เส้นโค้งผกผัน

Q: สมการ

จุดผกผันของจุด ( x , y ) เทียบกับ วงกลมหน่วย คือ ( X , Y ) โดยที่

Q: ตัวอย่าง

นำการแปลงข้างต้นไปใช้กับ เลมนิสเคตของเบอร์นูลลี

ในเรขาคณิตผกผัน เส้น โค้งผกผันของเส้นโค้ง $C$ ที่กำหนดให้ คือผลลัพธ์ของการใช้ การดำเนินการ ผกผันกับ $C$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อเทียบกับวงกลมคงที่ที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ และรัศมี $k$ จุดผกผันของจุด $Q$ คือจุด $P$ ซึ่ง $P$ อยู่บนรังสี $OQ$ และ $OP \cdot OQ = k²$ ดังนั้น จุดผกผันของเส้นโค้ง $C$ จึงเป็นตำแหน่งของ $P$ เมื่อ $Q$ เคลื่อนผ่าน $C$ จุด $O$ ในการสร้างนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางการผกผันวงกลมเรียกว่า $วงกลม$ การผกผันและ $k$ เรียกว่ารัศมีการผกผัน

การผกผันสองครั้งคือการแปลงเอกลักษณ์ ดังนั้น เส้นโค้งผกผันของเส้นโค้งผกผันโดยเทียบกับวงกลมเดียวกันคือเส้นโค้งเดิม จุดบนวงกลมของการผกผันนั้นคงที่โดยการผกผัน ดังนั้นเส้นโค้งผกผันของมันจึงเป็นตัวมันเอง

สมการ

จุดผกผันของจุด $(x, y)$ เทียบกับวงกลมหน่วยคือ $(X, Y)$ โดยที่

X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\qquad Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},

หรือเทียบเท่า

x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\qquad y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}.

ดังนั้น เส้นโค้งผกผันที่กำหนดโดย $f (x, y) = 0$ เทียบกับวงกลมหน่วยคือ

f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},{\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\right)=0.

จากสิ่งนี้จะเห็นได้ชัดว่า การกลับด้านเส้นโค้งพีชคณิตดีกรี $n$ เทียบกับวงกลม จะได้เส้นโค้งพีชคณิตที่มีดีกรีไม่ $เกิน$ $2n$

ในทำนองเดียวกัน ส่วนกลับของเส้นโค้งที่กำหนด โดย พารามิเตอร์จากสมการ

x=x(t),\qquad y=y(t)

โดยสัมพันธ์กับวงกลมหน่วย จะกำหนดเป็นพารามิเตอร์ดังนี้

{\begin{aligned}X=X(t)&={\frac {x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}},\\Y=Y(t)&={\frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}.\end{aligned}}

นั่นหมายความว่าเส้นโค้งผกผันแบบวงกลมของเส้นโค้งตรรกยะก็เป็นเส้นโค้งตรรกยะเช่นกัน

โดยทั่วไปแล้ว เส้นโค้งผกผันที่กำหนดโดย $f (x, y) = 0$ เทียบกับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(a, b)$ และรัศมี $k$ คือ

f\left(a+{\frac {k^{2}(X-a)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}},b+{\frac {k^{2}(Y-b)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}}\right)=0.

ส่วนกลับของเส้นโค้งที่กำหนดโดยพารามิเตอร์

x=x(t),\qquad y=y(t)

โดยสัมพันธ์กับวงกลมเดียวกันนั้น จะกำหนดเป็นพารามิเตอร์ดังนี้

{\begin{aligned}X=X(t)&=a+{\frac {k^{2}{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}}{{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}^{2}+{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}^{2}}},\\Y=Y(t)&=b+{\frac {k^{2}{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}}{{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}^{2}+{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}^{2}}}.\end{aligned}}

ในระบบพิกัดเชิงขั้ว สมการจะง่ายขึ้นเมื่อวงกลมผกผันเป็นวงกลมหน่วย จุดผกผันของจุด $(r, θ)$ เทียบกับวงกลมหน่วยคือ $(R, Θ)$ โดยที่

R={\frac {1}{r}},\qquad \Theta =\theta .

