ในทางคณิตศาสตร์รากที่สองของ 10คือจำนวนจริงบวกที่เมื่อคูณด้วยตัวเองแล้วได้ผลลัพธ์เป็น10ซึ่งมีค่าประมาณ 3.16

ในอดีต รากที่สองของ 10 ถูกนำมาใช้เป็นค่าประมาณของค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์πโดยนักคณิตศาสตร์บางคนเข้าใจผิดว่ารากที่สองของ 10 นั้นคืออัตราส่วนระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นรอบวงของวงกลม นอกจากนี้ ตัวเลขนี้ยังมีบทบาทสำคัญในการคำนวณลำดับขนาด อีก ด้วย

อับดุลลาติฟ อัล-บักดาดีแพทย์ในศตวรรษที่ 13 ได้รับการกล่าวถึงโดยนักเขียนชีวประวัติว่าเปรียบเทียบ "ความไม่แน่นอนในทางการแพทย์กับความเป็นไปไม่ได้ทางคณิตศาสตร์ในการกำหนดจำนวนอตรรกยะ เช่น ค่าพายหรือรากที่สองของสิบ" ^{[ 1 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในหนังสือคำแนะนำสองประการ ( Kitāb al-Naṣīḥatayn ) ของเขา อับดุลลาติฟได้เสนอ "ตัวอย่างพื้นผิวของวงกลมหรือรากที่สอง เช่น รากที่สองของสิบ" โดยกล่าวว่า "หากใครบอกว่ารากที่สองของสิบคือสาม เขาไม่สามารถนับได้ว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ และคำพูดของเขาไม่สามารถยอมรับได้" ^{[ 2 ]}

ตัวเลขสำคัญ 60 หลักแรกของการขยายทศนิยมมีดังนี้:

3.16227 76601 68379 33199 88935 44432 71853 37195 55139 32521 68268 57504... (ลำดับA010467ในOEIS )

ตัวเลขทศนิยมของส่วนกลับของมันจะเหมือนกัน แต่มีการเลื่อนตำแหน่ง: ⁠ ⁠${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {10}}}}$ = 0.31622... .

มีการเผยแพร่ตัวเลขทศนิยมมากกว่าหนึ่งล้านหลักของรากที่สองของ 10 ^{[ 3 ]}โดยNASAได้ประกาศการเผยแพร่ตัวเลขหนึ่งล้านหลักแรกเมื่อวันที่ 1 เมษายน พ.ศ. 2537 ^{[ 4 ]}ณ เดือนธันวาคม พ.ศ. 2556 มีรายงานว่าค่าตัวเลขในระบบทศนิยมได้รับการคำนวณแล้วอย่างน้อยหนึ่งหมื่นล้านหลัก^{[ 5 ]}

ตามที่Jan Gullberg ได้กล่าวไว้ ในMathematics from the Birth of Numbers [ ^{6 ] เนื่องจาก}ค่ารากที่สองของ 10 ใกล้เคียงกับ ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์π จึงถูกใช้เป็นค่าประมาณในตำราโบราณต่างๆ ^{[ 7 ]}ตามที่ William Alexander Myers กล่าว นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับบางคนคำนวณเส้นรอบวงของวงกลมหน่วยได้เป็น⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$^{[ 8 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวจีนZhang Heng (78–139) ประมาณค่า pi เป็น 3.162 โดยการหาค่ารากที่สองของ 10 ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

กุลเบิร์กตั้งข้อสังเกตว่าชาวกรีกยุคแรก ในขณะที่ใช้ 3 เป็นค่าประมาณของพายใน "การใช้งานทั่วไป" ก็ยังใช้รากที่สองของ 10 "สำหรับเรื่องที่จริงจังกว่า" โดยสังเกตว่าการใช้งานนี้เป็นเชิงประจักษ์ในแง่ที่ว่า "ขึ้นอยู่กับประสบการณ์จริงเท่านั้น ไม่ใช่การพิจารณาเชิงทฤษฎี" จนกระทั่งศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราชฮิปปาร์คัส จึง คำนวณค่าพายที่ใกล้เคียงกว่ามากได้ 3.14166 ^{[ 6 ]}เฮอร์มันน์ ชูเบิร์ตในการรายงานวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์จากอินเดียโบราณ ก็ยืนยันในทำนองเดียวกันว่าเชื่อกันว่าพายเท่ากับรากที่สองของ 10:

