จำนวนขนาดใหญ่คือจำนวนที่ใหญ่กว่าจำนวนที่พบได้ในชีวิตประจำวัน เช่น การนับหรือธุรกรรมทางการเงิน จำนวนเหล่านี้ปรากฏอย่างเด่นชัดในคณิตศาสตร์จักรวาลวิทยาการเข้ารหัสและกลศาสตร์เชิงสถิติกูโกโลยีศึกษา ข้อกำหนดในการตั้งชื่อและคุณสมบัติของจำนวนมหาศาลเหล่านี้^{[ 1 ] [ 2 ]}

เนื่องจาก รูปแบบ ทศนิยม ตามปกติ ของตัวเลขขนาดใหญ่นั้นอาจยาวมาก จึงมีการคิดค้นระบบอื่นๆ ที่ช่วยให้การแสดงผลสั้นลง ตัวอย่างเช่น หนึ่งพันล้านแสดงด้วยตัวอักษร 10 ตัว (1,000,000,000) ในรูปแบบทศนิยม แต่ใช้เพียง 3 ตัวอักษร (10⁹ ⁾เมื่อแสดงในรูปแบบเลขยกกำลังหนึ่งล้านล้านใช้ตัวอักษร 13 ตัวในรูปแบบทศนิยม แต่ใช้เพียง 4 ตัว ( 10¹² ⁾ใน รูปแบบสัญกร ณ์วิทยาศาสตร์ค่าที่เปลี่ยนแปลงอย่างมากสามารถแสดงและเปรียบเทียบได้ด้วยกราฟผ่านมาตราส่วนลอการิทึม

ระบบ การนับเลขด้วย ภาษาธรรมชาติจะแสดงตัวเลขขนาดใหญ่โดยใช้ชื่อแทนที่จะใช้ชุดตัวเลข ตัวอย่างเช่น " พันล้าน " อาจเข้าใจได้ง่ายกว่า "1,000,000,000" สำหรับผู้อ่านบางคน บางครั้งอาจย่อโดยใช้คำต่อท้าย เช่น 2,340,000,000 = 2.34B (B = พันล้าน) ค่าตัวเลขอาจยาวเมื่อแสดงเป็นคำ ตัวอย่างเช่น "2,345,789" คือ "สองล้านสามแสนสี่หมื่นห้าพันเจ็ดร้อยแปดสิบเก้า" ^{[ 3 ]}

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ถูกคิดค้นขึ้นเพื่อแสดงค่าที่หลากหลายที่พบในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ในรูปแบบที่กระชับกว่ารูปแบบดั้งเดิม แต่ยังคงมีความแม่นยำสูงเมื่อจำเป็น^{[ 4 ]}ค่าจะถูกแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมคูณด้วยกำลังของ 10 [ ^{4 ] ตัวประกอบ}นี้มีจุดประสงค์เพื่อให้การอ่านเข้าใจง่ายกว่าชุดเลขศูนย์ยาวๆ ตัวอย่างเช่น 1.0 × 10⁹แสดงถึงหนึ่งพันล้าน – 1 ตามด้วยเลขศูนย์เก้าตัว ส่วนกลับคือ หนึ่งในพันล้าน คือ 1.0 × 10⁻⁹บางครั้งตัวอักษร eจะใช้แทนเลขชี้กำลัง เช่น 1 พันล้าน อาจเขียนเป็น 1e9 แทนที่จะเป็น 1.0 × 10⁹ .

• กูเกิล =${\displaystyle 10^{100}}$
• เซนทิลเลียน = หรือขึ้นอยู่กับระบบการตั้งชื่อตัวเลข${\displaystyle 10^{303}}$${\displaystyle 10^{600}}$
• มิลลิลเลียน = หรือขึ้นอยู่กับระบบการตั้งชื่อตัวเลข${\displaystyle 10^{3003}}$${\displaystyle 10^{6000}}$
• เลขสมิธที่รู้จักมากที่สุด= (10 ¹⁰³¹ −1) × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10^{3 913 210}
• จำนวนเฉพาะเมอร์เซนที่รู้จักที่ใหญ่ที่สุด= ^{[ 5 ]}${\displaystyle 2^{136,279,841}-1}$
• กูเกิลเพล็กซ์ =${\displaystyle 10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}}$
• ตัวเลขของสกิวส์ : ตัวแรกประมาณตัวที่สอง${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$${\displaystyle 10^{10^{10^{964}}}}$
• จำนวนของเกรแฮมนั้นมีขนาดใหญ่กว่าสิ่งที่สามารถแสดงได้แม้กระทั่งโดยใช้หอคอยพลังงาน ( เททราชัน ) อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงได้โดยใช้ชั้นของสัญกรณ์ลูกศรขึ้นของคนูธ
• ทฤษฎีบทต้นไม้ของ Kruskalเป็นลำดับที่เกี่ยวข้องกับกราฟ TREE(3) มีค่ามากกว่าจำนวนของ Graham
• จำนวนของราโย (Rayo's number)เป็นจำนวนขนาดใหญ่ที่ตั้งชื่อตามออกุสติน ราโย (Agustín Rayo) ซึ่งมีผู้กล่าวอ้างว่าเป็นจำนวนที่มีชื่อที่ใหญ่ที่สุด โดยได้รับการกำหนดขึ้นครั้งแรกในการประลองจำนวนขนาดใหญ่ (big number duel) ที่สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ (MIT)เมื่อวันที่ 26 มกราคม 2550

ตัวอย่างของตัวเลขขนาดใหญ่ที่อธิบายถึงสิ่งต่างๆ ในโลกแห่งความเป็นจริง:

