ในทางคณิตศาสตร์ช่วง (interval)คือเซตของจำนวนจริง ทั้งหมด ที่อยู่ระหว่างจุดปลายสองจุดที่กำหนดไว้ โดยไม่มี "ช่องว่าง" ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนจริงที่ประกอบด้วย0 , 1และจำนวนทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง 0 และ 1 คือช่วง ซึ่งเขียนแทนด้วย[0, 1]และเรียกว่าช่วงหน่วย (unit interval) ช่วงอาจไม่ประกอบด้วยจุดปลายทั้งสอง (เรียกว่าช่วงเปิด) อาจประกอบด้วยจุดปลายทั้งสอง (เรียกว่าช่วงปิด) หรืออาจประกอบด้วยจุดปลายเพียงจุดเดียว (เรียกว่าช่วงกึ่งเปิดหรือกึ่งปิด)

ช่วงที่กล่าวมาข้างต้นเป็น ช่วง ที่มีขอบเขตบ่อยครั้งที่ช่วงอาจขยายออกไปโดยไม่มีขอบเขตในทิศทางใดทิศทางหนึ่งหรือทั้งสองทิศทาง โดยด้านที่ไม่มีขอบเขตจะใช้สัญลักษณ์ อนันต์บวกหรือลบแทน เซตของ จำนวนจริงบวกทั้งหมดเป็นช่วงในความหมายนี้ โดยใช้สัญลักษณ์(0, ∞)ส่วนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดเป็นช่วงที่ไม่มีขอบเขตทั้งสองด้าน โดยใช้สัญลักษณ์(−∞, ∞ )

ช่วง (Intervals) พบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์วิเคราะห์ตัวอย่างเช่น ช่วงปรากฏโดยปริยายในนิยามความต่อเนื่องแบบเอปซิลอน-เดลต้า ทฤษฎีบท ค่ากลาง (Intermediate Value Theorem)กล่าวว่าภาพของช่วงโดยฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วง อินทิกรัลของฟังก์ชันจริงถูกกำหนดไว้บนช่วง เป็นต้น ตัวอย่างเช่นเลขคณิตช่วง (Interval Arithmetic)ประกอบด้วยการคำนวณโดยใช้ช่วงแทนจำนวนจริง เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ของการคำนวณเชิงตัวเลขที่รับประกันได้ว่าอยู่ในขอบเขตที่กำหนด แม้จะมีข้อมูลป้อนเข้าที่ ไม่แน่นอน และข้อผิดพลาดจากการปัดเศษก็ตาม

ช่วงสามารถกำหนดได้โดยทั่วไปบน เซต ที่มีลำดับสมบูรณ์ ใดๆ เช่นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะสัญลักษณ์ของช่วงจำนวนเต็มจะกล่าวถึงในหัวข้อพิเศษด้านล่าง

ช่วง(interval)คือเซตย่อยของจำนวนจริงที่ประกอบด้วยจำนวนจริงทั้งหมดที่อยู่ระหว่างจำนวนสองจำนวนใดๆ ในเซตย่อยนั้น ตัวอย่างเช่น จำนวนตั้งแต่หนึ่งถึงสองและจำนวนที่มากกว่า 10 เช่นภายใต้นิยามนี้เซตว่างและเซตทั้งหมดของจำนวนจริงต่างก็เป็นช่วง^{[ 1 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle 1\leq x\leq 2}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y>10}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

จุดปลายของช่วงคือค่าสูงสุด (ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด) และ ค่า ต่ำสุด (ขอบเขตล่างที่มากที่สุด) ถ้ามีอยู่จริงเป็นจำนวนจริง^{[ 1 ]}ถ้าค่าต่ำสุดไม่มีอยู่จริงและช่วงนั้นไม่ว่างเปล่า มักจะกล่าวว่าจุดปลายที่สอดคล้องกันคือลบอนันต์ เขียนว่า ในทำนองเดียวกัน ถ้าค่าสูงสุดของช่วงที่ไม่ว่างเปล่าไม่มีอยู่จริง จะกล่าวว่าจุดปลายที่สอดคล้องกันคือบวกอนันต์ เขียนว่า${\displaystyle -\infty .}$${\displaystyle +\infty .}$

ช่วงที่ไม่ว่างเปล่าถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยจุดปลายของช่วงและว่าจุดปลายแต่ละจุดอยู่ในช่วงหรือไม่ นี่เป็นผลมาจากคุณสมบัติขอบเขตบนน้อยที่สุดของจำนวนจริง ซึ่งหมายความว่าหากองค์ประกอบของช่วงที่ไม่ว่างเปล่าทั้งหมดน้อยกว่าค่าจำกัดบางค่า ช่วงนั้นจะมีค่าสูงสุด ลักษณะเฉพาะนี้ใช้ในการระบุช่วงโดยใช้สัญกรณ์ช่วงโดยวงเล็บเหลี่ยมหรือวงเล็บกลมจะระบุว่าจุดปลายอยู่ในช่วงหรือไม่

หนึ่งช่วงเปิดไม่รวมจุดปลายใดๆ และสามารถระบุได้อย่างกระชับด้วยวงเล็บ ^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่นคือช่วงของจำนวนจริงทั้งหมดที่มากกว่าและน้อยกว่า(ช่วงนี้สามารถแสดงด้วย ได้เช่นกันดูด้านล่าง) ช่วงเปิดประกอบด้วยจำนวนจริงที่มากกว่า นั่นคือ จำนวนจริงบวก ดังนั้นช่วงเปิดจึงมีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้ ${\displaystyle (0,1)=\{x\mid 0<x<1\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle ]0,1[}$${\displaystyle (0,+\infty )}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\\(a,a)&=\emptyset ,\end{aligned}}}$

