ในฟิสิกส์ของแม่เหล็กไฟฟ้าแรงอับราฮัม-ลอเรนซ์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อแรงลอเรนซ์-อับราฮัม ) คือแรงปฏิกิริยาต่ออนุภาคประจุที่ เร่งความเร็ว ซึ่งเกิดจากการที่อนุภาคปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าโดยการมีปฏิสัมพันธ์กับตัวเอง เรียกอีกอย่างว่าแรงปฏิกิริยารังสีแรงหน่วงรังสี^{[ 1 ]}หรือ แรงตัวเอง^{[ 2 ]}ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์แม็กซ์ อับราฮัมและเฮนดริก ลอเรน ซ์

สูตรนี้ถึงแม้จะมีมาก่อนทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษแต่ในตอนแรกคำนวณขึ้นสำหรับค่าประมาณความเร็วที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ ต่อมาMax Abraham ได้ขยายสูตรนี้ไปสู่ความเร็วใดๆ และ George Adolphus Schottได้แสดงให้เห็นว่าสูตรนี้สอดคล้องกับหลักการทางฟิสิกส์ รูปแบบที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพเรียกว่าแรงลอเรนซ์ในตัวในขณะที่รูปแบบที่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพเรียกว่า แรงลอเร นซ์-ดิแรกหรือเรียกโดยรวมว่าแรงอับราฮัม-ลอเรนซ์-ดิแรก^{[ 3 ]}สมการเหล่านี้อยู่ในขอบเขตของฟิสิกส์คลาสสิกไม่ใช่ฟิสิกส์ควอนตัมดังนั้นอาจไม่ถูกต้องในระยะทางประมาณความยาวคลื่นคอมป์ตันหรือต่ำกว่า^{[ 4 ]}อย่างไรก็ตาม มีสูตรที่คล้ายกันสองสูตรที่เป็นทั้งควอนตัมและสัมพัทธภาพอย่างสมบูรณ์ คือ สูตรหนึ่งเรียกว่า "สมการอับราฮัม-ลอเรนซ์-ดิแรก-ลังเจวิน" ^{[ 5 ]}และอีกสูตรหนึ่งคือแรงในตัวบนกระจกที่เคลื่อนที่^{[ 6 ]}

แรงดังกล่าวแปรผันตรงกับกำลังสองของประจุ ของวัตถุ คูณ ด้วย การเปลี่ยนแปลง ความเร่ง (Jerk คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร่ง)แรงจะชี้ไปในทิศทางเดียวกับการเปลี่ยนแปลงความเร่ง ตัวอย่างเช่น ในไซโคลตรอนซึ่งการเปลี่ยนแปลงความเร่งชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับความเร็ว ปฏิกิริยาการแผ่รังสีจะชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับความเร็วของอนุภาค ทำให้เกิดแรงเบรก แรงอับราฮัม-ลอเรนซ์เป็นที่มาของความต้านทานการแผ่รังสีของเสาอากาศวิทยุ ที่แผ่คลื่นวิทยุ

มีวิธีแก้ปัญหาทางพยาธิวิทยาของสมการ Abraham–Lorentz–Dirac ซึ่งอนุภาคจะเร่งความเร็วล่วงหน้าก่อนการใช้แรง เรียกว่า วิธีแก้ปัญหา การเร่งความเร็วล่วงหน้าเนื่องจากสิ่งนี้จะแสดงถึงผลที่เกิดขึ้นก่อนสาเหตุ ( retrocausality ) ทฤษฎีบางทฤษฎีจึงคาดการณ์ว่าสมการนี้อนุญาตให้สัญญาณเดินทางย้อนกลับไปในเวลา ซึ่งท้าทายหลักการทางฟิสิกส์ของความเป็นเหตุเป็นผลวิธีแก้ปัญหาหนึ่งได้รับการกล่าวถึงโดยArthur D. Yaghjian ^{[ 7 ]}และได้รับการกล่าวถึงเพิ่มเติมโดยFritz Rohrlich ^{[ 4 ]}และ Rodrigo Medina ^{[ 8 ]}นอกจากนี้ ผู้เขียนบางคนโต้แย้งว่าแรงปฏิกิริยาการแผ่รังสีไม่จำเป็น โดยแนะนำเทนเซอร์พลังงานความเครียดที่สอดคล้องกันซึ่งอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัมในปริภูมิ Minkowski และปริภูมิเวลาอื่นๆ ที่เหมาะสมโดยธรรมชาติ^{[ 9 ]}

