รูปแบบโมดูลาร์

Q: คำนิยาม

โดยทั่วไป [ 2 ] เมื่อกำหนดกลุ่มย่อย Γ 0\}}"> ชม = { z ∈ ซี | ℑ z > 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} |\Im z>0\}} 0\}}"> โดยต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

Q: รูปแบบโมดูลาร์สำหรับ SL(2, Z)

รูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนัก เค {\displaystyle k} สำหรับ กลุ่มโมดูลาร์

Q: การตีความโครงตาข่ายและเส้นโค้งวงรี

รูปแบบมอดูลาร์สามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่าว่าเป็นฟังก์ชัน F จากเซตของ แลตทิซ ใน C ไปยังเซตของ จำนวนเชิงซ้อน ซึ่งตรงตามเงื่อนไขบางประการ:

ในทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์เชิงซ้อน รูป แบบมอดูลาร์ (Modular Form) คือ ฟังก์ชันชนิดหนึ่งของ ตัวแปร จำนวนเชิงซ้อนที่มีสมมาตรสูงในลักษณะเฉพาะ คล้ายกับฟังก์ชันคาบของตัวแปรจริง รูปแบบมอดูลาร์จะซ้ำหรือแปลงรูปในลักษณะใดลักษณะหนึ่งเมื่ออาร์กิวเมนต์ของมันถูกแปลงด้วยการแปลงแบบเฉพาะ แตกต่างจากฟังก์ชันคาบธรรมดา สมมาตรของมันรวมถึงการแปลง เช่น การแทนที่จำนวนเชิงซ้อน $z$ ด้วย $-1/ z$ และกฎการแปลงไม่ใช่สมมาตรที่แน่นอนของฟังก์ชัน แต่คล้ายกับกฎการแปลงของฟังก์ชันกึ่งคาบ (Quasiperiodic Function ) กล่าวคือ ฟังก์ชันจะรับตัวประกอบเพิ่มเติมขึ้นอยู่กับการแปลง รูปแบบมอดูลาร์ทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมที่สำคัญระหว่างการวิเคราะห์เชิงซ้อนทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตรูปแบบมอดูลาร์ยังปรากฏในสาขาอื่นๆ เช่นโทโพโลยีเชิงพีชคณิตการจัดเรียงทรงกลมและทฤษฎีสตริง

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น รูปแบบโมดูลาร์คือฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนระนาบครึ่งบนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน โดยประมาณ โดยสัมพันธ์กับการกระทำของกลุ่มโมดูลาร์และเงื่อนไขการเติบโต รูปแบบโมดูลาร์เป็นกรณีพิเศษของรูปแบบออโตมอร์ฟิกซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนกลุ่มลีที่แปลงได้อย่างดีโดยสัมพันธ์กับการกระทำของกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่อง บางกลุ่ม โดย เป็นการขยายตัวอย่างของกลุ่มโมดูลาร์ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ .

คำว่ารูปแบบโมดูลาร์ในฐานะคำอธิบายที่เป็นระบบ มักจะถูกยกให้เป็นผลงานของErich Heckeความสำคัญของรูปแบบโมดูลาร์ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ได้รับการนำเสนออย่างขบขันในคำพูดที่อาจเป็นเรื่องเล่าปรัมปราที่อ้างถึงMartin Eichlerซึ่งอธิบายว่ารูปแบบโมดูลาร์เป็นการดำเนินการพื้นฐานลำดับที่ห้าในคณิตศาสตร์ ต่อจากการบวก การลบ การคูณ และการหาร^{[ 1 ]}

คำนิยาม

โดยทั่วไป^{[ 2 ]}เมื่อกำหนดกลุ่มย่อย $\Gamma <{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ของดัชนีจำกัด (เรียกว่ากลุ่มเลขคณิต ) รูปแบบมอดูลาร์ของระดับ $\Gamma$ และน้ำหนัก $k$ เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ จากระนาบครึ่งบน ${\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} |\Im z>0\}$ โดยต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

เงื่อนไขออโตมอร์ฟี : สำหรับใดๆ $\gamma \in \Gamma$ เรามี $f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$ [ ^{หมายเหตุ} 1 ^{] และ}

สภาวะการเจริญเติบโต : สำหรับใดๆ $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ ฟังก์ชัน $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$ มีขอบเขตสำหรับ ${\text{im}}(z)\to \infty$ .

นอกจากนี้ รูปทรงโมดูลาร์จะเรียกว่ารูปทรงคัสป์หากตรงตามเงื่อนไขการเติบโตต่อไปนี้:

ภาวะฟันเขี้ยว : สำหรับกรณีใดๆ $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ เรามี $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0$ เช่น ${\text{im}}(z)\to \infty$ .

โปรดทราบว่า $\gamma$ เป็นเมทริกซ์

{\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ),}

ระบุด้วยฟังก์ชัน ${\textstyle \gamma (z)=(az+b)/(cz+d)}$ การที่ฟังก์ชันระบุความสัมพันธ์กับเมทริกซ์ ทำให้การประกอบฟังก์ชันเทียบเท่ากับการคูณเมทริกซ์

รูปแบบโมดูลาร์สำหรับ SL(2, Z)

รูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนัก $k$ สำหรับกลุ่มโมดูลาร์

{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\ ad-bc=1\right\}

เป็นฟังก์ชัน $f$ บนระนาบครึ่งบน ${\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}$ โดยต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้:

$f$ เป็นโฮโลมอร์ฟิกบน ${\mathcal {H}}$ .
สำหรับใดๆ $z\in {\mathcal {H}}$ และเมทริกซ์ใดๆ ใน ${\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )$ เรามี
$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$ .
$f$ มีขอบเขตจำกัดดังนี้ $\operatorname {Im} (z)\to \infty$ .