โดยที่และเป็นจำนวนจริงซึ่งในกรณีสุดท้าย ช่วงที่ได้จะเป็นเซตว่างและไม่ขึ้นอยู่กับ⁠ ⁠ช่วงเปิดคือช่วงที่เป็นเซตเปิด สำหรับ โทโพโลยีปกติบนจำนวนจริง และเป็นฐานของเซตเปิด ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a<b.}$${\displaystyle a}$

เอช่วงปิดคือช่วงที่รวมจุดปลายทั้งสองจุดซึ่งมีค่าจำกัด ^{[ 2 ]}ช่วงปิดแสดงด้วยวงเล็บเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น[0, 1]คือช่วงปิดที่มีเนื้อหามากกว่าหรือเท่ากับ0และน้อยกว่าหรือเท่ากับ1ช่วงปิดนั้นโดยนิยามแล้วจะต้องไม่ว่างเปล่า ดังนั้นทุกช่วงปิดจึงมีรูปแบบ

${\displaystyle {\begin{aligned}\;[a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}\end{aligned}}}$

โดยที่. ช่วงที่ประกอบด้วยจุดเดียวบางครั้งเรียกว่าช่วงปิดที่เสื่อมสภาพ^{[ 3 ]}${\displaystyle a<b}$${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$

นอกจากช่วงปิดที่พบได้ทั่วไปในการวิเคราะห์แล้ว ช่วงที่ไม่จำกัดขอบเขตซึ่งรวมจุดปลายที่จำกัด เช่นหรือถือเป็น ช่วงปิด เชิงโทโพโลยี (หมายความว่าช่วงเหล่านั้นมีจุดขอบเขตทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริง) แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เรียกว่า "ช่วงปิด" ในการวิเคราะห์ คำนี้สงวนไว้สำหรับกรณีปิดและมีขอบเขต ช่วงปิด (ที่มีขอบเขต) ร่วมกับช่วงปิดกึ่งอนันต์ และช่วงประกอบกันเป็นช่วงที่เป็นเซตปิด สำหรับ โทโพโลยีปกติบนจำนวนจริง ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,\infty )}$${\displaystyle (-\infty ,b]}$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

เอช่วงครึ่งเปิดมีจุดปลายจำกัดที่แตกต่างกันสองจุด และรวมจุดหนึ่งแต่ไม่รวมอีกจุดหนึ่ง เรียกว่าช่วงครึ่งเปิดซ้ายหรือครึ่งเปิดขวาขึ้นอยู่กับว่าจุดปลายที่ถูกยกเว้นอยู่ทางซ้ายหรือทางขวา ช่วงเหล่านี้แสดงด้วยสัญลักษณ์ผสมสำหรับช่วงเปิดและช่วงปิด ^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่น(0, 1]หมายถึงมากกว่า0และน้อยกว่าหรือเท่ากับ1ในขณะที่[0, 1)หมายถึงมากกว่าหรือเท่ากับ0และน้อยกว่า1ช่วงครึ่งเปิดมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}.\\\end{aligned}}}$

โดยสรุป เซตของจำนวนจริงจะเป็นช่วงก็ต่อเมื่อเป็นช่วงเปิด ช่วงปิด หรือช่วงครึ่งเปิด ช่วงเดียวที่ปรากฏสองครั้งในการจำแนกประเภทข้างต้นคือ⁠ ⁠${\displaystyle \emptyset }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ซึ่งเป็นทั้งช่วงเปิดและช่วงปิด^{[ 5 ] [ 6 ]}

เอช่วงเสื่อมสภาพคือเซตใดๆ ที่ประกอบด้วยจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียว(เช่น ช่วงในรูปแบบ[ a , a ]) ^{[ 7 ]}ผู้เขียนบางคนรวมเซตว่างไว้ในคำจำกัดความนี้ด้วย ช่วงจริงที่ไม่ใช่ทั้งเซตว่างและเซตเสื่อมสภาพเรียกว่าเหมาะสมและมีองค์ประกอบมากมายนับไม่ถ้วน

ช่วงหนึ่งๆ จะเรียกว่ามีขอบเขตทางซ้ายหรือมีขอบเขตทางขวาถ้ามีจำนวนจริงบางจำนวนที่เล็กกว่าหรือมากกว่าสมาชิกทั้งหมดของช่วงนั้นตามลำดับ ช่วงหนึ่งๆ จะเรียกว่ามีขอบเขตถ้ามีขอบเขตทั้งทางซ้ายและทางขวา และจะเรียกว่าไม่มีขอบเขตถ้าเป็นอย่างอื่น ช่วงที่มีขอบเขตเพียงด้านเดียวเรียกว่ามีขอบเขตครึ่ง หนึ่ง เซตว่างมีขอบเขต และเซตของจำนวนจริงทั้งหมดเป็นช่วงเดียวที่ไม่มีขอบเขตทั้งสองด้าน ช่วงที่มีขอบเขตมักเรียกอีกอย่างว่าช่วง จำกัด

ช่วงที่มีขอบเขต คือเซตที่มีขอบเขตในแง่ที่ว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง (ซึ่งเท่ากับผลต่างสัมบูรณ์ระหว่างจุดปลาย) มีค่าจำกัด เส้นผ่านศูนย์กลางอาจเรียกว่าความยาวความกว้างการวัด พิสัยหรือขนาดของช่วงขนาดของช่วงที่ไม่มีขอบเขตโดยทั่วไปกำหนดให้เป็น+∞และขนาดของช่วงว่างอาจกำหนดให้เป็น0 (หรือไม่ได้กำหนดไว้)