• จำนวนเซลล์ในร่างกายมนุษย์ (ประมาณ 3.72 × 10⁶ เซลล์)¹³ ) หรือ 37.2 ล้านล้าน ^{[ 6 ]}
• จำนวนบิต บน ฮาร์ดดิสก์ของคอมพิวเตอร์(ณ ปี 2024 โดยทั่วไปประมาณ^{10¹³ บิต}หรือ 1–2  เทราไบต์ ) หรือ 10 ล้านล้านบิต
• จำนวนการเชื่อมต่อของเซลล์ประสาทในสมองมนุษย์ (ประมาณ^10¹⁴ ) หรือ 100 ล้านล้าน
• ค่าคงที่ของอะโวกาโดคือจำนวน "หน่วยพื้นฐาน" (โดยปกติคืออะตอมหรือโมเลกุล) ในหนึ่งโมลจำนวนอะตอมในคาร์บอน-12 จำนวน 12 กรัม  มีค่าประมาณ...6.022 × 10 ²³หรือ 602.2 เซ็กซ์ทิลเลียน
• จำนวนคู่เบส ของ ดีเอ็นเอ ทั้งหมด ในมวลชีวภาพ ทั้งหมด บนโลก ซึ่งอาจเป็นค่าประมาณของความหลากหลายทางชีวภาพ ทั่วโลก นั้น คาดการณ์ได้ว่ามีจำนวนประมาณ...(5.3 ± 3.6) × 10 ³⁷หรือ 53±36 อุนเดซิลเลียน^{[ 7 ] [ 8 ]}
• โลกประกอบด้วยนิวคลีออน ประมาณ 4 × ^10⁵¹หรือ 4 เซ็กซ์เดซิลเลียน
• จำนวนอะตอม โดยประมาณ ในเอกภพที่สังเกตได้ (10 ⁸⁰ ) หรือ 100 ควินวิจินทิลเลียน
• ขอบล่างของความซับซ้อนของต้นไม้เกมหมากรุกหรือที่รู้จักกันในชื่อ " จำนวนแชนนอน " (ประมาณ 10 ¹²⁰ ) หรือ 1 โนเวมทริกทินทิลเลียน^{[ 9 ]}โปรดทราบว่าค่าจำนวนแชนนอนนี้ใช้สำหรับหมากรุกมาตรฐาน มีค่ามากกว่านี้สำหรับหมากรุกรูปแบบกระดานใหญ่ เช่นGrant Acedrex , Tai ShogiและTaikyoku Shogi

ในทางดาราศาสตร์และจักรวาลวิทยาเรามักพบตัวเลขขนาดใหญ่ที่ใช้ในการวัดความยาวและเวลา ตัวอย่างเช่น ตามแบบจำลองบิ๊กแบง ที่เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไป จักรวาลมีอายุประมาณ 13.8 พันล้านปี (เทียบเท่ากับ...)4.355 × 10 ¹⁷วินาที) เอกภพที่สังเกตได้นั้นครอบคลุมพื้นที่ 93 พันล้านปีแสง (โดยประมาณ)8.8 × 10 ²⁶เมตร) และรองรับประชากรประมาณมีดาวฤกษ์ ประมาณ 5 × 10²² ^ดวงเรียงตัวกันเป็นกาแล็กซีประมาณ 125 พันล้านกาแล็กซี (ตามที่สังเกตได้จากกล้องโทรทรรศน์อวกาศฮับเบิล) โดยประมาณแล้ว มีดาวฤกษ์อยู่ประมาณ 5 พันล้านดวงอะตอม จำนวน 10 ⁸⁰อะตอมภายในเอกภพที่สังเกตได้^{[ 10 ]}

ตามที่Don Pageนักฟิสิกส์จากมหาวิทยาลัย Alberta ประเทศแคนาดา ระบุว่า เวลาจำกัดที่ยาวที่สุดที่นักฟิสิกส์คำนวณได้อย่างชัดเจนจนถึงขณะนี้คือ^{[ 11 ]}

${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}{\mbox{ ปี}}}$

(ซึ่งสอดคล้องกับมาตราส่วนของเวลาการเกิดซ้ำของปวงกาเร โดยประมาณ สำหรับสถานะควอนตัมของกล่องสมมุติที่มีหลุมดำที่มีมวลโดยประมาณของจักรวาลทั้งหมด ไม่ว่าจะสังเกตได้หรือไม่ โดยสมมติแบบจำลองเงินเฟ้อ บางอย่างที่มี อินฟลาตอนที่มีมวล 10 ⁻⁶ มวลพลังค์ ) ประมาณ 10^10^1.288*10^3.884 T ^{[ 12 ] [ 13 ]}เวลานี้สมมติแบบจำลองทางสถิติที่อยู่ภายใต้การเกิดซ้ำของปวงกาเร วิธีคิดที่ง่ายกว่ามากเกี่ยวกับเวลานี้คือในแบบจำลองที่ประวัติศาสตร์ของจักรวาลซ้ำรอยตัวเองหลายครั้งตามอำเภอใจเนื่องจากคุณสมบัติของกลศาสตร์สถิตินี่คือมาตราส่วนเวลาที่มันจะค่อนข้างคล้ายกัน (สำหรับการเลือก "คล้ายกัน" ที่สมเหตุสมผล) กับสถานะปัจจุบันอีกครั้ง

กระบวนการ เชิงการจัดเรียงทำให้เกิดตัวเลขขนาดใหญ่อย่างน่าอัศจรรย์ ฟังก์ชัน แฟกทอ เรียล ซึ่งวัดปริมาณการเรียงสับเปลี่ยนของชุดวัตถุที่กำหนดไว้จะเติบโตแบบซูเปอร์เอ็กซ์โพเนนเชียลเมื่อจำนวนวัตถุเพิ่มขึ้น สูตรของสเตอร์ลิงให้การแสดงออกเชิงอะซิมโทติกที่แม่นยำสำหรับการเติบโตอย่างรวดเร็วนี้^{[ 14 ]}

ในกลศาสตร์เชิงสถิติ จำนวนเชิงการจัดเรียงมีขนาดใหญ่มากจนมักต้องใช้ลอการิทึมใน การแสดง

ตัวเลข Gödelพร้อมกับการแสดงสตริงบิตที่คล้ายกันในทฤษฎีสารสนเทศเชิงอัลกอริทึมนั้นมีขนาดใหญ่มาก แม้แต่สำหรับข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีความยาวปานกลาง ที่น่าสังเกตคือ ตัวเลข ที่ผิด ปกติบางตัว มีขนาดใหญ่กว่าตัวเลข Gödel ที่เกี่ยวข้องกับข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ทั่วไปเสียอีก^{[ 15 ]}

นักตรรกศาสตร์Harvey Friedmanได้มีส่วนสำคัญในการศึกษาจำนวนขนาดใหญ่มาก รวมถึงงานที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทต้นไม้ของ KruskalและทฤษฎีบทRobertson–Seymour ^{[ 16 ]}

เพื่อช่วยให้ผู้ชมCosmosแยกแยะความแตกต่างระหว่าง "ล้าน" และ "พันล้าน" นักดาราศาสตร์Carl Saganจึงเน้นเสียง "b" อย่างไรก็ตาม Sagan ไม่เคยพูดว่า " พันล้านและพันล้าน " การเชื่อมโยงวลีนี้กับ Sagan ของสาธารณชนมาจาก การแสดงตลก ในรายการ Tonight Showโดยล้อเลียนผลกระทบของ Sagan จอห์นนี่ คาร์สันจึงพูดติดตลกว่า "พันล้านและพันล้าน" ^{[ 17 ]}อย่างไรก็ตาม ปัจจุบันวลีนี้ได้กลายเป็นตัวเลขสมมติที่ตลกขบขัน— หน่วย Sagan ดูเพิ่มเติม ที่หน่วย Sagan