หมายเหตุ:

น้ำหนัก $k$ โดยทั่วไปจะเป็นจำนวนเต็มบวก
สำหรับเรื่องแปลก $k$ มีเพียงฟังก์ชันศูนย์เท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไขข้อที่สอง
เงื่อนไขข้อที่สามนั้นกล่าวไว้เช่นกันว่า $f$ คือ "โฮโลมอร์ฟิกที่จุดยอด" ซึ่งเป็นศัพท์เฉพาะที่จะอธิบายต่อไปด้านล่าง โดยชัดเจนแล้ว เงื่อนไขนี้หมายความว่ามีอยู่บางอย่าง $M,D>0$ โดยที่ $\operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D$ , ความหมาย $f$ ถูกจำกัดอยู่เหนือเส้นแนวนอนบางเส้น
เงื่อนไขที่สองสำหรับ

S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

อ่าน

f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)

ตามลำดับ เนื่องจาก

S

และ

T

สร้างกลุ่ม

{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )

เงื่อนไขข้อที่สองข้างต้นเทียบเท่ากับสมการทั้งสองนี้

เนื่องจาก $f(z+1)=f(z)$ รูปแบบมอดูลาร์เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ $1$ และดังนั้นจึงมีอนุกรมฟูริเยร์

การตีความโครงตาข่ายและเส้นโค้งวงรี

รูปแบบมอดูลาร์สามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่าว่าเป็นฟังก์ชัน $F$ จากเซตของแลตทิซใน $C$ ไปยังเซตของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งตรงตามเงื่อนไขบางประการ:

ถ้าเราพิจารณาแลตทิซ $Λ = Z α + Z z$ ที่ สร้างขึ้นโดยค่าคงที่ $α$ และตัวแปร $z$ แล้ว $F (Λ)$ จะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของ $z$
ถ้า $α$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ และ $α Λ$ คือแลตทิซที่ได้จากการคูณแต่ละองค์ประกอบของ $Λ$ ด้วย $α$ แล้ว $F (α Λ) = α - k F (Λ)$ โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่ (โดยทั่วไปเป็นจำนวนเต็มบวก) ที่เรียกว่าน้ำหนักของรูปแบบ
ค่าสัมบูรณ์ของ $F$ $(Λ)$ จะยังคงมีค่าจำกัดด้านบน ตราบใดที่ค่าสัมบูรณ์ขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ที่เล็กที่สุดใน $Λ$ มีค่าจำกัดห่างจาก 0

แนวคิดหลักในการ พิสูจน์ความเท่าเทียมกันของนิยามทั้งสองคือ ฟังก์ชัน $F ดังกล่าวถูกกำหนดโดยค่าของมันบนแลตทิซในรูปแบบ$ $Z + Z τ$ โดยที่ $τ \in H$ เนื่องจากเงื่อนไขที่สอง

ตัวอย่าง

ซีรีส์ไอเซนสไตน์

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดจากมุมมองนี้คืออนุกรมไอเซนสไตน์ สำหรับจำนวนเต็มคู่ $k > 2$ แต่ละตัวเรากำหนด $G (Λ)$ ให้เป็นผลรวมของ $λ - k$ $เหนือเวกเตอร์ λ$ ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดของ $Λ$ :

G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.

ดังนั้น $G$ จึงเป็นรูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนัก $k$ สำหรับ $Λ = Z + Z τ$ เรามี

G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},

และ

{\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}

เงื่อนไข $k > 2$ จำเป็นสำหรับการลู่เข้าสำหรับ $k$ ที่เป็นเลขคี่ จะมีการหักล้างกันระหว่าง $λ - k$ และ $(- λ) - k$ ดังนั้นอนุกรมดังกล่าวจึงเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์

II. ฟังก์ชันทีตาของแลตทิซเอกโมดูลาร์คู่

แลตทิซเอกมิติคู่ $L$ ใน $R n$ คือแลตทิซที่สร้างขึ้นจาก เวกเตอร์ $n$ ตัวที่ประกอบเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 และเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่ากำลังสองของความยาวของแต่ละเวกเตอร์ใน $L$ เป็นจำนวนเต็มคู่ เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันทีตา

\vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}

ลู่เข้าเมื่อ Im(z) > 0 และเป็นผลสืบเนื่องมาจากสูตรการรวมแบบปัวซงสามารถแสดงได้ว่าเป็นรูปแบบมอดูลาร์ที่มีน้ำหนัก $n /2$ การสร้างแลตทิซแบบยูนิมอดูลาร์นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย แต่มีวิธีหนึ่งดังนี้: ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย 8 ลงตัว และพิจารณาเวกเตอร์ v ทั้งหมด $ใน$ $Rn$ $โดย$ ที่ $v$ มี $พิกัด$ เป็นจำนวนเต็ม ไม่ว่าจะเป็นเลขคู่ทั้งหมดหรือเลขคี่ทั้งหมด และผลรวมของพิกัดของ $v$ เป็นจำนวนเต็มคู่ เราเรียกแลตทิซนี้ว่า $n$ = $8$ $นี่$ คือแลตทิซที่สร้างขึ้นโดยรากในระบบรากที่เรียกว่าE8เนื่องจากมีเพียงรูปแบบมอดูลาร์เดียวที่มีน้ำหนัก 8 จนถึงการคูณด้วยสเกลาร์

\vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),

แม้ว่าแลตทิซ $L \times L$ และ $L$ จะไม่เหมือนกัน ก็ตาม จอห์น มิลเนอร์ สังเกตว่า ทอรัส 16 มิติที่ได้จากการหาร $R 16$ ด้วยแลตทิซทั้งสองนี้ จึงเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์รีมันน์แบบกะทัดรัด ซึ่งมีสเปกตรัมเหมือน กัน แต่ไม่มีสมมาตร (ดูHearing the shape of a drum )

III. ตัวแยกแยะแบบโมดูลาร์

ฟังก์ชันDedekind etaถูกกำหนดดังนี้

\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.

โดยที่qคือกำลังสองของโนมจากนั้นตัวแยกแยะแบบโมดูลาร์ ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน

\Delta (z)=\eta (z)^{24}=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}

เป็นรูปทรงคัสป์ที่มีน้ำหนัก 12 การมีอยู่ของ 24 เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าแลตทิซของลีชมี 24 มิติข้อสันนิษฐานที่มีชื่อเสียงของรามานุจันกล่าวว่า เมื่อ $Δ(z)$ ถูกขยายเป็นอนุกรมกำลังใน q สัมประสิทธิ์ของ $qp$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ $ใด$ ๆ จะมีค่าสัมบูรณ์ $\leq 2p 11/2 สิ่ง$ นี้ได้รับการยืนยันโดยงานของไอช์เลอร์ชิมูระ คูกะอิฮาระและปิแอร์ เดลิญซึ่งเป็นผลมาจากการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของไวล์ โดยเดลิญ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าบ่งชี้ถึงข้อสันนิษฐานของรามานุจัน

ตัวอย่างที่สองและสามให้เบาะแสบางอย่างเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างรูปแบบมอดูลาร์กับคำถามคลาสสิกในทฤษฎีจำนวน เช่น การแทนจำนวนเต็มด้วยรูปแบบกำลังสองและฟังก์ชันการแบ่งส่วน ความเชื่อมโยงเชิงแนวคิดที่สำคัญระหว่างรูปแบบมอดูลาร์กับทฤษฎีจำนวนนั้นมาจากทฤษฎีตัวดำเนินการของเฮคเคซึ่งยังให้ความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีรูปแบบมอดูลาร์กับทฤษฎีการแทนอีก ด้วย

ฟังก์ชันแบบโมดูลาร์

ฟังก์ชันมอดูลาร์คือฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับกลุ่มมอดูลาร์ แต่ไม่มีเงื่อนไขว่าต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในระนาบครึ่งบน (และข้อกำหนดอื่นๆ) กล่าวคือ ฟังก์ชันมอดูลาร์สำหรับกลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัด $\Gamma$ ของกลุ่มโมดูลาร์คือฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนระนาบครึ่งบนซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของ $\Gamma$ และเป็นเมโรเมอร์ฟิกที่จุดยอดแหลม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนเส้นโค้งโมดูลาร์แบบกระชับที่เกี่ยวข้องกับ $\Gamma$ .

สำหรับกลุ่มมอดูลาร์แบบสมบูรณ์ ฟังก์ชันมอดูลาร์จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงของกลุ่มมอดูลาร์ และมีการขยายแบบเมโรเมอร์ฟิกที่จุดยอดแหลม $i\infty$ ในแง่ของ $q=\exp(2\pi iz)$ ซึ่งหมายความว่า การขยาย $q$ ของมัน มีพจน์กำลังลบเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น

เมื่อน้ำหนัก $k$ เป็นศูนย์ สามารถแสดงได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Liouvilleว่ารูปแบบมอดูลาร์เพียงอย่างเดียวคือฟังก์ชันคงที่ อย่างไรก็ตาม การผ่อนปรนข้อกำหนดที่ว่า $f$ ต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกนำไปสู่แนวคิดของฟังก์ชันมอดูลาร์ฟังก์ชัน $f : H \to C$ เรียกว่ามอดูลาร์ถ้ามันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

$f$ เป็นเมโรเมอร์ฟิกในระนาบครึ่งบน เปิด $H$
สำหรับเมทริกซ์จำนวนเต็มทุกเมทริกซ์ ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ในกลุ่มโมดูลาร์ $Γ$ , $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$ .
เงื่อนไขที่สองบ่งชี้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคาบ และดังนั้นจึงมีอนุกรมฟูริเยร์เงื่อนไขที่สามคืออนุกรมนี้อยู่ในรูปแบบ

f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.

มักเขียนในแง่ของ $q=\exp(2\pi iz)$ (จัตุรัสของเขตปกครอง ) ดังนี้:

f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.