แรงลอเรนซ์ในตัวเองที่ได้มาจากการประมาณความเร็วแบบไม่สัมพัทธภาพนั้น กำหนดไว้ในหน่วย SIโดย: หรือในหน่วยเกาส์เซียนโดย โดย ที่คือแรงคืออนุพันธ์ของความเร่งหรืออนุพันธ์อันดับสามของ_การกระจัดหรือเรียกว่าการกระชากμ₀คือ ค่าคง ที่แม่เหล็กε₀คือค่าคงที่ไฟฟ้า c คือความเร็วแสงในสุญญากาศและqคือประจุไฟฟ้า_ของอนุภาค ${\displaystyle v\ll c}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} }$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} .}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }}$${\displaystyle \mathbf {\dot {a}} }$

ในทางกายภาพ ประจุที่เร่งความเร็วจะปล่อยรังสีออกมา (ตามสูตรของลาร์มอร์ ) ซึ่งจะนำพาโมเมนตัมออกจากประจุนั้น เนื่องจากโมเมนตัมได้รับการอนุรักษ์ ประจุจึงถูกผลักไปในทิศทางตรงกันข้ามกับทิศทางของรังสีที่ปล่อยออกมา อันที่จริง สูตรข้างต้นสำหรับแรงจากรังสีสามารถหาได้จากสูตรของลาร์มอร์ ดังแสดงด้านล่าง

แรงAbraham–Lorentzซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของแรง Lorentz เองสำหรับความเร็วใดๆ กำหนดโดย: ^{[ 10 ] [ 11 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\left(\gamma ^{2}{\dot {a}}+{\frac {\gamma ^{4}v(v\cdot {\dot {a}})}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{4}a(v\cdot a)}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{6}v(v\cdot a)^{2}}{c^{4}}}\right)}$$

ตัวประกอบลอเรนซ์ที่เกี่ยวข้องกับความเร็วของอนุภาค อยู่ ที่ไหน สูตรนี้สอดคล้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและลดรูปเป็นนิพจน์แรงกระทำต่อตัวเองของลอเรนซ์สำหรับขีดจำกัดความเร็วต่ำ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle v}$

รูปแบบโคแวเรียนต์ของปฏิกิริยาการแผ่รังสีที่อนุมานโดย Dirac สำหรับรูปร่างใดๆ ของประจุพื้นฐานพบว่าเป็น: ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu }}{d\tau }}\right)\right]}$$

การคำนวณพลังงานการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าครั้งแรกเนื่องจากกระแสไฟฟ้าเกิดขึ้นโดยGeorge Francis FitzGeraldในปี 1883 ซึ่งปรากฏความต้านทานการแผ่รังสี^{[ 14 ]}อย่างไรก็ตาม การทดลอง เสาอากาศไดโพลโดยHeinrich Hertzได้สร้างผลกระทบที่ใหญ่กว่าและรวบรวมความคิดเห็นโดย Poincaré เกี่ยวกับการลดทอนหรือการหน่วงของออสซิลเลเตอร์เนื่องจากการปล่อยรังสี^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}การอภิปรายเชิงคุณภาพเกี่ยวกับผลกระทบของการหน่วงของการแผ่รังสีที่ปล่อยออกมาจากประจุที่เร่งความเร็วได้รับการจุดประกายโดยHenri Poincaréในปี 1891 ^{[ 18 ] [ 19 ]}ในปี 1892 Hendrik Lorentzได้คำนวณแรงปฏิสัมพันธ์ของประจุเองสำหรับความเร็วต่ำ แต่ไม่ได้เชื่อมโยงกับความสูญเสียจากการแผ่รังสี^{[ 20 ]}ข้อเสนอแนะเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการสูญเสียพลังงานจากการแผ่รังสีและแรงปฏิสัมพันธ์นั้นเกิดขึ้นครั้งแรกโดยMax Planck ^{[ 21 ]}แนวคิดของพลังค์เกี่ยวกับแรงหน่วง ซึ่งไม่มีรูปร่างเฉพาะสำหรับอนุภาคประจุพื้นฐาน ถูกนำมาใช้โดยแม็กซ์ อับราฮัม เพื่อหาความต้านทานการแผ่รังสีของเสาอากาศในปี พ.ศ. 2441 ซึ่งยังคงเป็นการประยุกต์ใช้ปรากฏการณ์นี้ในทางปฏิบัติมากที่สุด^{[ 22 ]}

