ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง การเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับ (หรือการเรียงสับเปลี่ยนแบบซิกแซก ) ของเซต {1, 2, 3, ..., n } คือการเรียงสับเปลี่ยน (การจัดเรียง) ของตัวเลขเหล่านั้นโดยที่แต่ละตัวในเซตจะมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าตัวก่อนหน้าสลับกันไป ตัวอย่างเช่น การเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับห้าแบบของ {1, 2, 3, 4} มีดังนี้:

• 1, 3, 2, 4 เพราะ1 < 3 > 2 < 4              
• 1, 4, 2, 3 เพราะ1 < 4 > 2 < 3              
• 2, 3, 1, 4 เพราะ2 < 3 > 1 < 4              
• 2, 4, 1, 3 เพราะ2 < 4 > 1 < 3 และ              
• 3, 4, 1, 2 เพราะ3 < 4 > 1 < 2              

การเรียงสับเปลี่ยนประเภทนี้ได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยDésiré Andréในศตวรรษที่ 19 ^{[ 1 ]}

ผู้เขียนแต่ละท่านใช้คำว่า "การเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับ" ในความหมายที่แตกต่างกันเล็กน้อย บางท่านกำหนดให้ตัวเลขที่สองในการเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับต้องมีค่ามากกว่าตัวเลขแรก (ดังตัวอย่างข้างต้น) บางท่านกำหนดให้การสลับนั้นกลับกัน (โดยที่ตัวเลขที่สองมีค่าน้อยกว่าตัวเลขแรก จากนั้นตัวเลขที่สามมีค่ามากกว่าตัวเลขที่สอง และต่อไปเรื่อยๆ) ในขณะที่บางท่านเรียกทั้งสองแบบว่า "การเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับ" เหมือนกัน

การหาจำนวนA ของการเรียงสับเปลี่ยนสลับกันของเซต {1, ..., n } เรียกว่าปัญหาของอังเดรจำนวนA เหล่านี้ รู้จักกันในชื่อจำนวนออยเลอร์จำนวนซิกแซกหรือจำนวนขึ้น/ลงเมื่อnเป็นจำนวนคู่ จำนวนA เรียกว่าจำนวนซีแคนต์ในขณะที่ถ้าnเป็นจำนวนคี่ จะเรียกว่าจำนวนแทนเจนต์ชื่อเหล่านี้มาจากการศึกษาฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ

การเรียงสับเปลี่ยนc , ..., c เรียกว่าเป็นการเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับถ้าสมาชิกในนั้นมีค่าเพิ่มขึ้นและลดลงสลับกันไป ดังนั้น สมาชิกแต่ละตัวนอกเหนือจากตัวแรกและตัวสุดท้าย ควรมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าสมาชิกข้างเคียงทั้งสองตัว ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "สลับ" เพื่ออ้างถึงเฉพาะการเรียงสับเปลี่ยนแบบ "ขึ้น-ลง" ซึ่งc < c > c < ...เท่านั้น และเรียกการเรียงสับเปลี่ยนแบบ "ลง-ขึ้น" ที่ตรง ตามเงื่อนไข c > c < c > ...ว่าการเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับกลับผู้เขียนบางคนกลับใช้คำนี้ในทางกลับกัน หรือใช้คำว่า "สลับ" เพื่ออ้างถึงทั้งการเรียงสับเปลี่ยนแบบขึ้น-ลงและลง-ขึ้น

มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง อย่างง่าย ระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนแบบลง-ขึ้นและขึ้น-ลง: การแทนที่แต่ละรายการc ด้วยn + 1 - c จะกลับลำดับสัมพัทธ์ของรายการเหล่านั้น

ตามธรรมเนียมปฏิบัติ ในระบบการตั้งชื่อใดๆ การเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีความยาว 0 (การเรียงสับเปลี่ยนของเซตว่าง ) และ 1 (การเรียงสับเปลี่ยนที่ประกอบด้วยสมาชิกเพียงตัวเดียวคือ 1) จะถือว่าเป็นการเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับกัน

การหาค่าจำนวนA ของการเรียงสับเปลี่ยนสลับกันของเซต {1, ..., n } เรียกว่าปัญหาของอังเดร (André's problem ) จำนวนA มีชื่อเรียกต่างๆ กัน เช่นจำนวนออยเลอร์ (Euler numbers) , จำนวนซิกแซก (zigzag numbers) , จำนวนขึ้น/ลง ( up/down numbers)หรือการผสมผสานของชื่อเหล่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ชื่อจำนวนออยเลอร์ บางครั้งใช้เรียกซีเควนซ์ ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ค่าแรกๆ ของA คือ 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, ... (ซีเควนซ์A000111ในOEIS )

ตัวเลขเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดอย่างง่าย คล้ายกับความสัมพันธ์เวียนเกิดของตัวเลขคาตาลันกล่าวคือ โดยการแบ่งเซตของการเรียงสับเปลี่ยนสลับกัน (ทั้งลง-ขึ้นและขึ้น-ลง) ของเซต {  1,  2,  3,  ..., n , n + 1 } ตามตำแหน่งkของค่าที่ใหญ่ที่สุดn + 1จะสามารถแสดงได้ว่า     

${\displaystyle 2A_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{k}A_{nk}}$

สำหรับทุกn ≥ 1 André (1881)ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดนี้เพื่อสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกับฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลัง

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

สำหรับลำดับA ในความเป็นจริง ความสัมพันธ์เวียนเกิดให้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle 2\sum _{n\geq 1}A_{n+1}{\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}=\sum _{n\geq 1}\sum _{k=0}^{n}{\frac {A_{k}}{k!}}{\frac {A_{n-k}}{(n-k)!}}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}=\int \left(\sum _{k\geq 0}A_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}\right)\left(\sum _{j\geq 0}A_{j}{\frac {x^{j}}{j!}}\right)\,dx-x}$

โดยที่เราแทนที่${\displaystyle j=n-k}$และ${\displaystyle {\frac {x^{n+1}}{n+1}}=\int x^{k+j}\,dx}$ซึ่งทำให้ได้สมการอินทิกรัล

${\displaystyle 2(A(x)-1-x)=\int A(x)^{2}\,dx-x,}$

ซึ่งหลังจากทำการหาอนุพันธ์แล้วจะได้${\displaystyle 2{\frac {dA}{dx}}-2=A^{2}-1}$สมการเชิงอนุพันธ์นี้สามารถแก้ได้โดยการแยกตัวแปร (โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น)${\displaystyle A(0)=A_{0}/0!=1}$) และทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้สูตรแทนเจนต์ครึ่งมุมทำให้ได้ผลลัพธ์สุดท้าย

${\displaystyle A(x)=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x}$,

ผลรวมของ ฟังก์ชัน ซีแคนต์และแทนเจนต์ผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีบทของอังเดรการตีความทางเรขาคณิตของผลลัพธ์นี้สามารถให้ได้โดยใช้การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทโดยโยฮันน์ เบอร์นูลลี^{[ 2 ]}

จากทฤษฎีบทของ André รัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมA ( x )คือπ /2 ซึ่งทำให้สามารถคำนวณการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติก ได้ ^{[ 3 ]} 

${\displaystyle A_{n}\sim 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n+1}n!\,.}$

ในปี พ.ศ. 2420 ^Philipp Ludwig von Seidelได้เผยแพร่อัลกอริทึมซึ่งทำให้การคำนวณA เป็นเรื่องง่าย [ ^{4 ​​]}

${\displaystyle {\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}}$

อัลกอริทึมของ Seidel สำหรับA

1. เริ่มด้วยการใส่เลข 1 ลงในแถวที่ 0 และให้kแทนหมายเลขแถวที่กำลังถูกเติมอยู่
2. ถ้าkเป็นจำนวนคี่ ให้ใส่ตัวเลขที่อยู่ทางซ้ายสุดของแถวk − 1ลงในตำแหน่งแรกของแถวkแล้วเติมตัวเลขในแถวนั้นจากซ้ายไปขวา โดยแต่ละตัวเลขจะเป็นผลรวมของตัวเลขทางซ้ายและตัวเลขทางด้านบน
3. เมื่อถึงท้ายแถว ให้ทำซ้ำตัวเลขสุดท้าย
4. ถ้าkเป็นจำนวนคู่ ให้ดำเนินการในลักษณะเดียวกันแต่ในทิศทางตรงกันข้าม

อัลกอริทึมของ Seidel นั้นโดยทั่วไปแล้วมีความทั่วไปมากกว่า (ดูคำอธิบายของ Dominique Dumont ^{[ 5 ]} ) และถูกค้นพบใหม่หลายครั้งหลังจากนั้น

เช่นเดียวกับแนวทางของ Seidel DE Knuth และ TJ Buckholtz ได้ให้สมการเวียนเกิดสำหรับจำนวนA และแนะนำวิธีการนี้สำหรับการคำนวณจำนวน Bernoulli B และจำนวน Euler E 'บนคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์โดยใช้การดำเนินการง่ายๆ บนจำนวนเต็มเท่านั้น' ^{[ 6 ]}

VI Arnold ^{[ 7 ]}ค้นพบอัลกอริทึมของ Seidel อีกครั้ง และต่อมา Millar, Sloane และ Young ได้เผยแพร่อัลกอริทึมของ Seidel ภายใต้ชื่อ การ แปลงBoustrophedon