สิ่งนี้เรียกอีกอย่างว่าการขยาย qของ $f$ สัมประสิทธิ์ $a_{n}$ เรียกว่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของ $f$ และจำนวน $m$ เรียกว่าอันดับของขั้วของ $f$ ที่ $i \infty$ เงื่อนไขนี้เรียกว่า "เมโรเมอร์ฟิกที่จุดยอดแหลม" หมายความว่ามีเพียงสัมประสิทธิ์ลบn จำนวนจำกัดเท่านั้น ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น การขยาย qจึงมีขอบเขตล่าง รับประกันว่ามันเป็นเมโรเมอร์ฟิกที่ $q = 0$ ^{[หมายเหตุ 2 ]}

สำหรับกลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัด แนวคิดเดียวกันนี้แสดงออกมาโดยการกำหนดให้ต้องมีเมโรมอร์ฟิกที่จุดยอดแต่ละจุดของกลุ่มย่อย เงื่อนไขนี้ทำให้สามารถพิจารณาฟังก์ชันเป็นเมโรมอร์ฟิกบนเส้นโค้งโมดูลาร์แบบกระชับที่สอดคล้องกันได้^{[ 3 ]}

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายความหมายของฟังก์ชันมอดูลาร์คือการใช้เส้นโค้งวงรี : แลตทิ $ซ Λ$ ทุกตัว กำหนดเส้นโค้งวงรี $C /Λ$ บน $C$ ; แลตทิซสองตัวกำหนด เส้นโค้งวงรี ที่สม isomorphic กันได้ ก็ต่อเมื่อเส้นโค้งหนึ่งได้มาจากอีกเส้นโค้งหนึ่งโดยการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน $α$ ที่ไม่ใช่ศูนย์ดังนั้น ฟังก์ชันมอดูลาร์จึงสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนเซตของชั้น isomorphism ของเส้นโค้งวงรี ตัวอย่างเช่นj-invariant $j (z)$ ของเส้นโค้งวงรี ซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันบนเซตของเส้นโค้งวงรีทั้งหมด เป็นฟังก์ชันมอดูลาร์ ในเชิงแนวคิดแล้วฟังก์ชัน มอดูลาร์สามารถคิดได้ว่าเป็นฟังก์ชันบนปริภูมิ โมดูลัส ของ ชั้น isomorphism ของเส้นโค้งวงรีเชิงซ้อน

สำหรับกลุ่มมอดูลาร์ทั้งหมด รูปแบบมอดูลาร์ $f$ ‍ ที่ เป็นศูนย์ที่ $q = 0$ (หรือเทียบเท่ากับ $a = 0$ หรือเขียนอีกแบบได้ว่า $z = i \infty$ ) เรียกว่ารูปแบบคัสป์ ( Spitzenformในภาษาเยอรมัน ) สำหรับกลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัดของกลุ่มมอดูลาร์ รูปแบบคัสป์คือรูปแบบมอดูลาร์ที่เป็นศูนย์ที่ทุกจุดคัสป์ของกลุ่มย่อยนั้น

หน่วยโมดูลาร์คือฟังก์ชันโมดูลาร์ที่มีขั้วและศูนย์จำกัดอยู่ที่จุดยอด^{[ 4 ]}

แบบฟอร์มโมดูลาร์สำหรับกลุ่มทั่วไป

สมการเชิงฟังก์ชัน กล่าวคือ พฤติกรรมของfเทียบกับ $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ สามารถผ่อนปรนได้โดยกำหนดให้ใช้เฉพาะกับเมทริกซ์ในกลุ่มขนาดเล็กเท่านั้น

รูปแบบโมดูลาร์สำหรับ $G$ ที่มีน้ำหนักkคือฟังก์ชันบนHที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันข้างต้นสำหรับเมทริกซ์ทั้งหมดใน $G$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนHและที่จุดยอดแหลมทั้งหมดของ $G$ นอกจากนี้ รูปแบบโมดูลาร์ที่หายไปที่จุดยอดแหลมทั้งหมดเรียกว่ารูปแบบจุดยอดแหลมสำหรับ $G ปริภูมิเวกเตอร์$ Cของรูปแบบโมดูลาร์และรูปแบบจุดยอดแหลมที่มีน้ำหนักkจะถูกแทนด้วย $M (G)$ และ $S (G)$ ตามลำดับ ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนG \ H ^∗เรียกว่าฟังก์ชันโมดูลาร์สำหรับ $G$ ในกรณีที่G = Γ ( N ) พวกมันจะถูกเรียกว่ารูปแบบโมดูลาร์/จุดยอดแหลมและฟังก์ชันระดับN ด้วย สำหรับ $G = Γ(1) = SL(2, Z)$ สิ่งนี้จะให้คำจำกัดความที่กล่าวถึงข้างต้นกลับคืนมา

การตีความทางเรขาคณิต

พื้นผิวรีมันน์

ให้ $G$ เป็นกลุ่มย่อยของ $SL(2, Z)$ ที่มีดัชนี จำกัด กลุ่ม $G ดังกล่าว$ จะกระทำต่อHในลักษณะเดียวกับ $SL(2, Z)$ ปริภูมิเชิงทอพอโลยีผลหารG \ Hสามารถแสดงได้ว่าเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟโดยทั่วไปแล้วมันจะไม่กะทัดรัด แต่สามารถทำให้กะทัดรัดได้โดยการเพิ่มจุดจำนวนจำกัดที่เรียกว่าจุดยอดแหลม จุด เหล่านี้อยู่ที่ขอบของHกล่าวคือในQ ∪{∞} ^{[หมายเหตุ 3 ]}ซึ่งมีองค์ประกอบพาราโบลิกของ $G$ (เมทริกซ์ที่มีร่องรอย ±2) ที่ตรึงจุดนั้นไว้ สิ่งนี้ทำให้ได้ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กะทัดรัดG \ H ^∗ยิ่งไปกว่านั้น มันยังสามารถมีโครงสร้างของพื้นผิวรีมันน์ซึ่งทำให้สามารถพูดถึงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกและเมโรเมอร์ฟิกได้

