ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาโทโพโลยี ปริภูมิ ปกติ แบบโมโนโทนิก (monotonicly normal space) คือ ปริภูมิปกติชนิดหนึ่งโดยเฉพาะซึ่งนิยามขึ้นจากตัวดำเนินการปกติแบบโมโนโทนิก (monotone normality operator) ปริภูมิชนิดนี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจบางประการ เช่น ปริภูมิเมตริก (metric space) และปริภูมิเรียงลำดับเชิงเส้น (linearly ordered space) เป็นปริภูมิปกติแบบโมโนโทนิก และปริภูมิปกติแบบโมโนโทนิกทุกปริภูมิเป็นปริภูมิปกติแบบสืบทอด (hereditarily normal )

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี เรียกว่าปกติแบบโมโนโทนิกหากเป็นไปตามคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle X}$

ปริภูมิคือT ₁และมีฟังก์ชันที่กำหนดค่าให้กับแต่ละคู่ลำดับของเซตปิดที่ไม่ซ้ำกันในเซตเปิดโดยที่: ${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G(A,B)}$

(ฉัน) ;${\displaystyle A\subseteq G(A,B)\subseteq {\overline {G(A,B)}}\subseteq X\setminus B}$

(ii) เมื่อใดก็ตามที่และ.${\displaystyle G(A,B)\subseteq G(A',B')}$${\displaystyle A\subseteq A'}$${\displaystyle B'\subseteq B}$

เงื่อนไข (i) ระบุว่าเป็นปริภูมิปกติ ดังที่เห็นได้จากฟังก์ชันเงื่อนไข (ii) ระบุว่าแปรผันในลักษณะโมโนโทน ดังนั้นจึงใช้คำว่าปกติแบบ โมโนโทน ตัวดำเนินการนี้เรียกว่าตัวดำเนินการความปกติแบบโมโนโทน ${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G(A,B)}$${\displaystyle G}$

เราสามารถเลือกที่จะตอบสนองความต้องการของทรัพย์สิน ได้เสมอ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(A,B)\cap G(B,A)=\emptyset }$,

โดยการแทนที่แต่ละอันด้วย. ${\displaystyle G(A,B)}$${\displaystyle G(A,B)\setminus {\overline {G(B,A)}}}$

พื้นที่คือ T ₁และมีฟังก์ชันที่กำหนดให้กับแต่ละคู่ลำดับของเซตที่แยกจากกันใน(นั่นคือ เช่นนั้น) เซตเปิดที่ตรงตามเงื่อนไขเดียวกัน (i) และ (ii) ของนิยาม 1 ${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap {\overline {B}}=B\cap {\overline {A}}=\emptyset }$${\displaystyle G(A,B)}$

พื้นที่คือ T ₁และมีฟังก์ชันที่กำหนดค่าให้กับแต่ละคู่ที่มีเซตเปิดในและเซตเปิดโดยที่: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (x,U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \mu (x,U)}$

(ฉัน) ;${\displaystyle x\in \mu (x,U)}$

( ii) ถ้าแล้วหรือ${\displaystyle \mu (x,U)\cap \mu (y,V)\neq \emptyset }$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle y\in U}$

ฟังก์ชันดังกล่าวจะตอบสนองความต้องการโดยอัตโนมัติ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle x\in \mu (x,U)\subseteq {\overline {\mu (x,U)}}\subseteq U}$.

