ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขวิธี คอมพลีเมนต์ ของSchurซึ่งตั้งชื่อตามIssai Schurเป็นวิธีพื้นฐานและเป็นวิธีแรกสุดของการแบ่งโดเมน ที่ไม่ทับซ้อนกัน หรือที่เรียกว่าการแบ่งโครงสร้างย่อยแบบวนซ้ำ ปัญหาไฟไนต์เอ เลเมนต์จะถูกแบ่งออกเป็นโดเมนย่อยที่ไม่ทับซ้อนกัน และตัวแปรที่ไม่ทราบค่าภายในโดเมนย่อยจะถูกกำจัดออกไป ระบบคอมพลีเมนต์ของ Schur ที่เหลืออยู่เกี่ยวกับตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่เกี่ยวข้องกับส่วนต่อประสานของโดเมนย่อยจะถูกแก้โดย วิธีเก ร เดียนต์แบบสังยุค

สมมติว่าเราต้องการแก้สมการปัวซง

${\displaystyle -\Delta u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=0}$

บนโดเมน Ω ใดๆ เมื่อเราทำให้ปัญหานี้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง เราจะได้ ระบบเชิงเส้น NมิติAU = Fวิธีการของ Schur complement จะแบ่งระบบเชิงเส้นออกเป็นปัญหาย่อย ในการทำเช่นนั้น ให้แบ่ง Ω ออกเป็นสองโดเมนย่อย Ω ₁ , Ω ₂ซึ่งมีส่วนต่อประสานร่วมกันคือ Γ ให้U ₁ , U ₂และU _Γเป็นระดับความเป็นอิสระที่เกี่ยวข้องกับแต่ละโดเมนย่อยและกับส่วนต่อประสาน จากนั้นเราสามารถเขียนระบบเชิงเส้นได้ดังนี้

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}A_{11}&0&A_{1\Gamma }\\0&A_{22}&A_{2\Gamma }\\A_{\Gamma 1}&A_{\Gamma 2}&A_{\Gamma \Gamma }\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}U_{1}\\U_{2}\\U_{\Gamma }\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{\Gamma }\end{matrix}}\right],}$

โดยที่F ₁ , F ₂และF _Γคือส่วนประกอบของเวกเตอร์แรงในแต่ละภูมิภาค

วิธีการคอมพลีเมนต์ของชูร์ดำเนินการโดยสังเกตว่าเราสามารถหาค่าบนอินเทอร์เฟซได้โดยการแก้ระบบที่เล็กกว่า

${\displaystyle \Sigma U_{\Gamma }=F_{\Gamma }-A_{\Gamma 1}A_{11}^{-1}F_{1}-A_{\Gamma 2}A_{22}^{-1}F_{2},}$

สำหรับค่าอินเทอร์เฟซU _Γโดยที่เรากำหนดเมทริกซ์ ส่วนเติมเต็มของ Schur

${\displaystyle \Sigma =A_{\Gamma \Gamma }-A_{\Gamma 1}A_{11}^{-1}A_{1\Gamma }-A_{\Gamma 2}A_{22}^{-1}A_{2\Gamma }.}$

สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือ การคำนวณปริมาณใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา Dirichlet แบบแยกส่วน ในแต่ละโดเมนนั้น สามารถทำได้แบบขนาน ดังนั้น เราจึงไม่จำเป็นต้องจัดเก็บเมทริกซ์ Schur complement ไว้โดยตรง เพียงแค่รู้ว่าจะคูณเวกเตอร์ด้วยเมทริกซ์นั้นอย่างไรก็เพียงพอแล้ว ${\displaystyle A_{11}^{-1}}$${\displaystyle A_{22}^{-1}}$

เมื่อเรารู้ค่าบนอินเทอร์เฟซแล้ว เราก็สามารถหาค่าภายในได้โดยใช้ความสัมพันธ์ทั้งสอง

${\displaystyle A_{11}U_{1}=F_{1}-A_{1\Gamma }U_{\Gamma },\qquad A_{22}U_{2}=F_{2}-A_{2\Gamma }U_{\Gamma },}$

ซึ่งทั้งสองอย่างสามารถทำควบคู่กันไปได้

การคูณเวกเตอร์ด้วยคอมพลีเมนต์ของ Schur เป็น รูปแบบ ไม่ต่อเนื่องของตัวดำเนินการ Poincaré–Steklovซึ่งเรียกอีกอย่างว่าการแมปจาก Dirichlet ไปยัง Neumann

วิธีการนี้มีข้อดีสองประการ ประการแรก การกำจัดตัวแปรที่ไม่ทราบค่าภายในในโดเมนย่อย ซึ่งก็คือการแก้ปัญหาของ Dirichlet สามารถทำได้แบบขนาน ประการที่สอง การเปลี่ยนไปใช้ส่วนประกอบ Schur ช่วยลดค่าสภาพ (condition number) และทำให้จำนวนรอบการคำนวณลดลง สำหรับปัญหาอันดับสอง เช่นสมการ Laplaceหรือความยืดหยุ่นเชิงเส้นเมทริกซ์ของระบบจะมี^ค่าสภาพอยู่ในลำดับ 1/ h²โดยที่hคือขนาดขององค์ประกอบลักษณะเฉพาะ อย่างไรก็ตาม ส่วนประกอบ Schur มีค่าสภาพเพียงลำดับ 1/ hเท่านั้น

สำหรับการคำนวณเชิงประสิทธิภาพ วิธีคอมพลีเมนต์ของ Schur จะถูกนำมาใช้ร่วมกับการปรับสภาพเบื้องต้น อย่างน้อยที่สุดก็คือตัวปรับสภาพเบื้องต้นแบบ ทแยงมุม วิธีNeumann–Neumannและวิธี Neumann–Dirichletคือวิธีคอมพลีเมนต์ของ Schur ที่ใช้ตัวปรับสภาพเบื้องต้นชนิดต่างๆ

เมื่อใช้ฟังก์ชันที่รวดเร็ว โดยเฉพาะในคอมพิวเตอร์แบบขนานต้นทุนต่ำ วิธีการคอมพลีเมนต์ของ Schur มีประสิทธิภาพค่อนข้างดี^{[ 1 ]}