วิธีการเขียนตัวเลขขนาดใหญ่ที่เป็นมาตรฐานช่วยให้สามารถเรียงลำดับตัวเลขเหล่านั้นจากน้อยไปมากได้อย่างง่ายดาย และทำให้สามารถทราบได้ว่าตัวเลขหนึ่งใหญ่กว่าอีกตัวเลขหนึ่งมากน้อยเพียงใด

ในการเปรียบเทียบตัวเลขในรูปแบบสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เช่น 5×10⁴ ^และ 2×10⁵ ^ให้เปรียบเทียบเลขชี้กำลังก่อน ในกรณีนี้ 5 > 4 ดังนั้น 2×10⁵ ^> 5×10⁴ ^ถ้าเลขชี้กำลังเท่ากัน ให้เปรียบเทียบแมนทิสซา (หรือสัมประสิทธิ์) ดังนั้น 5×10⁴ ^> 2×10⁴ ^{เพราะ} 5 > 2

การคูณด้วยฐาน 10 จะได้ลำดับซึ่งเป็นกำลังของเลข 10 โดยที่แทนกำลังเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชัน(ฟังก์ชันนี้ยังแสดงด้วยคำต่อท้าย "-plex" เช่นใน googolplex ดูตระกูล googol ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$${\displaystyle (10\uparrow )^{n}}$${\displaystyle f(n)=10^{n}}$

ตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขกลมๆ ซึ่งแต่ละตัวเลขแสดงถึงลำดับขนาดในความหมายทั่วไป วิธีอย่างง่ายๆ ในการระบุขนาดของตัวเลขคือการระบุว่าตัวเลขนั้นอยู่ระหว่างตัวเลขสองตัวใดในลำดับนี้

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ตัวเลขระหว่างกลางสามารถแสดงได้ในรูปแบบเช่น ด้วยกำลังยกกำลัง 10 และตัวเลขด้านบน ซึ่งอาจอยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เช่นตัวเลขระหว่างและ(โปรดทราบว่าถ้า) (ดูเพิ่มเติมเกี่ยวกับการขยายการยกกำลัง 10 ไปยังความสูงจริง ) ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}a}$${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$${\displaystyle 1<a<10}$

ดังนั้น googolplex คือ. ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6\times 10^{19,728})\approx (10\uparrow )^{65,533}4.3}$(ระหว่างและ)${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$

ดังนั้น "ลำดับขนาด" ของจำนวน (ในระดับที่ใหญ่กว่าที่เข้าใจกันโดยทั่วไป) สามารถอธิบายได้ด้วยจำนวนครั้ง ( n ) ที่ต้องใช้ในการหา ค่าลอการิทึม เพื่อให้ได้จำนวนที่อยู่ระหว่าง 1 ถึง 10 ดังนั้น จำนวนจึงอยู่ระหว่าง 1 ถึง 10 ดังที่ได้อธิบายไว้แล้ว คำอธิบายที่แม่นยำยิ่งขึ้นของจำนวนยังระบุถึงค่าของจำนวนนี้ที่อยู่ระหว่าง 1 ถึง 10 หรือจำนวนก่อนหน้า (โดยใช้ลอการิทึมหนึ่งครั้งน้อยกว่า) ที่อยู่ระหว่าง 10 ถึง 10 ^หรือจำนวนถัดไปที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ${\displaystyle log_{10}}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$

โปรดทราบว่า

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

กล่าวคือ ถ้าจำนวนxมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะแสดงผลได้ เราสามารถสร้างหอพลังงานให้สูงขึ้นไปอีกขั้น โดยแทนที่xด้วย log ₁₀ xหรือหาค่า xจากการแสดงผลของ log ₁₀ของจำนวนเต็มในหอพลังงานด้านล่าง ถ้าหอพลังงานประกอบด้วยจำนวนที่แตกต่างจาก 10 หนึ่งจำนวนหรือมากกว่านั้น วิธีการทั้งสองจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า การขยายหอพลังงานด้วย 10 ที่ด้านล่างจะไม่เหมือนกับการขยายด้วย 10 ที่ด้านบน (แต่แน่นอนว่า ข้อสังเกตที่คล้ายกันนี้ก็ใช้ได้เช่นกัน หากหอพลังงานทั้งหมดประกอบด้วยจำนวนเดียวกันที่แตกต่างจาก 10) ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$

ถ้าความสูงของหอคอยมีขนาดใหญ่ สามารถใช้การแสดงค่าจำนวนมากแบบต่างๆ กับความสูงนั้นได้ แต่ถ้าความสูงระบุไว้เพียงค่าโดยประมาณ การระบุค่าที่จุดสูงสุดนั้นไม่มีความหมาย ดังนั้นจึงสามารถใช้สัญลักษณ์ลูกศรคู่ (เช่น ) ได้ ถ้าค่าหลังลูกศรคู่เป็นตัวเลขขนาดใหญ่มาก ก็สามารถใช้วิธีการข้างต้นซ้ำๆ กับค่านั้นได้ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7.21\คูณ 10^{8})}$

ตัวอย่าง:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$(ระหว่างและ)${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$(ระหว่างและ)${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

ในทำนองเดียวกันกับข้างต้น หากเลขชี้กำลังของไม่ได้ระบุไว้อย่างแน่ชัด การให้ค่าทางด้านขวาจึงไม่มีความหมาย และแทนที่จะใช้สัญลักษณ์กำลังของ เราสามารถบวก เข้ากับเลขชี้กำลังของเพื่อให้ได้เช่น ${\displaystyle (10\uparrow )}$${\displaystyle (10\uparrow )}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}(2.8\times 10^{12})}$

ถ้าเลขชี้กำลังของมีค่ามาก เราสามารถใช้รูปแบบต่างๆ ของการแสดงจำนวนมากกับเลขชี้กำลังนั้นได้ แต่ถ้าเลขชี้กำลังไม่ได้ระบุไว้อย่างแน่ชัด การให้ค่าทางด้านขวาจึงไม่มีความหมาย และแทนที่จะใช้สัญลักษณ์กำลังของ ก็สามารถใช้ตัวดำเนินการลูกศรสามตัวได้เช่น ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\คูณ 10^{6})}$

ถ้าอาร์กิวเมนต์ด้านขวาของตัวดำเนินการลูกศรสามตัวมีขนาดใหญ่ หลักการข้างต้นจะใช้ได้กับอาร์กิวเมนต์นั้นด้วย โดยจะได้ค่าเช่น(ระหว่างและ) ซึ่งสามารถทำซ้ำได้ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะมีกำลังของตัวดำเนินการลูกศรสามตัว ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