ในช่วงต้นทศวรรษ 1900 อับราฮัมได้กำหนดสูตรทั่วไปของแรงตัวเองของลอเรนซ์สำหรับความเร็วใดๆ ซึ่งความสอดคล้องทางกายภาพได้รับการพิสูจน์ในภายหลังโดยจอร์จ แอดอลฟัส ชอตต์ [ ^{10 ] [ 23 ] [ 24 ] ช}อตต์สามารถพิสูจน์สมการของอับราฮัมและระบุว่า "พลังงานเร่งความเร็ว" เป็นแหล่งพลังงานของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า เดิมทีส่งเป็นเรียงความเพื่อชิงรางวัลอดัมส์ ในปี 1908 เขาชนะการแข่งขันและเรียงความดังกล่าวได้รับการตีพิมพ์เป็นหนังสือในปี 1912 ความสัมพันธ์ระหว่างแรงตัวเองและปฏิกิริยาการแผ่รังสีได้รับการยอมรับอย่างดีในจุดนี้^{[ 25 ]}โวล์ฟกัง พอลีเป็นคนแรกที่ได้รูปแบบโคแวเรียนต์ของปฏิกิริยาการแผ่รังสี^{[ 26 ] [ 27 ]}และในปี 1938 พอล ดิแรกพบว่าสมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุ โดยไม่ต้องสมมติรูปร่างของอนุภาค มีสูตรของอับราฮัมอยู่ภายในค่าประมาณที่สมเหตุสมผล สมการที่ได้มาโดย Dirac ถือว่าถูกต้องแม่นยำภายในขอบเขตของทฤษฎีคลาสสิก^{[ 12 ]}

ในวิชาไฟฟ้าพลศาสตร์แบบคลาสสิกปัญหาต่างๆ มักถูกแบ่งออกเป็นสองประเภท:

1. ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ การระบุแหล่งกำเนิดประจุและกระแส ของสนาม และมีการคำนวณ สนาม เหล่านั้น และ
2. สถานการณ์ตรงกันข้าม คือปัญหาที่ระบุขอบเขตของสนามและคำนวณการเคลื่อนที่ของอนุภาค

ในบางสาขาของฟิสิกส์ เช่นฟิสิกส์พลาสมาและการคำนวณสัมประสิทธิ์การขนส่ง (ค่าการนำไฟฟ้า ค่าการแพร่ฯลฯ ) สนามที่เกิดจากแหล่งกำเนิดและการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดจะถูกแก้ปัญหาอย่างสอดคล้องกัน ในกรณีเช่นนี้ การเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดที่เลือกจะถูกคำนวณโดยตอบสนองต่อสนามที่เกิดจากแหล่งกำเนิดอื่นๆ ทั้งหมด แทบจะไม่เคยมีการคำนวณการเคลื่อนที่ของอนุภาค (แหล่งกำเนิด) อันเนื่องมาจากสนามที่เกิดจากอนุภาคนั้นเอง เหตุผลสำหรับเรื่องนี้มีสองประการ:

1. การละเลย " สนามภายใน " มักนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้องเพียงพอสำหรับการใช้งานหลายอย่าง และ
2. การรวมเอาสนามของตัวเองเข้ามาทำให้เกิดปัญหาในวิชาฟิสิกส์ เช่นการปรับค่ามาตรฐานซึ่งบางปัญหายังไม่ได้รับการแก้ไข และเกี่ยวข้องกับธรรมชาติที่แท้จริงของสสารและพลังงาน

ปัญหาเชิงแนวคิดที่เกิดจากขอบเขตตนเองเหล่านี้ได้รับการเน้นย้ำในตำราระดับบัณฑิตศึกษามาตรฐาน [แจ็กสัน]

