ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการประมาณค่าเชิงซิมพลิเชียลเป็นผลลัพธ์พื้นฐานสำหรับโทโพโลยีเชิงพีชคณิตซึ่งรับประกันว่าการแมปแบบต่อเนื่องสามารถประมาณค่าได้ (โดยการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย) ด้วยการแมป แบบ แบ่งส่วนที่เรียบง่ายที่สุด ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับการแมประหว่างปริภูมิที่สร้างขึ้นจากซิมเพล็กซ์นั่นคือคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิ เชียลจำกัด การแมปแบบต่อเนื่องทั่วไประหว่างปริภูมิเหล่านี้สามารถแสดงได้โดยประมาณด้วยการแมปประเภทที่เป็นเชิงเส้น ( เชิงเส้น แบบแอฟฟิน ) บนแต่ละซิมเพล็กซ์ไปยังอีกซิมเพล็กซ์หนึ่ง โดยมีค่าใช้จ่าย (i) การแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริก ที่เพียงพอ ของซิมเพล็กซ์ของโดเมน และ (ii) การแทนที่การแมปจริงด้วยการแมปแบบโฮ โมโท ปิก

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยLEJ Brouwerโดยใช้ทฤษฎีบทการครอบคลุมของ Lebesgue (ผลลัพธ์ที่อิงจากความกะทัดรัด ) ทฤษฎีบทนี้ช่วยวาง รากฐานที่เข้มงวดให้กับ ทฤษฎีโฮโมโลยีในยุคนั้น—ทศวรรษแรกของศตวรรษที่ 20—เนื่องจากแสดงให้เห็นว่าผลกระทบทางโทโพโลยี (ต่อกลุ่มโฮโมโลยี ) ของการแมปแบบต่อเนื่องสามารถแสดงออกมาใน รูป แบบจำกัดได้ ในบางกรณี สิ่งนี้ต้องพิจารณาควบคู่ไปกับความเข้าใจในขณะนั้นว่าความต่อเนื่องโดยทั่วไปเข้ากันได้กับความผิดปกติในบางด้าน อาจกล่าวได้ว่านี่เป็นจุดเริ่มต้นของยุค โทโพโล ยี เชิงการจัดเรียง

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทการประมาณเชิงซิมพลิเชียลเพิ่มเติมสำหรับโฮโมโทปีซึ่งระบุว่าโฮโมโทปีระหว่างการแมปแบบต่อเนื่องสามารถประมาณได้ด้วยเวอร์ชันเชิงคอมบินาทอริกเช่นกัน

รูปแบบพื้นฐานของทฤษฎีบทมีดังต่อไปนี้:

โดยสรุป ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า แผนที่ต่อเนื่องใดๆ ระหว่างคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล คือ การรับรู้ทางเรขาคณิตของแผนที่เชิงซิมพลิเชียล โดยพิจารณาถึงโฮโมโทปีและการแบ่งย่อย

นี่คือสูตรที่แม่นยำยิ่งขึ้น การแมปเชิงซิมพลิเชียลเรียกว่าการประมาณเชิงซิมพลิเชียลของ ถ้า สำหรับทุกจุดใน เป็นสมาชิกของซิ มเพล็กซ์ปิดขั้นต่ำของที่มี^{[ 2 ]}${\displaystyle s:K\to L}$${\displaystyle f:|K|\to |L|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |K|}$${\displaystyle |s|(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)}$

ถ้าเป็นการประมาณเชิงซิมพลิเชียลของแผนที่แล้วการรับรู้ทางเรขาคณิตของจะต้องเป็นโฮโมโทปีกับ^;ในความเป็นจริง โฮโมโทปีจะกำหนดโดย[ ^{3 ]}${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g=|s|}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h_{t}=(1-t)f+tg}$

ทฤษฎีบทการประมาณเชิงซิมพลิเชียลกล่าวว่า เมื่อกำหนดแผนที่จะมีจำนวนธรรมชาติ อยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับทุกจะมีการประมาณเชิงซิมพลิเชียลอยู่ ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$

