ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน พีชคณิตตัวดำเนินการสะท้อนกลับ A คือพีชคณิตตัวดำเนินการที่มีปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง เพียงพอ ที่จะบ่งบอกลักษณะเฉพาะของมัน กล่าวคือ A เป็นแบบสะท้อน กลับ ก็ ต่อเมื่อมันเท่ากับพีชคณิตของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตซึ่งทำให้ปริภูมิย่อยแต่ละอันไม่เปลี่ยนแปลงโดยตัวดำเนินการทุกตัวในA

สิ่งนี้ไม่ควรสับสนกับพื้นที่สะท้อนกลับ

พีชคณิตแบบเนสต์เป็นตัวอย่างของพีชคณิตตัวดำเนินการสะท้อนกลับ ในมิติจำกัด พีชคณิตเหล่านี้ก็คือพีชคณิตของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีขนาดที่กำหนด ซึ่งสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ในรูปแบบสามเหลี่ยมบนนั่นเอง

อันที่จริง หากเรากำหนดรูปแบบใด ๆ ของสมาชิกใน เมทริกซ์ขนาด n x nที่มีแนวทแยงมุมเป็นองค์ประกอบแล้ว เซตของ เมทริกซ์ขนาด n x n ทั้งหมด ที่มีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ในรูปแบบนี้จะก่อให้เกิดพีชคณิตสะท้อนกลับ

ตัวอย่างของพีชคณิตที่ไม่สะท้อนกลับคือเซตของเมทริกซ์ 2 × 2

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in \mathbb {C} \right\}.}$

พีชคณิตนี้มีขนาดเล็กกว่าพีชคณิตเนสต์

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\ :\ a,b,c\in \mathbb {C} \right\}}$

แต่มีปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงเหมือนกัน ดังนั้นจึงไม่สะท้อนกลับ

ถ้าTเป็น เมทริกซ์ n x n ที่กำหนดไว้ แล้ว เซตของพหุนามทั้งหมดในTและตัวดำเนินการเอกลักษณ์จะประกอบกันเป็นพีชคณิตตัวดำเนินการเอกลักษณ์ ทฤษฎีบทของเดดเดนส์และฟิลล์มอร์กล่าวว่า พีชคณิตนี้เป็นแบบสะท้อนกลับได้ก็ต่อเมื่อบล็อกที่ใหญ่ที่สุดสองบล็อกในรูปแบบปกติของจอร์แดนของTมีขนาดแตกต่างกันไม่เกินหนึ่ง ตัวอย่างเช่น พีชคณิต

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in \mathbb {C} \right\}}$

ซึ่งเท่ากับเซตของพหุนามทั้งหมดใน

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

และอัตลักษณ์นั้นสะท้อนกลับ

ให้เป็นพีชคณิตตัวดำเนินการแบบ weak*-closed ที่บรรจุอยู่ในB ( H ) ซึ่งเป็นเซตของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตทั้งหมดบนปริภูมิฮิลเบิร์ตHและสำหรับTเป็นตัวดำเนินการใดๆ ในB ( H ) ให้ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \beta (T,{\mathcal {A}})=\sup \left\{\left\|P^{\perp }TP\right\|\ :\ P{\mbox{ เป็นการฉายภาพและ }}P^{\perp }{\mathcal {A}}P=(0)\right\}.}$

สังเกตว่าPเป็นการฉายภาพที่เกี่ยวข้องกับค่าสูงสุด นี้ ก็ต่อเมื่อช่วงของPเป็นปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงของ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

พีชคณิตเป็นแบบสะท้อนกลับก็ต่อเมื่อสำหรับทุกTในB ( H ): ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \beta (T,{\mathcal {A}})=0{\mbox{ หมายความว่า }}T{\mbox{ อยู่ใน }}{\mathcal {A}}.}$

เราสังเกตว่าสำหรับT ใดๆ ในB(H)อสมการต่อไปนี้เป็นจริง:

${\displaystyle \beta (T,{\mathcal {A}})\leq {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}}).}$

นี่คือระยะห่างของTจากพีชคณิต กล่าวคือค่าบรรทัดฐานที่เล็กที่สุดของตัวดำเนินการTAโดยที่ A วิ่งผ่านพีชคณิต เราเรียกว่าไฮเปอร์รีเฟล็กซีฟถ้ามีค่าคงที่Kเช่นนั้น สำหรับทุกตัวดำเนินการTในB ( H ) ${\displaystyle {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})\leq K\beta (T,{\mathcal {A}}).}$

ค่า Kที่เล็กที่สุดดังกล่าวเรียกว่าค่าคงที่ระยะทางสำหรับพีชคณิตตัวดำเนินการแบบไฮเปอร์รีเฟล็กซีฟจะเป็นแบบรีเฟล็กซีฟโดยอัตโนมัติ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ในกรณีของพีชคณิตสะท้อนของเมทริกซ์ที่มีสมาชิกไม่เป็นศูนย์ซึ่งระบุโดยรูปแบบที่กำหนด ปัญหาของการหาค่าคงที่ระยะทางสามารถเขียนใหม่ได้เป็นปัญหาการเติมเมทริกซ์: ถ้าเราเติมสมาชิกในส่วนเติมเต็มของรูปแบบด้วยสมาชิกใดๆ การเลือกสมาชิกในรูปแบบใดที่จะให้ค่าบรรทัดฐานของตัวดำเนินการ ที่เล็ก ที่สุด

• พีชคณิตสะท้อนแบบมิติจำกัดทุกตัวล้วนเป็นพีชคณิตสะท้อนขั้นสูง อย่างไรก็ตาม มีตัวอย่างของพีชคณิตตัวดำเนินการสะท้อนแบบมิติอนันต์บางตัวที่ไม่ใช่พีชคณิตสะท้อนขั้นสูง
• ค่าคงที่ระยะทางสำหรับพีชคณิตหนึ่งมิติคือ 1
• พีชคณิตแบบเนสต์เป็นแบบไฮเปอร์รีเฟล็กซีฟ โดยมีค่าคงที่ระยะทางเท่ากับ 1
• พีชคณิตของฟอน นอยมันน์จำนวนมากมีคุณสมบัติสะท้อนกลับสูง แต่ยังไม่ทราบแน่ชัดว่าทั้งหมดมีคุณสมบัตินี้หรือไม่
• พีชคณิตฟอนนอยมันน์ ประเภทIเป็นแบบไฮเปอร์รีเฟล็กซีฟ โดยมีค่าคงที่ระยะทางไม่เกิน 2

• ปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลง
• แลตทิซซับสเปซ
• โครงตาข่ายพื้นที่ย่อยสะท้อนกลับ
• พีชคณิตรัง