ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีเซต สัญกร ณ์การสร้างเซตเป็นสัญกรณ์สำหรับการระบุเซตโดยใช้คุณสมบัติที่บ่งบอกลักษณะของสมาชิก^{[ 1 ]}

การระบุเซตโดยใช้คุณสมบัติของสมาชิกนั้นได้รับอนุญาตตามแบบแผนสัจพจน์ของการกำหนดเซตซึ่งเรียกอีกอย่างว่า การ สร้าง เซตโดยอาศัยความเข้าใจ (set comprehension)และการสร้างเซตโดยอาศัยนามธรรม (set abstraction )

สัญกรณ์การสร้างเซตสามารถใช้เพื่ออธิบายเซตที่กำหนดโดยภาคแสดงนั่นคือสูตรตรรกะที่ประเมินค่าเป็นจริงสำหรับองค์ประกอบของเซต และเป็นเท็จในกรณีอื่น^{[ 2 ]}ในรูปแบบนี้ สัญกรณ์การสร้างเซตมีสามส่วน ได้แก่ ตัวแปร ตัวคั่นโคลอนหรือเส้นแนวตั้งและภาคแสดง ดังนั้นจึงมีตัวแปรอยู่ทางซ้ายของตัวคั่น และกฎอยู่ทางขวาของตัวคั่น ทั้งสามส่วนนี้บรรจุอยู่ในวงเล็บปีกกา:

${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}$

หรือ

${\displaystyle \{x\colon \Phi (x)\}.}$

เครื่องหมายขีดแนวตั้ง (หรือโคลอน) เป็นตัวคั่นที่สามารถอ่านได้ว่า " เช่นนั้น " "สำหรับซึ่ง" หรือ "ด้วยคุณสมบัติที่ว่า" สูตรΦ( x )เรียกว่ากฎหรือตัวบ่งชี้ค่าทั้งหมดของxที่ตัวบ่งชี้เป็นจริง (ถูกต้อง) อยู่ในเซตที่กำลังกำหนด ค่าทั้งหมดของxที่ตัวบ่งชี้ไม่เป็นจริงไม่ได้อยู่ในเซต ดังนั้น จึงเป็นเซตของค่าทั้งหมดของxที่สอดคล้องกับสูตรΦ [ ^{3 ]}อาจเป็นเซตว่างหากไม่มีค่าใดของx ที่สอดคล้อง ^กับสูตร ${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}$

โดเมนEสามารถปรากฏทางด้านซ้ายของแถบแนวตั้งได้: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\},}$

หรือโดยการนำไปต่อท้ายภาคแสดง:

${\displaystyle \{x\mid x\in E{\text{ and }}\Phi (x)\}\quad {\text{or}}\quad \{x\mid x\in E\land \Phi (x)\}.}$

สัญลักษณ์ ∈ ในที่นี้หมายถึงการเป็นสมาชิกของเซตในขณะที่สัญลักษณ์ <binary data, 4 bytes> หมายถึงตัวดำเนินการทางตรรกะ "และ" หรือที่เรียกว่าการเชื่อมโยงทางตรรกะสัญลักษณ์นี้แสดงถึงเซตของค่าทั้งหมดของxที่เป็นสมาชิกของเซตE ที่กำหนดให้ ซึ่งเงื่อนไขเป็นจริง (ดู " สัจพจน์การมีอยู่ของเซต " ด้านล่าง) ถ้า <binary data, 4 bytes> เป็นการเชื่อมโยงทาง ตรรกะ บางครั้งจะเขียนว่า <binary data, 4 bytes > โดยใช้เครื่องหมายจุลภาคแทนสัญลักษณ์ <binary data, 4 bytes>${\displaystyle \land }$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi _{1}(x)\land \Phi _{2}(x)}$${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\}}$${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi _{1}(x),\Phi _{2}(x)\}}$${\displaystyle \land }$

