สมการ Schamel (สมการ S)เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบ ไม่เชิง เส้นอันดับหนึ่งในเวลาและอันดับสามในอวกาศ คล้ายกับสมการ Korteweg–De Vries (KdV) ^{[ 1 ]}ซึ่งอธิบายการพัฒนาโครงสร้างคลื่นที่สอดคล้องกันเฉพาะที่ซึ่งแพร่กระจายในตัวกลางกระจายตัวแบบไม่เชิงเส้น สมการนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกในปี 1973 โดย Hans Schamel ^{[ 2 ]}เพื่ออธิบายผลกระทบของการดักจับอิเล็กตรอนในร่องของศักยภาพของโครงสร้างคลื่นไฟฟ้าสถิตเดี่ยวที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเสียงไอออนในพลาสมาสององค์ประกอบ ปัจจุบันสมการนี้ถูกนำไปใช้กับพลวัตพัลส์เฉพาะที่ต่างๆ เช่น:

• อิเล็กตรอนและไอออนโฮลหรือเฟสสเปซวอร์เทกซ์ในพลาสมาที่ไม่มีการชนกัน เช่น พลาสมาในอวกาศ^{[ 3 ]}
• การแพร่กระจายพัลส์แบบสมมาตรแกนในเปลือกทรงกระบอกไม่เชิงเส้นที่แข็งตัวทางกายภาพ^{[ 4 ]}
• การแพร่กระจายของ "โซลิตอน" ในสายส่งแบบไม่เชิงเส้น^{[ 5 ]}หรือในใยแก้วนำแสงและฟิสิกส์เลเซอร์^{[ 6 ]}

สมการ Schamel คือ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }})\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,}$

ที่ไหน${\displaystyle \phi _{(t,x)}}$ย่อมาจาก${\displaystyle \partial _{(t,x)}\phi }$ในกรณีของคลื่นโซลิตารีไอออนอะคูสติก พารามิเตอร์${\displaystyle b}$สะท้อนถึงผลกระทบของอิเล็กตรอนที่ถูกดักจับอยู่ในร่องของศักย์ไฟฟ้าสถิต${\displaystyle \phi }$มอบให้โดย${\displaystyle b={\frac {1-\beta }{\sqrt {\pi }}}}$, ที่ไหน${\displaystyle \beta }$ค่าพารามิเตอร์การดักจับนี้ สะท้อนถึงสถานะของอิเล็กตรอนที่ถูกดักจับ${\displaystyle \beta =0}$แสดงถึงการกระจายตัวของอิเล็กตรอนที่ถูกดักจับแบบอยู่กับที่ซึ่งมีลักษณะแบนราบ${\displaystyle \beta <0}$แอ่งหรือที่ต่ำ มันกักเก็บ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \psi \ll 1}$, ที่ไหน${\displaystyle \psi }$คือแอมพลิจูดของคลื่น ปริมาณทั้งหมดถูกทำให้เป็นค่ามาตรฐาน: พลังงานศักยภาพโดยพลังงานความร้อนของอิเล็กตรอน ความเร็วโดยความเร็วเสียงของไอออน เวลาโดยความถี่พลาสมาผกผันของไอออน และพื้นที่โดยความยาวเดบายของ อิเล็กตรอน โปรดทราบว่าสำหรับสมการ KdV ${\displaystyle b{\sqrt {\phi }}}$ถูกแทนที่ด้วย${\displaystyle \phi }$เพื่อให้ความไม่เป็นเชิงเส้นกลายเป็นความเป็นเชิงเส้นคู่ (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง)

คำตอบของคลื่นเดี่ยวในสภาวะคงที่${\displaystyle \phi (x-v_{0}t)}$โดยกำหนดในกรอบร่วมเคลื่อนที่ดังนี้:

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}\left({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x\right)}$