ตัวอย่างที่สำคัญคือ สำหรับจำนวนเต็มบวกN ใดๆ กลุ่มย่อยความสอดคล้องกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง

{\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}

สำหรับG = Γ ( N ) หรือ $Γ(N)$ พื้นที่G \ HและG \ H ^∗จะถูกแทนด้วยY ( N ) และX ( N ) และY ( N ), X ( N ) ตามลำดับ

เรขาคณิตของG \ H ^∗สามารถเข้าใจได้โดยการศึกษาโดเมนพื้นฐานสำหรับGกล่าวคือ เซตย่อยD ⊂ Hโดยที่Dตัดกับวงโคจรแต่ละวงของ การกระทำ $G$ บนHเพียงครั้งเดียว และการปิดของDพบกับวงโคจรทั้งหมด ตัวอย่างเช่นสามารถคำนวณจีนัสของG \ H ^{∗ ได้}^{[ 5 ]}

ทฤษฎีพื้นผิวรีมันน์สามารถนำไปใช้กับG \ H ^∗เพื่อให้ได้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับรูปแบบและฟังก์ชันโมดูลาร์ ตัวอย่างเช่น พื้นที่ $M (G)$ และ $S (G)$ มีมิติจำกัด และสามารถคำนวณมิติของพื้นที่เหล่านี้ได้ด้วยทฤษฎีบทรีมันน์-รอช^ในแง่ของเรขาคณิตของ การกระทำ $G$ บนH ^{[ 6} ] ตัวอย่างเช่น

\dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}

ที่ไหน $\lfloor \cdot \rfloor$ หมายถึงฟังก์ชันพื้นและ $k$ เท่ากัน

ฟังก์ชันโมดูลาร์ประกอบเป็นฟิลด์ของฟังก์ชันของพื้นผิวรีมันน์ และด้วยเหตุนี้จึงสร้างฟิลด์ที่มีระดับการเคลื่อนย้ายหนึ่ง (เหนือC ) หากฟังก์ชันโมดูลาร์fไม่ใช่ 0 โดยสมบูรณ์ ก็สามารถแสดงได้ว่าจำนวนศูนย์ของfเท่ากับจำนวนขั้วของfในการปิดของบริเวณพื้นฐานR สำหรับกลุ่มย่อยความสอดคล้อง $Γ (N)$ ฟิลด์ของฟังก์ชันโมดูลาร์บน^X $0 N) ถูก$ สร้างขึ้นโดยฟังก์ชัน $j (z)$ และ $j (Nz)$ [ ^{7 ]}

มัดสาย

รูปแบบโมดูลาร์ยังสามารถตีความในเชิงเรขาคณิตได้ว่าเป็นส่วนตัดของมัดเส้นบนเส้นโค้งโมดูลาร์หรือบนสแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งวงรีในการตีความนี้ มัดเส้นที่เกี่ยวข้องคือมัดฮอดจ์ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์ $ω$ และรูปแบบโมดูลาร์ที่มีน้ำหนัก $k$ คือส่วนตัดของ $ω \otimes k$ ที่มีเงื่อนไขโฮโลมอร์ฟีที่เหมาะสม ณ จุดยอดแหลม

โดยไอโซมอร์ฟิซึมของ Kodaira–Spencerกำลังสองของบันเดิล Hodge จะถูกระบุว่าเป็นบันเดิลแคนอนิกเชิงลอการิทึมของเส้นโค้งมอดูลาร์ กล่าวคือ บัน เดิลแคนอนิกที่ บิดด้วยตัวหารแบบ คัส พิดั ล ใน เชิงสัญลักษณ์ บนเส้นโค้งมอดูลาร์แบบกระชับ $X$ ที่มีตัวหารแบบคัสพิดัล $D$ ความสัมพันธ์นี้เขียนได้ดังนี้

\omega ^{\otimes 2}\cong K_{X}(D).

แนวคิดก็คือ สำหรับฟอร์มมอดูลาร์ $f$ ที่มีน้ำหนักสอง ฟอร์มหนึ่ง $f(z)dz$ จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่มมอดูลาร์ ที่จุดคัสป์จะให้ค่าอนุพันธ์ลอการิทึม ในขณะที่ฟอร์มคัสป์จะให้ค่าอนุพันธ์โฮโลมอร์ฟิก

มิติของพื้นที่ของรูปแบบโมดูลาร์สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทRiemann–Roch ^{[ 8 ]}

การตีความนี้คล้ายคลึงกับบทบาทของพหุนามเอกพันธุ์บนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟพหุนามดังกล่าวไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดาบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ เพราะมันเปลี่ยนแปลงไปตามตัวประกอบสเกลาร์เมื่อเวกเตอร์พื้นฐานถูกปรับขนาด ในทางเรขาคณิต มันถูกตีความว่าเป็นส่วนของมัดเส้นตรง รูปแบบมอดูลาร์มีพฤติกรรมคล้ายกัน ยกเว้นในกรณีที่น้ำหนักเป็นศูนย์ กฎการแปลงของมันป้องกันไม่ให้มันเป็นฟังก์ชันธรรมดาบนเส้นโค้งมอดูลาร์ แต่ทำให้สามารถตีความได้ว่าเป็นส่วนของกำลังของมัดฮอดจ์