ความยากลำบากที่เกิดจากปัญหานี้เกี่ยวข้องกับแง่มุมพื้นฐานที่สุดอย่างหนึ่งของฟิสิกส์ นั่นคือธรรมชาติของอนุภาคพื้นฐาน แม้ว่าจะสามารถให้คำตอบบางส่วนที่ใช้ได้ในขอบเขตจำกัด แต่ปัญหาพื้นฐานยังคงไม่ได้รับการแก้ไข อาจหวังได้ว่าการเปลี่ยนผ่านจากการวิเคราะห์แบบคลาสสิกไปสู่การวิเคราะห์แบบควอนตัมจะช่วยขจัดความยากลำบากเหล่านี้ได้ แม้ว่าจะยังมีความหวังว่าสิ่งนี้อาจเกิดขึ้นในที่สุด แต่การอภิปรายทางควอนตัมในปัจจุบันกลับเต็มไปด้วยปัญหาที่ซับซ้อนยิ่งกว่าการอภิปรายแบบคลาสสิก หนึ่งในความสำเร็จในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา (ประมาณปี 1948–1950) คือการนำแนวคิดเรื่องความแปรผันแบบลอเรนซ์และความไม่แปรผันภายใต้การแปลงเกจมาใช้ได้อย่างชาญฉลาดเพียงพอที่จะหลีกเลี่ยงความยากลำบากเหล่านี้ในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ และทำให้สามารถคำนวณผลกระทบจากการแผ่รังสีขนาดเล็กมากได้อย่างแม่นยำสูงมาก ซึ่งสอดคล้องกับการทดลองอย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม จากมุมมองพื้นฐานแล้ว ความยากลำบากยังคงอยู่

แรงอับราฮัม-ลอเรนซ์เป็นผลมาจากการคำนวณขั้นพื้นฐานที่สุดของผลกระทบของสนามที่เกิดขึ้นเอง มันเกิดขึ้นจากการสังเกตว่าประจุที่เร่งความเร็วจะปล่อยรังสีออกมา แรงอับราฮัม-ลอเรนซ์คือแรงเฉลี่ยที่อนุภาคประจุที่เร่งความเร็วรู้สึกในขณะที่ เกิดการ ดีดตัวกลับจากการปล่อยรังสี การนำผลกระทบควอนตัมมาใช้ทำให้เกิดควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์สนามที่เกิดขึ้นเองในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์สร้างค่าอนันต์จำนวนจำกัดในการคำนวณ ซึ่งสามารถกำจัดได้ด้วยกระบวนการปรับค่าใหม่ (renormalization ) สิ่งนี้ทำให้เกิดทฤษฎีที่สามารถทำนายได้อย่างแม่นยำที่สุดเท่าที่มนุษย์เคยทำมา (ดูการทดสอบความแม่นยำของ QED ) อย่างไรก็ตาม กระบวนการปรับค่าใหม่ล้มเหลวเมื่อนำไปใช้กับแรงโน้มถ่วงในกรณีนั้น ค่าอนันต์มีจำนวนอนันต์ ซึ่งทำให้การปรับค่าใหม่ล้มเหลว ดังนั้นทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป จึง มีปัญหาเรื่องสนามที่เกิดขึ้นเองที่ยังแก้ไม่ตกทฤษฎีสตริงและทฤษฎีควอนตัมลูปเป็นความพยายามในปัจจุบันที่จะแก้ไขปัญหานี้ ซึ่งเรียกอย่างเป็นทางการว่าปัญหาปฏิกิริยาการแผ่รังสีหรือปัญหาแรงกระทำต่อตนเอง

การหาค่าแรงกระทำต่อตัวเองที่ง่ายที่สุดนั้น พบได้สำหรับการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบจากสูตรของลาร์มอร์สำหรับกำลังที่แผ่รังสีออกมาจากประจุจุดที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่ำกว่าความเร็วแสงมาก: $${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}.}$$

ถ้าเราสมมติว่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุเป็นแบบคาบ การทำงานเฉลี่ยที่กระทำต่ออนุภาคโดยแรงอับราฮัม-ลอเรนซ์จะเป็นค่าลบของกำลังลาร์มอร์ที่อินทิเกรตตลอดหนึ่งคาบตั้งแต่ถึง: ${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}}$$${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-Pdt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}dt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt.}$$

นิพจน์ข้างต้นสามารถอินทิเกรตโดยใช้การแยกส่วนได้ถ้าเราสมมติว่ามีการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบ พจน์ขอบเขตในการอินทิเกรตโดยใช้การแยกส่วนจะหายไป: $${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} \cdot \mathbf {v} dt.}$$

เห็นได้ชัดว่าเราสามารถระบุสมการแรงตัวเองของลอเรนซ์ซึ่งใช้ได้กับอนุภาคที่เคลื่อนที่ช้าได้ดังนี้: การหาอนุพันธ์ที่เข้มงวดกว่าซึ่งไม่ต้องการการเคลื่อนที่แบบคาบนั้นพบได้โดยใช้สูตรทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพ^{[ 28 ] [ 29 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {{\dot {a}}.} }$$

