ในทางคณิตศาสตร์การหาผลรวมคือการบวกตัวเลขหลายๆตัว เข้าด้วย กันซึ่งเรียกว่าตัวถูกบวกหรือตัวถูกบวกผลลัพธ์ที่ได้คือผลรวมหรือค่าทั้งหมดนอกจากตัวเลขแล้ว ยังสามารถหาผลรวมของค่าประเภทอื่นๆ ได้ด้วย เช่นฟังก์ชันเวกเตอร์เมทริกซ์พหุนามและโดยทั่วไปแล้ว สมาชิกของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ทุกประเภท ที่สามารถใช้เครื่องหมาย "+" ใน การดำเนินการได้

ผลรวมของลำดับอนันต์เรียกว่าอนุกรมซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องลิมิตและจะไม่กล่าวถึงในบทความนี้

การหาผลรวมของลำดับที่ระบุอย่างชัดเจนจะเขียนแทนด้วยการบวกต่อเนื่องกัน ตัวอย่างเช่น การหาผลรวมของ[1, 2, 4, 2]จะเขียนแทนด้วย1 + 2 + 4 + 2และได้ผลลัพธ์เป็น 9 นั่นคือ1 + 2 + 4 + 2 = 9เนื่องจากการบวกมี คุณสมบัติ การสลับที่และการจัดกลุ่มจึงไม่จำเป็นต้องมีวงเล็บ และผลลัพธ์จะเหมือนกันไม่ว่าลำดับของตัวบวกจะเป็นอย่างไร การหาผลรวมของลำดับที่มีตัวบวกเพียงตัวเดียวจะได้ผลลัพธ์เป็นตัวบวกนั้นเอง ส่วนการหาผลรวมของลำดับว่าง (ลำดับที่ไม่มีสมาชิก) ตามธรรมเนียมแล้วจะได้ผลลัพธ์เป็น 0

บ่อยครั้งที่องค์ประกอบของลำดับถูกกำหนดโดยรูปแบบปกติ โดยเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งในลำดับนั้น สำหรับรูปแบบง่ายๆ การหาผลรวมของลำดับยาวๆ อาจแสดงได้โดยการแทนที่พจน์ส่วนใหญ่ด้วยจุดไข่ปลา ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติ 100 ตัวแรก อาจเขียนได้เป็น1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 หรืออาจใช้ สัญลักษณ์ Σแทนการหาผลรวม โดยที่ Σ คือ อักษรกรีกตัวใหญ่ที่ขยายใหญ่ขึ้นตัวอย่างเช่น ผลรวมของ จำนวนธรรมชาติ n ตัวแรก สามารถเขียนได้เป็น Σ = n ${\textstyle \sum }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i.}$

สำหรับการหาผลรวมที่ยาวและผลรวมที่มีความยาวแปรผัน (กำหนดด้วยจุดไข่ปลาหรือสัญลักษณ์ Σ) การหา สูตรสำเร็จรูปสำหรับผลลัพธ์มักเป็นปัญหาทั่วไป ตัวอย่างเช่น ^{[ a ]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

แม้ว่าสูตรดังกล่าวจะไม่ได้มีอยู่เสมอไป แต่ก็มีการค้นพบสูตรการหาผลรวมหลายสูตร โดยสูตรที่พบได้บ่อยและพื้นฐานที่สุดบางส่วนจะถูกระบุไว้ในส่วนที่เหลือของบทความนี้