${\displaystyle s:\mathrm {Bd} ^{n}K\to L,}$

โดยที่หมายถึงการแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริกของและหมายถึงผลลัพธ์ของการใช้การแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริกจำนวนครั้ง อันที่จริง การพิสูจน์ทฤษฎีบทแสดงให้เห็นว่ามีจำนวนจริงที่ขึ้นอยู่กับและ(ไม่เพียงแค่) เช่นว่า ถ้าซิมเพล็กซ์แต่ละอันในมีเส้นผ่านศูนย์กลางน้อยกว่า แล้วจะมีซิมพลิเชียลประมาณค่า ของ อยู่${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {Bd} \;K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathrm {Bd} ^{n}K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle |L|}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f}$

นอกจากนี้ ถ้าเป็นแผนที่ต่อเนื่องเชิงบวกแล้ว จะมีการแบ่งย่อยของและแผนที่เชิงซิมพลิเชียลที่ทำให้เป็นโฮโมโทปีแบบ -กับ; กล่าวคือ มีโฮโมโทปีจากไปยังที่ทำให้สำหรับทุกดังนั้น เราอาจพิจารณาทฤษฎีบทการประมาณเชิงซิมพลิเชียลว่าเป็นอนาล็อกเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนของทฤษฎีบทการประมาณของวิทนีย์ ${\displaystyle \epsilon :|L|\to {\mathbb {R}}}$${\displaystyle K',L'}$${\displaystyle K,L}$${\displaystyle s:K'\to L'}$${\displaystyle g=|s|}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle H:|K|\times [0,1]\to |L|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathrm {diam} (H(x\times [0,1]))<\epsilon (f(x))}$${\displaystyle x\in |K|}$

ต่อไปนี้คือตัวอย่างการใช้งานทั่วไปบางส่วน

${\displaystyle \pi _{k}S^{n}=0,\,k<n.}$

อันที่จริงแล้ว เมื่อกำหนดแผนที่ แล้ว แผนที่นั้นจะสมมูลกับแผนที่เชิงซิมพลิเชียลอย่างไรก็ตาม ด้วยเหตุผลเรื่องมิติไม่สามารถแมปไปยัง ซิมเพล็กซ์ nมิติได้ กล่าวคือไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึง ดังนั้นภาพที่ได้จึงอยู่ในเซตย่อยที่หดตัวได้ และสมมูลกับแผนที่คงที่ (กล่าวอย่างเคร่งครัดแล้ว ในที่นี้ใช้ทฤษฎีบทการประมาณเชิงซิมพลิเชียลแบบอิงฐาน) ${\displaystyle f:S^{k}\to S^{n}}$${\displaystyle g:S^{k}\to S^{n}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

ต่อไปนี้เป็นอีกหนึ่งตัวอย่างการใช้งานที่สำคัญกว่า แต่ก็เป็นตัวอย่างทั่วไปเช่นกัน

( ทฤษฎีบทจุดตรึงของเลฟเชตซ์ ) สำหรับแมนิโฟลด์กระชับหรือคอมเพล็กซ์ CW จำกัดถ้าเทรซของแผนที่(ดูด้านล่าง) ไม่เป็นศูนย์แสดงว่ามีจุดตรึงอยู่${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to X}$${\displaystyle f}$

ในที่นี้ สำหรับฟิลด์หนึ่งร่องรอยของการแมปคือตัวเลข (ซึ่งเป็นองค์ประกอบในฟิลด์นั้น) ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {tr} (f)=\sum _{i}(-1)^{i}\operatorname {tr} (f_{*}|\operatorname {H} _{i}(X;\Lambda )),}$

ซึ่งเป็นจำนวนจำกัด เนื่องจากXมีมิติจำกัด

โครงร่างการพิสูจน์ : ^{[ 4 ]}เราถือว่าไม่มีจุดคงที่และจะแสดงให้เห็นว่าร่องรอยของมันเป็นศูนย์ ${\displaystyle f}$

ขั้นตอนที่ 1 : ลดรูปเหลือกรณีที่Xคือการสร้างทางเรขาคณิตของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล กล่าวคือ. ${\displaystyle X=|K|}$

อันที่จริงXในที่นี้เป็นที่รู้จักกันว่าเป็น ENR ซึ่งเป็นการหดตัวของย่านใกล้เคียงแบบยุคลิดดังนั้นจึงมีการหดตัวจากคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลและมีเซตของจุดตรึงที่เหมือนกันทุกประการกับดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่ด้วยได้ ${\displaystyle r:K\to X}$${\displaystyle f\circ r:K\to X\to X\hookrightarrow K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ r}$