สมการทั่วไปสำหรับความเร็วใดๆ ได้รับการกำหนดโดย Max Abraham ซึ่งพบว่าสอดคล้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ การพิสูจน์ทางเลือกโดยใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพที่ได้รับการยอมรับอย่างดีในเวลานั้น ได้รับการค้นพบโดยDiracโดยไม่ต้องตั้งสมมติฐานใดๆ เกี่ยวกับรูปร่างของอนุภาคที่มีประจุ^{[ 3 ]}

ด้านล่างนี้คือภาพประกอบที่แสดงให้เห็นว่าการวิเคราะห์แบบคลาสสิกสามารถนำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจได้อย่างไร ทฤษฎีคลาสสิกสามารถมองได้ว่าเป็นการท้าทายภาพมาตรฐานของความเป็นเหตุเป็นผล ซึ่งบ่งชี้ถึงความล้มเหลวหรือความจำเป็นในการขยายทฤษฎี ในกรณีนี้ การขยายไปสู่กลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัมซึ่งเป็นคู่ขนานเชิงสัมพัทธ ภาพ ดูคำกล่าวของ Rohrlich ^{[ 4 ]}ในบทนำเกี่ยวกับ "ความสำคัญของการปฏิบัติตามขีดจำกัดความถูกต้องของทฤษฎีทางฟิสิกส์"

สำหรับอนุภาคที่ได้รับแรงภายนอกเราจะได้ ว่า โดยที่ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }}$$${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=mt_{0}{\ddot {\mathbf {v} }}+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }.}$$$${\displaystyle t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}.}$$

สามารถอินทิเกรตสมการนี้ได้หนึ่งครั้งเพื่อให้ได้ $${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}={1 \over t_{0}}\int _{t}^{\infty }\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)\,\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }(t')\,dt'.}$$

อินทิกรัลนี้ครอบคลุมตั้งแต่ปัจจุบันไปจนถึงอนาคตที่ไกลสุดลูกหูลูกตา ดังนั้นค่าของแรงในอนาคตจึงส่งผลต่อความเร่งของอนุภาคในปัจจุบัน ค่าในอนาคตจะถูกถ่วงน้ำหนักด้วยตัวประกอบ ซึ่งจะลดลงอย่างรวดเร็วสำหรับเวลาที่มากกว่าในอนาคต ดังนั้นสัญญาณจากช่วงเวลาประมาณ ในอนาคตจึงส่งผลต่อความเร่งในปัจจุบัน สำหรับอิเล็กตรอน เวลาดังกล่าวโดยประมาณคือวินาที ซึ่งเป็นเวลาที่คลื่นแสงใช้ในการเดินทางผ่าน "ขนาด" ของอิเล็กตรอน หรือรัศมีอิเล็กตรอนแบบคลาสสิก วิธีหนึ่งในการกำหนด "ขนาด" นี้คือ: มันคือ (โดยมีค่าคงที่บางค่า) ระยะทางที่อิเล็กตรอนสองตัวที่วางนิ่งอยู่ห่างกันและปล่อยให้เคลื่อนที่ออกจากกัน จะมีพลังงานเพียงพอที่จะไปถึงครึ่งหนึ่งของความเร็วแสง กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเป็นมาตราส่วนความยาว (หรือเวลา หรือพลังงาน) ที่สิ่งที่มีน้ำหนักเบาเช่นอิเล็กตรอนจะมีความเป็นสัมพัทธภาพอย่างสมบูรณ์ เป็นที่น่าสังเกตว่านิพจน์นี้ไม่ได้เกี่ยวข้องกับค่าคงที่ของพลังค์เลย ดังนั้นถึงแม้จะบ่งชี้ว่ามีบางอย่างผิดปกติในระดับความยาว นี้ แต่ก็ไม่ได้เกี่ยวข้องโดยตรงกับความไม่แน่นอนทางควอนตัม หรือความสัมพันธ์ระหว่างความถี่และพลังงานของโฟตอนถึงแม้ว่าในกลศาสตร์ควอนตัมจะนิยมถือว่าเป็น " ขีดจำกัดแบบคลาสสิก " แต่บางคนก็คาดการณ์ว่าแม้แต่ทฤษฎีคลาสสิกก็ยังต้องการการปรับค่าใหม่ ไม่ว่าค่าคงที่ของพลังค์จะถูกกำหนดอย่างไรก็ตาม $${\displaystyle \exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)}$$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle 10^{-24}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \hbar \to 0}$