จุดกึ่งกลางของช่วงจำกัดที่มีจุดปลายa และ b คือ ( a + b ) /2และรัศมี ของช่วง คือครึ่งหนึ่งของความยาว| a − b | /2แนวคิดเหล่านี้ไม่มีนิยามสำหรับช่วงว่างหรือช่วงที่ไม่มีขอบเขต

ช่วงหนึ่งจะเรียกว่าเป็นช่วงเปิดซ้ายก็ต่อเมื่อไม่มีค่าต่ำสุด (สมาชิกที่เล็กกว่าสมาชิกอื่นทั้งหมด) เป็นช่วงเปิดขวาหากไม่มีค่าสูงสุดและเป็นช่วงเปิดหากไม่มีทั้งค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด ตัวอย่างเช่น ช่วง[0, 1) = { x | 0 ≤ x < 1}เป็นช่วงปิดซ้ายและช่วงเปิดขวา เซตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเป็นช่วงปิดที่เป็นช่วงเปิดขวาแต่ไม่ใช่ช่วงเปิดซ้าย

ช่วงหนึ่งจะเรียกว่าปิดทางซ้ายหากมีสมาชิกต่ำสุดหรือไม่มีขอบเขตทางซ้ายปิดทางขวาหากมีค่าสูงสุดหรือไม่มีขอบเขตทางขวา และจะเรียกว่าปิด อย่างง่าย หากเป็นทั้งปิดทางซ้ายและปิดทางขวา

ช่วงIเป็นช่วงย่อยของช่วงJถ้าIเป็นเซตย่อยของJและ ช่วงIเป็นช่วงย่อยแท้ของJถ้าIเป็นเซตย่อยแท้ของJ

ภายในของช่วงI คือช่วงเปิด ที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุอยู่ในIและยังเป็นเซตของจุดในIที่ไม่ใช่จุดปลายของI ด้วย ส่วน การปิดของIคือช่วงปิดที่เล็กที่สุดที่บรรจุIซึ่งก็คือเซตของIที่เพิ่มจุดปลายที่จำกัดเข้าไป

สำหรับเซตX ใดๆ ของจำนวนจริงช่วงปิดล้อมหรือช่วงแผ่ของXคือช่วงเดียวที่บรรจุXและไม่บรรจุช่วงอื่นใดที่บรรจุX ด้วยเช่น กัน

มีคำศัพท์ที่ขัดแย้งกันสำหรับคำว่าส่วนและช่วงซึ่งถูกนำมาใช้ในวรรณกรรมในสองวิธีที่ตรงกันข้ามกันโดยพื้นฐาน ส่งผลให้เกิดความกำกวมเมื่อใช้คำเหล่านี้สารานุกรมคณิตศาสตร์^{[ 8 ]}นิยามช่วง (โดยไม่มีคำคุณศัพท์) ว่าไม่รวมจุดปลายทั้งสอง (เช่น ช่วงเปิด) และส่วนว่ารวมจุดปลายทั้งสอง (เช่น ช่วงปิด) ในขณะที่หลักการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ของรูดิน ^{[ 9 ]}เรียกเซตในรูปแบบ [ a , b ] ว่า ช่วงและเซตในรูปแบบ ( a , b ) ว่าส่วนตลอดทั้ง เล่มคำศัพท์เหล่านี้มักปรากฏในงานเก่าๆ ตำราสมัยใหม่นิยมใช้คำว่าช่วง (โดยมีคำคุณศัพท์ว่าเปิดปิดหรือครึ่งเปิด ) มากขึ้นเรื่อยๆ โดยไม่คำนึงว่าจะรวมจุดปลายหรือ ไม่

ช่วงของตัวเลขระหว่างaและbซึ่งรวมถึงaและbด้วย มักจะเขียนแทนด้วย[ a , b ]ตัวเลขทั้งสองเรียกว่าจุดปลายของช่วง ในประเทศที่ใช้เครื่องหมายจุลภาค คั่นตัวเลขในจุดทศนิยม อาจใช้เครื่องหมายเซมิโคลอนเป็นตัวคั่นเพื่อหลีกเลี่ยง ความกำกวม

เพื่อระบุว่าจุดปลายจุดใดจุดหนึ่งจะถูกยกเว้นจากเซต วงเล็บเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องสามารถแทนที่ด้วยวงเล็บ หรือกลับด้านได้ ทั้งสองรูปแบบการเขียนอธิบายอยู่ในมาตรฐานสากลISO 31-11ดังนั้น ใน การเขียน สัญลักษณ์ เซต

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

ช่วง( a , a ) , [ a , a )และ( a , a ]แทนเซตว่างในขณะที่[ a , a ]แทนเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว  { a }เมื่อa > bโดยทั่วไปแล้วจะใช้สัญลักษณ์ทั้งสี่นี้แทนเซตว่าง

สัญกรณ์ทั้งสองอาจทับซ้อนกับการใช้วงเล็บและวงเล็บเหลี่ยมอื่นๆ ในทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์( a , b )มักใช้เพื่อแสดงคู่ลำดับในทฤษฎีเซตพิกัดของจุดหรือเวกเตอร์ในเรขาคณิตวิเคราะห์และพีชคณิตเชิงเส้นหรือ (บางครั้ง) จำนวนเชิงซ้อนในพีชคณิตนั่นคือเหตุผลที่Bourbakiแนะนำสัญกรณ์] a , b [เพื่อแสดงช่วงเปิด^{[ 10 ]}สัญกรณ์[ a , b ]ก็ถูกใช้เป็นครั้งคราวสำหรับคู่ลำดับ โดยเฉพาะในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