จากนั้นจึงสามารถดำเนินการต่อด้วยตัวดำเนินการที่มีจำนวนลูกศรมากขึ้น ซึ่งเขียนว่า. ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

เปรียบเทียบสัญลักษณ์นี้กับตัวดำเนินการไฮเปอร์และสัญลักษณ์ลูกศรเชื่อมโยงของคอนเวย์ :

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$= ( a → b → n ) = hyper( a ,  n  + 2,  b )

ข้อดีของวิธีแรกคือ เมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันของbแล้ว จะมีสัญลักษณ์ที่เป็นธรรมชาติสำหรับกำลังของฟังก์ชันนี้ (เช่นเดียวกับการเขียนลูก ศร nตัว): ตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle (a\uparrow ^{n})^{k}b}$

${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{3}b}$= ( 10 → ( 10 → ( 10 → b → 2 ) → 2 ) → 2 )

และเฉพาะในกรณีพิเศษเท่านั้นที่สัญลักษณ์โซ่ซ้อนกันยาวจะถูกย่อให้สั้นลง สำหรับจะได้ดังนี้: ${\displaystyle ''b''=1}$

${\displaystyle 10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1}$= ( 10 → 3 → 3 )

เนื่องจากค่าbอาจมีค่ามากได้ โดยทั่วไปจึงสามารถเขียนแทนด้วยจำนวนที่มีลำดับของเลขยกกำลังที่มีค่าn ลดลง (โดยมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มที่กำหนดให้แน่นอน) และปิดท้ายด้วยจำนวนในรูปแบบสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ทั่วไป เมื่อใดก็ตามที่ค่า a มากเกินกว่าจะกำหนดให้แน่นอนได้ ค่าของ n จะเพิ่มขึ้น 1 และทุกอย่างทางด้านขวาของ n จะถูกเขียนใหม่ ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{k_{n}}}$${\displaystyle {k_{n}}}$${\displaystyle {k_{n}}}$${\displaystyle {k_{n+1}}}$${\displaystyle ({n+1})^{k_{n+1}}}$

สำหรับการอธิบายตัวเลขโดยประมาณ ไม่จำเป็นต้องมีการเบี่ยงเบนจากลำดับค่าที่ลดลงของn ตัวอย่างเช่น และดังนั้นจึงได้ผลลัพธ์ที่ค่อนข้างขัดกับสัญชาตญาณว่า ตัวเลขxอาจมีขนาดใหญ่มากจนในแง่หนึ่งxและ 10x ^นั้น "เกือบเท่ากัน" (สำหรับการคำนวณเลขคณิตของจำนวนมาก โปรดดูด้านล่างด้วย) ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a}$${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

ถ้าเลขยกกำลังของลูกศรชี้ขึ้นมีค่ามาก เราสามารถใช้สัญลักษณ์ต่างๆ สำหรับจำนวนมากกับเลขยกกำลังนั้นได้ แต่ถ้าเลขยกกำลังนั้นไม่ได้ระบุไว้แน่นอน ก็ไม่มีประโยชน์ที่จะยกกำลังตัวดำเนินการด้วยกำลังเฉพาะใดๆ หรือปรับค่าที่ใช้ แต่สามารถใช้ค่ามาตรฐานทางด้านขวา เช่น 10 แทนได้ แล้วนิพจน์ก็จะลดลงเหลือnโดยประมาณสำหรับจำนวนดังกล่าว ข้อดีของการใช้สัญลักษณ์ลูกศรชี้ขึ้นจะไม่สามารถใช้ได้อีกต่อไป ดังนั้นจึงสามารถใช้สัญลักษณ์ลูกโซ่แทนได้ ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)}$

สามารถนำวิธีการข้างต้นมาใช้ซ้ำได้กับค่าn นี้ ดังนั้นจึงได้สัญลักษณ์ที่อยู่ในตัวยกของลูกศรตัวแรก เป็นต้น หรือสัญลักษณ์แบบลูกโซ่ซ้อนกัน เช่น: ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

(10 → 10 → (10 → 10 → ) ) =${\displaystyle 3\times 10^{5}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10}$

ถ้าจำนวนระดับมีมากเกินไปจนไม่สะดวก จะใช้สัญลักษณ์ที่เขียนจำนวนระดับนี้เป็นตัวเลข (เช่น ใช้ตัวยกของลูกศรแทนการเขียนลูกศรหลายๆ อัน) โดยการแนะนำฟังก์ชัน= (10 → 10 → n ) ระดับเหล่านี้จะกลายเป็นกำลังของฟังก์ชันfทำให้เราสามารถเขียนตัวเลขในรูปแบบที่mกำหนดให้แน่นอน และ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งอาจกำหนดหรือไม่กำหนดแน่นอนก็ได้ (ตัวอย่างเช่น: ) ถ้าnมีขนาดใหญ่ สามารถใช้รูปแบบใดก็ได้ข้างต้นในการแสดงค่า n ตัวเลขที่ "กลมที่สุด" เหล่านี้คือตัวเลขในรูปแบบf ^m (1) = (10→10→ m →2) ตัวอย่างเช่น${\displaystyle f(n)=10\uparrow ^{n}10}$${\displaystyle f^{m}(n)}$${\displaystyle f^{2}(3\times 10^{5})}$${\displaystyle (10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$

เปรียบเทียบคำจำกัดความของจำนวนของเกรแฮม: มันใช้ตัวเลข 3 แทนที่จะเป็น 10 และมีระดับลูกศร 64 ระดับและตัวเลข 4 อยู่ที่ด้านบน ดังนั้นแต่ก็ยังมีอีกด้วย ${\displaystyle G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)}$${\displaystyle G<f^{64}(4)<f^{65}(1)}$