เพื่อค้นหาการสรุปเชิงสัมพัทธภาพ ดิแรกได้ปรับค่ามวลในสมการการเคลื่อนที่ด้วยแรงอับราฮัม-ลอเรนซ์ในปี พ.ศ. 2481 สมการการเคลื่อนที่ที่ปรับค่าใหม่นี้เรียกว่าสมการการเคลื่อนที่ของอับราฮัม-ลอเรนซ์-ดิแรก^{[ 12 ] [ 30 ]}

นิพจน์ที่ได้มาโดย Dirac จะแสดงในรูปแบบลายเซ็น (− + + +) โดย^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}-{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu }}{d\tau }}\right)\right].}$$

ด้วยการวางนัยทั่วไปเชิงสัมพัทธภาพของสูตรของลาร์มอร์ในกรอบร่วมเคลื่อนที่ ของ ลีเอ็นาร์ดเรา สามารถแสดงให้เห็นว่านี่เป็นแรงที่ถูกต้องได้โดยการจัดการสมการค่าเฉลี่ยเวลาสำหรับกำลัง : $${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}q^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{6\pi c}},}$$$${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}Pdt={\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{t}{\textbf {F}}\cdot {\textbf {v}}\,dt.}$$

เช่นเดียวกับกรณีที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพ มีวิธีแก้ปัญหาทางพยาธิวิทยาโดยใช้สมการ Abraham–Lorentz–Dirac ที่คาดการณ์การเปลี่ยนแปลงของแรงภายนอก และตามนั้นอนุภาคจะเร่งความเร็วล่วงหน้าก่อนการใช้แรง ซึ่งเรียกว่า วิธีแก้ปัญหา การเร่งความเร็ว ล่วงหน้า วิธีแก้ปัญหาหนึ่งนี้ได้รับการกล่าวถึงโดย Yaghjian ^{[ 7 ]}และได้รับการกล่าวถึงเพิ่มเติมโดย Rohrlich ^{[ 4 ]}และ Medina ^{[ 8 ]}

คำตอบที่ควบคุมไม่ได้ คือคำตอบของสมการ ALD ที่บ่งชี้ว่าแรงที่กระทำต่อวัตถุจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามเวลา ซึ่งถือว่าไม่สมเหตุสมผลทางกายภาพ

สมการ ALD เป็นที่ทราบกันดีว่ามีค่าเป็นศูนย์สำหรับการเร่งความเร็วคงที่หรือการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกในแผนภาพปริภูมิเวลาของมิงโกว สกี ประเด็นที่ว่าภายใต้เงื่อนไขดังกล่าวมีการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าหรือไม่นั้นเป็นเรื่องที่ถกเถียงกันมาจนกระทั่งฟริตซ์ โรห์ลิชได้แก้ปัญหานี้โดยแสดงให้เห็นว่าประจุที่เคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกนั้นปล่อยรังสีออกมา ต่อมา ประเด็นนี้จึงถูกนำมาอภิปรายในบริบทของการอนุรักษ์พลังงานและหลักการสมดุลซึ่งในทางคลาสสิกจะแก้ปัญหาได้โดยการพิจารณา "พลังงานเร่งความเร็ว" หรือพลังงานชอตต์

อย่างไรก็ตาม กลไกการลดการหน่วงที่เกิดจากแรง Abraham–Lorentz สามารถชดเชยได้ด้วยเงื่อนไขที่ไม่เป็นเชิงเส้นอื่นๆ ซึ่งมักจะถูกละเลยในการขยายศักยภาพ Liénard–Wiechertที่ ล่าช้า ^{[ 4 ]}

แรง Abraham–Lorentz–Dirac นำไปสู่โซลูชันที่ผิดปกติบางอย่าง เพื่อหลีกเลี่ยงสิ่งนี้Lev LandauและEvgeny Lifshitzจึงได้คิดค้นสูตรต่อไปนี้สำหรับแรงหน่วงการแผ่รังสี ซึ่งใช้ได้เมื่อแรงหน่วงการแผ่รังสีมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับแรง Lorentz ในกรอบอ้างอิงบางกรอบ (สมมติว่ามีอยู่) ^{[ 31 ]}