นักเขียนบางท่าน เช่น อีฟส์ ทิลเล ใช้] a , b [เพื่อแสดงถึงส่วนเติมเต็มของช่วง  ( a , b ) กล่าวคือ เซต ของจำนวนจริงทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับaหรือมากกว่าหรือเท่ากับb

ในบางบริบท ช่วงอาจถูกนิยามว่าเป็นเซตย่อยของจำนวนจริงขยายซึ่งเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่เพิ่มด้วย−∞และ+ ∞

ในการตีความนี้ สัญลักษณ์[−∞, b ] , (−∞, b ] , [ a , +∞] และ[ a , +∞)ล้วนมีความหมายและแตกต่างกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง(−∞, +∞)หมายถึงเซตของจำนวนจริงธรรมดาทั้งหมด ในขณะที่[−∞, +∞]หมายถึงจำนวนจริงขยาย

แม้ในบริบทของจำนวนจริงทั่วไป เราอาจใช้ จุดปลาย อนันต์เพื่อบ่งชี้ว่าไม่มีขอบเขตในทิศทางนั้น ตัวอย่างเช่น(0, +∞)คือเซตของจำนวนจริงบวกซึ่งเขียนได้อีกแบบว่าบริบทมีผลต่อคำจำกัดความและศัพท์เฉพาะบางอย่างข้างต้น ตัวอย่างเช่น ช่วง(−∞, +∞)  =  เป็นช่วงปิดในขอบเขตของจำนวนจริงทั่วไป แต่ไม่ใช่ในขอบเขตของจำนวนจริงขยาย ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

เมื่อaและbเป็นจำนวนเต็มบางครั้งจะใช้สัญลักษณ์ ⟦ a, b ⟧, [ a .. b ] , { a .. b }หรือเพียงแค่a .. b เพื่อระบุช่วงของ จำนวนเต็ม ทั้งหมด ระหว่างaและbสัญลักษณ์[ a .. b ]ใช้ในภาษาโปรแกรม บางภาษา เช่น ในภาษา Pascalใช้เพื่อกำหนดประเภทของช่วงย่อยอย่างเป็นทางการ ซึ่งส่วนใหญ่ใช้เพื่อระบุขอบเขตล่างและขอบเขตบนของดัชนี ที่ถูก ต้อง ของอาร์เรย์

อีกวิธีหนึ่งในการตีความช่วงจำนวนเต็มคือการตีความว่าเป็นเซตที่กำหนดโดยการแจงนับโดยใช้สัญลักษณ์จุด ไข่ปลา

ช่วงจำนวนเต็มที่มีจุดปลายล่างหรือบนจำกัด จะรวมจุดปลายนั้นเสมอ ดังนั้น การไม่รวมจุดปลายสามารถแสดงได้อย่างชัดเจนโดยการเขียนa .. b − 1 , a + 1 .. b หรือ a + 1 .. b − 1สัญลักษณ์วงเล็บสลับกัน เช่น[ a .. b )หรือ[ a .. b [นั้นไม่ค่อยได้ใช้กับช่วงจำนวนเต็ม

ช่วงต่างๆ เหล่านั้นคือ เซตย่อย ที่เชื่อมต่อ กัน ของดังนั้น ภาพของช่วงหนึ่งโดยฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ จากไปยัง ก็เป็นช่วงหนึ่งเช่นกัน นี่คือรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบท ค่ากลาง${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ช่วงเวลาเหล่านี้ยังเป็นเซตย่อยนูนของ เซตย่อยอีกด้วย ส่วน ที่ล้อมรอบช่วงเวลาของเซตย่อยก็คือ ส่วนนูน ของ เซต ย่อย เช่นกัน${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$

การปิดของช่วงคือการรวมกันของช่วงและเซตของจุดปลายที่จำกัด และด้วยเหตุนี้จึงเป็นช่วงเช่นกัน (ข้อหลังนี้ยังเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการปิดของเซตย่อยที่เชื่อมต่อกัน ทุกเซต ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็นเซตย่อยที่เชื่อมต่อกัน) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรามี^{[ 11 ]}

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b],}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty ),}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a],}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty )}$

จุดตัดของกลุ่มช่วงใดๆ ก็ตามจะเป็นช่วงเสมอ ส่วนการรวมกันของสองช่วงจะเป็นช่วงก็ต่อเมื่อจุดตัดของสองช่วงนั้นไม่ว่างเปล่า หรือจุดปลายเปิดของช่วงหนึ่งเป็นจุดปลายปิดของอีกช่วงหนึ่ง เป็นต้น${\displaystyle (a,b)\cup [b,c]=(a,c].}$

ถ้ามองว่า เป็นปริภูมิเมตริกลูกบอลเปิดของมันคือช่วงเปิดที่มีขอบเขต  ( c + r , c − r )และลูกบอลปิด ของมัน คือช่วงปิดที่มีขอบเขต  [ c + r , c − r ]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โท โพโลยี เมตริกและ โทโพโลยี ลำดับในเส้นจำนวนจริงจะตรงกัน ซึ่งเป็นโทโพโลยีมาตรฐานของเส้นจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {R} }$