โดยทั่วไป ไม่ควรพิจารณาเซตโดยไม่กำหนดโดเมนของการสนทนาเพราะจะหมายถึงเซตย่อยของสิ่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจมีอยู่ซึ่งเงื่อนไขเป็นจริง ซึ่งอาจนำไปสู่ความขัดแย้งและปรากฏการณ์ที่ขัดแย้งกันได้ง่าย ตัวอย่างเช่นปรากฏการณ์ที่ขัดแย้งกันของรัสเซลล์แสดงให้เห็นว่านิพจน์ ดัง กล่าวแม้จะดูเหมือนถูกต้องในฐานะนิพจน์การสร้างเซต แต่ก็ไม่สามารถกำหนดเซตได้โดยไม่ก่อให้เกิดความขัดแย้ง^{[ 5 ]}${\displaystyle \{x~|~x\not \in x\},}$

ในกรณีที่เซตEชัดเจนจากบริบทแล้ว อาจไม่จำเป็นต้องระบุอย่างชัดเจน เป็นเรื่องปกติในเอกสารทางวิชาการที่ผู้เขียนจะระบุโดเมนไว้ล่วงหน้า แล้วไม่ระบุในสัญลักษณ์การสร้างเซต ตัวอย่างเช่น ผู้เขียนอาจกล่าวว่า "เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ตัวแปรจะถือว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ" อย่างไรก็ตาม ในบริบทที่ไม่เป็นทางการมากนักซึ่งสามารถสันนิษฐานโดเมนได้ การระบุเป็นลายลักษณ์อักษรจึงมักไม่จำเป็น

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงเซตเฉพาะที่กำหนดโดยสัญกรณ์การสร้างเซตผ่านทาง述语 (predicate) ในแต่ละกรณี โดเมนจะระบุไว้ทางด้านซ้ายของเส้นแบ่งแนวตั้ง ในขณะที่กฎจะระบุไว้ทางด้านขวา

• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x>0\}}$คือเซตของจำนวนจริง บวกอย่าง เคร่งครัด ทั้งหมด ซึ่งสามารถเขียนในรูปแบบช่วงได้เป็น${\displaystyle (0,\infty )}$
• ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid |x|=1\}}$คือเซตเซตนี้สามารถนิยามได้อีกแบบว่า; ดูตัวอย่างประโยคเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเซตที่เท่ากันด้านล่าง${\displaystyle \{-1,1\}}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}}$
• สำหรับจำนวนเต็มm แต่ละตัว เราสามารถกำหนดได้ดังนี้และเป็นต้น${\displaystyle G_{m}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq m\}=\{m,m+1,m+2,\ldots \}}$${\displaystyle G_{3}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq 3\}=\{3,4,5,\ldots \}}$${\displaystyle G_{-2}=\{-2,-1,0,\ldots \}}$
• ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid 0<y<f(x)\}}$ ผลคูณคาร์ที เซียน คือเซตของคู่จำนวนจริง โดยที่yมากกว่า 0 และน้อยกว่าf ( x )สำหรับฟังก์ชันf ที่กำหนดให้ ในที่นี้ผลคูณคาร์ทีเซียน หมายถึงเซตของคู่ลำดับของจำนวนจริง${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid (\exists k)[k\in \mathbb {N} \land n=2k]\}}$คือเซตของจำนวนธรรมชาติคู่ ทั้งหมด เครื่องหมาย∃ หมายถึง "และ" ซึ่งเรียกว่าการเชื่อมโยงเชิงตรรกะเครื่องหมาย ∃ หมายถึง "มีอยู่" ซึ่งเรียกว่าการระบุปริมาณเชิงมี อยู่ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น √(x) = √(x) อ่านว่า "มีx อยู่จริง ที่ทำให้P ( x ) = √(x ) "${\displaystyle \land }$${\displaystyle (\exists x)P(x)}$
• ${\displaystyle \{n\mid (\exists k\in \mathbb {N} )[n=2k]\}}$เป็นสัญลักษณ์อีกรูปแบบหนึ่งสำหรับเซตของจำนวนธรรมชาติคู่ชุดเดียวกัน ไม่จำเป็นต้องระบุว่าnเป็นจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากสูตรทางด้านขวามือบ่งบอกอยู่แล้ว
• ${\displaystyle \{a\in \mathbb {R} \mid (\exists p\in \mathbb {Z} )(\exists q\in \mathbb {Z} )[q\not =0\land aq=p]\}}$คือเซตของจำนวนตรรกยะ กล่าวคือ จำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปอัตราส่วนของจำนวนเต็ม สอง จำนวน