${\displaystyle g^{i}={\frac {2e^{3}}{3mc^{3}}}\left\{{\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{l}}}u_{k}u^{l}-{\frac {e}{mc^{2}}}\left[F^{il}F_{kl}u^{k}-(F_{kl}u^{l})(F^{km}u_{m})u^{i}\right]\right\}}$

ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่ของประจุในสนามภายนอกจึงสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle e}$${\displaystyle F^{ik}}$

${\displaystyle mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+g^{i}.}$

นี่คือความเร็วสี่มิติของอนุภาคคือตัวประกอบลอเรนซ์และคือเวกเตอร์ความเร็วสามมิติ แรงหน่วงการแผ่รังสีแลนเดา-ลิฟชิตซ์สามมิติสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle u^{i}=(\gamma ,\gamma \mathbf {v} /c)}$${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {2e^{3}\gamma }{3mc^{3}}}\left\{{\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}+{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times {\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}\right\}+{\frac {2e^{4}}{3m^{2}c^{4}}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} +{\frac {1}{c}}\mathbf {H} \times (\mathbf {H} \times \mathbf {v} )+{\frac {1}{c}}\mathbf {E} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} )\right]-{\frac {2e^{4}\gamma ^{2}\mathbf {v} }{3m^{2}c^{5}}}\left[\left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} )^{2}\right]}$

อนุพันธ์ รวมอยู่ที่ไหน${\displaystyle D/Dt=\partial /\partial t+\mathbf {v} \cdot \nabla }$

แม้ว่าแรง Abraham–Lorentz จะถูกละเลยเป็นส่วนใหญ่ในการพิจารณาการทดลองหลายอย่าง แต่ก็มีความสำคัญมากขึ้นสำหรับการ กระตุ้น พลาสมอนิกในอนุภาคนาโน ขนาดใหญ่ เนื่องจาก การเพิ่มความเข้ม ของสนามเฉพาะที่ มาก การลดทอนการแผ่รังสีทำหน้าที่เป็นปัจจัยจำกัดสำหรับ การกระตุ้น พลาสมอนิกในการกระเจิงรามานที่เพิ่มขึ้นบนพื้นผิว^{[ 32 ]}แรงลดทอนแสดงให้เห็นว่าทำให้เรโซแนนซ์พลาสมอนพื้นผิวในอนุภาคนาโนทองคำนาโนแท่งและคลัสเตอร์ กว้าง ขึ้น^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

ผลกระทบของการลดทอนการแผ่รังสีต่อการเรโซแนนซ์แม่เหล็กนิวเคลียร์ยังได้รับการสังเกตโดยNicolaas BloembergenและRobert Poundซึ่งรายงานว่า กลไกการผ่อนคลายแบบ สปิน-สปินและสปิน-แลตติซ มีอิทธิพลเหนือกว่า ในบางกรณี^{[ 36 ]}

แรง Abraham–Lorentz ได้รับการสังเกตในระบอบกึ่งคลาสสิกในการทดลองที่เกี่ยวข้องกับการกระเจิงของลำอิเล็กตรอนสัมพัทธภาพด้วยเลเซอร์ความเข้มสูง^{[ 37 ] [ 38 ]}ในการทดลอง เจ็ทก๊าซฮีเลียมความเร็วเหนือเสียงถูกสกัดกั้นโดยเลเซอร์ความเข้มสูง (10 ¹⁸ –10 ²⁰  W/cm ² ) เลเซอร์ทำให้ก๊าซฮีเลียมแตกตัวเป็นไอออนและเร่งอิเล็กตรอนผ่านสิ่งที่เรียกว่า "ปรากฏการณ์สนามเวคเลเซอร์" จากนั้นลำแสงเลเซอร์ความเข้มสูงที่สองจะถูกส่งผ่านไปในทิศทางตรงกันข้ามกับลำอิเล็กตรอนที่เร่งความเร็วนี้ ในบางกรณี การกระเจิงแบบอินเวอร์สคอมป์ตันจะเกิดขึ้นระหว่างโฟตอนและลำอิเล็กตรอน และสเปกตรัมของอิเล็กตรอนและโฟตอนที่กระเจิงจะถูกวัด สเปกตรัมของโฟตอนจะถูกนำไปเปรียบเทียบกับสเปกตรัมที่คำนวณจากการจำลองมอนเตคาร์โลที่ใช้สมการการเคลื่อนที่ QED หรือ LL แบบคลาสสิก

