ใน สาขา คณิตศาสตร์ของทฤษฎีลำดับและทฤษฎีโดเมน โดเมน สก็อตต์ (Scott domain ) คือลำดับบางส่วนเชิงพีชคณิตที่สมบูรณ์แบบมีขอบเขตและสมบูรณ์แบบมีทิศทาง (dcpo) ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่ดานา เอส. สก็อตต์ผู้ซึ่งเป็นคนแรกที่ศึกษาโครงสร้างเหล่านี้ในช่วงเริ่มต้นของทฤษฎีโดเมน โดเมนสก็อตต์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแล ตทิ ซเชิงพีชคณิตโดยแตกต่างกันเพียงแค่การอาจขาดองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด เท่านั้น นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับระบบสารสนเทศสก็อตต์ (Scott information systems ) ซึ่งเป็นตัวแทนเชิง "ไวยากรณ์" ของโดเมนสก็อตต์

แม้ว่าคำว่า "โดเมนของสก็อตต์" จะถูกใช้กันอย่างแพร่หลายตามคำจำกัดความข้างต้น แต่คำว่า "โดเมน" นั้นไม่ได้มีความหมายที่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปเช่นนั้น และผู้เขียนแต่ละคนอาจใช้คำจำกัดความที่แตกต่างกัน สก็อตต์เองก็ใช้คำว่า "โดเมน" สำหรับโครงสร้างที่ปัจจุบันเรียกว่า "โดเมนของสก็อตต์" นอกจากนี้ โดเมนของสก็อตต์ยังปรากฏในชื่ออื่น ๆ เช่น "เซมิแลตทิซเชิงพีชคณิต" ในเอกสารบางฉบับด้วย

เดิมที ดานา สก็อตต์ เรียกร้องให้มีแลตทิซที่สมบูรณ์และนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียยูริ เยอร์ช อฟ ได้สร้างโครงสร้างที่เหมือนกันของลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์แบบมีทิศทาง (dcpo) แต่สิ่งนี้ไม่ได้รับการยอมรับจนกระทั่งการสื่อสารทางวิทยาศาสตร์ดีขึ้นหลังจากการล่มสลายของม่านเหล็กเพื่อเป็นเกียรติแก่งานของพวกเขา บทความทางคณิตศาสตร์หลายฉบับจึงเรียกโครงสร้างพื้นฐานนี้ว่า "โดเมนสก็อตต์-เยอร์ชอฟ"

ตามหลักการแล้ว เซตที่มีลำดับบางส่วน ที่ไม่ว่างเปล่าจะเรียกว่าโดเมนสก็อตต์ถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle (D,\leq )}$

• Dเป็น เซต ที่มีทิศทางสมบูรณ์ กล่าวคือเซตย่อยที่มีทิศทาง ทั้งหมด ของDมีค่าสูงสุด
• Dเป็น เซต ที่มีขอบเขตสมบูรณ์^{[ 1 ]}กล่าวคือ เซตย่อยทั้งหมดของDที่มีขอบเขตบน บางอย่าง จะมีค่าสูงสุด
• Dเป็นเซตพีชคณิตกล่าวคือ สมาชิกทุกตัวของDสามารถหาได้จากการหาค่าสูงสุดของเซตแบบมีทิศทางของสมาชิกกระชับในD

เนื่องจากเซตว่างย่อมมีขอบเขตบนอยู่บ้าง เราจึงสามารถสรุปได้ว่ามีสมาชิกที่เล็กที่สุด (ค่าสูงสุดของเซตว่าง) อยู่จริงจากความสมบูรณ์แบบที่มีขอบเขต ${\displaystyle \bot }$

คุณสมบัติของการเป็นเซตสมบูรณ์ที่มีขอบเขตนั้นเทียบเท่ากับการมีอยู่ของค่าต่ำสุด (infima)ของ เซตย่อย ที่ไม่ว่าง ทั้งหมด ของDเป็นที่ทราบกันดีว่าการมีอยู่ของ ค่าต่ำสุด ทั้งหมดหมายถึงการมีอยู่ของค่าสูงสุดทั้งหมด และทำให้เซตที่มีลำดับบางส่วนกลายเป็นแลตทิซสมบูรณ์ดังนั้น เมื่อองค์ประกอบบนสุด (ค่าต่ำสุดของเซตว่าง) ถูกผนวกเข้ากับโดเมนของ Scott เราสามารถสรุปได้ว่า:

1. ส่วนประกอบด้านบนใหม่มีขนาดกะทัดรัด (เนื่องจากคำสั่งซื้อเสร็จสมบูรณ์ก่อนหน้านี้แล้ว) และ
2. เซตลำดับที่ได้จะเป็นแลตทิซเชิงพีชคณิต (กล่าวคือ แลตทิซสมบูรณ์ที่เป็นเชิงพีชคณิต)