วงแหวนของรูปทรงโมดูลาร์

สำหรับกลุ่มย่อย $Γ$ ของ $SL(2, Z)$ วงแหวนของฟอร์มมอดูลาร์คือวงแหวนแบบแบ่งระดับที่สร้างขึ้นโดยฟอร์มมอดูลาร์ของ $Γ$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า $M (Γ)$ คือปริภูมิเวกเตอร์ของฟอร์มมอดูลาร์ที่มีน้ำหนัก $k$ แล้ววงแหวนของฟอร์มมอดูลาร์ของ $Γ$ คือวงแหวนแบบแบ่งระดับ $M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )$ .

วงแหวนของรูปแบบมอดูลาร์ของกลุ่มย่อยคอนกรุเอนซ์ของ $SL(2, Z)$ ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเนื่องจากผลลัพธ์ของPierre DeligneและMichael Rapoportวงแหวนของรูปแบบมอดูลาร์ดังกล่าวถูกสร้างขึ้นด้วยน้ำหนักไม่เกิน 6 และความสัมพันธ์ถูกสร้างขึ้นด้วยน้ำหนักไม่เกิน 12 เมื่อกลุ่มย่อยคอนกรุเอนซ์มีรูปแบบมอดูลาร์ที่มีน้ำหนักคี่ไม่เป็นศูนย์ และขอบเขตที่สอดคล้องกันคือ 5 และ 10 เมื่อไม่มีรูปแบบมอดูลาร์ที่มีน้ำหนักคี่ไม่เป็นศูนย์

โดยทั่วไปแล้ว จะมีสูตรสำหรับกำหนดขอบเขตของน้ำหนักของตัวสร้างของวงแหวนของรูปแบบมอดูลาร์และความสัมพันธ์ของมันสำหรับกลุ่มฟุค เซียนใด ๆ

ประเภท

รูปแบบใหม่

รูปแบบใหม่เป็นพื้นที่ย่อยของรูปแบบโมดูลาร์^{[ 9 ]}ของระดับคงที่ $N$ ซึ่งไม่สามารถสร้างจากรูปแบบโมดูลาร์ของชั้นล่างได้ $M$ การแบ่ง $N$ รูปแบบอื่นๆ เรียกว่ารูปแบบเก่ารูปแบบเก่าเหล่านี้สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้ข้อสังเกตต่อไปนี้: ถ้า $M\mid N$ แล้ว $\Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)$ โดยการรวมรูปแบบโมดูลาร์แบบย้อนกลับ $M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))$ .

รูปทรงปลายแหลม

รูปแบบคัสป์ ( cusp form)คือรูปแบบมอดูลาร์ (modular form) ที่มีค่าเป็นศูนย์ที่จุดคัสป์ทั้งหมด สำหรับกลุ่มมอดูลาร์เต็ม (full modular group) ซึ่งมีจุดคัสป์เพียงจุดเดียว นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าค่าสัมประสิทธิ์คงที่ในอนุกรมฟูริเยร์ของกลุ่มนั้นเป็นศูนย์

การสรุปโดยทั่วไป

นอกจากความหมายแบบดั้งเดิมแล้ว คำว่า "ฟังก์ชันโมดูลาร์" ยังมีการใช้งานอื่นๆ อีกหลายอย่าง เช่น ในทฤษฎีการวัดแบบฮาร์ ฟังก์ชันโมดูลาร์คือฟังก์ชัน $Δ(g)$ ที่กำหนดโดยการกระทำของการผันแปร

รูปแบบมาสส์เป็นฟังก์ชันไอเก นเชิงวิเคราะห์จริง ของตัวดำเนินการลาปลาเซียนแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ส่วนโฮโลมอร์ฟิกของรูปแบบคลื่นมาสส์แบบอ่อนบางรูปแบบนั้นโดยพื้นฐานแล้วคือฟังก์ชันม็อกทีตา ของรามานุจัน กลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยของ $SL(2,$ $Z$ $)$ สามารถนำมาพิจารณาได้

รูปแบบมอดูลาร์ของฮิลเบิร์ตคือฟังก์ชันใน ตัวแปร nตัว โดยแต่ละตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อนในระนาบครึ่งบน ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์มอดูลาร์สำหรับเมทริกซ์ 2 × 2 ที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์จำนวนจริงทั้งหมด

รูปแบบมอดูลาร์ของซีเกลมีความสัมพันธ์กับกลุ่มซิมเพล็กติก ขนาดใหญ่ ในลักษณะเดียวกับที่รูปแบบมอดูลาร์แบบคลาสสิกมีความสัมพันธ์กับ $SL(2, R)$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีความสัมพันธ์กับวาไรตี้อาเบเลียนในความหมายเดียวกับที่รูปแบบมอดูลาร์แบบคลาสสิก (ซึ่งบางครั้งเรียกว่ารูปแบบมอดูลาร์เชิงวงรีเพื่อเน้นย้ำประเด็นนี้) มีความสัมพันธ์กับเส้นโค้งเชิงวงรี