สมาชิก  x ใดๆ ในช่วง  Iจะแบ่งช่วง  Iออกเป็นสามช่วงที่ไม่ซ้ำกัน คือI ₁ , I ₂ , I ₃ : ตามลำดับ คือ สมาชิกของ  Iที่น้อยกว่า  x , สมาชิกตัวเดียว  และสมาชิกที่มากกว่า  xช่วงI ₁และI ₃จะไม่ว่างเปล่า (และมีส่วนภายในที่ไม่ว่างเปล่า) ก็ต่อเมื่อxอยู่ในส่วนภายในของ  Iนี่คือหลักการแบ่ง สามส่วน ใน รูปแบบช่วง${\displaystyle [x,x]=\{x\},}$

ช่วงไดอะดิก (Dyadic interval)คือช่วงจำนวนจริงที่มีขอบเขต โดยที่จุดปลายคือและโดยที่และเป็นจำนวนเต็ม ขึ้นอยู่กับบริบท จุดปลายใดจุดหนึ่งอาจรวมอยู่ในช่วงหรือไม่ก็ได้ ${\displaystyle {\tfrac {j}{2^{n}}}}$${\displaystyle {\tfrac {j+1}{2^{n}}},}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$

ช่วงเวลาคู่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ความยาวของช่วงเวลาคู่ (dyadic interval) จะเป็นเลขยกกำลังสองที่ เป็นจำนวนเต็มเสมอ
• แต่ละช่วงเวลาคู่ (dyadic interval) จะบรรจุอยู่ภายในช่วงเวลาคู่ (dyadic interval) อีกหนึ่งช่วงที่มีความยาวเป็นสองเท่าของช่วงเวลาคู่แรก
• แต่ละช่วงเวลาคู่จะถูกคั่นด้วยช่วงเวลาคู่สองช่วงที่มีความยาวครึ่งหนึ่งของช่วงเวลาแรก
• ถ้าช่วงคู่เปิดสองช่วงทับซ้อนกัน ช่วงหนึ่งจะเป็นเซตย่อยของอีกช่วงหนึ่ง

ดังนั้น ช่วงเวลาคู่จึงมีโครงสร้างที่สะท้อนถึงโครงสร้างของต้นไม้ ไบนารี อนันต์

ช่วงไดอะดิกมีความเกี่ยวข้องกับ การวิเคราะห์เชิงตัวเลขหลายด้านรวมถึงการปรับปรุงตาข่ายแบบปรับได้วิธีการมัลติกริดและการวิเคราะห์เวฟเล็ตอีกวิธีหนึ่งในการแสดงโครงสร้างดังกล่าวคือการวิเคราะห์ p-adic (สำหรับp = 2 ) ^{[ 12 ]}

ช่วงค่าเป็นสิ่งที่พบเห็นได้ทั่วไปในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้เพื่อแสดงแนวคิดและมักปรากฏในผลลัพธ์ที่สำคัญ

อินทิกรัลของฟังก์ชันจริงนิยามไว้บนช่วงหนึ่ง โดยปกติแล้วจุดปลายของช่วงที่เกี่ยวข้องจะปรากฏเป็นตัวห้อยและตัวยก ดังนั้นอินทิกรัลจึงใช้ได้กับทุกจุดที่อยู่ในช่วงนั้น ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$

ช่วงต่างๆ ปรากฏโดยปริยายใน นิยามความต่อเนื่อง ของฟังก์ชันแบบเอปซิลอน-เดลต้า : คำอธิบายต่อไปนี้จะทำให้ช่วงเหล่านั้นปรากฏชัดเจน ฟังก์ชันจะกล่าวได้ว่าต่อเนื่องที่จุดหนึ่งถ้าสำหรับค่าใดๆ ที่กำหนด(เอปซิลอนมากกว่าศูนย์) จะมีค่าหนึ่ง(เดลต้ามากกว่าศูนย์) ที่ทำให้ ช่วงนั้น อยู่ในช่วงเปิดเมื่อใดก็ตามที่เลือกค่าหนึ่งจากช่วงนั้นค่าที่เป็นไปได้ของและนั้นอยู่ในช่วงที่ไม่มีขอบเขตแต่โดยทั่วไปแล้วจะถือว่าเป็นการอธิบายค่าเพิ่มขึ้นเล็กน้อยที่เป็นบวก แนวคิดก็คือมีช่วงสมมาตรเล็กๆ รอบจุดหนึ่ง ซึ่งค่าของจะอยู่ในช่วงเปิดรัศมีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \left(f(a)-\varepsilon ,f(a)+\varepsilon \right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left(a-\delta ,a+\delta \right)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (0,+\infty )}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle f(a)}$

ทฤษฎีบทค่ากลางแสดงให้เห็นถึงแนวคิดที่ว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ มีค่าเป็นจำนวนจริง บนช่วงและ f เป็นค่าใดๆ ระหว่างf และf แล้ว เราคาดว่าจะพบค่า f ระหว่าง f และ f โดยที่ f ≠ f ตัวอย่างเช่น ถ้า f ถูกกำหนดบนช่วง f แล้ว เมื่อกำหนดค่า f ระหว่าง f และf จะมีค่า f ระหว่าง f และ f โดย ที่f ≠ f รูปแบบที่เทียบเท่ากันของทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าภาพของช่วง f โดยฟังก์ชันต่อเนื่อง f เป็นช่วง f เช่นกัน ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(c)=d}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle [3,4]}$${\displaystyle d=10}$${\displaystyle f(3)=3^{2}=9}$${\displaystyle f(4)=4^{2}=16}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle f(c)=c^{2}=10}$

