธิบายประกอบ มีหมายเหตุเกี่ยวกับอาร์คิมีดีส สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ของกรีก และหน่วยวัดไฟล์ต้นฉบับของข้อความภาษากรีก Arenarius (สำหรับ LaTeX)
• อาร์คิมีดีสนักคำนวณทรายโดย อิลาน วาร์ดี; รวมถึงฉบับภาษาอังกฤษที่แปลตรงตัวจากต้นฉบับภาษากรีก