รูปแบบจาโคบีเป็นการผสมผสานระหว่างรูปแบบมอดูลาร์และฟังก์ชันเชิงวงรี ตัวอย่างของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นแบบคลาสสิกมาก เช่น ฟังก์ชันทีตาของจาโคบีและสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของรูปแบบมอดูลาร์ของซีเกลที่มีจีนัสสอง แต่การสังเกตว่ารูปแบบจาโคบีมีทฤษฎีทางเลขคณิตที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีรูปแบบมอดูลาร์ทั่วไปนั้นเป็นเรื่องที่ค่อนข้างใหม่

รูปแบบอัตโนมัติขยายแนวคิดของรูปแบบโมดูลาร์ไปสู่กลุ่มลี ทั่วไป

อินทิก รัลมอดูลาร์ที่มีน้ำหนัก $k$ คือฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนระนาบครึ่งบนที่มีการเติบโตปานกลางที่อนันต์ ซึ่งไม่สามารถเป็นมอดูลาร์ที่มีน้ำหนัก $k$ โดยฟังก์ชันตรรกยะได้

ปัจจัยออโตมอร์ฟิกเป็นฟังก์ชันในรูปแบบ $\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}$ ซึ่งใช้ในการสรุปความสัมพันธ์ของโมดูลาร์ที่กำหนดรูปแบบโมดูลาร์ เพื่อให้

f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).

ฟังก์ชัน $\varepsilon (a,b,c,d)$ เรียกว่าเนเบนไทปัสของรูปแบบมอดูลาร์ ฟังก์ชันต่างๆ เช่นฟังก์ชันอีตาของเดเดคินด์ซึ่งเป็นรูปแบบมอดูลาร์ที่มีน้ำหนัก 1/2 อาจถูกครอบคลุมโดยทฤษฎีนี้ได้โดยการอนุญาตให้มีตัวประกอบอัตโนมัติ

ประวัติศาสตร์

ทฤษฎีรูปแบบโมดูลาร์ได้รับการพัฒนาขึ้นในสี่ช่วงเวลา:

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีฟังก์ชันเชิงวงรีในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้า
โดยเฟลิกซ์ ไคลน์และคนอื่นๆ ในช่วงปลายศตวรรษที่สิบเก้า เมื่อแนวคิดเรื่องรูปแบบอัตโนมัติเริ่มเป็นที่เข้าใจ (สำหรับตัวแปรหนึ่งตัว)
โดยเอริช เฮคเค่ประมาณปี 1925
ในช่วงทศวรรษ 1960 ความต้องการของทฤษฎีจำนวนและการกำหนดทฤษฎีบทมอดูลาร์โดยเฉพาะ ทำให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่ารูปแบบมอดูลาร์มีความเกี่ยวข้องอย่างลึกซึ้ง

ยูทากะ ทานิยามะและโกโร ชิมูระค้นพบความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างรูปแบบมอดูลาร์บางรูปแบบกับเส้นโค้งวงรีโรเบิร์ต แลงแลนด์สได้ต่อยอดแนวคิดนี้ในการสร้างโครงการแลงแลนด์ส อันกว้างขวางของเขา ซึ่งกลายเป็นหนึ่งในโครงการวิจัยที่มีผลกระทบและมีอิทธิพลมากที่สุดในคณิตศาสตร์

ในปี 1994 แอนดรูว์ ไวลส์ใช้รูปแบบมอดูลาร์เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในปี 2001 เส้นโค้งวงรีทั้งหมดได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นมอดูลาร์เหนือจำนวนตรรกยะ ในปี 2013 เส้นโค้งวงรีได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นมอดูลาร์เหนือฟิลด์กำลัง สองจริง ในปี 2023 เส้นโค้งวงรีได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นมอดูลาร์เหนือฟิลด์กำลังสองจินตนาการประมาณครึ่งหนึ่ง รวมถึงฟิลด์ที่เกิดจากการรวมจำนวนตรรกยะกับรากที่สองของจำนวนเต็มลงไปจนถึง −5 ^{[ 10 ]}

ดูเพิ่มเติม

การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยไวลส์

หมายเหตุ

↑ผู้เขียนบางท่านใช้ข้อกำหนดที่แตกต่างกัน โดยอนุญาตให้มีค่าคงที่เพิ่มเติมขึ้นอยู่กับเท่านั้น $\gamma$ ดูตัวอย่างเช่น"DLMF: §23.15 คำจำกัดความ ‣ ฟังก์ชันมอดูลาร์ ‣ บทที่ 23 ฟังก์ชันวงรีและมอดูลาร์ของไวเออร์สตรัส " dlmf.nist.gov สืบค้นเมื่อ2023-07-07
↑ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกจะมีพจน์เลขชี้กำลังลบในอนุกรมลอเรนต์หรือ การขยาย qได้ เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น และจะมี ขั้วได้มากที่สุดเพียงที่ $q = 0$ เท่านั้น ไม่ใช่ภาวะเอกฐานที่สำคัญเหมือนกับ $exp(1/ q)$
↑นี่คือเมทริกซ์ ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ส่งค่า ∞ ไปยังa / c