ถ้าmมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะระบุได้อย่างแม่นยำ ก็สามารถใช้ค่าn คงที่ได้ เช่นn = 1 แล้วนำวิธีการข้างต้นมาใช้แบบเวียนซ้ำกับmกล่าวคือ จำนวนระดับของลูกศรชี้ขึ้นจะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ลูกศรชี้ขึ้นที่เป็นตัวยก เป็นต้น การใช้สัญลักษณ์กำลังของฟังก์ชันf จะทำให้ได้ fหลายระดับเมื่อนำฟังก์ชันมาใช้ระดับเหล่านี้จะกลายเป็นกำลังของฟังก์ชันgทำให้เราสามารถเขียนตัวเลขในรูปแบบที่mระบุได้อย่างแม่นยำ และ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งอาจระบุได้อย่างแม่นยำหรือไม่ก็ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า (10→10→ m →3) = g ^m (1) ถ้าnมีขนาดใหญ่ ก็สามารถใช้วิธีการข้างต้นในการแสดงค่าได้ ในทำนองเดียวกัน สามารถนำฟังก์ชันhเป็นต้น มาใช้ได้เช่นกัน หากต้องการฟังก์ชันดังกล่าวจำนวนมาก ก็สามารถกำหนดหมายเลขให้กับฟังก์ชันเหล่านั้นแทนการใช้ตัวอักษรใหม่ทุกครั้ง เช่น เป็นตัวห้อย เพื่อให้มีตัวเลขในรูปแบบที่kและmระบุได้อย่างแม่นยำ และ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งอาจระบุได้อย่างแม่นยำหรือไม่ก็ได้ เมื่อใช้k = 1 สำหรับfข้างต้น, k = 2 สำหรับgเป็นต้น จะได้ (10→10→ n → k ) = ถ้าnมีค่ามาก สามารถใช้รูปแบบใดๆ ข้างต้นเพื่อแสดงค่า n ได้ ดังนั้นจึงได้รูปแบบที่ซ้อนกัน โดยที่ k จะลดลง เมื่อเข้าไปด้านในและมีอาร์กิวเมนต์ภายในเป็นลำดับของกำลัง ที่มีค่า nลดลง(โดยที่ตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มที่กำหนดไว้แน่นอน) และสุดท้ายเป็นตัวเลขในรูปแบบสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ทั่วไป ${\displaystyle f^{m}(n)}$${\displaystyle g(n)=f^{n}(1)}$${\displaystyle g^{m}(n)}$${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$${\displaystyle {f_{k}}^{m_{k}}}$${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

เมื่อkมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะระบุได้อย่างแม่นยำ จำนวนที่เกี่ยวข้องสามารถแสดงได้เป็น=(10→10→10→ n ) โดยที่n เป็นค่าประมาณ โปรดสังเกตว่ากระบวนการเปลี่ยนจากลำดับ=(10→ n ) ไปเป็นลำดับ=(10→10→ n ) นั้นคล้ายคลึงกับการเปลี่ยนจากลำดับหลังไปเป็นลำดับ=(10→10→10→ n ) มาก ซึ่งเป็นกระบวนการทั่วไปของการเพิ่มองค์ประกอบ 10 เข้าไปในสายโซ่ในสัญกรณ์สายโซ่ กระบวนการนี้สามารถทำซ้ำได้อีกครั้ง (ดูส่วนก่อนหน้าด้วย) การกำหนดหมายเลขให้กับเวอร์ชันต่อๆ ไปของฟังก์ชันนี้ สามารถอธิบายจำนวนได้โดยใช้ฟังก์ชันที่ซ้อนกันในลำดับพจนานุกรมโดยที่qเป็นจำนวนที่มีนัยสำคัญที่สุด แต่มีลำดับลดลงสำหรับqและkเนื่องจากอาร์กิวเมนต์ภายในจะให้ลำดับของกำลังที่มีค่าn ลดลง (โดยที่จำนวนเหล่านี้ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มที่กำหนดให้แน่นอน) และในตอนท้ายจะเป็นจำนวนในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ทั่วไป ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$${\displaystyle {f_{n}}(10)}$${\displaystyle {f_{qk}}^{m_{qk}}}$${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

สำหรับจำนวนที่ใหญ่เกินกว่าจะเขียนลงในสัญกรณ์ลูกศรแบบลูกโซ่ของคอนเวย์ได้นั้น ขนาดของจำนวนนั้นสามารถอธิบายได้ด้วยความยาวของลูกโซ่นั้น ตัวอย่างเช่น ใช้เพียง 10 เป็นสมาชิกในลูกโซ่เท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถระบุตำแหน่งของมันในลำดับได้ เช่น 10→10, 10→10→10, ... หากแม้แต่ตำแหน่งในลำดับนั้นเป็นจำนวนมาก ก็สามารถใช้วิธีการเดียวกันนี้ได้อีกครั้ง

ตัวเลขที่สามารถแสดงในรูปแบบทศนิยม:

• 2 ² = 4
• 2 ^{2 2} = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3 ³ = 27
• 4 ⁴ = 256
• 5 ⁵ = 3,125
• 6 ⁶ = 46,656
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}}$= 2 ↑↑ 4 = 2↑↑↑3 = 65,536
• 7 ⁷ = 823,543
• 10⁶ = 1,000,000 = 1 ^ล้าน
• 8 ⁸ = 16,777,216
• 9 ⁹ = 387,420,489
• 10⁹ = 1,000,000,000 = 1 พัน^ล้าน
• 10 ¹⁰ = 10,000,000,000
• 10 ¹² = 1,000,000,000,000 = 1 ล้านล้าน
• 3 ^{3 3} = 3 ↑↑ 3 = 7,625,597,484,987 ≈ 7.63 × 10 ¹²
• 10 ¹⁵ = 1,000,000,000,000,000 = 1 ล้านล้าน = 1 ควอดริลเลียน
• 10 ¹⁸ = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 พันล้านล้าน = 1 ควินทิเลียน

ตัวเลขที่สามารถแสดงในรูปแบบสัญกรณ์วิทยาศาสตร์:

• จำนวนอะตอม โดยประมาณในเอกภพที่สังเกตได้ = 10⁸⁰ ⁼ 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
• กูเกิล = 10 ¹⁰⁰ = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ^{[ 18 ]}
• 4 ^{4 4} = 4 ↑↑ 3 = 2 ⁵¹² ≈ 1.34 × 10 ¹⁵⁴ ≈ (10 ↑) ² 2.2
• จำนวนโดยประมาณของปริมาตรพลังค์ที่ประกอบกันเป็นปริมาตรของเอกภพ ที่สังเกตได้ = 8.5 × ^10¹⁸⁴
• 5 ^{5 5} = 5 ↑↑ 3 = 5 ³¹²⁵ ≈ 1.91 × 10 ²¹⁸⁴ ≈ (10 ↑) ² 3.3
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\approx (10\uparrow )^{2}4.3}$
• 6 ^{6 6} = 6 ↑↑ 3 ≈ 2.66 × 10 ^36,305 ≈ (10 ↑) ² 4.6
• 7 ^{7 7} = 7 ↑↑ 3 ≈ 3.76 × 10 ^695,974 ≈ (10 ↑) ² 5.8
• 8 ^{8 8} = 8 ↑↑ 3 ≈ 6.01 × 10 ^15,151,335 ≈ (10 ↑) ² 7.2
• ${\displaystyle M_{136,279,841}\approx 8.82\times 10^{41,024,319}\approx 10^{10^{7.6130}}\approx (10\uparrow )^{2}\ 7.6130}$ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะเมอร์เซนที่ 52 และ ณ เดือนตุลาคม 2024 ที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่ทราบ^{[ 5 ]}
• 9 ^{9 9} = 9 ↑↑ 3 ≈ 4.28 × 10 ^369,693,099 ≈ (10 ↑) ² 8.6
• 10 ^{10 10} = 10 ↑↑ 3 = 10 ^{10,000,000,000} = (10 ↑) ³ 1
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx (10\uparrow )^{3}1.10}$