ขั้นตอนที่ 2 :${\displaystyle \operatorname {tr} (f_{*}|\operatorname {H} _{*}(X;\Lambda ))=\operatorname {tr} (f_{*}|C_{*}(X;\Lambda )).}$

นี่คือการคำนวณทางพีชคณิตเชิงเส้น

ขั้นตอนที่ 3 : แบ่งย่อยเพื่อให้มีการประมาณเชิงซิมพลิเชียลสำหรับและสังเกตว่ามันไม่ตัดกับซิมเพล็กซ์ในความหมายด้านล่าง (เราจะเขียนแทนทั้งและการรับรู้ทางเรขาคณิตของมัน) ${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle g:K'\to K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle ||g|}$

เนื่องจากไม่มีจุดตรึงและเป็นเซตกระชับ เราจึงได้. เมื่อแทนที่ด้วยการปรับปรุงโดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราจะถือว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของแต่ละซิมเพล็กซ์ในคือ; โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่เรื่องการประมาณเชิงซิมพลิเชียล ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta =\inf |xf(x)|>0}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle <\delta /2}$

ให้เป็นส่วนย่อยที่ทำให้การประมาณเชิงซิมพลิเชียลมีอยู่ จากนั้น ตามนิยามของการประมาณเชิงซิมพลิเชียล สำหรับแต่ละในจะเป็นของซิมเพล็กซ์ปิดเดียวกัน ดังนั้น ตามสมมติฐานเบื้องต้น ${\displaystyle K'\subset K}$${\displaystyle g:K'\to K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X=|K'|}$${\displaystyle f(x),g(x)}$

${\displaystyle |f(x)-g(x)|<\delta /2.}$

มีรายละเอียดดังนี้:

${\displaystyle |xg(x)|\geq |xf(x)|-|f(x)-g(x)|>\delta -\delta /2=\delta /2.}$

ดังนั้น สำหรับซิมเพล็กซ์ (ปิด) แต่ละตัว ใน${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle g(\sigma )\cap \sigma =\emptyset .}$

ขั้น ตอน สุดท้าย

สมมติว่าเซตนั้นปิดทางพีชคณิตโดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เส้นทแยงมุมของรูปแบบแคนอนิกจอร์แดนของเซตนั้นประกอบด้วยศูนย์ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลรวมของเส้นทแยงมุมนั้นเป็นศูนย์ จากนั้นโดยการใช้ขั้นตอนที่ 2 กับเซตนั้นเราก็เสร็จสิ้นแล้วเนื่องจากความไม่แปรเปลี่ยนของโฮโมโทปีของโฮโมโลยี ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle g_{*}|C_{*}(X;\Lambda )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \operatorname {tr} (f)=\operatorname {tr} (g)}$

แหล่งที่มา: ^{[ 5 ]}

แนวคิดของการพิสูจน์นั้นค่อนข้างเข้าใจง่าย กล่าวคือ หากมีจุดยอดจำนวนมากพอและกระจายตัวอย่างสุ่มเพียงพอแล้ว บนซิมเพล็กซ์แต่ละอัน แผนที่ต่อเนื่องสามารถประมาณได้ด้วยแผนที่เชิงเส้นแบบแบ่งส่วน ดังนั้นจึงสามารถประมาณได้ในระดับสากล

กล่าวคือ ให้แทนดาวเปิดของ; นั่นคือ การรวมกันของซิมเพล็กซ์แบบเปิดสัมพัทธ์ทั้งหมดที่บรรจุ ไว้ในส่วนปิด โปรดทราบว่า คือส่วนเติมเต็มของการรวมกันของซิมเพล็กซ์ทั้งหมดที่ไม่ทับซ้อนกับ; โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คือเซตย่อยแบบเปิด และดังนั้นจุดยอด ก่อให้เกิดการคลุมแบบเปิดของให้เป็นจำนวนเลเบสของการคลุมแบบเปิดนี้ นั่นคือ จำนวนจริงบวก เช่น ถ้าเป็นเซตย่อยที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางแล้วจะบรรจุอยู่ในเซตเปิดบางเซตในการคลุม ${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(w)}$${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(w)}$${\displaystyle U_{w}:=f^{-1}(\ชื่อผู้ดำเนินการ {St} ^{0}(w))}$${\displaystyle w}$${\displaystyle |K|}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle A\subset |K|}$${\displaystyle <\delta }$${\displaystyle A}$

