ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตนามธรรมการปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์Kคือส่วนขยายเชิงพีชคณิตของKที่ปิดเชิงพีชคณิตมันเป็นหนึ่งในหลายๆการปิดในทางคณิตศาสตร์

โดยใช้ทฤษฎีบทของ Zorn ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}หรือทฤษฎีบทอัลตราฟิลเตอร์^{ที่อ่อนกว่า [} 4 ^{] [ 5 ] สามารถ} แสดงได้ว่าทุกฟิลด์มีส่วนปิดเชิงพีชคณิตและส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์K นั้น มีเพียงหนึ่งเดียวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมที่ตรึงสมาชิกทุกตัวของK ไว้ เนื่องจากความเป็นเอกลักษณ์ที่สำคัญนี้ เราจึงมักพูดถึงส่วนปิดเชิงพีชคณิตของKมากกว่าส่วนปิดเชิงพีชคณิตของK

การปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์Kสามารถคิดได้ว่าเป็นส่วนขยายเชิงพีชคณิตที่ใหญ่ที่สุดของKเพื่อให้เห็นภาพนี้ โปรดสังเกตว่า ถ้าLเป็นส่วนขยายเชิงพีชคณิตใดๆ ของKแล้ว การปิดเชิงพีชคณิตของLก็จะเป็นการปิดเชิงพีชคณิตของK ด้วย ดังนั้นLจึงอยู่ภายในการปิดเชิงพีชคณิตของKการปิดเชิงพีชคณิตของKยังเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่เล็กที่สุดที่บรรจุK ด้วย เพราะถ้าMเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตใดๆ ที่บรรจุKแล้ว สมาชิกของMที่เป็นพีชคณิตเหนือKจะก่อให้เกิดการปิดเชิงพีชคณิตของK

การปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์Kมีจำนวนสมาชิกเท่ากับKถ้าKเป็นอนันต์ และมีจำนวนสมาชิกนับได้เป็นอนันต์ถ้าKเป็นฟิลด์จำกัด^{[ 3 ]}

• ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต กล่าวว่า การปิด เชิงพีชคณิตของฟิลด์จำนวนจริงคือฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน
• การปิด เชิงพีชคณิตของฟิลด์จำนวนตรรกยะคือฟิลด์จำนวนพีชคณิต
• มีฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่นับได้จำนวนมากภายในจำนวนเชิงซ้อน และบรรจุฟิลด์ของจำนวนพีชคณิตอย่างเคร่งครัด ฟิลด์เหล่านี้คือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตของส่วนขยายอดิศัยของจำนวนตรรกยะ เช่น ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตของจำนวนอดิศัย${\displaystyle \mathbf {Q} (\pi )}$
• สำหรับฟิลด์จำกัด ที่ มีอันดับกำลังของ จำนวน เฉพาะการปิดเชิงพีชคณิตเป็น ฟิลด์ อนันต์ที่นับได้ซึ่งมีสำเนาของฟิลด์ที่มีอันดับสำหรับจำนวนเต็ม บวกแต่ละตัว (และในความเป็นจริงคือการรวมกันของสำเนาเหล่านี้) ^{[ 6 ]}${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{n}}$${\displaystyle n}$

ให้เป็นเซตของพหุนาม เอกลักษณ์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ทั้งหมด ในสำหรับแต่ละแนะนำตัวแปรใหม่โดยที่ให้เป็นวงแหวนพหุนามเหนือที่สร้างขึ้นโดยสำหรับทุกและทุกเขียน${\displaystyle S=\{f_{\lambda }\mid \lambda \in \Lambda \}}$${\displaystyle K[x]}$${\displaystyle f_{\lambda }\in S}$${\displaystyle u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}}$${\displaystyle d={\rm {degree}}(f_{\lambda })}$${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle u_{\แลมบ์ดา ,i}}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$${\displaystyle i\leq {\rm {degree}}(f_{\lambda }).}$

${\displaystyle f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]}$

โดยที่. ให้ เป็นไอเดียลในที่สร้างขึ้นโดย. เนื่องจากมีค่าน้อยกว่า อย่างเคร่งครัด ทฤษฎีบทของซอร์นจึงบ่งชี้ว่ามีไอเดียลสูงสุดในที่ประกอบด้วย. ฟิลด์มีคุณสมบัติที่ว่าพหุนามทุกตัวที่มีสัมประสิทธิ์ในจะแยกออกเป็นผลคูณของและดังนั้น จึงมีรากทั้งหมดใน. ในทำนองเดียวกัน สามารถสร้างส่วนขยาย ของ ได้ เป็นต้น การรวมกัน ของส่วนขยายทั้งหมดเหล่านี้คือการปิดเชิงพีชคณิตของเพราะพหุนามใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์ในฟิลด์ใหม่นี้จะมีสัมประสิทธิ์อยู่ใน ที่มีค่า มากพอและจากนั้นรากของมันจะอยู่ในและดังนั้นจึงอยู่ในผลรวมนั้นเอง${\displaystyle r_{\lambda ,j}\in R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r_{\แลมบ์ดา ,j}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle K_{1}=R/M}$${\displaystyle f_{\lambda }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x-(u_{\lambda ,i}+M),}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K_{n+1}}$

สามารถแสดงได้ในทำนองเดียวกันว่า สำหรับเซตย่อยใดๆของจะ มี ฟิลด์แยกย่อยของเหนืออยู่${\displaystyle S}$${\displaystyle K[x]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$

การปิดเชิงพีชคณิตของประกอบด้วยส่วนขยายที่แยกได้ ที่ไม่ซ้ำกัน ของKซึ่งประกอบด้วยส่วนขยายที่แยกได้ (เชิงพีชคณิต) ทั้งหมดของภายในส่วนขยายย่อยนี้เรียกว่าการปิดที่แยกได้ของเนื่องจากส่วนขยายที่แยกได้ของส่วนขยายที่แยกได้นั้นสามารถแยกได้อีก จึงไม่มีส่วนขยายที่แยกได้แบบจำกัดของที่มีดีกรี > 1 กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ บรรจุอยู่ใน ฟิลด์ส่วนขยายเชิงพีชคณิต ที่ปิดแบบแยกได้มันมีเอกลักษณ์ ( จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) ^{[ 7 ]}${\displaystyle K^{\text{alg}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{\text{sep}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{\text{alg}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{\text{sep}}}$${\displaystyle K}$

การปิดแบบแยกส่วนได้จะเป็นการปิดเชิงพีชคณิตแบบสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเป็นฟิลด์สมบูรณ์ เท่านั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะและถ้าเป็นจำนวนอดิศัยเหนือจะเป็นส่วนขยายของฟิลด์เชิงพีชคณิตที่ไม่สามารถแยกส่วนได้${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)}$

โดยทั่วไปกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ของคือกลุ่มกาโลอิสของเหนือ^{[ 8 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{\text{sep}}}$${\displaystyle K}$

• การขยายตัวของ Puiseux
• ฟิลด์ที่สมบูรณ์