กล่าวได้ว่า ค่าประมาณที่ดีของAryabhattaไม่ปรากฏในBramaguptaนักคณิตศาสตร์ชาวฮินดูผู้ยิ่งใหญ่ที่เจริญรุ่งเรืองในช่วงต้นศตวรรษที่ 7 แต่เราพบข้อมูลที่น่าสนใจในผู้เขียนคนนี้ว่า พื้นที่ของวงกลมเท่ากับรากที่สองของ 10 พอดีเมื่อรัศมีเป็นหนึ่ง ค่าของ π ที่ได้จากสูตรนี้—ค่าที่มากเกินไปสองถึงสามในร้อย—เกิดขึ้นบนแผ่นดินฮินดูอย่างไม่ต้องสงสัย เพราะไม่ปรากฏในนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก และผู้เขียนชาวอาหรับซึ่งอยู่ในตำแหน่งที่ดีกว่าเราในการรู้จักวรรณกรรมคณิตศาสตร์ของกรีกและฮินดู ประกาศว่าค่าประมาณที่ทำให้ π เท่ากับรากที่สองของ 10 นั้นมีต้นกำเนิดมาจากฮินดู^{[ 14 ]}

ชูเบิร์ตตั้งสมมติฐานว่านี่เป็นเพราะ "ชาวฮินดู" "ติดลัทธิลึกลับของตัวเลข มากกว่ากลุ่มอื่นใด " และด้วยเหตุนี้ "จึงพยายามค้นหาความเชื่อมโยงบางอย่างในการประมาณค่านี้กับข้อเท็จจริงที่ว่ามนุษย์มีนิ้วสิบนิ้ว และด้วยเหตุนี้สิบจึงเป็นพื้นฐานของระบบตัวเลขของพวกเขา" ^{[ 14 ]}

ในปี ค.ศ. 1594 โจเซฟ จัสตุส สคาลิเกอร์ซึ่งได้รับการแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยไลเดนเมื่อปีก่อนหน้า ได้ตีพิมพ์Cyclometrica Elementa duoเกี่ยวกับการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากวงกลมโดยเขาอ้างว่า "อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางคือ √10" ต้นฉบับของเขาถูกอ่านโดยลูโดล์ฟ ฟาน เซอเลนซึ่งพบว่าผิดพลาดและแนะนำสคาลิเกอร์ไม่ให้ตีพิมพ์ผลงานดังกล่าว สคาลิเกอร์ก็ยังคงตีพิมพ์ต่อไป และหลังจากนั้นไม่นานอาเดรียน ฟาน รูเมน ก็ "เขียนคำตอบที่หักล้างข้ออ้างของสคาลิเกอร์" ฟาน เซอเลนยังวิพากษ์วิจารณ์ข้ออ้างของสคาลิเกอร์ในVanden Circkel ( เกี่ยวกับวงกลม ) ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1596 แม้ว่าเขาจะไม่ได้ระบุว่าสคาลิเกอร์เป็นแหล่งที่มาก็ตาม^{[ 15 ]}

รากที่สองของ 10 สามารถแสดงได้ในรูปเศษส่วนต่อเนื่อง (ลำดับA040006ในOEIS ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันน้อยกว่าอัตราส่วนโลหะ ลำดับที่หกอยู่ 3 ซึ่งมีการขยายเศษส่วนต่อเนื่องเป็น[6; 6, 6, ... ] $${\displaystyle [3;6,6,6,6,6,\ldots ]=3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+\dots }}}}}}}}.}$$

การประเมินเศษส่วนต่อเนื่องบางส่วนที่ต่อเนื่องกัน ซึ่งเรียกว่าค่าลู่เข้ามีความแม่นยำสูง: ^{[ a ]}

$${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {19}{6}},{\frac {117}{37}},{\frac {721}{228}},{\frac {4443}{1405}},{\frac {27379}{8658}},{\frac {168717}{53353}},{\frac {1039681}{328776}},{\frac {6406803}{2026009}}\dots }$$

