ในทางคณิตศาสตร์ลำดับโซมอส (Somos sequence)คือลำดับของตัวเลขที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด แบบหนึ่ง ซึ่งจะอธิบายต่อไป ลำดับ นี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ไมเคิล โซมอส จากรูปแบบของความสัมพันธ์เวียนเกิดที่กำหนด (ซึ่งเกี่ยวข้องกับการหาร) เราอาจคาดหวังว่าพจน์ของลำดับจะเป็นเศษส่วน แต่ที่น่าประหลาดใจคือ ลำดับโซมอสบางลำดับมีคุณสมบัติที่ว่าสมาชิกทั้งหมดของลำดับเป็นจำนวนเต็ม

สำหรับจำนวนเต็ม${\displaystyle k}$ใหญ่กว่า${\displaystyle 1}$โซมอส-${\displaystyle k}$ลำดับ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$เป็นคำตอบของสมการ $${\displaystyle a_{n}a_{n-k}=\sum _{i=1}^{\lfloor k/2\rfloor }\alpha _{i}a_{n-i}a_{n-k+i}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \alpha _{1}}$,${\displaystyle \alpha _{2}}$, ...,${\displaystyle \alpha _{\lfloor k/2\rfloor }}$เป็นพารามิเตอร์คงที่ สามารถจัดเรียงใหม่ให้อยู่ในรูปแบบของคำสั่งได้${\displaystyle k}$ความสัมพันธ์เวียนเกิด$${\displaystyle a_{n}={\frac {\sum _{i=1}^{\lfloor k/2\rfloor }\alpha _{i}a_{n-i}a_{n-k+i}}{a_{n-k}}}.}$$ ดังนั้น คำตอบที่ไม่เสื่อมสภาพจึงถูกกำหนดโดยการเลือก${\displaystyle k}$ค่าเริ่มต้น${\displaystyle a_{0}}$,${\displaystyle a_{1}}$, ...,${\displaystyle a_{k-1}}$ลำดับที่ได้จากการตั้งค่า${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\dots =\alpha _{\lfloor k/2\rfloor }=1}$และ${\displaystyle a_{0}=a_{1}=\dots =a_{k-1}=1}$ถูกเรียกว่าโซมอส-${\displaystyle k}$ลำดับโซโมส-${\displaystyle k}$ลำดับมีความสมมาตร กล่าวคือ${\displaystyle s_{-n}=s_{n+k-1}}$.

สำหรับ${\displaystyle k=2}$หรือ${\displaystyle 3}$ความสัมพันธ์ที่กำหนดนั้นง่ายมาก (ไม่มีการบวกทางด้านขวามือ)

ในกรณีแรกที่ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย${\displaystyle k=4}$ความสัมพันธ์คือ $${\displaystyle a_{n}={\frac {\alpha a_{n-1}a_{n-3}+\beta a_{n-2}^{2}}{a_{n-4}}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \alpha }$และ${\displaystyle \beta }$เป็นพารามิเตอร์คงที่ ในกรณีนี้${\displaystyle k=5}$ความสัมพันธ์คือ $${\displaystyle a_{n}={\frac {\alpha a_{n-1}a_{n-4}+\beta a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}}}.}$$

โซโมส-${\displaystyle 2}$และโซโมส-${\displaystyle 3}$ลำดับเหล่านี้เป็นลำดับที่มีค่าเป็น 1 ทั้งหมด (...,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$, ...).

ค่าต่างๆ ในโซโมส-${\displaystyle 4}$ลำดับคือ

1, 1, 1, 1 , 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... (ลำดับA006720ในOEIS )

ค่าต่างๆ ในโซโมส-${\displaystyle 5}$ลำดับคือ

1, 1, 1, 1, 1 , 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, ... (ลำดับA006721ในOEIS )

ค่าต่างๆ ในโซโมส-${\displaystyle 6}$ลำดับคือ

1, 1, 1, 1, 1, 1 , 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ... (ลำดับA006722ในOEIS )

ค่าต่างๆ ในโซโมส-${\displaystyle 7}$ลำดับคือ

1 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ... (ลำดับA006723ในOEIS )

ค่า 17 ค่าแรกใน Somos-${\displaystyle 8}$ลำดับคือ

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 13, 25, 61, 187, 775, 5827, 14815 [ค่าถัดไปเป็นเศษส่วน] ^{[ 1 ]}