ตัวเลขที่สามารถแสดงได้ในสัญกรณ์ (10 ↑) ⁿ k :

• กูเกิลเพล็กซ์ =${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{3}2}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{2^{65,536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}4.3}\approx 10^{(10\uparrow )^{2}4.3}=(10\uparrow )^{3}4.3}$
• ${\displaystyle 10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}$
• 10 ↑↑ 5 = (10 ↑) ⁵ 1
• 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑) ⁵ 1.10
• 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) ⁵ 4.3
• 10 ↑↑ 6 = (10 ↑) ⁶ 1
• 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑) ¹⁰ 1
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65,536 ≈ (10 ↑) ^65,533 4.3 อยู่ระหว่าง 10 ↑↑ 65,533 และ 10 ↑↑ 65,534

ตัวเลขที่มากขึ้น:

• 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7.6 × 10 ¹² ≈ 10 ↑↑ 7.6 × 10 ¹²อยู่ระหว่าง (10 ↑↑) ² 2 และ (10 ↑↑) ² 3
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1}$= ( 10 → 3 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}11}$
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1}$= ( 10 → 4 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1}$= ( 10 → 5 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1}$= ( 10 → 6 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1}$= ( 10 → 7 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1}$= ( 10 → 8 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1}$= ( 10 → 9 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{10}1}$= ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
• พจน์แรกในนิยามของเลขเกรแฮมg ₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10 ¹² ) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10 ¹² ) อยู่ระหว่าง (10 ↑↑↑) ² 2 และ (10 ↑↑↑) ² 3 (ดูเลขเกรแฮม #ขนาด )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1}$= (10 → 3 → 4)
• ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$= ( 4 → 4 → 4 )${\displaystyle \approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1}$= ( 10 → 4 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1}$= ( 10 → 5 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1}$= ( 10 → 6 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=}$= ( 10 → 7 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=}$= ( 10 → 8 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=}$= ( 10 → 9 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1}$= ( 10 → 2 → 5 ) = ( 10 → 10 → 4 )
• ( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
• ( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
• ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
• ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
• ( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → ) =${\displaystyle 10^{10}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{10^{10}}10}$
• พจน์ที่สองในนิยามของจำนวนของเกรแฮมg ₂ = 3 ↑ ^{g ₁} 3 > 10 ↑ ^{g ₁ – 1} 10
• ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → ) ) =${\displaystyle 10^{10}}$${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$
• ก. ₃ = (3 → 3 → ก. ₂ ) > (10 → 10 → ก. ₂ – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
• ก. ₄ = (3 → 3 → ก. ₃ ) > (10 → 10 → ก. ₃ – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g ₉ = (3 → 3 → g ₈ ) อยู่ระหว่าง (10 → 10 → 9 → 2) และ (10 → 10 → 10 → 2)
• ( 10 → 10 → 10 → 2 )
• g ₁₀ = (3 → 3 → g ₉ ) อยู่ระหว่าง (10 → 10 → 10 → 2) และ (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• g ₆₃ = (3 → 3 → g ₆₂ ) อยู่ระหว่าง (10 → 10 → 63 → 2) และ (10 → 10 → 64 → 2)
• ( 10 → 10 → 64 → 2 )
• หมายเลขของเกรแฮมg ₆₄ ^{[ 19 ]}
• ( 10 → 10 → 65 → 2 )
• ( 10 → 10 → 10 → 3 )
• ( 10 → 10 → 10 → 4 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 ) โดยมี ( 10 → 10 → 10 ) "10"

สัญลักษณ์บางอย่างสำหรับตัวเลขขนาดใหญ่มาก:

• สัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuth , ไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์ , ฟังก์ชัน Ackermannรวมถึงการคูณแบบเททราชัน
• สัญกรณ์ลูกศรแบบลูกโซ่ของคอนเวย์
• สัญกรณ์ Steinhaus-Moserนั้น นอกเหนือจากวิธีการสร้างตัวเลขขนาดใหญ่แล้ว ยังเกี่ยวข้องกับสัญกรณ์กราฟิกด้วยรูปหลายเหลี่ยมอีกด้วย สามารถใช้สัญกรณ์ทางเลือกอื่นๆ เช่น สัญกรณ์ฟังก์ชันแบบดั้งเดิม กับฟังก์ชันเดียวกันได้เช่นกัน
• ลำดับชั้นที่เติบโตอย่างรวดเร็ว

สัญลักษณ์เหล่านี้โดยพื้นฐานแล้วเป็นฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนเต็ม ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วมากตามจำนวนเต็มเหล่านั้น ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นเร็วขึ้นเรื่อยๆ สามารถสร้างขึ้นได้ง่ายๆ โดยใช้การเรียกซ้ำโดยการใช้ฟังก์ชันเหล่านี้กับจำนวนเต็มขนาดใหญ่เป็นอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชันที่มีเส้นกำกับแนวตั้งไม่เป็นประโยชน์ในการกำหนดค่าจำนวนขนาดใหญ่มาก แม้ว่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วมากก็ตาม จำเป็นต้องกำหนดค่าตัวแปรที่อยู่ใกล้กับเส้นกำกับมาก กล่าวคือ ใช้จำนวนที่เล็กมาก และการสร้างค่าตัวแปรนั้นเทียบเท่ากับการสร้างจำนวนขนาดใหญ่มาก เช่น ส่วนกลับ

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงผลกระทบของฐานที่แตกต่างจาก 10 เช่น ฐาน 100 นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นถึงการแสดงตัวเลขและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วย

${\displaystyle 100^{12}=10^{24}}$โดยใช้ฐาน 10 เลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า

${\displaystyle 100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}}$เช่นเดียวกัน

${\displaystyle 100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}}$เลขชี้กำลังสูงสุดนั้นเพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อยกว่าสองเท่า (เพิ่มขึ้นด้วย log ₁₀ 2)

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200.3=(10\uparrow )^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$(ดังนั้น ถ้าnมีค่ามาก ก็ดูเหมือนจะกล่าวได้ว่า"มีค่าโดยประมาณเท่ากับ" )${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$(เปรียบเทียบ; ดังนั้น ถ้าnมีค่ามาก ก็ดูเหมือนจะกล่าวได้ว่า"มีค่าประมาณเท่ากับ" )${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(เปรียบเทียบ)${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(เปรียบเทียบ)${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(เปรียบเทียบ; ถ้าnมีค่ามาก ค่านี้จะ "ใกล้เคียง" กัน)${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$