ดังนั้นค่าผกผันของเส้นโค้ง $f (r, θ) = 0$ จะถูกกำหนดโดย $f (⁠ 1 / R ⁠, Θ) = 0$ และค่าผกผันของเส้นโค้ง $r = g (θ)$ คือ $r = ⁠ 1 / g (θ) ⁠$

ปริญญา

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เส้นโค้งผกผันเทียบกับวงกลมของเส้นโค้งที่มีดีกรี $n$ $จะ$ $มี$ ดีกรีอย่างมากที่สุด $2n$ ดีกรีจะเป็น $2n$ พอดี เว้นแต่ว่าเส้นโค้งเดิมจะผ่านจุดผกผันหรือเป็นเส้นโค้งวงกลมซึ่งหมายความว่าเส้นโค้งนั้นประกอบด้วยจุดวงกลม $(1, \pm i, 0)$ เมื่อพิจารณาว่าเป็นเส้นโค้งในระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟโดยทั่วไปแล้ว การผกผันเทียบกับเส้นโค้งใดๆ อาจทำให้เกิดเส้นโค้งพีชคณิตที่มีดีกรีเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $C$ เป็น $เส้น$ $โค้งวงกลม p$ ที่มีดีกรี $n$ และถ้าจุดศูนย์กลางของการผกผันเป็นจุดเอกฐานอันดับ $q$ บน $C$ แล้ว เส้นโค้งผกผันจะเป็นเส้นโค้งวงกลม $(n - p - q) ที่มีดีกรี$ $2n - 2p - q$ และจุดศูนย์กลางของการผกผันเป็นจุดเอกฐานอันดับ $n - 2p$ บนเส้นโค้งผกผัน โดยที่ $q = 0$ ถ้าเส้นโค้งไม่ประกอบด้วยจุดศูนย์กลางของการผกผัน และ $q = 1$ ถ้าจุดศูนย์กลางของการผกผันเป็นจุดที่ไม่ใช่เอกฐานบนเส้นโค้งนั้น ในทำนองเดียวกัน จุดวงกลม $(1, \pm i, 0)$ เป็นจุดเอกฐานอันดับ $p$ บน $C$ ค่า $k$ สามารถตัดออกจากความสัมพันธ์เหล่านี้เพื่อแสดงว่าเซตของเส้นโค้งวงกลม $p ที่มีดีกรี$ $p + k$ โดยที่ $p$ อาจเปลี่ยนแปลงได้ แต่ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกคงที่ จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การผกผัน

ตัวอย่าง

การกลับด้านผ่านวงกลมสีแดงจะเปลี่ยนเกลียวอาร์คิมีเดียน สีเขียวให้กลายเป็น เกลียวไฮเปอร์โบลิกสีน้ำเงินและในทางกลับกัน

นำการแปลงข้างต้นไปใช้กับเลมนิสเคตของเบอร์นูลลี

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)

มอบให้เรา

a^{2}\left(u^{2}-v^{2}\right)=1,

สมการของไฮเปอร์โบลา; เนื่องจากการผกผันเป็นการแปลงแบบไบราชันนัล และไฮเปอร์โบลาเป็นเส้นโค้งเชิงตรรกะ ดังนั้นจึงแสดงให้เห็นว่าเลมนิสเคตก็เป็นเส้นโค้งเชิงตรรกะเช่นกัน ซึ่งก็คือเส้นโค้งที่มีจีนัสเป็นศูนย์

ถ้าเราใช้การแปลงกับเส้นโค้งเฟอร์มาต์ $x n + y n = 1$ โดยที่ $n$ เป็นจำนวนคี่ เราจะได้

\left(u^{2}+v^{2}\right)^{n}=u^{n}+v^{n}.

จุดตรรกยะใดๆบนเส้นโค้งแฟร์มาต์จะมีจุดตรรกยะที่สอดคล้องกันบนเส้นโค้งนี้ ทำให้ได้สูตรที่เทียบเท่ากับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

ตัวอย่างเช่นเส้นโค้งเหนือธรรมชาติเกลียวอาร์คิมีเดียนและเกลียวไฮเปอร์โบลิกเป็นเส้นโค้งผกผันกัน ในทำนองเดียวกันเกลียวเฟอร์มาต์และลิตูสเป็นเส้นโค้งผกผันกันเกลียวลอการิทึมเป็นเส้นโค้งผกผันของตัวเอง^{[ 1 ]}

กรณีเฉพาะ

เพื่อความง่าย ในกรณีต่อไปนี้ วงกลมผกผันจะเป็นวงกลมหน่วย ผลลัพธ์สำหรับวงกลมผกผันอื่นๆ สามารถหาได้จากการเลื่อนและการขยายเส้นโค้งเดิม

เส้น

สำหรับเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด สมการเชิงขั้วคือ $θ = θ₀$ โดยที่ $มี$ คงที่ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การผกผัน