${\displaystyle v_{0}=1+{\frac {8}{15}}b{\sqrt {\psi }}.}$

โครงสร้างนี้มีความเร็วเหนือเสียง${\displaystyle v_{0}>1}$, เนื่องจาก${\displaystyle b}$ต้องเป็นไปในทางบวก${\displaystyle 0<b}$ซึ่งในกรณีของคลื่นเสียงไอออนนั้น สอดคล้องกับการกระจายตัวของอิเล็กตรอนที่ถูกดักจับซึ่งลดลง${\displaystyle \beta <1}$[ ^{2 ] [ 7 ]​}

การพิสูจน์วิธีแก้ปัญหานี้ใช้การเปรียบเทียบกับกลศาสตร์คลาสสิกโดยผ่านทาง${\displaystyle \phi _{xx}=:-{\mathcal {V}}'(\phi )}$กับ${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )}$ซึ่งเป็นค่าศักย์เสมือนที่สอดคล้องกัน จากนั้นเราจะได้จากการอินทิเกรตดังนี้:${\displaystyle {\frac {\phi _{x}^{2}}{2}}+{\mathcal {V(\phi )}}=0}$ซึ่งแสดงถึงพลังงานเสมือน และจากสมการของชาเมล: ${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {(v_{0}-1)}{2}}\phi ^{2}-{\frac {4b}{15}}\phi ^{5/2}}$โดยอาศัยความต้องการที่ชัดเจน กล่าวคือ ที่ระดับศักยภาพสูงสุด${\displaystyle \phi =\psi }$ความลาดชัน${\displaystyle \phi _{x}}$ของ${\displaystyle \phi }$หายไปแล้วเราจะได้:${\displaystyle {\mathcal {V}}(\psi )=0}$นี่คือความสัมพันธ์การกระจายตัวแบบไม่เชิงเส้น (NDR) เนื่องจากเป็นตัวกำหนดความเร็วเฟส${\displaystyle v_{0}}$กำหนดโดยนิพจน์ที่สอง รูปแบบมาตรฐานของ${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )}$ได้มาจากการแทนที่${\displaystyle v_{0}}$เมื่อใช้ NDR แล้วจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {4}{15}}b\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }}).}$

การใช้สำนวนนี้ใน${\displaystyle x(\phi )=\int _{\phi }^{\psi }{\frac {d\xi }{\sqrt {-2{\mathcal {V}}(\xi )}}}}$ซึ่งเป็นผลมาจากกฎพลังงานเสมือน จะได้ผลลัพธ์จากการอินทิเกรตดังนี้:

${\displaystyle x(\phi )={\sqrt {\frac {30}{b{\sqrt {\psi }}}}}\tanh ^{-1}\left({\sqrt {1-{\sqrt {\frac {\phi }{\psi }}}}}\right).}$

นี่คือฟังก์ชันผกผันของ${\displaystyle \phi (x)}$ตามที่ระบุในสมการแรก โปรดสังเกตว่าปริพันธ์ในตัวส่วนของ${\displaystyle x(\phi )}$มีอยู่จริงและสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ทราบ ดังนั้น${\displaystyle \phi (x)}$เป็นฟังก์ชันที่เปิดเผยทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม โครงสร้างมักจะยังคงไม่เปิดเผยทางคณิตศาสตร์ กล่าวคือ ไม่สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันที่รู้จัก (ดูตัวอย่างเช่น ส่วนที่สมการลอการิทึมของ Schamel) โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้จะเกิดขึ้นหากมีสถานการณ์การดักจับมากกว่าหนึ่งสถานการณ์ เช่น ในความปั่นป่วนของพลาสมาแบบไม่ต่อเนื่องที่ถูกขับเคลื่อน^{[ 8 ]}

ตรงกันข้ามกับสมการ KdV สมการ Schamel เป็นตัวอย่างของสมการวิวัฒนาการที่ไม่สามารถหาปริพันธ์ได้ มีเพียงค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ (พหุนาม) จำนวนจำกัด^{[ 9 ]}และไม่ผ่านการทดสอบ Painlevé ^{[ 4 ] [ 10 ]} เนื่องจาก ไม่มีสิ่งที่เรียกว่าคู่ Lax ( L , P ) ^{[ 11 ]}จึงไม่สามารถหาปริพันธ์ได้ด้วยการแปลงการกระเจิงผกผัน^{[ 12 ]}