สำหรับจำนวน หนึ่ง การเปลี่ยนแปลงค่า nเพียง 1 หน่วยจะทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนไป 10 เท่า เช่น ในจำนวน6.2 ซึ่งได้จากการปัดเศษอย่างถูกต้องโดยใช้จำนวนหลักสำคัญ ค่าที่แท้จริงของเลขชี้กำลังอาจน้อยกว่าหรือมากกว่า 50 ดังนั้นผลลัพธ์อาจมากเกินไปหรือน้อยเกินไป ดูเหมือนว่าความแม่นยำจะต่ำมาก แต่สำหรับจำนวนที่มากขนาดนี้ อาจถือว่ายอมรับได้ (ข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ในจำนวนมากอาจถือว่า "ค่อนข้างเล็ก" และยอมรับได้) ${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle 10^{\,\!6.2\times 10^{3}}}$${\displaystyle 10^{50}}$

ในกรณีของการประมาณค่าจำนวนที่มากมหาศาลความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์อาจมีขนาดใหญ่ แต่ในแง่หนึ่งเราอาจยังต้องการพิจารณาว่าตัวเลขเหล่านั้น "มีขนาดใกล้เคียงกัน" ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาจำนวนนี้

${\displaystyle 10^{10}}$และ${\displaystyle 10^{9}}$

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คือ

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$

ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ค่อนข้างมาก อย่างไรก็ตาม เราสามารถพิจารณาความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ในลอการิทึมได้เช่นกัน ในกรณีนี้ ลอการิทึม (ฐาน 10) คือ 10 และ 9 ดังนั้นความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ในลอการิทึมจึงมีเพียง 10% เท่านั้น

ประเด็นก็คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะขยายความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์อย่างมาก – ถ้าaและbมีความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์น้อย

${\displaystyle 10^{a}}$และ${\displaystyle 10^{b}}$

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มีขนาดใหญ่ขึ้น และ

${\displaystyle 10^{10^{a}}}$และ${\displaystyle 10^{10^{b}}}$

จะมีข้อผิดพลาดเชิงสัมพัทธ์ที่ใหญ่ขึ้นไปอีก คำถามจึงอยู่ที่ว่า ควรเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวในระดับลอการิทึมแบบวนซ้ำระดับใด มีแง่มุมหนึ่งที่อาจต้องการพิจารณา

${\displaystyle 10^{10^{10}}}$และ${\displaystyle 10^{10^{9}}}$

เพื่อให้ "มีขนาดใกล้เคียงกัน" ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ระหว่างตัวเลขทั้งสองนี้มีขนาดใหญ่ และความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ระหว่างค่าลอการิทึมของตัวเลขทั้งสองก็ยังคงมีขนาดใหญ่เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ในค่าลอการิทึมที่ทำซ้ำครั้งที่สองนั้นมีขนาดเล็ก:

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10}$และ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9}$

การเปรียบเทียบค่าลอการิทึมซ้ำๆ ในลักษณะนี้พบได้ทั่วไป เช่น ในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์

วิธีแก้ปัญหาการเปรียบเทียบตัวเลขจำนวนมากวิธีหนึ่งคือการกำหนดคลาสของตัวเลข เช่น ระบบที่คิดค้นโดย Robert Munafo ^{[ 20 ]}ซึ่งอิงตาม "ระดับ" การรับรู้ที่แตกต่างกันของบุคคลทั่วไป คลาส 0 – ตัวเลขระหว่างศูนย์ถึงหก – ถูกกำหนดให้ประกอบด้วยตัวเลขที่สามารถระบุ จำนวนได้ทันที นั่นคือ ตัวเลขที่ปรากฏบ่อยมากในชีวิตประจำวันและสามารถเปรียบเทียบได้เกือบจะในทันที คลาส 1 – ตัวเลขระหว่างหกถึง 1,000,000 = 10⁶ ^–ถูกกำหนดให้ประกอบด้วยตัวเลขที่มีการแสดงค่าทศนิยมที่สามารถระบุจำนวนได้ทันที นั่นคือ ตัวเลขที่สามารถเปรียบเทียบได้ง่าย ไม่ใช่โดยจำนวนสมาชิกแต่ "ในทันที" เมื่อพิจารณาจากการขยายทศนิยม

แต่ละคลาสหลังจากนี้จะถูกกำหนดในแง่ของการทำซ้ำการยกกำลังฐาน 10 นี้ เพื่อจำลองผลของ "การทำซ้ำ" อีกครั้งของความไม่สามารถแยกแยะได้ของมนุษย์ ตัวอย่างเช่น คลาส 5 ถูกกำหนดให้รวมตัวเลขระหว่าง 10 10 ^{10 10 6 และ} 10 ^{10 10 10 10 6}ซึ่งเป็นตัวเลขที่Xกลายเป็นสิ่งที่ไม่สามารถแยกแยะได้จากX ^{2 [ 21 ]} (การใช้ลอการิทึมซ้ำของX ดังกล่าว จะทำให้เกิดความไม่สามารถแยกแยะได้ก่อนระหว่าง log( X ) และ 2log( X ) ประการที่สองระหว่าง log(log( X )) และ 1+log(log( X )) และสุดท้ายคือการขยายทศนิยมที่ยาวมากซึ่งความยาวไม่สามารถวัดได้โดยตรง)

มีกฎทั่วไปบางประการที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามปกติที่กระทำกับจำนวนขนาดใหญ่มาก:

• ผลรวมและผลคูณของจำนวนขนาดใหญ่มากสองจำนวน มักจะมีค่า "โดยประมาณ" เท่ากับจำนวนที่ใหญ่กว่า
• ${\displaystyle (10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}}$

เพราะฉะนั้น:

• จำนวนมหาศาลที่ยกกำลังมหาศาลจะมีค่า "โดยประมาณ" เท่ากับค่าที่มากกว่าระหว่างสองค่าต่อไปนี้: ค่าแรกและ 10 ยกกำลังค่าที่สอง ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนมหาศาลจะได้ว่า(ดูตัวอย่างเช่นการคำนวณเมกะ ) และยังได้ว่า ดังนั้นดูตารางประกอบ${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{n}\approx 10^{n}}$${\displaystyle 2^{n}\approx 10^{n}}$${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536\approx 10\uparrow \uparrow 65533}$