สมการเชิงขั้วของเส้นตรงที่ไม่ผ่านจุดกำเนิดคือ

r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)=a

และสมการของเส้นโค้งผกผันคือ

r=a\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)

ซึ่งกำหนดวงกลมที่ผ่านจุดกำเนิด การใช้การผกผันอีกครั้งแสดงให้เห็นว่า ส่วนกลับของวงกลมที่ผ่านจุดกำเนิดคือเส้นตรง

วงกลม

ในระบบพิกัดเชิงขั้ว สมการทั่วไปสำหรับวงกลมที่ไม่ผ่านจุดกำเนิด (เนื่องจากกรณีอื่นๆ ได้กล่าวถึงไปแล้ว) คือ

r^{2}-2r_{0}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+r_{0}^{2}-a^{2}=0,\qquad (a>0,\ r>0,\ a\neq r_{0})

โดยที่ $a$ คือรัศมี และ $(r, θ)$ คือพิกัดเชิงขั้วของจุดศูนย์กลาง สมการของเส้นโค้งผกผันคือ

1-2r_{0}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+\left(r_{0}^{2}-a^{2}\right)r^{2}=0,

หรือ

r^{2}-{\frac {2r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+{\frac {1}{r_{0}^{2}-a^{2}}}=0.

นี่คือสมการของวงกลมที่มีรัศมี

A={\frac {a}{\left|r_{0}^{2}-a^{2}\right|}}

และจุดศูนย์กลางที่มีพิกัดเชิงขั้วคือ

\left(R_{0},\Theta _{0}\right)=\left({\frac {r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}},\theta _{0}\right).

โปรดทราบว่า $R$ อาจมีค่าเป็นลบได้

ถ้าวงกลมเดิมตัดกับวงกลมหน่วย จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองและจุดตัดจะก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว $1, a, r$ นี่คือรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กล่าวคือ รัศมีทั้งสองทำมุมฉากกันพอดี

r_{0}^{2}=a^{2}+1.

แต่จากสมการข้างต้น วงกลมเดิมจะเหมือนกับวงกลมผกผันอย่างแม่นยำเมื่อ

r_{0}^{2}-a^{2}=1.

ดังนั้น วงกลมผกผันจะเป็นวงกลมเดียวกันก็ต่อเมื่อมันตัดกับวงกลมหน่วยเป็นมุมฉาก

เพื่อสรุปและให้ภาพรวมของส่วนนี้และส่วนก่อนหน้า:

สิ่งที่ตรงข้ามกับเส้นตรงหรือวงกลมก็คือเส้นตรงหรือวงกลมเช่นกัน
ถ้าเส้นโค้งเดิมเป็นเส้นตรง เส้นโค้งผกผันจะผ่านจุดศูนย์กลางการผกผัน ถ้าเส้นโค้งเดิมผ่านจุดศูนย์กลางการผกผัน เส้นโค้งผกผันจะเป็นเส้นตรง
เส้นโค้งกลับหัวจะเหมือนกับเส้นโค้งเดิมทุกประการก็ต่อเมื่อเส้นโค้งนั้นตัดกับวงกลมกลับหัวเป็นมุมฉาก

พาราโบลาที่มีจุดศูนย์กลางผกผันอยู่ที่จุดยอด

สมการของพาราโบลา เมื่อพิจารณาโดยความคล้ายคลึงกันแล้ว จะได้เป็นสมการที่เลื่อนตำแหน่งเพื่อให้จุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด และหมุนเพื่อให้แกนอยู่ในแนวนอน นั่นคือ $x$ $= y² ใน$ พิกัดเชิงขั้ว สมการนี้จะกลายเป็น

r={\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\theta }}.

เส้นโค้งผกผันจึงมีสมการดังนี้

r={\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }}=\sin \theta \tan \theta