การอ้างอิง

↑ Cepelewicz, Jordana (2023-09-21). "ดูสิ ฟอร์มโมดูลาร์ 'การดำเนินการพื้นฐานที่ห้า' ของคณิตศาสตร์"นิตยสารQuanta สืบค้นเมื่อ2025-02-25
↑ Lan, Kai-Wen. "Cohomology of Automorphic Bundles" (PDF) . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 1 สิงหาคม 2020
↑ Chandrasekharan, K. (1985). ฟังก์ชันเชิงวงรี . Springer-Verlag. หน้า15. ISBN 3-540-15295-4.
↑ คูเบิร์ต, แดเนียล เอส. ; Lang, Serge (1981), หน่วยโมดูลาร์ , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [หลักการพื้นฐานของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์] เล่ม 1 244, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , p. 24, ไอเอสบีเอ็น 978-0-387-90517-4, MR 0648603 , Zbl 0492.12002
↑ Gunning, Robert C. (1962), Lectures on modular forms , Annals of Mathematics Studies , vol. 48, Princeton University Press หน้า 13
↑ Shimura, Goro (1971), บทนำสู่ทฤษฎีเลขคณิตของฟังก์ชันอัตโนมัติ , สิ่งพิมพ์ของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งญี่ปุ่น, เล่มที่11, โตเกียว: Iwanami Shoten ทฤษฎีบท 2.33, ข้อเสนอ 2.26
↑ Milne, James (2010), ฟังก์ชันโมดูลาร์และรูปแบบโมดูลาร์ (PDF) , หน้า88 ทฤษฎีบท 6.1
↑ Milne, James (2017). "ฟังก์ชันโมดูลาร์และรูปแบบโมดูลาร์"หน้า51.
↑โมคานู, แอนเดรีย. “ทฤษฎีแอตคิน-เลห์เนอร์” $\Gamma _{1}(N)$ -แบบฟอร์มโมดูลาร์" (PDF)เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 31 กรกฎาคม 2563
↑ Van Wyk, Gerhard (กรกฎาคม 2023). "เส้นโค้งวงรีเผยความลับในระบบตัวเลขใหม่" . Quanta .

[3] ผู้เขียนบางท่านใช้ข้อกำหนดที่แตกต่างกัน โดยอนุญาตให้มีค่าคงที่เพิ่มเติมขึ้นอยู่กับเท่านั้น $\gamma$ ดูตัวอย่างเช่น"DLMF: §23.15 คำจำกัดความ ‣ ฟังก์ชันมอดูลาร์ ‣ บทที่ 23 ฟังก์ชันวงรีและมอดูลาร์ของไวเออร์สตรัส " dlmf.nist.gov สืบค้นเมื่อ2023-07-07

[4] ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกจะมีพจน์เลขชี้กำลังลบในอนุกรมลอเรนต์หรือ การขยาย qได้ เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น และจะมี ขั้วได้มากที่สุดเพียงที่ $q = 0$ เท่านั้น ไม่ใช่ภาวะเอกฐานที่สำคัญเหมือนกับ $exp(1/ q)$

[7] นี่คือเมทริกซ์ ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ส่งค่า ∞ ไปยังa / c

[1] Cepelewicz, Jordana (2023-09-21). "ดูสิ ฟอร์มโมดูลาร์ 'การดำเนินการพื้นฐานที่ห้า' ของคณิตศาสตร์"นิตยสารQuanta สืบค้นเมื่อ2025-02-25

[2] Lan, Kai-Wen. "Cohomology of Automorphic Bundles" (PDF) . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 1 สิงหาคม 2020

[5] Chandrasekharan, K. (1985). ฟังก์ชันเชิงวงรี . Springer-Verlag. หน้า15. ISBN 3-540-15295-4.

[6] คูเบิร์ต, แดเนียล เอส. ; Lang, Serge (1981), หน่วยโมดูลาร์ , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [หลักการพื้นฐานของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์] เล่ม 1 244, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , p. 24, ไอเอสบีเอ็น 978-0-387-90517-4, MR 0648603 , Zbl 0492.12002

[8] Gunning, Robert C. (1962), Lectures on modular forms , Annals of Mathematics Studies , vol. 48, Princeton University Press หน้า 13

[9] Shimura, Goro (1971), บทนำสู่ทฤษฎีเลขคณิตของฟังก์ชันอัตโนมัติ , สิ่งพิมพ์ของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งญี่ปุ่น, เล่มที่11, โตเกียว: Iwanami Shoten ทฤษฎีบท 2.33, ข้อเสนอ 2.26

[10] Milne, James (2010), ฟังก์ชันโมดูลาร์และรูปแบบโมดูลาร์ (PDF) , หน้า88 ทฤษฎีบท 6.1

[11] Milne, James (2017). "ฟังก์ชันโมดูลาร์และรูปแบบโมดูลาร์"หน้า51.

[12] โมคานู, แอนเดรีย. “ทฤษฎีแอตคิน-เลห์เนอร์” $\Gamma _{1}(N)$ -แบบฟอร์มโมดูลาร์" (PDF)เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 31 กรกฎาคม 2563

[:0-13] Van Wyk, Gerhard (กรกฎาคม 2023). "เส้นโค้งวงรีเผยความลับในระบบตัวเลขใหม่" . Quanta .

[ 1 ]

[ 2 ]

หมายเหตุ

[หมายเหตุ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[หมายเหตุ 3 ]

[ 5 ]

ใน

X

[ 8 ]

[ 9 ]

ไม่มีชื่อบทความ