รูปทรงสามเหลี่ยม:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

มีเพียงOEIS : A000657  ที่มี เลข1 ตัวเดียว และOEIS : A214267 ที่มีเลข 1 สองตัว เท่านั้นที่อยู่ในOEIS

การแจกแจงที่มีเลข 1 เสริมและเลข 0 หนึ่งตัวในแถวต่อไปนี้:

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
−61		−61		−56		−46		−32		−16		0

นี่คือOEIS : A239005 ซึ่งเป็นเวอร์ชันที่มีลายเซ็นของOEIS : A008280 เส้นทแยงมุมหลักคือOEIS : A122045 เส้นทแยงมุมหลักคือOEIS : A155585 คอลัมน์กลางคือOEIS : A099023 ผลรวมแถว: 1, 1, −2, −5, 16, 61.... ดูOEIS : A163747 ดูอาร์เรย์ที่เริ่มต้นด้วย 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 ด้านล่าง

อัลกอริทึม Akiyama–Tanigawa ที่ใช้กับOEIS : A046978  ( n + 1 ) / OEIS : A016116  ( n ) ให้ผลตอบแทน:

1	1	1/2​​​​	0	− ⁠ 1 / 4 ⁠	− ⁠ 1 / 4 ⁠	− 1/8​​​​
0	1	3/2​​​​	1	0	− ⁠ 3 / 4 ⁠
−1	−1	3/2​​​​	4	15/4​​​​
0	−5	− 15 / 2​​	1
5	5	− ⁠ 51 / 2 ⁠
0	61
−61

1.คอลัมน์แรกคือOEIS : A122045 การแปลงทวินามของค่านี้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

1	1	0	−2	0	16	0
0	−1	−2	2	16	−16
−1	−1	4	14	−32
0	5	10	−46
5	5	−56
0	−61
−61

แถวแรกของอาร์เรย์นี้คือOEIS : A155585 ค่าสัมบูรณ์ของแนวทแยงมุมที่เพิ่มขึ้นคือOEIS : A008280 ผลรวมของแนวทแยงมุมคือ− OEIS : A163747  ( n + 1 )

2.คอลัมน์ที่สองคือ1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385...การแปลงทวินามจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

1	2	2	−4	−16	32	272
1	0	−6	−12	48	240
−1	−6	−6	60	192
−5	0	66	32
5	66	66
61	0
−61

แถวแรกของอาร์เรย์นี้คือ1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584...ค่าสัมบูรณ์ของการแบ่งครึ่งครั้งที่สองเป็นสองเท่าของค่าสัมบูรณ์ของการแบ่งครึ่งครั้งแรก

พิจารณาอัลกอริทึม Akiyama-Tanigawa ที่ใช้กับOEIS : A046978  ( n ) / ( OEIS : A158780  ( n + 1 ) =  abs( OEIS : A117575  ( n )) + 1 = 1, 2, 2, ⁠ 3 / 2 ⁠ , 1, ⁠ 3 / 4 ⁠ , ⁠ 3 / 4 ⁠ , 7 / 8 ⁠ , 1 , ⁠ 17 / 16 ⁠ , 17 / 16 ⁠ , ⁠ 33 / 32 ⁠ ... .

1	2	2	3/2​​​​	1	3/4​​​​	3/4​​​​
−1	0	3/2​​​​	2	5/4​​​​	0
−1	−3	− ⁠ 3 / 2 ⁠	3	25/4​​​​
2	−3	− ⁠ 27 / 2 ⁠	−13
5	21	− ⁠ 3 / 2 ⁠
−16	45
−61

คอลัมน์แรกที่มีค่าสัมบูรณ์เป็นOEIS : A000111 อาจเป็นตัวเศษของฟังก์ชันตรีโกโนเมตริก

OEIS : A163747 เป็นลำดับอัตโนมัติชนิดแรก (แนวทแยงหลักคือ OEIS : A000004  ) อาร์เรย์ที่เกี่ยวข้องคือ:

0	−1	−1	2	5	−16	−61
−1	0	3	3	−21	−45
1	3	0	−24	−24
2	−3	−24	0
−5	−21	24
−16	45
−61

เส้นทแยงมุมบนสองเส้นแรกคือ−1 3 −24 402... = (−1) ^{n + 1}  × OEIS : A002832ผลรวมของเส้นทแยงมุมตรงข้ามคือ0 −2 0 10... = 2 × OEIS : A122045 ( n + 1)       

− OEIS : A163982 เป็นลำดับอัตโนมัติประเภทที่สอง เช่นOEIS : A164555  / OEIS : A027642 เป็นต้น ดังนั้นอาร์เรย์จึงเป็นดังนี้:

2	1	−1	−2	5	16	−61
−1	−2	−1	7	11	−77
−1	1	8	4	−88
2	7	−4	−92
5	−11	−88
−16	−77
−61