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ใช้สัญลักษณ์ที่แสดงผลรวมของพจน์ที่คล้ายกันจำนวนมากได้อย่างกระชับ: สัญลักษณ์ผลรวม , , ซึ่งเป็นรูปแบบขยายของอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่ซิกมา [ ^{1 ] โดย}กำหนดเป็น โดย ที่iคือ "ดัชนีของผลรวม" หรือ "ตัวแปรดัมมี่" ^{[ 2 ]} a _iคือตัวแปรที่มีดัชนีซึ่งแทนพจน์แต่ละพจน์ของผลรวม; mคือ "ขอบล่างของผลรวม" และnคือ "ขอบบนของผลรวม" " i = m " ใต้สัญลักษณ์ผลรวมหมายความว่าดัชนีiเริ่มต้นเท่ากับmดัชนีiจะเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งสำหรับแต่ละพจน์ที่ต่อเนื่องกัน โดยหยุดเมื่อi = n [ ^{b ] อ่าน}ว่า "ผลรวมของa _iจากi = mถึงn " อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์บางอย่างอาจรวมดัชนีที่ขอบบนของผลรวม หรือละเว้นดัชนีที่ขอบล่าง เช่นหรือตามลำดับ^{[ 3 ]}มีรูปแบบการเขียนสัญลักษณ์ซิกมาแบบต่างๆ ที่ละเว้นช่วงของขอบเขต ซึ่งหมายถึงตัวแปรดัมมี่เท่านั้น เช่น[ ^{4 ] นี่}คือตัวอย่างที่แสดงการบวกกำลังสอง: โดยทั่วไป ในขณะที่ตัวแปรใดๆ ก็สามารถใช้เป็นดัชนีของการบวกได้ (ตราบใดที่ไม่มีความกำกวมเกิดขึ้น) ตัวแปรที่ใช้กันทั่วไปบางส่วน ได้แก่ ตัวอักษร เช่น[ ^{c ]} , , และ; ตัวหลังนี้มักใช้สำหรับขอบเขตบนของการบวกด้วย^{[ 5 ] หรืออีกทางหนึ่ง ดัชนีและขอบเขตของการ บวก}บางครั้งอาจถูกละเว้นจากคำจำกัดความของการบวกหากบริบทมีความชัดเจนเพียงพอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อดัชนีวิ่งจาก 1 ถึงnตัวอย่างเช่น อาจเขียนได้ว่า^{[ 6 ]}${\textstyle \sum }$$${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$$${\textstyle \sum _{i=m}^{i=n}a_{i}}$${\textstyle \sum _{m}^{n}a_{i}}$${\textstyle \sum _{i}a_{i}}$$${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum a_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

โดยทั่วไปมักใช้การสรุปทั่วไปของสัญกรณ์นี้ โดยที่เงื่อนไขเชิงตรรกะที่กำหนดขึ้นจะถูกนำมาใช้ และผลรวมจะคำนวณจากค่าทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไขนั้น ตัวอย่างเช่น เป็นสัญกรณ์ทางเลือกสำหรับ ผลรวมของจากจำนวนเต็มทั้งหมดในช่วงที่กำหนด^{[ 5 ]}ในทำนองเดียวกันคือผลรวมของจากองค์ประกอบทั้งหมดในเซต[ ^{7 ] [ 8 ]}และ คือผลรวมของ^จากจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร^{[ d ]}${\textstyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$${\textstyle \sum _{k=0}^{99}ฉ(k),}$${\displaystyle f(k)}$${\displaystyle k}$${\textstyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\textstyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}$${\displaystyle \mu (d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$

นอกจากนี้ยังมีวิธีทำให้การใช้สัญลักษณ์ซิกมาหลายแบบเป็นแบบทั่วไปได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น การเขียนผลรวมสองเท่าเป็นสัญลักษณ์ซิกมาสองตัวที่มีตัวแปรดัมมี่ต่างกันเมื่อพิจารณาว่าช่วงของสัญลักษณ์ซิกมาทั้งสองเหมือนกัน สัญลักษณ์ซิกมาสองตัวสามารถรวมเข้าเป็นสัญลักษณ์เดียวได้ ดังนั้นผลรวมสองเท่าจึงถูกเขียนใหม่เป็น^{[ 9 ]}${\textstyle \sum _{i=\ell }^{n}\sum _{j=m}^{k}a_{i,j}}$${\textstyle \sum _{i=m}^{n}\sum _{j=m}^{n}a_{i,j}=\sum _{i,j=m}^{n}a_{i,j}}$

คำศัพท์บางครั้งมีการใช้ อนุกรมจำกัดเมื่อกล่าวถึงผลรวมที่นำเสนอข้างต้น ในทางตรงกันข้ามกับอนุกรมอนันต์ขอบเขตบนมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์ ซึ่งส่งผลให้ลู่เข้าหากมีผลลัพธ์ของผลรวม หรือลู่ออกหากเป็นอย่างอื่น ขอบเขตในสัญกรณ์ซิกมาของอนุกรมอนันต์สามารถแสดงได้อีกแบบหนึ่งเป็น ^{[ 9 ]}${\textstyle \sum _{i=m}^{\infty }a_{i}}$${\textstyle \sum _{i\geq 0}a_{i}}$