ผลกระทบของปฏิกิริยาการแผ่รังสีมักถูกพิจารณาภายในกรอบของพลศาสตร์อนุภาคเดี่ยว อย่างไรก็ตาม ปรากฏการณ์ที่น่าสนใจเกิดขึ้นเมื่อกลุ่มอนุภาคที่มีประจุถูกสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่รุนแรง เช่น ในพลาสมา ในสถานการณ์เช่นนี้ พฤติกรรมโดยรวมของพลาสมาสามารถเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของมันได้อย่างมากเนื่องจากผลกระทบของปฏิกิริยาการแผ่รังสี การศึกษาทางทฤษฎีแสดงให้เห็นว่าในสภาพแวดล้อมที่มีสนามแม่เหล็กแรงสูง เช่น ที่พบรอบพัลซาร์และแมกเนตาร์ การระบายความร้อนจากปฏิกิริยาการแผ่รังสีสามารถเปลี่ยนแปลงพลศาสตร์โดยรวมของ พลาสมาได้ การเปลี่ยนแปลงนี้อาจนำไปสู่ความไม่เสถียรภายในพลาสมา^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสนามแม่เหล็กสูงซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของวัตถุทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์เหล่านี้ การกระจายโมเมนตัมของอนุภาคจะรวมกลุ่มกันและกลายเป็นแบบไม่สมมาตรเนื่องจากแรงปฏิกิริยาการแผ่รังสี ซึ่งอาจขับเคลื่อนความไม่เสถียรของพลาสมาและส่งผลต่อพฤติกรรมโดยรวมของพลาสมา ในบรรดาความไม่เสถียรเหล่านี้ ความไม่เสถียรของไฟร์โฮส^{[ 39 ]}อาจเกิดขึ้นเนื่องจากความดันที่ไม่สมมาตร และอิเล็กตรอนไซโคลตรอนมาเซอร์เนื่องจากการผกผันของประชากรในวงแหวน^{[ 42 ]}

กลไกทางเลือกสำหรับปฏิกิริยาการแผ่รังสีบนประจุจุดที่ถูกเร่งด้วยแรงภายนอก คือ การเพิ่มขึ้นของพลังงานของประจุจะลดลงเนื่องจากพลังงานที่ถูกนำออกไปโดยการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า^{[ 43 ]}ซึ่งจะลดการเร่งความเร็วของอนุภาคโดยไม่ต้องใช้แรงเพิ่มเติม และความขัดแย้งที่เกิดขึ้นก็จะไม่เกิดขึ้น

• แรงลอเรนซ์
• รังสีไซโคลตรอน
  • รังสีซินโครตรอน
• มวลแม่เหล็กไฟฟ้า
• ความต้านทานต่อรังสี
• การลดทอนการแผ่รังสี
• ทฤษฎีตัวดูดซับของวีลเลอร์-ไฟน์แมน
• แรงปฏิกิริยาการแผ่รังสีแม่เหล็ก

• Griffiths, David J. (1998). บทนำสู่พลศาสตร์ไฟฟ้า (ฉบับที่ 3). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.โปรดดูหัวข้อ 11.2.2 และ 11.2.3
• แจ็กสัน, จอห์น ดี. (1998). อิเล็กโทรไดนามิกส์คลาสสิก (ฉบับที่ 3). ไวลีย์. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Donald H. Menzel (1960) สูตรพื้นฐานทางฟิสิกส์สำนักพิมพ์ Dover Publications Inc. ISBN 0-486-60595-7เล่ม 1 หน้า 345
• Stephen Parrott (1987) Relativistic Electrodynamics and Differential Geometry , § 4.3 ปฏิกิริยาการแผ่รังสีและสมการ Lorentz–Dirac หน้า 136–45 และ § 5.5 ผลเฉลยเฉพาะของสมการ Lorentz–Dirac หน้า 195–204, Springer-Verlag ISBN 0-387-96435-5.

• MathPages – ประจุที่เร่งความเร็วอย่างสม่ำเสมอจะแผ่รังสีหรือไม่?
• เฟย์นแมน: การพัฒนาแนวคิดเรื่องกาลอวกาศของควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์
• EC. del Río: การแผ่รังสีของประจุเร่งความเร็ว