ทีนี้ ให้เป็นการปรับปรุงเพิ่มเติมของโดยมีคุณสมบัติว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของแต่ละซิมเพล็กซ์ในมีค่าน้อยกว่า(ดูด้านล่างสำหรับวิธีการหาการปรับปรุงเพิ่มเติมดังกล่าว) ดังนั้น เส้นผ่านศูนย์กลางของจึงมีค่าน้อยกว่าเนื่องจากสำหรับแต่ละในดังนั้น สำหรับแต่ละจุดยอดเราจะได้หรือ ${\displaystyle K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle \delta /2}$${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(v)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle |xy|\leq |xv|+|vy|<\เดลต้า }$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \operatorname {St} ^{0}(v)\subset f^{-1}(\operatorname {St} ^{0}(w))}$

${\displaystyle f(\operatorname {St} ^{0}(v))\subset \operatorname {St} ^{0}(w)}$

สำหรับจุดยอดบางจุดให้แทนจุดยอดดังกล่าวบางจุดแล้วเป็นแผนที่ระหว่างเซตของจุดยอด เราสังเกตว่าขยายโดยความเป็นเชิงเส้นไป ยัง กล่าว คือ มันแมปซิมเพล็กซ์ไปยังซิมเพล็กซ์สำหรับแต่ละเซตของจุดยอดของซิมเพล็กซ์ใน ส่วนนูนจะเป็นซิมเพล็กซ์ (ปิด) ในสำหรับแต่ละเซตของจุดยอดของซิมเพล็กซ์ในจะมีซิมเพล็กซ์แบบเปิดสัมพัทธ์ใน ซึ่งส่วนปิดของมันประกอบด้วย จุดยอด ทั้งหมด ของ อาจมีการซ้ำกันได้${\displaystyle w}$${\displaystyle s(v)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s:K\to L}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \langle s(v_{1}),\cdots ,s(v_{r})\rangle }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s(v_{i})}$

ตอนนี้ เงื่อนไขสุดท้ายข้างต้นเป็นจริง เนื่องจากเมื่อกำหนดเซตของจุดยอดของซิมเพล็กซ์ในเราจะได้ว่า: ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \emptyset \neq f(\cap _{i}\operatorname {St} ^{0}(v_{i}))\subset \cap _{i}f(\operatorname {St} ^{0}(v_{i}))\subset \cap _{i}\operatorname {St} ^{0}(s(v_{i})).}$

จากนั้นเราจะได้แผนที่ (ต่อเนื่องที่จำเป็น) ต่อไป สำหรับแต่ละในเป็นสมาชิกของซิมเพล็กซ์แบบเปิดสัมพัทธ์ที่ไม่ซ้ำกันในให้เป็นการรวมกันแบบนูนที่มีสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับจุดยอดบางจุดในแล้วให้สำหรับแต่ละเรามีและดังนั้น ${\displaystyle g=|s|:|K|\to |L|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |K|}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle L}$${\displaystyle x=\sum \lambda _{i}v_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle g(x)=\sum \lambda _{i}g(v_{i})}$${\displaystyle w_{i}=g(v_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x\in \operatorname {St} ^{0}(v_{i})}$

${\displaystyle f(x)\in f(\operatorname {St} ^{0}(v_{i}))\subset \operatorname {St} ^{0}(w_{i}).}$

ดังนั้น จึงเป็นของบางสิ่งที่มีการปิดล้อมซึ่งประกอบด้วยและโดยเอกลักษณ์. จากนั้นเราก็มี ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \tau '}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle \tau '=\tau }$

${\displaystyle g(x)\in \sum \lambda _{i}{\overline {\tau }}\subset {\overline {\tau }}.}$