ซึ่งเป็นซิสซอยด์ของไดโอเคลส

ภาคตัดกรวยที่มีจุดศูนย์กลางผกผันอยู่ที่จุดโฟกัส

สมการเชิงขั้วของภาคตัดกรวยที่มีจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด คือ (โดยพิจารณาจากความคล้ายคลึง)

r={\frac {1}{1+e\cos \theta }},

โดยที่ e คือค่าความเยื้องศูนย์ ส่วนกลับของเส้นโค้งนี้จะเป็นดังนี้

r=1+e\cos \theta ,

ซึ่งเป็นสมการของลิมาซงของปาสคาลเมื่อ $e = 0$ นี่คือวงกลมผกผัน เมื่อ $0 < e < 1$ เส้นโค้งเดิมจะเป็นวงรี และเส้นโค้งผกผันจะเป็นเส้นโค้งปิดแบบง่ายที่มีจุดยอดแหลมอยู่ที่จุดกำเนิด เมื่อ $e = 1$ เส้นโค้งเดิมจะเป็นพาราโบลา และเส้นโค้งผกผันจะเป็นรูปหัวใจที่มีจุดยอดแหลมอยู่ที่จุดกำเนิด เมื่อ $e > 1$ เส้นโค้งเดิมจะเป็นไฮเปอร์โบลา และเส้นโค้งผกผันจะสร้างเป็นสองวงที่มีจุดยอดโค้งอยู่ที่จุดกำเนิด

วงรีและไฮเปอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางผกผันอยู่ที่จุดยอด

สมการทั่วไปของวงรีหรือไฮเปอร์โบลาคือ

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

การแปลนี้โดยให้จุดกำเนิดเป็นหนึ่งในจุดยอดจะได้

{\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

และการจัดเรียงใหม่จะให้ผลลัพธ์ดังนี้

{\frac {x^{2}}{2a}}\pm {\frac {ay^{2}}{2b^{2}}}=x

หรือ การเปลี่ยนแปลงค่าคงที่

cx^{2}+dy^{2}=x.

โปรดสังเกตว่าพาราโบลาข้างต้นเข้ากับแผนผังนี้ได้แล้ว โดยการแทนค่า $c = 0$ และ $d = 1$ สมการของพาราโบลาผกผันคือ

{\frac {cx^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}

หรือ

x\left(x^{2}+y^{2}\right)=cx^{2}+dy^{2}.

สมการนี้อธิบายถึงกลุ่มของเส้นโค้งที่เรียกว่าconchoid ของ de Sluzeกลุ่มนี้ประกอบด้วย cissoid ของ Diocles ที่กล่าวถึงข้างต้น รวมถึง trisectrix ของ Maclaurin ( $d = - c / 3)$ และstrophoid ขวา ( $d = - c$ ) $ด้วย$

วงรีและไฮเปอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางผกผันอยู่ที่กึ่งกลาง

การกลับสมการของวงรีหรือไฮเปอร์โบลา

cx^{2}+dy^{2}=1

ให้

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=cx^{2}+dy^{2}

ซึ่งก็คือฮิปโปพีเดเมื่อ $d = - c$ นี่คือเลมนิสเคตของเบอร์นูลลี

ภาคตัดกรวยที่มีจุดศูนย์กลางผกผันใดๆ

เมื่อใช้สูตรดีกรีข้างต้น ส่วนกลับของภาคตัดกรวย (ที่ไม่ใช่วงกลม) จะเป็นวงกลมกำลังสาม ถ้าจุดศูนย์กลางการผกผันอยู่บนเส้นโค้ง และจะเป็นวงกลมกำลังสี่ ถ้าไม่ใช่ ภาคตัดกรวยเป็นเส้นโค้งตรรกยะ ดังนั้นเส้นโค้งผกผันก็เป็นเส้นโค้งตรรกยะเช่นกัน ในทางกลับกัน วงกลมกำลังสามหรือวงกลมกำลังสี่ที่เป็นเส้นโค้งตรรกยะใดๆ ก็ตามจะเป็นส่วนกลับของภาคตัดกรวย อันที่จริง เส้นโค้งดังกล่าวจะต้องมีจุดเอกฐานจริง และเมื่อใช้จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางการผกผัน เส้นโค้งผกผันจะเป็นภาคตัดกรวยตามสูตรดีกรี^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

เส้นโค้งอนาลแลกมาติก

เส้นโค้งอนาลักมาติกคือเส้นโค้งที่กลับด้านเข้าหาตัวเอง ตัวอย่างเช่นวงกลมรูป หัวใจ รูปไข่ของแคสสินีรูปสตรอฟอยด์และรูปสามแฉกของแมคลาอริน

ดูเพิ่มเติม

ลิงก์ภายนอก

ดูคำจำกัดความได้ที่ดัชนีเส้นโค้งชื่อดังของ MacTutorเว็บไซต์นี้ยังมีตัวอย่างของเส้นโค้งผกผันและแอปเพล็ต Java สำหรับสำรวจเส้นโค้งผกผันของทุกเส้นโค้งในดัชนีอีกด้วย

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]