ในทำนองเดียวกัน มีการใช้สัญลักษณ์ที่คล้ายกันสำหรับผลคูณของลำดับโดย ใช้รูปแบบที่ขยายใหญ่ขึ้นของอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ ^ของกรีกpiแทน^[ 10 ^]${\textstyle \prod }$${\textstyle \sum }$

เป็นไปได้ที่จะบวกเลขน้อยกว่า 2 จำนวน:

• ถ้าผลรวมมีพจน์เดียวผลรวมที่ได้จะเป็น.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• ถ้าผลรวมไม่มีพจน์ใด ๆ ผลรวมที่ได้จะเป็นศูนย์เพราะศูนย์คือค่าเอกลักษณ์ของการบวก นี่เรียกว่าผลรวมว่างเปล่า

กรณีเสื่อมสภาพเหล่านี้มักใช้เฉพาะเมื่อสัญลักษณ์การบวกให้ผลลัพธ์ที่เสื่อมสภาพในกรณีพิเศษเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าในนิยามข้างต้น จะมีเพียงพจน์เดียวในผลรวม ถ้าจะไม่มีพจน์ใดเลย ${\displaystyle n=m}$${\displaystyle n=m-1}$

วลี 'ผลรวมพีชคณิต' หมายถึงผลรวมของพจน์ที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบได้ พจน์ที่มีเครื่องหมายบวกคือการบวก ส่วนพจน์ที่มีเครื่องหมายลบคือการลบ

ที่มาของสัญลักษณ์ผลรวมย้อนกลับไปในปี ค.ศ. 1675 เมื่อGottfried Wilhelm LeibnizในจดหมายถึงHenry Oldenburgได้เสนอสัญลักษณ์นี้เพื่อทำเครื่องหมายผลรวมของอนุพันธ์ ( ภาษาละติน : calculus summatorius ) ดังนั้นจึงมีรูปร่างเป็นตัว S ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}การเปลี่ยนชื่อสัญลักษณ์นี้เป็นอินทิกรัลเกิดขึ้นในภายหลังจากการแลกเปลี่ยนกับJohann Bernoulli [ ^{13 ] ใน}ปี ค.ศ. 1755 สัญลักษณ์ผลรวม Σ ปรากฏอยู่ในInstitutiones calculi differentialisของLeonhard Euler ^{[ 14 ] [ 15 ]} Euler ใช้สัญลักษณ์นี้ในนิพจน์เช่น การใช้สัญลักษณ์ซิกมาได้รับการยืนยันในภายหลังโดยนักคณิตศาสตร์เช่นLagrangeซึ่งใช้สัญลักษณ์และในปี 1772 ^{[ 14 ] [ 16 ]} FourierและCGJ Jacobiก็ใช้สัญลักษณ์ซิกมาในปี 1829 เช่นกัน ^{[ 14 ]}แต่ Fourier ได้รวมขอบเขตล่างและขอบเขตบนไว้ด้วย[ ^{17 ] [ 18 ] นอกเหนือ}จากสัญลักษณ์ซิกมาแล้ว ตัวอักษรตัวใหญ่Sยังได้รับการยืนยันว่าเป็นสัญลักษณ์ผลรวมสำหรับอนุกรมในปี 1823 ซึ่งเห็นได้ชัดว่าแพร่หลาย^{[ 14 ]}${\textstyle \int }$${\textstyle \sum (2wx+w^{2})=x^{2}}$${\textstyle \sum }$${\textstyle \sum ^{n}}$${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }$

การหาผลรวมสามารถนิยามได้แบบเวียนซ้ำในฐานะตัวดำเนินการโดยรับฟังก์ชันและจำนวนธรรมชาติสองจำนวน ดังนี้:

${\displaystyle \sum :(\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\times \mathbb {N} \times \mathbb {N} )\mapsto \mathbb {R} }$โดยที่:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$, สำหรับ;${\displaystyle b<a}$

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}$, สำหรับ.${\displaystyle b\geqslant a}$

ในสัญลักษณ์ของ ทฤษฎี การวัดและการอินทิเกรตผลรวมสามารถแสดงได้ในรูปของอินทิกรัลจำกัด

${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

โดยที่เป็นเซตย่อยของจำนวนเต็มตั้งแต่ถึงและ โดยที่เป็นมาตรวัดการนับเหนือจำนวนเต็มเหล่านั้น ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mu }$