ช่วงความเชื่อมั่นมีความสำคัญในการอนุมานทางสถิติและให้ช่วงของค่าประมาณสำหรับพารามิเตอร์ทางสถิติ ที่ไม่ทราบค่า เช่นค่าเฉลี่ย ของประชากร แตกต่างจากช่วงประเภทอื่น ๆ ช่วงความเชื่อมั่นจะถูกประเมินจากตัวอย่างสุ่ม และจุดปลายของช่วงเป็น ตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นจำนวนจริงตัวอย่างที่แตกต่างกันอาจให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันได้

เมื่อทำการสุ่มตัวอย่างซ้ำ จะมีค่าความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ซึ่งเรียกว่าระดับความเชื่อมั่น ว่าช่วงความเชื่อมั่นที่ได้นั้นจะครอบคลุมค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า ตัวอย่างเช่น หากเลือกใช้ระดับความเชื่อมั่นที่ 0.95 และทำการสุ่มตัวอย่างแบบเดียวกันซ้ำหลายครั้ง ในระยะยาว คาดว่าประมาณ 95% ของช่วงความเชื่อมั่นที่ได้จะครอบคลุมค่าที่แท้จริง

การแจกแจงแบบปกติเป็นตัวอย่างที่เข้าใจง่าย มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นซึ่งกราฟเป็นรูปทรงระฆังที่คุ้นเคย จุดสูงสุดอยู่ที่ค่าเฉลี่ย(อักษรกรีกมิว) และความกว้างสามารถอธิบายได้ด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน(ซิกมา) พารามิเตอร์ทั้งสองนี้ทำให้รูปทรงระฆังแต่ละรูปแตกต่างกัน แต่ในทุกกรณี บริเวณภายในสองค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งสองด้านของค่าเฉลี่ยแสดงถึงความน่าจะเป็นประมาณ 0.95 ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle P(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.95}$$

สำหรับ ตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายแบบปกติ${\displaystyle X}$

ให้เป็นค่าเฉลี่ยของตัวอย่างสำหรับขนาดตัวอย่างคงที่ ซึ่งเป็นตัวประมาณค่าสำหรับนอกจากนี้ยังมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวเองอสมการก่อนหน้านี้สามารถเขียนในรูปของ ได้ ดังนี้${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma _{\bar {X}}}$${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle P({\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}})\approx 0.95.}$$

หาก ทราบค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ช่วงดังกล่าว จะเป็นช่วงความเชื่อมั่นสำหรับโดยมีระดับความเชื่อมั่นประมาณ 0.95 จุดปลายของช่วงคือตัวแปรสุ่มและซึ่งค่าจริงจะขึ้นอยู่กับตัวอย่างที่นำมาวิเคราะห์ ${\displaystyle \sigma _{\bar {X}}}$${\displaystyle [{\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}},{\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}}]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}}}$${\displaystyle {\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}}}$

ปริภูมิไทโคนอฟทุก ปริภูมิ สามารถฝังลงในปริภูมิผลคูณของช่วงหน่วยปิดได้อันที่จริง ปริภูมิไทโคนอฟทุกปริภูมิที่มีฐานขนาดเท่ากับสามารถฝังลงในผล คูณ ของสำเนาของช่วงได้^{[ 13 ] : หน้า 83, ทฤษฎีบท 2.3.23} ${\displaystyle [0,1].}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$${\displaystyle \kappa }$

แนวคิดของเซตแบบนูนและส่วนประกอบแบบนูนถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ว่าเซตที่มีลำดับสมบูรณ์ ทุกเซต ที่มีโทโพโลยีลำดับ นั้น เป็น เซต ปกติโดยสมบูรณ์^{[ 14 ]}หรือยิ่งไปกว่านั้น คือ เป็นเซตปกติแบบโมโนโทนิก^{[ 15 ]}

ช่วงเปิดจำกัด คือ ทรงกลมเปิด 1 มิติที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่และรัศมีช่วงปิดจำกัดคือ ทรงกลมปิดที่สอดคล้องกัน และจุดปลายทั้งสองของช่วงนั้น ประกอบกันเป็น ทรงกลม 0 มิติเมื่อขยายความไปยัง ปริภูมิ ยุคลิด n มิติ ทรงกลม คือ เซตของจุดที่มีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางน้อยกว่ารัศมี ในกรณี 2 มิติ ทรงกลมเรียกว่าดิสก์${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b-a).}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle n}$

หาก พิจารณา ครึ่งพื้นที่ ว่าเป็นทรง กลมเสื่อมสภาพชนิดหนึ่ง(โดยไม่มีจุดศูนย์กลางหรือรัศมีที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน) ครึ่งพื้นที่นั้นก็สามารถเปรียบได้กับช่วงครึ่งขอบเขต โดยมีระนาบขอบเขตเป็นทรงกลม (เสื่อมสภาพ) ที่สอดคล้องกับจุดปลายที่จำกัด

ช่วงจำกัดคือ (ส่วนภายในของ) ไฮเปอร์เรคแทงเกิล 1 มิติเมื่อขยายไปสู่ระบบพิกัดจริง ไฮ เปอร์เรคแทง เกิล (หรือกล่อง) ที่วางตัวตามแกนคือผลคูณคาร์ทีเซียนของช่วงจำกัด สำหรับนี่คือสี่เหลี่ยมผืนผ้าสำหรับนี่คือทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (เรียกอีกอย่างว่า " กล่อง ") ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$

เนื่องจากสามารถมีจุดปลายได้ทั้งแบบเปิด ปิด และอนันต์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของช่วง ใดๆ จึงบางครั้งเรียกว่าช่วงมิติ n ${\displaystyle n}$${\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$${\displaystyle n}$