เมื่อกำหนดลำดับ/ฟังก์ชันจำนวนเต็มที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด( n ≥ 1) แล้ว สามารถสร้างลำดับที่เติบโตเร็วขึ้นได้(โดยที่ตัวยกnหมายถึงกำลังของฟังก์ชัน ลำดับ ^ที่n ) สามารถทำซ้ำได้หลายครั้งโดยการกำหนดค่าn ≥ 1 แต่ละลำดับจะเติบโตเร็วกว่าลำดับก่อนหน้ามาก ดังนั้นจึงสามารถกำหนดω ซึ่งเติบโตเร็วกว่า ω ใดๆสำหรับk ที่มีค่าจำกัด (ในที่นี้ ω คือจำนวนเชิงอันดับ อนันต์ตัวแรก ซึ่งแสดงถึงลิมิตของจำนวนจำกัด k ทั้งหมด) นี่คือพื้นฐานสำหรับลำดับชั้นของฟังก์ชันที่เติบโตอย่างรวดเร็ว ซึ่งดัชนีจะขยายไปยังจำนวนเชิงอันดับที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ${\displaystyle f_{0}(n)}$${\displaystyle f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)}$${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(n)}$${\displaystyle f_{\omega }(n)=f_{n}(n)}$${\displaystyle f_{k}}$

ตัวอย่างเช่น เริ่มต้นด้วย f ₀ ( n ) = n + 1:

• f ₁ ( n ) = f ₀ ⁿ ( n ) = n + n = 2 n
• f ₂ ( n ) = f ₁ ⁿ ( n ) = 2 ⁿ n > (2 ↑) nสำหรับ n ≥ 2 (โดยใช้สัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuth )
• f ₃ ( n ) = f ₂ ⁿ ( n ) > (2 ↑) ⁿ n ≥ 2 ↑ ² nสำหรับn ≥ 2
• f _{k +1} ( n ) > 2 ↑ ^k nสำหรับn ≥ 2, k < ω
• f _ω ( n ) = f _n ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 2 ↑ ^{n − 2} ( n + 3) − 3 = A ( n , n ) สำหรับn ≥ 2 โดยที่Aคือฟังก์ชัน Ackermann (ซึ่งf _ωเป็นเวอร์ชันเอกภาค)
• f _ω+1 (64) > f _ω ⁶⁴ (6) > จำนวนของเกรแฮม (= g ₆₄ในลำดับที่กำหนดโดยg ₀ = 4, g _{k +1} = 3 ↑ ^{g _k} 3)
  • สิ่งนี้เป็นผลมาจากการสังเกตว่าf _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 3 ↑ ^{n – 2} 3 + 2 และด้วยเหตุนี้f _ω ( g _k + 2) > g _{k +1} + 2
• f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n = (2 → n → n -1) = (2 → n → n -1 → 1) (โดยใช้สัญกรณ์ลูกศรแบบลูกโซ่ของคอนเวย์ )
• f _ω+1 ( n ) = f _ω ⁿ ( n ) > (2 → n → n -1 → 2) (เพราะถ้าg _k ( n ) = X → n → kแล้ว X → n → k +1 = g _k ⁿ (1))
• ฉ_{ω+ k} ( n ) > (2 → n → n -1 → k +1) > ( n → n → k )
• ฉ_ω2 ( n ) = ฉ_{ω+ n} ( n ) > ( n → n → n ) = ( n → n → n → 1)
• ฉ_{ω2+ k} ( n ) > ( n → n → n → k )
• ฉ_ω3 ( n ) > ( n → n → n → n )
• f _{ω k} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Chain of k +1 n' s)
• f _{ω ²} ( n ) = f _{ω n} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Chain of n +1 n's )

ฟังก์ชันBusy Beaver Σ เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันที่เติบโตเร็วกว่า ฟังก์ชัน ที่คำนวณได้ ใดๆ ค่าของมันสำหรับอินพุตที่ค่อนข้างเล็กก็มีค่ามหาศาล ค่าของ Σ( n ) สำหรับn = 1, 2, 3, 4, 5 คือ 1, 4, 6, 13, 4098 ^{[ 22 ]} (ลำดับA028444ในOEIS ) Σ(6) ยังไม่เป็นที่รู้จัก แต่มีค่าอย่างน้อย 10↑↑15

แม้ว่าตัวเลขทั้งหมดที่กล่าวถึงข้างต้นจะมีขนาดใหญ่มาก แต่ก็ยังเป็น จำนวน จำกัดคณิตศาสตร์บางสาขาได้กำหนดนิยามของจำนวนอนันต์และ จำนวนอนันต์เหนือขีดจำกัด ตัวอย่างเช่นอเลฟนัลคือจำนวนสมาชิกของเซตอนันต์ของจำนวนธรรมชาติและอเลฟวันคือจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่มากเป็นอันดับถัดไปคือจำนวนสมาชิกของจำนวนจริงข้อเสนอที่เรียกว่าสมมติฐานความต่อเนื่องซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จจากสัจพจน์ปกติของทฤษฎีเซต ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

• การคำนวณเลขคณิตความแม่นยำสูง  – การคำนวณที่ความแม่นยำของตัวเลขถูกจำกัดด้วยหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์เท่านั้น
• สมมติฐานจำนวนมากของดิแรก  – สมมติฐานที่เชื่อมโยงอายุของจักรวาลกับค่าคงที่ทางฟิสิกส์
• การเติบโตแบบทวีคูณ  – การเติบโตของปริมาณในอัตราส่วนที่แปรผันตรงกับปริมาณปัจจุบัน
• ประวัติศาสตร์ของจำนวนมาก
• ระดับมนุษย์  – แนวคิดที่ใช้มนุษย์เป็นมาตรวัดหลักในการพัฒนา
• ตัวเลขที่ไม่แน่นอนและสมมติ
• ระบบตัวเลขของอินเดีย  – ธรรมเนียมการตั้งชื่อตัวเลขขนาดใหญ่ของอินเดีย
• อนันต์  – แนวคิดทางคณิตศาสตร์
• กฎของจำนวนมาก  – ค่าเฉลี่ยของการทดลองซ้ำๆ จะลู่เข้าสู่ค่าที่คาดหวัง
• รายชื่อซอฟต์แวร์คำนวณเลขคณิตความแม่นยำสูง
• มาตราส่วนยาวและมาตราส่วนสั้น  – ความหมายที่แตกต่างกันของตัวเลข
• มากมายมหาศาล  – ชื่อที่ใช้เรียกขนาดของเลขหมื่น
• ชื่อของตัวเลขขนาดใหญ่
• ลำดับขนาด  – มาตราส่วนของตัวเลขที่มีอัตราส่วนคงที่Pages displaying short descriptions of redirect targets
• เลขยกกำลัง 10  – สิบยกกำลังจำนวนเต็ม
• เลขยกกำลังสอง  – สองยกกำลังจำนวนเต็ม
• การหารด้วย 10  – การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

• ชุดบรรยายเรื่องตัวเลขมหาศาลอย่างเหลือเชื่อ โดย เดวิด เมตซ์เลอร์