สมมติว่าXเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) เหนือฟิลด์${\displaystyle \mathbb {F} }$(ซึ่งเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) ที่มีปริภูมิคู่ต่อเนื่อง${\displaystyle X^{\prime }}$แยกจุดบนแกน X (เช่น สำหรับจุดใดๆ)${\displaystyle x\in X}$มีอยู่บ้าง${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$โดยที่${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$). อนุญาต${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$และ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ทั้งสองแสดงถึงคู่ที่แข็งแกร่งของXซึ่งก็คือปริมาณเวกเตอร์${\displaystyle X^{\prime }}$ของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนXที่มีโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอบนเซตย่อยที่มีขอบเขตของX ; โทโพโลยีนี้เรียกอีกอย่างว่าโทโพโลยีคู่แบบเข้มแข็งและเป็นโทโพโลยี "เริ่มต้น" ที่วางอยู่บนปริภูมิคู่แบบต่อเนื่อง (เว้นแต่จะระบุโทโพโลยีอื่น) ถ้าXเป็นปริภูมิบรรทัดฐาน ปริภูมิคู่แบบเข้มแข็งของXก็คือปริภูมิคู่แบบต่อเนื่อง${\displaystyle X^{\prime }}$ด้วยโทโพโลยีบรรทัดฐานปกติของมันไบดวลของXซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle X^{\prime \prime }}$เป็นคู่ที่แข็งแกร่งของ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$นั่นคือ มันคือพื้นที่ว่าง${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$[ ^{1 ]​}

สำหรับใดๆ${\displaystyle x\in X,}$อนุญาต${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ถูกกำหนดโดย${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)}$, ที่ไหน${\displaystyle J_{x}}$เรียกว่าแผนที่การประเมินที่xเนื่องจาก${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$เนื่องจากมีความต่อเนื่องอย่างแน่นอน จึงสรุปได้ว่า${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$. เนื่องจาก${\displaystyle X^{\prime }}$แยกจุดบนแกน X บน แผนที่${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$กำหนดโดย${\displaystyle J(x):=J_{x}}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง โดยแผนที่นี้เรียกว่าแผนที่การประเมินหรือแผนที่มาตรฐานแผนที่นี้ได้รับการแนะนำโดยHans Hahnในปี พ.ศ. 2460 ^{[ 2 ]}

เราเรียกX ว่าเซมิรีเฟล็กทีฟถ้า${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (หรือเทียบเท่ากับฟังก์ชันทั่วถึง ) และเราเรียกX ว่า ฟังก์ชันสะท้อนกลับถ้านอกจากนี้${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของ TVS ^{[ 1 ]} ถ้าXเป็นปริภูมิบรรทัดฐานJเป็นการฝัง TVS เช่นเดียวกับไอโซเมตรีบนช่วงของมัน ยิ่งไปกว่านั้น ตามทฤษฎีบทของโกลด์สไตน์ (พิสูจน์ในปี 1938) ช่วงของJเป็นเซตย่อยหนาแน่นของบิดูอัล${\displaystyle \left(X^{\prime \prime },\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)\right)}$[ ^{2 ]} พื้นที่นอร์มเป็นพื้นที่สะท้อนกลับได้ก็ต่อเมื่อเป็นพื้นที่สะท้อนกลับแบบกึ่ง^{พื้นที่}บานาคเป็นพื้นที่สะท้อนกลับได้ก็ต่อเมื่อลูกบอลหน่วยปิดของมันเป็น${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-กะทัดรัด^{[ 2 ]}

ให้Xเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเหนือฟิลด์จำนวน${\displaystyle \mathbb {F} }$(ของจำนวนจริง)${\displaystyle \mathbb {R} }$หรือจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} }$) พิจารณาพื้นที่คู่ที่แข็งแกร่ง ของมัน${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง ทั้งหมด${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$และมีโครงสร้างทางโทโพโลยีที่แข็งแกร่ง${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$นั่นคือ โทโพโลยีของการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยที่มีขอบเขตในXปริภูมิ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ปริภูมิเว้าเฉพาะที่) ดังนั้นจึงสามารถพิจารณาปริภูมิคู่ที่แข็งแกร่งของมันได้${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ซึ่งเรียกว่าปริภูมิทวิภาคที่แข็งแกร่งสำหรับXประกอบด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องทั้งหมด${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to {\mathbb {F} }}$และมีโครงสร้างทางโทโพโลยีที่แข็งแกร่ง${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right)}$เวกเตอร์แต่ละตัว${\displaystyle x\in X}$สร้างแผนที่${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$โดยใช้สูตรดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}$$

นี่คือฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบน${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$นั่นคือ${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$จะได้แผนที่ที่เรียกว่าแผนที่การประเมินหรือการฉีดแบบแคนอนิก :

$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$

ซึ่งเป็นแผนที่เชิงเส้น ถ้าXเป็นเซตเว้าเฉพาะที่ จากทฤษฎีบทฮาห์น-บานาคจะได้ว่าJเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและเปิด (นั่นคือ สำหรับแต่ละย่านใกล้เคียงของศูนย์)${\displaystyle U}$ในXมีบริเวณใกล้เคียงของศูนย์Vอยู่${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$โดยที่${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$แต่ก็อาจจะไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึงและ/หรือฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องก็ได้

พื้นที่นูนเฉพาะที่${\displaystyle X}$เรียกว่าแบบกึ่งสะท้อนกลับหากแผนที่การประเมิน ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง) เรียกว่าเป็นฟังก์ชันสะท้อนกลับหากแผนที่การประเมินค่า ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$เป็นฟังก์ชันทั่วถึงและต่อเนื่อง ซึ่งในกรณีนี้ Jจะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของ TVS )