การขยายสัญกรณ์การสร้างเซตจะแทนที่ตัวแปรเดี่ยวxด้วยนิพจน์ดังนั้นแทนที่จะเป็น เราอาจมีซึ่งควรอ่านว่า ${\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}$${\displaystyle \{f(x)\mid \Phi (x)\},}$

${\displaystyle \{f(x)\mid \Phi (x)\}=\{y\mid \exists x(y=f(x)\wedge \Phi (x))\}}$.

ตัวอย่างเช่น:

• ${\displaystyle \{2n\mid n\in \mathbb {N} \}}$โดยที่คือเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด และ คือเซตของจำนวนธรรมชาติคู่ทั้งหมด${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle \{p/q\mid p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\}}$โดยที่คือเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด และ คือเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• ${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}}$คือเซตของจำนวนเต็มคี่
• ${\displaystyle \{(t,2t+1)\mid t\in \mathbb {Z} \}}$ สร้างชุดคู่ โดยแต่ละคู่จะจับคู่จำนวนเต็มกับจำนวนคี่

เมื่อสามารถระบุฟังก์ชันผกผันได้อย่างชัดเจน นิพจน์ทางด้านซ้ายสามารถกำจัดได้โดยการแทนที่อย่างง่าย พิจารณาเซตตัวอย่างทำการแทนที่ซึ่งก็คือ จากนั้นแทนที่tในสัญกรณ์การสร้างเซตเพื่อหา ${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle u=2t+1}$${\displaystyle t=(u-1)/2}$

${\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}=\{u\mid (u-1)/2\in \mathbb {Z} \}.}$

เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีสมาชิกเหมือนกัน เซตที่กำหนดโดยสัญกรณ์การสร้างเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อกฎการสร้างเซตของเซตเหล่านั้น รวมถึงตัวระบุโดเมน มีความเทียบเท่ากัน นั่นคือ

${\displaystyle \{x\in A\mid P(x)\}=\{x\in B\mid Q(x)\}}$

ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle (\forall t)[(t\in A\land P(t))\Leftrightarrow (t\in B\land Q(t))]}$.

ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของเซตสองเซตที่กำหนดโดยสัญกรณ์การสร้างเซต จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของ述語 (predicate) ของเซตทั้งสอง รวมถึงตัวกำหนดขอบเขต (domain qualifier) ​​ด้วย

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}=\{x\in \mathbb {Q} \mid |x|=1\}}$

เนื่องจากเงื่อนไขกฎทั้งสองนั้นสมมูลกันในเชิงตรรกะ:

${\displaystyle (x\in \mathbb {R} \land x^{2}=1)\Leftrightarrow (x\in \mathbb {Q} \land |x|=1).}$

ความสมมูลนี้เป็นจริงเพราะสำหรับจำนวนจริงx ใดๆ เราจะได้ก็ต่อเมื่อxเป็นจำนวนตรรกยะที่มีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตทั้งสองเท่ากับเซต ${\displaystyle x^{2}=1}$${\displaystyle |x|=1}$${\displaystyle \{-1,1\}}$

ในทฤษฎีเซตเชิงรูปธรรมหลายทฤษฎี เช่นทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelสัญกรณ์การสร้างเซตไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของไวยากรณ์เชิงรูปธรรมของทฤษฎี แต่จะมีโครงร่างสัจพจน์การมีอยู่ของเซตซึ่งระบุว่า ถ้าEเป็นเซต และΦ( x )เป็นสูตรในภาษาของทฤษฎีเซตแล้ว จะมีเซตYที่มีสมาชิกเป็นองค์ประกอบของEที่สอดคล้องกับΦ อย่าง แน่นอน