ด้านหนึ่งของช่วงดังกล่าวเป็นผลมาจากการแทนที่ปัจจัยช่วงที่ไม่เสื่อมสภาพใดๆด้วยช่วงที่เสื่อมสภาพซึ่งประกอบด้วยจุดปลายที่จำกัดด้านต่างๆของประกอบด้วยตัวมันเองและด้านทั้งหมดของด้านต่างๆ ของมันมุมของคือด้านที่ประกอบด้วยจุดเดียวของ${\displaystyle I}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle I_{k}.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

ช่วงจำกัดใดๆ สามารถสร้างขึ้นได้จากการตัดกันของช่วงที่มีขอบเขตครึ่งหนึ่ง (โดยถือว่าจุดตัดที่ว่างเปล่าหมายถึงเส้นจำนวนจริงทั้งหมด) และจุดตัดของช่วงที่มีขอบเขตครึ่งหนึ่งจำนวนใดๆ ก็เป็นช่วง (อาจว่างเปล่า) ได้เช่นกัน เมื่อขยายไปสู่ปริภูมิเชิง เส้นตรงมิติ n จุดตัดของครึ่งปริภูมิ (ที่มีทิศทางใดๆ) ก็คือ (ส่วนภายในของ) รูปหลายเหลี่ยมนูนหรือในกรณี 2 มิติก็คือรูปหลายเหลี่ยมนูน ${\displaystyle n}$

ช่วงเปิด (Open interval) คือเซตเปิดที่เชื่อมต่อกันของจำนวนจริง เมื่อนำไปใช้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยทั่วไป เซตเปิดที่เชื่อมต่อกันและไม่ว่างเปล่าจะเรียกว่าโดเมน (Domain )

ช่วงของจำนวนเชิงซ้อนสามารถกำหนดได้เป็นบริเวณของระนาบเชิงซ้อนไม่ว่าจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือวงกลม^{[ 16 ]}

แนวคิดของช่วงเวลาสามารถกำหนดได้ในเซตที่มีลำดับบางส่วน ตามอำเภอใจ หรือโดยทั่วไปแล้ว ในเซตที่มีลำดับก่อนหน้า ตามอำเภอใจ สำหรับเซตที่มีลำดับก่อนหน้า และองค์ประกอบสองตัว เราจะกำหนดช่วงเวลาในทำนองเดียวกัน^{[ 17 ] : 11, นิยาม 11} ${\displaystyle (X,\lesssim )}$${\displaystyle a,b\in X,}$

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\},}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\mid a\lesssim x\lesssim b\},}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\mid a<x\lesssim b\},}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\mid a\lesssim x<b\},}$

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\mid a<x\},}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\mid a\lesssim x\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\mid x<b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\mid x\lesssim b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X,}$

ที่จริงแล้ว ช่วงที่มีจุดปลายเดียวหรือไม่มีจุดปลายเลยนั้น จะเหมือนกับช่วงที่มีจุดปลายสองจุดในเซตที่เรียงลำดับไว้ล่วงหน้าขนาดใหญ่กว่า ${\displaystyle x<y}$${\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x.}$

${\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}$

กำหนดโดยการเพิ่มองค์ประกอบที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดใหม่ (แม้ว่าจะมีอยู่แล้วก็ตาม) ซึ่งเป็นเซตย่อยของในกรณีของ อาจถือได้ว่าเป็นเส้นจำนวนจริงที่ขยายออกไป ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$

เซตย่อยของเซตที่เรียงลำดับไว้ล่วงหน้าเรียกว่าเซต (เรียงลำดับ) นูนถ้าสำหรับทุก ๆและทุก ๆเรามีซึ่งแตกต่างจากกรณีของเส้นจำนวนจริง เซตที่นูนของเซตที่เรียงลำดับไว้ล่วงหน้าไม่จำเป็นต้องเป็นช่วง ตัวอย่างเช่น ในเซตที่เรียงลำดับโดยสมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะเซต ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle (X,\lesssim )}$${\displaystyle x,y\in A}$${\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}$${\displaystyle z\in A.}$${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}}$

เป็นนูน แต่ไม่ใช่ช่วงของเนื่องจากไม่มีรากที่สองของสองในช่วงนั้น${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

ให้เป็นเซตที่เรียงลำดับล่วงหน้าและให้เซตแบบ นูนของ ที่อยู่ใน ก่อให้เกิดโพเซตภายใต้การรวมองค์ประกอบสูงสุดของโพเซตนี้เรียกว่าส่วนประกอบแบบนูนของ^{[ 15 ] : นิยาม 5.1 [ 14 ] : 727} ตามทฤษฎีบทของ Zornเซตแบบนูนใดๆ ของที่อยู่ใน จะถูกบรรจุอยู่ในส่วนประกอบแบบนูนบางส่วนของแต่ส่วนประกอบดังกล่าวไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์ ในเซตที่เรียงลำดับอย่างสมบูรณ์ส่วนประกอบดังกล่าวจะมีเอกลักษณ์เสมอ นั่นคือ ส่วนประกอบแบบนูนของเซตย่อยของเซตที่เรียงลำดับอย่างสมบูรณ์จะก่อให้เกิด พาร์ ติ ชัน${\displaystyle (X,\lesssim )}$${\displaystyle Y\subseteq X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y,}$

การสรุปทั่วไปของลักษณะเฉพาะของช่วงจริงมีดังต่อไปนี้ สำหรับเซตย่อยที่ไม่ว่างของความต่อเนื่องเชิงเส้นเงื่อนไขต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน^{[ 18 ] : 153, ทฤษฎีบท 24.1} ${\displaystyle I}$${\displaystyle (L,\leq ),}$