ตัวเศษของตัวเลขเหล่านี้คือ 3, 19, 117, 721, … (ลำดับA005667ในOEIS ) และตัวส่วนคือ 1, 6, 37, 228, … (ลำดับA005668ในOEIS )

การบรรจบกันครั้งที่สองทุก ครั้งจะสอดคล้องกับคำตอบของ^สมการของ Pell : ${\displaystyle n^{2}-10d^{2}=1}$^[ 16 ^]$${\displaystyle {\frac {n}{d}}={\frac {19}{6}},{\frac {721}{228}},{\frac {27379}{8658}},{\frac {1039681}{328776}},{\frac {39480499}{12484830}},\dots }$$

การทำซ้ำของวิธีของนิวตันจะลู่เข้าได้เร็วขึ้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถใช้x ₀ = 3เพื่อ สร้างลำดับของค่าต่างๆ ซึ่งการประมาณค่าแต่ละครั้งจะมีความแม่นยำประมาณสองเท่าของจำนวนหลักทศนิยมของค่าก่อนหน้า: $${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{k}+{\frac {10}{x_{k}}}\right)}$$$${\displaystyle x_{k}={\frac {3}{1}},{\frac {19}{6}},{\frac {721}{228}},{\frac {1039681}{328776}},{\frac {2161873163521}{683644320912}},\dots }$$

วิธีของฮัลลีย์ซึ่งใช้ จำนวนหลักทศนิยมที่แม่นยำเพิ่มขึ้นประมาณสามเท่าในแต่ละรอบการคำนวณ: $${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}{\frac {{x_{k}}^{2}+30}{3{x_{k}}^{2}+10}}\,,}$$$${\displaystyle x_{k}={\frac {3}{1}},{\frac {117}{37}},{\frac {6406803}{2026009}},\dots }$$

${\displaystyle {\sqrt {10}}}$ถูกใช้เป็นจุดพับสำหรับมาตราส่วนที่พับบนไม้บรรทัดคำนวณโดยส่วนใหญ่เป็นเพราะการตั้งค่ามาตราส่วนที่พับด้วยตัวเลขสามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนผลลัพธ์^{[ 17 ]}

รากที่สองของ 10 มีความสำคัญใน การคำนวณและการประมาณ ค่าลำดับขนาด ลำดับขนาดของปริมาณคือค่ากำลังที่ใกล้ที่สุดของ 10ที่สอดคล้องกับ ปริมาณนั้น ^{[ 18 ]}ตัวอย่างเช่น899 เมตรใกล้เคียงกับ^10³เมตร มากกว่า^10²เมตร ดังนั้นจึงมีลำดับขนาดเป็น 10³ ^หรือ 1000 เมื่อแสดงในหน่วยเมตร ในทางคณิตศาสตร์ การหาลอการิทึมฐานสิบและปัดเศษ เป็น จำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดแล้วยกกำลัง 10 จะได้ลำดับขนาด^{[ b ]}

เนื่องจากลำดับขนาดเป็นแบบลอการิทึมจุดกึ่งกลางระหว่าง 10 ⁰และ 10 ¹คือ 10 ^0.5 = √ 10 ≈ 3.16 ดังนั้น เมื่อแสดงในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์สำหรับจำนวนที่ต่ำกว่า3.16 × 10 ^xควร ปัดเศษ x ลง (ลำดับขนาด10 ^x ) และสำหรับจำนวนที่สูงกว่า3.16 × 10 ^xควร ปัดเศษ x ขึ้น ( ลำดับขนาด10 ^x +1 ^{) [ 19 ]}

รากที่สองของ 10 สอดคล้องกับครึ่งหนึ่งของอันดับขนาด^{[ 20 ]}

ความ แตกต่างของ ระดับเสียง 10 เดซิเบล (1 เบล ) สอดคล้องกับอัตราส่วนกำลัง 10 ซึ่งเท่ากับหนึ่งอันดับความ magnitud หรืออัตราส่วนแอมพลิจูด (ปริมาณสนาม) เท่ากับรากที่สองของ 10 ซึ่งเท่ากับครึ่งอันดับความ magnitud