กำหนดให้ฟังก์ชันfถูกนิยามไว้บนจำนวนเต็มในช่วง[ m , n ]สมการต่อไปนี้จะเป็นจริง:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

สิ่งนี้เรียกว่าอนุกรมเทเลสโคปิกและเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้กับทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสในแคลคูลัสของผลต่างจำกัดซึ่งกล่าวว่า:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}$

ที่ไหน

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

คืออนุพันธ์ของf​

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้สมการข้างต้นมีดังต่อไปนี้:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}$

โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม เราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.}$

สูตรข้างต้นมักใช้สำหรับการผกผันของตัวดำเนินการผลต่าง ซึ่งกำหนดโดย: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

โดยที่fเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น เมื่อกำหนดฟังก์ชันf ดังกล่าว ปัญหาคือการคำนวณผลต่างผกผันของf ซึ่งเป็น ฟังก์ชัน ที่ นั่นคือ ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดโดยบวกค่าคงที่ และอาจเลือกเป็น^{[ 19 ]}${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$${\displaystyle \Delta F=f}$${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}$

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

การหาผลรวมดังกล่าว อาจไม่มีสูตรสำเร็จรูป เสมอไป แต่สูตรของ Faulhaberให้สูตรสำเร็จรูปในกรณีที่และด้วยคุณสมบัติเชิงเส้นจะ ได้สูตรสำเร็จรูป สำหรับฟังก์ชันพหุนาม ทุกตัว ของn${\displaystyle f(n)=n^{k}}$

สามารถหาค่าประมาณได้มากมายโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมและปริพันธ์ ดังต่อไปนี้ ซึ่งใช้ได้กับฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ใดๆ f :

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

และสำหรับฟังก์ชันลดลง ใดๆ f :

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

สำหรับค่าประมาณทั่วไปเพิ่มเติม โปรดดูสูตรออยเลอร์-แมคลาลิน

สำหรับการหาผลรวมที่พจน์ที่นำมาบวกถูกกำหนด (หรือสามารถประมาณค่าได้) ด้วย ฟังก์ชัน ที่หาปริพันธ์ได้ของดัชนี การหาผลรวมนั้นสามารถตีความได้ว่าเป็นผลรวมแบบรีมันน์ที่ปรากฏในนิยามของปริพันธ์จำกัดที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงคาดได้ว่า ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}$

เนื่องจากด้านขวามือโดยนิยามแล้วคือลิมิตของด้านซ้ายมือ อย่างไรก็ตาม สำหรับผลรวมที่กำหนดnนั้นคงที่ และแทบจะพูดอะไรไม่ได้เลยเกี่ยวกับข้อผิดพลาดในการประมาณข้างต้นโดยปราศจากข้อสมมติเพิ่มเติมเกี่ยวกับf : เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับฟังก์ชันที่แกว่งไปมาอย่างรุนแรง ผลรวมของรีมันน์อาจอยู่ห่างจากปริพันธ์ของรีมันน์ได้มากเท่าใดก็ได้ ${\displaystyle n\to \infty }$

สูตรด้านล่างนี้เกี่ยวข้องกับผลรวมจำกัด สำหรับผลรวมอนันต์หรือผลรวมจำกัดของนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือฟังก์ชันอดิศัย อื่นๆ โปรดดูรายการอนุกรมทางคณิตศาสตร์

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( การกระจายตัว ) ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$( การสลับที่และการจัดกลุ่ม ) ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$(การเลื่อนดัชนี)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$สำหรับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงσจากเซตจำกัดAไปยังเซตB (การเปลี่ยนดัชนี) ซึ่งเป็นการขยายสูตรก่อนหน้านี้

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$(การแบ่งผลรวมโดยใช้คุณสมบัติการสลับที่ )

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$(รูปแบบหนึ่งของสูตรก่อนหน้า)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$(ผลรวมตั้งแต่พจน์แรกจนถึงพจน์สุดท้ายเท่ากับผลรวมตั้งแต่พจน์สุดท้ายลงมาถึงพจน์แรก)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$(กรณีเฉพาะของสูตรข้างต้น)

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$(สมบัติการสลับที่และสมบัติการจัดกลุ่ม อีกครั้ง)

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$(อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้คุณสมบัติการสลับที่และการจัดกลุ่ม)