ดังนั้นจึงอยู่ในซิมเพล็กซ์เดียวกันดังนั้น ถ้าเรากำหนดให้แล้วจะเป็นโฮโมโทปี${\displaystyle f(x),g(x)}$${\displaystyle {\overline {\tau }}}$${\displaystyle h_{t}=(1-t)f+g}$${\displaystyle h_{t}}$${\displaystyle f\sim g}$${\displaystyle \square }$

ต่อไปนี้ เราจะนำเสนอข้อโต้แย้งอย่างเข้มงวดเกี่ยวกับวิธีการค้นหาการปรับละเอียดที่ทำให้เส้นผ่านศูนย์กลางของแต่ละซิมเพล็กซ์มีขนาดเล็กอย่างไม่จำกัด (แน่นอนว่าสิ่งนี้เป็นสิ่งที่เข้าใจได้ง่ายโดยสัญชาตญาณ) ข้อโต้แย้งนี้มาจากการประมาณเส้นผ่านศูนย์กลางของซิมเพล็กซ์ในการแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริกดังต่อไปนี้

เนื่องจากมีค่าน้อยกว่าเราจึงสามารถทำให้เส้นผ่านศูนย์กลางสูงสุดของซิมเพล็กซ์มีขนาดเล็กตามต้องการได้โดยการแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริกซ้ำๆ ${\displaystyle p/(p+1)}$${\displaystyle 1}$

พิสูจน์ : ^{[ 6 ]}โดยการสร้างซิมเพล็กซ์แต่ละอันในการแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริกจะมีจุดยอดในรูปแบบสำหรับโซ่ของหน้า ${\displaystyle b(F_{0}),\cdots }$

${\displaystyle \sigma =F_{p}\supset \cdots \supset F_{0}}$

โดยที่ค่าเฉลี่ยเป็นด้านที่เหมาะสมของและเมื่อพิจารณาว่าประกอบด้วยจุดยอด จุดศูนย์กลางมวลของคือ ${\displaystyle F<G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle b(F)}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle b(F)={\frac {1}{\#F}}\sum _{v\in F}v.}$

ทีนี้ เมื่อพิจารณาใบหน้าต่างๆแล้วเราจะได้ว่า: ${\displaystyle F<G}$${\displaystyle g:=\#G,f:=\#F}$

${\displaystyle b(F)-b(G)={\frac {g-f}{g}}\left({\frac {1}{f}}\sum _{v\in F}v-{\frac {1}{g-f}}\sum _{v\in G-F}v\right).}$

จากนั้นนิพจน์หลังจากนั้นคือใน ${\displaystyle {\frac {g-f}{g}}}$

${\displaystyle \langle v\mid v\in G\rangle +\langle -v\mid v\in G\rangle \subset \langle v-w\mid v,w\in G\rangle }$

โดยวงเล็บหมายถึงส่วนนูน ดังนั้น เนื่องจาก, ${\displaystyle (g-f)/g\leq (g-1)/g\leq p/(p+1)}$

${\displaystyle |b(F)-b(G)|\leq {\frac {p}{p+1}}\max _{v,w\in G}|v-w|.}$

ซึ่งหมายความว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของ นั้นอยู่ภายในขอบเขตที่กล่าวอ้างไว้ ${\displaystyle \langle b(F_{i})\mid i\rangle }$

สุดท้ายนี้ เพื่อให้เห็นว่าการประมาณค่าไม่สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้ โปรดสังเกตก่อนว่า: สำหรับจุดยอดของ, ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle b(\sigma )-v_{0}={\frac {1}{p+1}}\sum _{i\geq 1}(v_{i}-v_{0}).}$

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นซิมเพล็กซ์ 2 มิติที่มีจุดยอด n จุดอัตราส่วนจะเข้า ใกล้ศูนย์ เมื่อn เข้าใกล้ศูนย์ การให้เหตุผลที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับมิติที่สูงกว่าด้วย${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle v_{0}=(0,0),v_{1}=(1,0),v_{2}=(1,\epsilon )}$${\displaystyle |b(\sigma )-v_{0}|/\operatorname {diam} (\sigma )}$${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \square }$

• Raphaël Tinarrage, การประมาณเชิงซิมพลิเชียลสำหรับคอมเพล็กซ์ CW ในทางปฏิบัติ, https://arxiv.org/pdf/2112.07573