เส้นทแยงมุมหลัก ในที่นี้คือ2 −2 8 −92...ซึ่งเป็นสองเท่าของเส้นทแยงมุมบนสุดแรก ในที่นี้คือOEIS : A099023 ผลรวมของเส้นทแยงมุมตรงข้ามคือ2 0 −4 0... = 2  × OEIS : A155585 ( n + 1 ) OEIS : A163747 − OEIS : A163982 = 2 × OEIS : A122045          

จำนวนซิกแซกที่มีดัชนีเป็นเลขคี่ (เช่น จำนวนแทนเจนต์) มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับจำนวนเบอร์นูลลีความสัมพันธ์นี้แสดงได้ด้วยสูตร

${\displaystyle B_{2n}=(-1)^{n-1}{\frac {2n}{4^{2n}-2^{2n}}}A_{2n-1}}$

สำหรับn > 0   

ถ้าZ แทนจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของ {1, ..., n } ที่เป็นขึ้น-ลง หรือลง-ขึ้น (หรือทั้งสองอย่าง สำหรับn < 2) แล้วจากการจับคู่ที่ให้ไว้ข้างต้น จะได้ว่าZ =  2 A สำหรับn  ≥  2 ค่าแรกๆ ของZ คือ 1, 1, 2, 4, 10, 32, 122, 544, 2770, 15872, 101042, ... ( ลำดับA001250ในOEIS )

ตัวเลขซิกแซกของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับตัวเลขเอนทริงเกอร์ ซึ่งสามารถคำนวณตัวเลขซิกแซกได้ ตัวเลขเอนทริงเกอร์สามารถกำหนดแบบเวียนซ้ำได้ดังนี้: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle E(0,0)=1}$

${\displaystyle E(n,0)=0\qquad {\mbox{for }}n>0}$

${\displaystyle E(n,k)=E(n,k-1)+E(n-1,n-k)}$.

หมายเลข ซิกแซก ^ที่nเท่ากับหมายเลขเอนทริงเกอร์E ( n , n )

ตัวเลขA ที่มีดัชนีเป็นเลขคู่ เรียกว่าตัวเลขซีแคนต์หรือตัวเลขซิกเนื่องจากฟังก์ชันซีแคนต์เป็นฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่จึงเป็นไปตามทฤษฎีบทของอังเดรข้างต้นว่า ตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเศษในอนุกรมแมคลาลินของsec xค่าแรกๆ ได้แก่ 1, 1, 5, 61, 1385, 50521, ... ( ลำดับA000364ในOEIS )

จำนวนซีแคนต์มีความสัมพันธ์กับจำนวนออยเลอร์ แบบมีเครื่องหมาย (สัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ของซีแคนต์ไฮเปอร์โบลิก) โดยสูตรE   =  ( − 1) ⁿ A ( E   =  0 เมื่อnเป็นจำนวนคี่)

ในทำนองเดียวกัน ตัวเลขA ที่มีดัชนีเป็นเลขคี่เรียกว่าเลขแทนเจนต์หรือเลขแซกค่าแรกๆ ได้แก่ 1, 2, 16, 272, 7936, ... ( ลำดับA000182ในOEIS )

ความสัมพันธ์ของจำนวนซิกแซกของออยเลอร์กับจำนวนออยเลอร์และจำนวนเบอร์นูลลีสามารถใช้พิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้ ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle A_{r}=-{\frac {4^{r}}{a_{r}}}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(-1)^{k}\,S(r,k)}{k+1}}\left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)}}$

ที่ไหน

${\displaystyle a_{r}={\begin{cases}(-1)^{\frac {r-1}{2}}(1+2^{-r})&{\mbox{if r is odd}}\\(-1)^{\frac {r}{2}}&{\mbox{if r is even}}\end{cases}},}$

${\displaystyle (x)^{(n)}=(x)(x+1)\cdots (x+n-1)}$แสดงถึงแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้นและ${\displaystyle S(r,k)}$หมายถึง จำนวนส เตอร์ลิงชนิดที่สอง

• ลำดับย่อยสลับที่ยาวที่สุด
• การแปลงร่างของบูสโทรเฟดอน
• รั้ว (คณิตศาสตร์)คือเซตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งมีการเรียงสับเปลี่ยนสลับกันเป็นส่วนขยายเชิงเส้น

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับ" . MathWorld .
• Ross Tang, "สูตรที่ชัดเจนสำหรับจำนวนซิกแซกของออยเลอร์ (จำนวนขึ้น/ลง) จากอนุกรมกำลัง"สูตรที่ชัดเจนง่ายๆ สำหรับA .
• "การสำรวจการเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับ" (A Survey of Alternating Permutations) เอกสารฉบับร่างโดยริชาร์ด พี. สแตนลีย์