ใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไปคำตอบของสนามสเกลาร์คือคำตอบที่แน่นอนของสมการสนามของไอน์สไตน์ซึ่งสนามโน้มถ่วงเกิดจากพลังงานสนามและโมเมนตัมของสนามสเกลาร์ เพียงอย่างเดียว สนามดังกล่าวอาจมี มวลหรือไม่ก็ได้และอาจถือว่ามีการเชื่อมโยงความโค้งน้อยที่สุดหรือมีตัวเลือกอื่น ๆ เช่นการเชื่อมโยงแบบคอนฟอร์มอล

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ขอบเขตทางเรขาคณิตของปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์คือแมนิโฟลด์แบบลอเรนซ์ซึ่งตีความทางกายภาพได้ว่าเป็นปริภูมิเวลาโค้ง และระบุทางคณิตศาสตร์โดยการกำหนดเมตริกเทนเซอร์ (หรือโดยการกำหนดเฟรมฟิลด์ ) เทนเซอร์ความโค้งของแมนิโฟลด์นี้และปริมาณที่เกี่ยวข้อง เช่นเทนเซอร์ของไอน์สไตน์ถูกกำหนดไว้อย่างดีแม้ในกรณีที่ไม่มีทฤษฎีทางฟิสิกส์ใดๆ แต่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป พวกมันได้รับการตีความทางกายภาพในฐานะการแสดงออกทางเรขาคณิตของสนามโน้มถ่วง ${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}}$${\displaystyle G_{ab}}$

นอกจากนี้ เราต้องระบุฟิลด์สเกลาร์โดยการกำหนดฟังก์ชันฟังก์ชันนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle \psi }$

1. ฟังก์ชันดังกล่าวต้องสอดคล้องกับสมการคลื่นไร้แหล่งกำเนิด (ในปริภูมิเวลาโค้ง )${\displaystyle g^{ab}\psi _{;ab}=0}$
2. เทนเซอร์ของไอน์สไตน์ต้องตรงกับเทนเซอร์พลังงานความเครียดสำหรับสนามสเกลาร์ ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุด คือสนามสเกลาร์ไร้มวลที่เชื่อมต่อกันน้อยที่สุดสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle G_{ab}=\kappa \left(\psi _{;a}\psi _{;b}-{\frac {1}{2}}\psi _{;m}\psi ^{;m}g_{ab}\right)}$.

เงื่อนไขทั้งสองเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นของลากรางจ์สำหรับสนามสเกลาร์ ซึ่งในกรณีของสนามสเกลาร์ไร้มวลที่มีการเชื่อมต่อขั้นต่ำสุดคือ

${\displaystyle L=-g^{mn}\,\psi _{;m}\,\psi _{;n}}$

ที่นี่,

${\displaystyle {\frac {\เดลต้า L}{\เดลต้า \psi }}=0}$

ให้สมการคลื่น ในขณะที่

${\displaystyle {\frac {\เดลต้า L}{\เดลต้า g^{ab}}}=0}$

ให้สมการของไอน์สไตน์ (ในกรณีที่พลังงานสนามของสนามสเกลาร์เป็นแหล่งกำเนิดเดียวของสนามโน้มถ่วง)

โดยทั่วไปแล้วสนามสเกลาร์มักถูกตีความว่าเป็นค่าประมาณแบบคลาสสิก ในแง่ของทฤษฎีสนามประสิทธิผล สำหรับสนามควอนตัมบางสนาม ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สนามควิน เทสเซนซ์ ที่คาดการณ์ไว้ สามารถปรากฏในรูปของสนามสเกลาร์ได้ ตัวอย่างเช่น ฟลักซ์ของไพอน กลาง สามารถจำลองได้ในทางทฤษฎีว่าเป็นสนามสเกลาร์ไร้มวลที่มีการเชื่อมต่อขั้นต่ำ

ส่วนประกอบของเทนเซอร์ที่คำนวณโดยอ้างอิงจากกรอบอ้างอิงแทนที่จะเป็นฐานพิกัด มักเรียกว่าส่วนประกอบทางกายภาพเนื่องจากเป็นส่วนประกอบที่ผู้สังเกตสามารถวัดได้ (ในทางทฤษฎี)

ในกรณีพิเศษของสนามสเกลาร์ไร้มวลที่มีการเชื่อมต่อขั้นต่ำ กรอบ อ้างอิงที่ปรับเปลี่ยนแล้ว

${\displaystyle {\vec {e}__{0},\;{\vec {e}__{1},\;{\vec {e}__{2},\;{\vec {e}__{3}}$

(ตัวแรกเป็นสนามเวกเตอร์หน่วยแบบไทม์ไลค์ส่วนสามตัวสุดท้ายเป็น สนามเวกเตอร์หน่วยแบบ สเปซไลค์ ) สามารถพบได้เสมอซึ่งเทนเซอร์ของไอน์สไตน์มีรูปแบบที่เรียบง่าย

${\displaystyle G_{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \sigma \,\left[{\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$โดยที่ความหนาแน่นพลังงานของสนามสเกลาร์ อยู่ที่ใด${\displaystyle \sigma }$

พหุนามลักษณะเฉพาะของเทนเซอร์ไอน์สไตน์ในคำตอบของสนามสเกลาร์ไร้มวลที่เชื่อมต่อกันน้อยที่สุดจะต้องมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \chi (\lambda )=(\lambda +8\pi \sigma )^{3}\,(\lambda -8\pi \sigma )}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรามีค่าไอเกนเดี่ยวและค่าไอเกนสามเท่า โดยแต่ละค่าเป็นค่าลบของอีกค่าหนึ่ง เมื่อคูณออกมาและใช้ วิธี ฐานของ Gröbnerเราพบว่าค่าคงที่ทั้งสามต่อไปนี้จะต้องเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์:

${\displaystyle a_{2}=0,\;\;a_{1}^{3}+4a_{3}=0,\;\;a_{1}^{4}+16a_{4}=0}$

โดยใช้เอกลักษณ์ของนิวตันเราสามารถเขียนสิ่งเหล่านี้ใหม่ในรูปของร่องรอยของเลขยกกำลังได้ เราพบว่า

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;t_{3}=t_{1}^{3}/4,\;t_{4}=t_{1}^{4}/4}$

เราสามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้หลักการจัดรูปดัชนีเป็นเกณฑ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงอย่างชัดเจน:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=R^{3}/4}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}/4}$

โซลูชันสนามสเกลาร์เฉพาะบุคคลที่โดดเด่น ได้แก่

• คำตอบของสนามสเกลาร์ Janis –Newman–Winicourซึ่งเป็น คำตอบของสนามสเกลาร์ไร้ มวลที่มีสมมาตรทรงกลมและคงที่เพียงหนึ่งเดียว และมีการเชื่อมต่อขั้นต่ำ

• คำตอบที่แน่นอนในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• กลุ่มลอเรนซ์