ด้วยเหตุนี้ โดเมนของสก็อตต์จึงเป็นเหมือนแลตทิซเชิงพีชคณิตในแง่หนึ่ง อย่างไรก็ตาม การลบองค์ประกอบบนสุดออกจากแลตทิซที่สมบูรณ์ไม่ได้ทำให้เกิดโดเมนของสก็อตต์เสมอไป (ลองพิจารณาแลตทิซที่สมบูรณ์เซตย่อยจำกัดของก่อให้เกิดเซตที่มีทิศทาง แต่ไม่มีขอบเขตบนใน) ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\setminus \{\mathbb {N} \}}$

โดเมนของ Scott กลายเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีได้โดยการนำทอพอโลยีของ Scottมา ใช้

โดเมนของ Scott มีจุดประสงค์เพื่อแสดงข้อมูลพีชคณิตบางส่วนโดยเรียงลำดับตามปริมาณข้อมูล องค์ประกอบคือชิ้นส่วนของข้อมูลที่อาจไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์ ประโยคนี้หมายความว่า " ประกอบด้วยข้อมูลทั้งหมดที่" องค์ประกอบล่างสุดคือองค์ประกอบที่ไม่มีข้อมูลเลย องค์ประกอบกระชับคือองค์ประกอบที่แสดงถึงปริมาณข้อมูลที่จำกัด ${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

จากการตีความนี้ เราจะเห็นได้ว่าค่าสูงสุด ของเซตย่อยคือ สมาชิกที่ประกอบด้วยข้อมูลทั้งหมดที่สมาชิกใดๆ ใน เซตย่อยนั้นมีอยู่ แต่ไม่มากไปกว่านั้น เห็นได้ชัดว่าค่าสูงสุดดังกล่าวจะมีอยู่ (กล่าวคือ มีความหมาย) ก็ต่อเมื่อ เซตย่อย นั้นไม่มีข้อมูลที่ไม่สอดคล้องกัน ดังนั้นโดเมนจึงเป็นโดเมนที่มีทิศทางและสมบูรณ์โดยมีขอบเขต แต่ ค่าสูงสุด ทั้งหมด ไม่ จำเป็นต้องมีอยู่เสมอไป สัจพจน์ความเป็นพีชคณิตโดยพื้นฐานแล้วรับประกันว่าสมาชิกทั้งหมดได้รับข้อมูลทั้งหมดจาก (อย่างไม่เคร่งครัด) ลำดับที่ต่ำกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกระโดดจากสมาชิกที่กระชับหรือ "จำกัด" ไปยังสมาชิกที่ไม่กระชับหรือ "อนันต์" ไม่ได้แอบแฝงข้อมูลเพิ่มเติมใดๆ ที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ในบางขั้นตอนที่จำกัด ${\displaystyle \bigvee X}$${\displaystyle X\subseteq D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ในทางกลับกัน อินฟิมัมคือองค์ประกอบที่ประกอบด้วยข้อมูลทั้งหมดที่ใช้ร่วมกันโดยองค์ประกอบทั้งหมด ของ และไม่น้อยกว่านั้นถ้าไม่มีข้อมูลที่สอดคล้องกัน องค์ประกอบของมันก็ไม่มีข้อมูลร่วมกัน ดังนั้นอินฟิมัมของมันจึงเป็นในลักษณะนี้ อินฟิมัมที่ไม่ว่างเปล่าทั้งหมดจึงมีอยู่ แต่ไม่ใช่ว่าอินฟิมัมทั้งหมดจะน่าสนใจเสมอไป ${\displaystyle \bigwedge X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \bot }$

นิยามนี้ในแง่ของข้อมูลบางส่วนช่วยให้สามารถกำหนดพีชคณิตได้ว่าเป็นลิมิตของลำดับของพีชคณิตบางส่วนที่กำหนดไว้มากขึ้นเรื่อยๆ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจุดตรึงของตัวดำเนินการที่เพิ่มข้อมูลให้กับพีชคณิตมากขึ้นเรื่อยๆ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูทฤษฎีโดเมน

• โพเซตจำกัดทุกชุดเป็นโพเซตสมบูรณ์ที่มีทิศทางและเป็นพีชคณิต (แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเป็นโพเซตสมบูรณ์ที่มีขอบเขตก็ตาม) ดังนั้น โพเซตจำกัดใดๆ ที่เป็นโพเซตสมบูรณ์ที่มีขอบเขตจึงเป็นโดเมนสก็อตต์
• จำนวนธรรมชาติที่มีสมาชิกสูงสุดเพิ่มเติมคือ ω ประกอบกันเป็นแลตทิซเชิงพีชคณิต ดังนั้นจึงเป็นโดเมนสก็อตต์ สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติมในแนวทางนี้ โปรดดูบทความเกี่ยวกับแลตทิซเชิงพีชคณิต
• พิจารณาเซตของคำทั้งหมดทั้งที่เป็นคำจำกัดและคำอนันต์บนตัวอักษร{0,1 } ซึ่งเรียงลำดับตามลำดับคำนำหน้าของคำ ดังนั้น คำwจะมีค่าน้อยกว่าคำv บางคำ ถ้าwเป็นคำนำหน้าของvกล่าวคือ ถ้ามีคำv' บางคำ (ทั้งที่เป็นคำจำกัดหรือคำอนันต์) ที่ ตัวอย่างเช่นคำว่างเป็นองค์ประกอบล่างสุดของการเรียงลำดับนี้ และเซตทิศทางทุกเซต (ซึ่งเป็นโซ่ เสมอ ) จะเห็นได้ง่ายว่ามีค่าสูงสุด ในทำนองเดียวกัน เราสามารถตรวจสอบความสมบูรณ์แบบมีขอบเขตได้ทันที อย่างไรก็ตาม เซตลำดับที่ได้นั้นขาดองค์ประกอบบนสุดที่มีองค์ประกอบสูงสุดจำนวนมาก (กล่าวคือ คำอนันต์ทั้งหมด) นอกจากนี้ยังเป็นพีชคณิต เนื่องจากคำจำกัดทุกคำเป็นคำกระชับ และเราสามารถประมาณคำอนันต์ด้วยโซ่ของคำจำกัดได้ ดังนั้น นี่จึงเป็นโดเมนของ Scott ที่ไม่ใช่แลตทิซพีชคณิต${\displaystyle wv'=v}$${\displaystyle 101\leq 10110}$
• สำหรับตัวอย่างเชิงลบ ลองพิจารณาจำนวนจริงในช่วงหน่วย[0,1]ที่เรียงลำดับตามลำดับธรรมชาติ dcpo ที่สมบูรณ์และมีขอบเขตนี้ไม่ใช่พีชคณิต อันที่จริงแล้ว สมาชิกกระชับเพียงตัวเดียวของมันคือ 0

รายชื่อเอกสารนี้คัดลอกมาจากทฤษฎีโดเมน

• G. Gierz; KH Hofmann; K. Keimel; JD Lawson; M. Mislove; DS Scott (2003). "โครงข่ายและโดเมนต่อเนื่อง"สารานุกรมคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้เล่มที่ 93 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 0-521-80338-1.
• Samson Abramsky , Achim Jung (1994). "ทฤษฎีโดเมน" (PDF) . ใน S. Abramsky; DM Gabbay ; TSE Maibaum (บรรณาธิการ). คู่มือตรรกศาสตร์ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ . เล่มที่ III. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. หน้า  1–168 . ISBN 0-19-853762-Xสืบค้นข้อมูลเมื่อ13 ตุลาคม 2550
• อเล็กซ์ ซิมป์สัน (2001–2002). "ตอนที่ 3: ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจากมุมมองเชิงคำนวณ" โครงสร้างทางคณิตศาสตร์สำหรับความหมาย . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2005-04-27 . สืบค้นเมื่อ2007-10-13 .
• DS Scott (1975). "ประเภทข้อมูลในฐานะแลตทิซ". ใน Müller, GH; Oberschelp, A.; Potthoff, K. (บรรณาธิการ). การประชุมตรรกศาสตร์ ISILC . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 499. Springer-Verlag. หน้า  579–651 . doi : 10.1007/BFb0079432 . ISBN 978-3-540-07534-9.
  • Scott, Dana (1976). "ประเภทข้อมูลเป็นแลตทิซ" SIAM Journal on Computing . 5 (3): 522– 587. doi : 10.1137/0205037 .
• คาร์ล เอ. กันเตอร์ (1992). ความหมายของภาษาโปรแกรม . สำนักพิมพ์ MIT. ISBN 9780262570954.
• BA Davey; HA Priestley (2002). บทนำเกี่ยวกับแลตติสและลำดับ (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-78451-4.
• Carl Hewitt; Henry Baker (สิงหาคม 1977). "Actors and Continuous Functionals" (PDF) . รายงานการประชุมเชิงปฏิบัติการ IFIP ว่าด้วยการอธิบายแนวคิดการเขียนโปรแกรมอย่างเป็นทางการ . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 12 เมษายน 2019.
• V. Stoltenberg-Hansen; I. Lindstrom; ER Griffor (1994). ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของโดเมน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-38344-7.