ในทางคณิตศาสตร์ข้อสันนิษฐานเรื่องโมดูลาร์ของ Serreซึ่งนำเสนอโดยJean-Pierre Serre ( 1975 , 1987 )ระบุว่าการแทนแบบ Galois สองมิติแบบคี่ที่ไม่สามารถลดทอนได้ บนฟิลด์จำกัดเกิดขึ้นจากรูปแบบโมดูลาร์ ข้อสันนิษฐานเวอร์ชันที่แข็งแกร่งกว่านี้ระบุถึงน้ำหนักและระดับของรูปแบบโมดูลาร์ ข้อสันนิษฐานในกรณีระดับ 1 ได้รับการพิสูจน์โดยChandrashekhar Khareในปี 2005 ^{[ 1 ]}และการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานฉบับเต็มเสร็จสมบูรณ์ร่วมกันโดย Khare และJean-Pierre Wintenbergerในปี 2008 ^{[ 2 ]} 

ข้อสันนิษฐานนี้เกี่ยวข้องกับกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ ของฟิลด์จำนวนตรรกยะ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ให้เป็นการแทนแบบสองมิติที่ไม่สามารถลดทอนได้อย่างสมบูรณ์ และต่อเนื่อง ของบนฟิลด์จำกัด${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle F=\mathbb {F} _{\ell ^{r}}}$

${\displaystyle \rho \colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}(F).}$

นอกจากนี้ สมมติว่าเป็นจำนวนคี่ ซึ่งหมายความว่าภาพของการผันคำนามเชิงซ้อนมีค่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ -1${\displaystyle \rho }$

สำหรับรูปแบบไอเกนโมดูลาร์ มาตรฐานใดๆ

${\displaystyle f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots }$

เกี่ยวกับระดับน้ำหนักและลักษณะเฉพาะของเนเบนไทป์บาง ส่วน${\displaystyle N=N(\rho )}$${\displaystyle k=k(\rho )}$

${\displaystyle \chi \colon \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}}$,

ทฤษฎีบทของชิมูระ เดลิญ และแซร์-เดลิญ เกี่ยวข้องกับการแสดงแทน${\displaystyle f}$

${\displaystyle \rho _{f}\colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}({\mathcal {O}}),}$

โดยที่คือวงแหวนของจำนวนเต็มในส่วนขยายจำกัดของการแสดงแทนนี้มีลักษณะเฉพาะด้วยเงื่อนไขที่ว่า สำหรับจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับเราจะมี${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N\ell }$

${\displaystyle \operatorname {Trace} (\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}}$

และ

${\displaystyle \det(\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).}$

การลดรูปการแสดงผลนี้โดยใช้โมดูลัสของอุดมคติสูงสุดของ จะได้ การแสดงผลแบบโมดูลัสของ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$

ข้อสันนิษฐานของ Serre ยืนยันว่า สำหรับการแสดงแทนใดๆดังที่กล่าวมาข้างต้น จะมีรูปแบบไอเกนแบบโมดูลาร์อยู่เช่นนั้น${\displaystyle \rho }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}\cong \rho }$.

ระดับและน้ำหนักของรูปแบบการคาดเดาถูกกล่าวถึงอย่างชัดเจนในบทความของ Serre นอกจากนี้ เขายังได้อนุมานผลลัพธ์จำนวนหนึ่งจากข้อคาดเดานี้ ซึ่งรวมถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และข้อคาดเดา Taniyama–Weil (หรือ Taniyama–Shimura) ที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทโมดูลาริตี (แม้ว่านี่จะหมายถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ แต่ Serre พิสูจน์ได้โดยตรงจากข้อคาดเดาของเขา)${\displaystyle f}$

รูปแบบที่แข็งแกร่งของสมมติฐานของ Serre อธิบายถึงระดับและน้ำหนักของรูปแบบโมดูลาร์

ระดับที่เหมาะสมที่สุดคือผู้ควบคุมวงดนตรี Artinในการนำเสนอ โดยที่อำนาจถูกถอนออกไปแล้ว${\displaystyle l}$

หลักฐานของกรณีระดับ 1 และน้ำหนักน้อยของการคาดการณ์ได้รับในปี 2547 โดยChandrashekhar KhareและJean-Pierre Wintenberger [ ^{3 ] และ}โดยLuis Dieulefait [ ^{4 ] อย่าง}อิสระ

ในปี พ.ศ. 2548 Chandrashekhar Khare ได้รับการพิสูจน์กรณีระดับ 1 ของการคาดการณ์ของ Serre ^{[ 5 ]}และในปี พ.ศ. 2551 ได้รับการพิสูจน์การคาดการณ์ทั้งหมดโดยร่วมมือกับ Jean-Pierre Wintenberger ^{[ 6 ]}

• การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยไวลส์

• การบรรยาย เรื่องสมมติฐานโมดูลาร์ของ Serre ความยาว 50 นาที โดยKen Ribetเมื่อวันที่ 25 ตุลาคม 2550 ( สไลด์เป็นไฟล์ PDF, สไลด์เวอร์ชันอื่นเป็นไฟล์ PDF)
• การบรรยายเกี่ยวกับการคาดเดาของ Serre