• เซตนี้เป็นช่วง (interval)${\displaystyle I}$
• เซตนี้เป็นเซตแบบนูนตามลำดับ (order-convex)${\displaystyle I}$
• เซตดังกล่าวเป็นเซตย่อยที่เชื่อมต่อกันเมื่อมี โทโพ โลยีลำดับ${\displaystyle I}$${\displaystyle L}$

สำหรับเซตย่อย ของแลตทิซเงื่อนไขต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle L,}$

• เซตนี้เป็นซับแลตติซและเป็นเซตแบบนูน (ตามลำดับ)${\displaystyle S}$
• มีอุดมคติ และตัวกรองอยู่ดังนี้${\displaystyle I\subseteq L}$${\displaystyle F\subseteq L}$${\displaystyle S=I\cap F.}$

ช่วงสามารถเชื่อมโยงกับจุดบนระนาบได้ ดังนั้นบริเวณของช่วงจึงสามารถเชื่อมโยงกับบริเวณบนระนาบได้ โดยทั่วไป ช่วงในทางคณิตศาสตร์จะสอดคล้องกับคู่ลำดับ( x , y )ที่ได้จากผลคูณโดยตรง ของจำนวนจริงกับตัวมันเอง ซึ่งมักจะถือว่าy > xเพื่อวัตถุประสงค์ของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ข้อจำกัดนี้จะถูกละทิ้ง^{[ 19 ]}และอนุญาตให้มี "ช่วงกลับด้าน" ที่ y − x < 0 จากนั้น คอลเลกชันของช่วงทั้งหมด [ x , y ]สามารถระบุได้ด้วยวงแหวนโทโพโลยีที่เกิดจากผลรวมโดยตรงของกับตัวมันเอง โดยที่การบวกและการคูณถูกกำหนดตามส่วนประกอบ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

พีชคณิตผลรวมโดยตรงมีไอเดียล สองตัว คือ { [ x ,0] : x ∈ R } และ { [0, y ] : y ∈ R } องค์ประกอบเอกลักษณ์ของพีชคณิตนี้คือช่วงย่อ[1, 1]ถ้าช่วง[ x , y ]ไม่อยู่ในไอเดียลใดไอเดียลหนึ่ง ช่วงนั้นจะมีตัวผกผันการคูณคือ[1/ x , 1/ y ]เมื่อกำหนดโทโพโลยี ตามปกติแล้ว พีชคณิตของช่วงจะก่อตัวเป็นวงแหวนโทโพโลยีกลุ่มของหน่วยในวงแหวนนี้ประกอบด้วยควอดแรนต์สี่ส่วนที่กำหนดโดยแกน หรือไอเดียลในกรณีนี้องค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มนี้คือควอดแรนต์ที่ 1 ${\displaystyle (\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,+,\times )}$

ทุกช่วงเวลาสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นช่วงเวลาสมมาตรโดยรอบจุดกึ่งกลางในการกำหนดค่าใหม่ที่ตีพิมพ์ในปี 1956 โดย M Warmus แกนของ "ช่วงเวลาที่สมดุล" [ x , − x ]จะถูกใช้ควบคู่ไปกับแกนของช่วงเวลา[ x , x ]ที่ลดลงเหลือเพียงจุดเดียว แทนที่จะเป็นผลรวมโดยตรงวงแหวนของช่วงเวลาได้รับการระบุ^{[ 20 ]}ด้วยจำนวนไฮเปอร์โบลิกโดย M. Warmus และDH Lehmerผ่านการระบุ ${\displaystyle R\oplus R,}$

${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}(x+y)+{\tfrac {1}{2}}(x-y)j,}$

ที่ไหน${\displaystyle j^{2}=1.}$

การแมปเชิงเส้นของระนาบนี้ ซึ่งเทียบเท่ากับไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนทำให้ระนาบมีโครงสร้างการคูณที่มีความคล้ายคลึงกับเลขคณิตเชิงซ้อนทั่วไป เช่น การแยกส่วน เชิง ขั้ว

• ส่วนโค้ง (เรขาคณิต)
• ความไม่เท่าเทียมกัน
• กราฟช่วงเวลา
• องค์ประกอบไฟไนต์ช่วง
• ช่วง (สถิติ)
• ส่วนของเส้นตรง
• การแบ่งช่วง
• ช่วงเวลาหน่วย

• T. Sunaga, "ทฤษฎีพีชคณิตช่วงและการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข" เก็บถาวรเมื่อ 2012-03-09 ที่Wayback Machineใน: บันทึกของสมาคมวิจัยเรขาคณิตประยุกต์ (RAAG), Ggujutsu Bunken Fukuy-kai โตเกียว ประเทศญี่ปุ่น 1958 เล่ม 2 หน้า 29–46 (547-564); พิมพ์ซ้ำใน Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009 เล่ม 26 ฉบับที่ 2-3 หน้า 126–143

• บทความเรื่อง "A Lucid Interval"โดย Brian Hayes จากนิตยสาร An American Scientistให้ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับเรื่องนี้
• เว็บไซต์การคำนวณช่วงเวลาถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 2 มีนาคม 2549 ที่Wayback Machine
• ศูนย์วิจัยการคำนวณช่วงเวลาเก็บถาวรเมื่อ 2007-02-03 ที่Wayback Machine
• สัญกรณ์ช่วงเสียงโดย จอร์จ เบ็คโครงการสาธิตของวูล์ฟแรม
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ช่วงเวลา" . แมธเวิลด์ .