ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเส้นโค้งไซน์เป็นกลุ่มของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,}$

โดยที่aเป็นค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ และnเป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ 0 เมื่อหมุนรอบจุดกำเนิดแล้ว สามารถเขียนได้ดังนี้เช่นกัน

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).\,}$

คำว่า "เกลียว" เป็นคำที่ใช้ผิดความหมาย เพราะจริงๆ แล้วเส้นโค้งเหล่านี้ไม่ได้เป็นเกลียวและมักมีรูปร่างคล้ายดอกไม้ เส้นโค้งที่รู้จักกันดีหลายเส้นเป็นเกลียวไซน์ ได้แก่:

• ไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้า ( n = − 2 )
• เส้น ( n = − 1 )
• พาราโบลา ( n = − 1/2 )
• ลูกบาศก์เชิร์นเฮาเซน ( n = − 1/3 )
• เลขศูนย์ของเคย์ลีย์ ( n = 1/3 )
• คาร์ดิออยด์ ( n = 1/2 )
• วงกลม ( n = 1 )
• เลมนิสเคทของเบอร์นูลลี ( n = 2 )

เส้นโค้งเหล่านี้ได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยColin Maclaurin

ความแตกต่าง

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,}$

และการกำจัดaจะทำให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับrและθ :

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0.}$

แล้ว

${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)}$

ซึ่งหมายความว่ามุมสัมผัสเชิง ขั้ว คือ

${\displaystyle \psi =n\theta \pm \pi /2}$

ดังนั้นมุมสัมผัสจึงเป็น

${\displaystyle \varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2.}$

(เครื่องหมายในที่นี้จะเป็นบวกหากrและ cos n θมีเครื่องหมายเดียวกัน และจะเป็นลบในกรณีอื่น ๆ)

เวกเตอร์สัมผัสหน่วย

${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right),}$

มีความยาวหนึ่ง ดังนั้นเมื่อเปรียบเทียบขนาดของเวกเตอร์ทั้งสองข้างของสมการข้างต้นจะได้

${\displaystyle {\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta .}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความยาวของลูปเดี่ยวเมื่อ${\displaystyle n>0}$เป็น:

${\displaystyle a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta }$

การทดแทน${\displaystyle r=\cos ^{\tfrac {1}{n}}(n\theta )}$กระตุ้นให้เกิดการเปลี่ยนแปลง

${\displaystyle \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {dr}{\sqrt {1-r^{2n}}}}}$

ดังนั้น ความยาวของวงเกลียวเดี่ยวจึงสามารถแสดงใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle 2a\int _{0}^{1}{\frac {dr}{\sqrt {1-r^{2n}}}}}$

ความโค้งกำหนดโดย

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta .}$

ส่วนกลับของเส้นโค้งไซน์เกลียวเทียบกับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด คือเส้นโค้งไซน์เกลียวอีกเส้นหนึ่ง ซึ่งค่าn ของเส้นโค้งไซน์เกลียวผกผันนั้นเป็นค่าลบของค่า nของเส้นโค้งไซน์เกลียวเดิมตัวอย่างเช่น ส่วนกลับของเส้นโค้งเลมนิสเคตของเบอร์นูลลี คือ ไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เส้นไอโซปติกเส้นเพดัลและเส้นเพดัลลบของเกลียวไซน์นั้นเป็นเกลียวไซน์ที่แตกต่างกัน

เส้นทางหนึ่งของการเคลื่อนที่ของอนุภาคตามแรงสู่ศูนย์กลางซึ่งแปรผันตรงกับกำลังของrคือเส้นโค้งเกลียวไซน์

เมื่อไร${\displaystyle n}$เป็นจำนวนเต็มบวก เกลียวไซน์${\displaystyle r^{n}=\cos(n\theta )}$สามารถอธิบายได้ดังนี้ ให้${\displaystyle n}$จุดต่างๆ จะถูกจัดเรียงอย่างสมมาตรบนวงกลมที่มีรัศมี${\displaystyle {\frac {a}{2^{\frac {1}{n}}}}}$โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และมีจุดหนึ่งอยู่บนด้านบวก${\displaystyle x}$แกน - จากนั้นเซตของจุด โดยที่ผลคูณของระยะทางจากจุดนั้นไปยังจุดเหล่านี้${\displaystyle n}$คะแนนคือ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{2}}}$ซึ่งก็คือเกลียวไซน์นี้เอง ดังนั้น เกลียวไซน์จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle z}$สอดคล้องกับสมการ${\displaystyle \left|z^{n}-{\frac {a^{n}}{2}}\right|={\frac {a^{n}}{2}}}$ดังนั้น เกลียวดังกล่าวจึงเป็นเลมนิสเคทพหุนาม

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเกลียวไซน์ (Sinusoidal spiral )