( เหตุผล : สมมติว่าเนื่องจากเป็น T ₁จึงมีย่านใกล้เคียงแบบเปิดของเช่นนั้นโดยเงื่อนไข (ii) นั่นคือเป็นย่านใกล้เคียงของที่ไม่ทับซ้อนกับ ดังนั้น.) ^{[ 5 ]}${\displaystyle y\in X\setminus U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\notin V}$${\displaystyle \mu (x,U)\cap \mu (y,V)=\emptyset }$${\displaystyle \mu (y,V)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mu (x,U)}$${\displaystyle y\notin {\overline {\mu (x,U)}}}$

ให้เป็นฐานสำหรับโทโพโลยีของพื้นที่คือ T ₁และมีฟังก์ชันที่กำหนดให้แต่ละคู่โดยที่และเป็นเซตเปิดที่ตรงตามเงื่อนไขเดียวกัน (i) และ (ii) ของนิยาม 3 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (x,U)}$${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \mu (x,U)}$

พื้นที่คือ T ₁และมีฟังก์ชันที่กำหนดค่าให้กับแต่ละคู่ที่มีเซตเปิดในและเซตเปิดโดยที่: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (x,U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \mu (x,U)}$

(ฉัน) ;${\displaystyle x\in \mu (x,U)}$

(ii) ถ้าและเป็นช่องเปิด และแล้ว;${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x\in U\subseteq V}$${\displaystyle \mu (x,U)\subseteq \mu (x,V)}$

(iii) ถ้าและเป็นจุดที่แตกต่างกัน แล้ว.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mu (x,X\setminus \{y\})\cap \mu (y,X\setminus \{x\})=\emptyset }$

ฟังก์ชันดังกล่าวจะตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดของคำนิยามที่ 3 โดยอัตโนมัติ ${\displaystyle \mu }$

• พื้นที่เมตริกซ์ทุกแห่งเป็นปกติแบบโมโนโทนิก^{[ 4 ]}
• ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีลำดับเชิงเส้นทุก ปริภูมิ (LOTS) เป็นแบบปกติเชิงโมโนโท นิก ^{[ 6 ] [ 4 ]} โดยถือว่าเป็นไปตามสัจพจน์ของการเลือกเพราะหากไม่มีสัจพจน์นี้ จะมีตัวอย่างของ LOTS ที่ไม่เป็นแบบปกติด้วยซ้ำ^{[ 7 ]}
• เส้นSorgenfreyเป็นเส้นปกติแบบโมโนโทนิก^{[ 4 ]} ซึ่งเป็นผลมาจากนิยาม 4 โดยการใช้ช่วงทั้งหมดในรูปแบบเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีและสำหรับโดยการให้หรืออีกทางหนึ่ง เส้น Sorgenfrey เป็นเส้นปกติแบบโมโนโทนิกเพราะสามารถฝังเป็นปริภูมิย่อยของ LOTS ได้ นั่นคือปริภูมิลูกศรคู่${\displaystyle [a,b)}$${\displaystyle x\in [a,b)}$${\displaystyle \mu (x,[a,b))=[x,b)}$
• เมตริกทั่วไปใดๆ ก็ตามมีลักษณะเป็นปกติแบบโมโนโทนิก

• ความปกติแบบโมโนโทนเป็นคุณสมบัติทางพันธุกรรม : ทุกส่วนย่อยของปริภูมิปกติแบบโมโนโทนจะเป็นปริภูมิปกติแบบโมโนโทนเช่นกัน
• พื้นที่ปกติแบบโมโนโทนิกทุกพื้นที่เป็นพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟปกติโดยสมบูรณ์ (หรือ T ₅ )
• พื้นที่ปกติแบบโมโนโทนิกทุกแห่งจะมีลักษณะปกติตามการสืบทอดแบบคอลเลกชัน^{[ 8 ]}
• ภาพของพื้นที่ปกติแบบโมโนโทนิกภายใต้แผนที่ปิด ต่อเนื่อง จะเป็นแบบปกติแบบโมโนโทนิก^{[ 9 ]}
• พื้นที่ Hausdorff ขนาดกะทัดรัดเป็นภาพต่อเนื่องของพื้นที่เรียงลำดับเชิงเส้นขนาดกะทัดรัดก็ต่อเมื่อเป็นปกติแบบโมโนโทนิก^{[ 10 ] [ 3 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$