${\displaystyle (\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x\in Y\Leftrightarrow x\in E\land \Phi (x)].}$

เซตYที่ได้จากสัจพจน์นี้คือเซตที่อธิบายไว้ในสัญกรณ์การสร้างเซตว่า Y = Y อย่างแท้จริง ${\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\}}$

สัญกรณ์ที่คล้ายกันซึ่งมีอยู่ใน ภาษาโปรแกรมหลายภาษา(โดยเฉพาะPythonและHaskell ) คือlist comprehensionซึ่งเป็นการรวม การดำเนินการ mapและfilter เข้าด้วยกันบน ลิสต์หนึ่งรายการขึ้นไป

ในภาษา Python วงเล็บปีกกาของตัวสร้างเซตจะถูกแทนที่ด้วยวงเล็บเหลี่ยม วงเล็บ หรือวงเล็บปีกกา ซึ่งจะสร้างอ็อบเจ็กต์ลิสต์ เจเนอเรเตอร์และเซต ตามลำดับ Python ใช้ไวยากรณ์ที่อิงตามภาษาอังกฤษ ส่วน Haskell จะแทนที่วงเล็บปีกกาของตัวสร้างเซตด้วยวงเล็บเหลี่ยมและใช้สัญลักษณ์ต่างๆ รวมถึงเครื่องหมายขีดแนวตั้งมาตรฐานของตัวสร้างเซต

สามารถทำเช่นเดียวกันได้ในScalaโดยใช้ Sequence Comprehensions โดยที่คีย์เวิร์ด "for" จะส่งคืนรายการของตัวแปรที่ส่งออกโดยใช้คีย์เวิร์ด "yield" ^{[ 6 ]}

ลองพิจารณาตัวอย่างสัญลักษณ์การสร้างเซตในภาษาโปรแกรมบางภาษาดังต่อไปนี้:

	ตัวอย่างที่ 1	ตัวอย่างที่ 2
ผู้สร้างฉาก	${\displaystyle \{l\ |\ l\in L\}}$	${\displaystyle \{(k,x)\ |\ k\in K\wedge x\in X\wedge P(x)\}}$
ไพธอน	{ l สำหรับl ในL }	{( k , x ) สำหรับk ในK สำหรับx ในX ถ้าP ( x )}
ฮัสเคลล์	[ l | l <- ls ]	[( k , x ) | k <- ks , x <- xs , p x ]
สกาล่า	สำหรับ( l <- L ) ให้ผลลัพธ์เป็นl	สำหรับ( k ​​<- K ; x <- X ถ้าP ( x )) ให้ผลลัพธ์เป็น( k , x )
ซี#	จากl ในL เลือกl	จากk ในK จากx ในX ที่P ( x ) เลือก( k , x )
คำสั่ง SQL	เลือกl จากL_set	SELECT k , x FROM K_set , X_set WHERE P ( x )
บทนำ	setof ( L , member ( L , Ls ), Result )	setof (( K , X ),( member ( K , Ks ), member ( X , Xs ), call ( P , X )), Result )
เออร์ลัง	[ L || L <- Ls ]	[{ K , X } || K <- Ks , X <- Xs , p ( X )]
จูเลีย	[ l สำหรับl ∈ L ]	[( k , x ) สำหรับk ∈ K สำหรับx ∈ X ถ้าP ( x )]
มาเทมาติกา	( l |-> l ) /@ L	กรณี[ ทูเปิล[{ K , X }], { k_ , x_ } /; P [ x ]]ทูเปิล[{ K , เลือก[ X , P ]}]

สัญกรณ์การสร้างเซตและสัญกรณ์การเข้าใจรายการต่างก็เป็นตัวอย่างของสัญกรณ์ทั่วไปที่เรียกว่าการเข้าใจโมนาดซึ่งอนุญาตให้ดำเนินการแบบ map/filter กับโมนาด ใดๆ ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ได้

• คำศัพท์เฉพาะของทฤษฎีเซต