รูปแบบของความสัมพันธ์เวียนเกิดที่อธิบายลำดับ Somos เกี่ยวข้องกับการหาร ทำให้ดูเหมือนว่าลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิดเหล่านี้จะมีค่าเป็นเศษส่วน อย่างไรก็ตาม สำหรับ${\displaystyle k\leq 7}$ลำดับ Somos ประกอบด้วยค่าจำนวนเต็มเท่านั้น^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} โดยทั่วไปสำหรับ${\displaystyle k\leq 7}$โซมอส-${\displaystyle k}$ลำดับดังกล่าวเป็นไปตามคุณสมบัติของลอเรนต์ (Laurent property) กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันของพจน์เริ่มต้น${\displaystyle a_{0}}$, ...,${\displaystyle a_{k-1}}$ทุกเทอม${\displaystyle a_{n}}$เป็นพหุนามลอเรนต์ หลายตัวแปร ที่มีสัมประสิทธิ์ใน${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha _{1},\dots ,\alpha _{\lfloor k/2\rfloor }]}$นักคณิตศาสตร์หลายคนได้ศึกษาปัญหาการพิสูจน์และอธิบายคุณสมบัติของลำดับ Somos นี้ ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงของพีชคณิตคลัสเตอร์^{[ 5 ] [ 3 ] [ 6 ] [ 7 ]}

สำหรับ${\displaystyle k\geq 8}$ชาวโซมอส-${\displaystyle k}$ลำดับต่างๆ ในที่สุดจะมีค่าเป็นเศษส่วน สำหรับ Somos-${\displaystyle 8}$ค่าเศษส่วนแรกคือพจน์ที่ 18 ซึ่งมีค่าเท่ากับ${\displaystyle 420514/7}$.

ลองพิจารณา Somos-${\displaystyle 4}$ความสัมพันธ์ $${\displaystyle a_{n}a_{n-4}=\alpha a_{n-1}a_{n-3}+\beta a_{n-2}^{2}}$$ กับ${\displaystyle \alpha \neq 0}$จากนั้นSomos ที่มีค่าเชิงซ้อน${\displaystyle 4}$ลำดับดังกล่าวสอดคล้องกับลำดับเลขคณิตของจุด${\displaystyle Q+nP}$บนเส้นโค้งวงรี${\displaystyle E}$(ดูเส้นโค้งวงรี#กฎกลุ่ม ) เทอมทั่วไปกำหนดโดยสูตร^{[ 8 ]}$${\displaystyle a_{n}=AB^{n}{\frac {\sigma (z_{0}+n\kappa )}{\sigma (\kappa )^{n^{2}}}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \sigma (z)=\sigma (z;g_{2},g_{3})}$แสดงถึงฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์สตรัสที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้ง${\displaystyle E}$เขียนตามรูปแบบมาตรฐาน$${\displaystyle E:\quad y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}.}$$ พารามิเตอร์ทั้งหก${\displaystyle g_{2},g_{3},A,B,z_{0},\kappa \in \mathbb {C} }$ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง (โดยไม่นับการเลือกเครื่องหมาย) โดยสัมประสิทธิ์${\displaystyle \alpha ,\beta }$และเงื่อนไขเบื้องต้น${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$. เดอะ${\displaystyle (x,y)}$พิกัดของลำดับ${\displaystyle Q+nP}$ได้รับจาก${\displaystyle (\wp (z_{0}+n\kappa ),\wp '(z_{0}+n\kappa ))}$, ที่ไหน${\displaystyle \wp (z)=\wp (z;g_{2},g_{3})}$หมายถึงฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์สตรัสสัมประสิทธิ์${\displaystyle \alpha }$และ${\displaystyle \beta }$กำหนดให้เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีของ${\displaystyle \kappa }$โดย $${\displaystyle \alpha =\wp (\kappa )^{2},\quad \beta =\wp '(\kappa )^{2}(\wp (2\kappa )-\wp (\kappa )).}$$

• ลำดับของโกเบล

• เว็บไซต์ลำดับ Somos ของ Jim Propp
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. , "Somos Sequence" , MathWorld
• เลขก่อปัญหาวิดีโอจาก Numberphileเกี่ยวกับลำดับ Somos