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$(การแบ่งผลรวมออกเป็น ส่วน คี่และ ส่วน คู่สำหรับดัชนีคู่)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$(การแบ่งผลรวมออกเป็นส่วนคี่และส่วนคู่ สำหรับดัชนีคี่)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( ลอการิทึมของผลคูณ คือ ผลรวมของลอการิทึมของตัวประกอบ)

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$( เลขชี้กำลังของผลรวม คือ ผลคูณของเลขชี้กำลังของพจน์ที่นำมาบวกกัน)

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }$สำหรับฟังก์ชันใดๆจาก.${\textstyle f}$${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$สำหรับทุกค่า cที่ไม่ขึ้นอยู่กับค่าi

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$(ผลรวมของลำดับเลขคณิต ที่ง่ายที่สุด ซึ่งประกอบด้วย จำนวนธรรมชาติ n ตัวแรก ) ^{[ 19 ] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$(ผลรวมของจำนวนธรรมชาติคี่ตัวแรก)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$(ผลรวมของจำนวนคู่ธรรมชาติแรก)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log(n!)\qquad }$(ผลรวมของลอการิทึมคือลอการิทึมของผลคูณ)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$(ผลรวมของกำลังสอง แรก ดูจำนวนพีระมิดกำลังสอง ) ^{[ 19 ] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$( ทฤษฎีบทของนิโคมาคัส ) ^{[ 19 ] : 52}

โดยทั่วไปแล้ว เรามีสูตรของฟอลฮาเบอร์สำหรับ${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

โดยที่แทนจำนวนเบอร์นูลลีและคือ สัมประสิทธิ์ ทวิ นาม${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$

ในการหาผลรวมต่อไปนี้ จะถือว่า ค่า aแตกต่างจาก 1

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$(ผลรวมของลำดับเรขาคณิต )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$(กรณีพิเศษสำหรับa = 1/2 )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$( คูณด้วยอนุพันธ์เทียบกับaของลำดับเรขาคณิต)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

(ผลรวมของลำดับเลขคณิตเรขาคณิต )

มีเอกลักษณ์การหาผลรวมมากมายที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์ทวินาม ( หนังสือคณิตศาสตร์รูปธรรมเล่มหนึ่งได้อธิบายเทคนิคพื้นฐานเหล่านี้ไว้อย่างละเอียด) ตัวอย่างพื้นฐานที่สุดบางส่วนมีดังต่อไปนี้

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$ทฤษฎีบททวินาม

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}$กรณีพิเศษที่a = b = 1

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$กรณีพิเศษที่p = a = 1 − bซึ่งสำหรับแสดงถึงผลรวมของการแจกแจงทวินาม${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}$ค่าที่a = b = 1ของอนุพันธ์เทียบกับaของทฤษฎีบททวินาม

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$ค่าที่a = b = 1ของอนุพันธ์ผกผันเทียบกับaของทฤษฎีบททวินาม

ในผลรวมต่อไปนี้คือจำนวน การ เรียง สับเปลี่ยน kของn${\displaystyle {}_{n}P_{k}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}$โดยที่ และหมายถึงฟังก์ชันพื้น${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }$( เลขฮาร์มอนิกที่n )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{(k)}\quad }$( จำนวนฮาร์มอนิกทั่วไป )

ต่อไปนี้เป็นค่าประมาณที่ เป็นประโยชน์ (โดยใช้สัญลักษณ์ทีต้า ):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$สำหรับค่า c จริง ที่มากกว่า −1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}$(ดูหมายเลขฮาร์มอนิก )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$สำหรับค่า c จริง ที่มากกว่า 1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$สำหรับค่าจริงที่ไม่เป็นลบc

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$สำหรับค่าจริงที่ไม่เป็นลบc , d

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบb > 1, c , d

• สัญกรณ์พายตัวพิมพ์ใหญ่
• สัญกรณ์ของไอน์สไตน์
• วงเล็บไอเวอร์สัน
• การดำเนินการไบนารีแบบวนซ้ำ
• อัลกอริทึมการหาผลรวมของคาฮาน
• ผลคูณ (คณิตศาสตร์)
• การหาผลรวมโดยใช้ส่วน
• ซิกมา § ยูนิโค้ด

• Cajori, Florian (1929). ประวัติศาสตร์ของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2.สำนักพิมพ์ Open Court. ISBN 978-0-486-67766-8.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับSummationใน Wikimedia Commons