ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีเซตและทฤษฎีแบบจำลองเซตคงที่ (stationary set)คือเซตที่ไม่เล็กเกินไปในแง่ที่ว่ามันตัดกับเซตคลับ (club sets) ทั้งหมด และคล้ายคลึงกับเซตที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์ในทฤษฎีการวัดมีแนวคิดเกี่ยวกับเซตคงที่อย่างน้อยสามแนวคิดที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังพิจารณาเซตย่อยของลำดับ (ordinal)หรือเซตย่อยของสิ่งที่มีจำนวนสมาชิก ที่กำหนด หรือเซตกำลัง (powerset )

ถ้า${\displaystyle \kappa }$เป็นจำนวนนับที่มีจุดร่วมสุดท้ายที่นับไม่ได้${\displaystyle S\subseteq \kappa ,}$และ${\displaystyle S}$ตัดผ่านทุกชุดคลับใน${\displaystyle \kappa ,}$แล้ว${\displaystyle S}$เรียกว่าเซตคงที่ [ ^{1 ] ถ้า} เซตไม่คงที่ เรียกว่าเซตบางแนวคิดนี้ไม่ควรสับสนกับแนวคิดของเซตบางในทฤษฎีจำนวน

ถ้า${\displaystyle S}$เป็นชุดเครื่องเขียนและ${\displaystyle C}$เป็นชุดไม้กอล์ฟ จากนั้นจึงตัดกัน${\displaystyle S\cap C}$ก็อยู่นิ่งเช่นกัน นี่เป็นเพราะว่าถ้า${\displaystyle D}$มีชุดไม้กอล์ฟชุดใดบ้างไหม?${\displaystyle C\cap D}$เป็นชุดไม้กอล์ฟ ดังนั้น${\displaystyle (S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)}$ไม่ว่างเปล่า ดังนั้น${\displaystyle (S\cap C)}$ต้องอยู่นิ่ง

ดูเพิ่มเติม : ทฤษฎีบทเสริมของฟอดอร์

ข้อจำกัดเรื่องความร่วมกันที่ไม่สามารถนับได้นั้นก็เพื่อหลีกเลี่ยงเรื่องที่ไม่สำคัญ: สมมติว่า${\displaystyle \kappa }$มี cofinality ที่นับได้ จากนั้น${\displaystyle S\subseteq \kappa }$อยู่นิ่งใน${\displaystyle \kappa }$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \คัปปา \setminus S}$มีขอบเขตใน${\displaystyle \kappa }$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากความเป็นผลลัพธ์ร่วมกันของ${\displaystyle \kappa }$เป็น${\displaystyle \omega =\aleph _{0}}$จากนั้นเซตย่อยคงที่สองเซตใดๆ ของ${\displaystyle \kappa }$มีทางแยกแบบคงที่

แต่กรณีนี้จะไม่เป็นเช่นนั้นอีกต่อไป หากความเป็นปลายร่วมกันของ${\displaystyle \kappa }$เป็นจำนวนนับไม่ได้ ที่จริง สมมติว่า${\displaystyle \kappa }$นอกจากนี้ยังเป็นแบบปกติและ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$อยู่นิ่ง จากนั้น${\displaystyle S}$สามารถแบ่งออกเป็น${\displaystyle \kappa }$เซตนิ่งที่ไม่ซ้ำกันจำนวนมาก ผลลัพธ์นี้เป็นผลงานของโซโลเวย์ถ้า${\displaystyle \kappa }$เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สืบทอดมาผลลัพธ์นี้เป็นผลมาจากUlamและสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายโดยใช้สิ่งที่เรียกว่า เมทริก ซ์Ulam

เอช. ฟรีดแมนได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับลำดับผู้สืบทอดที่นับได้ทุกตัว${\displaystyle \beta }$เซตย่อยคงที่ทุกเซตของ${\displaystyle \omega _{1}}$ประกอบด้วย เซตย่อย ปิดของประเภทลำดับ${\displaystyle \beta }$.

นอกจากนี้ยังมีแนวคิดเกี่ยวกับเซตย่อยคงที่ของ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$, สำหรับ${\displaystyle \lambda }$พระคาร์ดินัลและ${\displaystyle X}$เซตซึ่งมีคุณสมบัติว่า${\displaystyle |X|\geq \lambda }$, ที่ไหน${\displaystyle [X]^{\lambda }}$คือเซตของเซตย่อยของ${\displaystyle X}$ของจำนวนสมาชิก${\displaystyle \lambda }$:${\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}}$แนวคิดนี้มาจากโทมัส เจคดังที่กล่าวมาแล้ว${\displaystyle S\subseteq [X]^{\lambda }}$จะหยุดนิ่งก็ต่อเมื่อมันพบกับทุกคลับ โดยที่คลับย่อยของคลับนั้น${\displaystyle [X]^{\lambda }}$เป็นเซตที่ไม่มีขอบเขตภายใต้${\displaystyle \subseteq }$และปิดภายใต้การเชื่อมต่อของโซ่ที่มีความยาวสูงสุด${\displaystyle \lambda }$แนวคิดเหล่านี้โดยทั่วไปแตกต่างกัน แม้ว่าสำหรับ${\displaystyle X=\omega _{1}}$และ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$ทั้งสองอย่างสอดคล้องกันในแง่ที่ว่า${\displaystyle S\subseteq [\omega _{1}]^{\omega }}$จะอยู่นิ่งก็ต่อเมื่อ${\displaystyle S\cap \omega _{1}}$อยู่นิ่งใน${\displaystyle \omega _{1}}$.

ทฤษฎีบทของ Fodor ในรูปแบบที่เหมาะสมก็ใช้ได้กับแนวคิดนี้เช่นกัน

นอกจากนี้ยังมีแนวคิดที่สาม ซึ่งมีลักษณะเป็นทฤษฎีแบบจำลอง และบางครั้งเรียกว่า สภาวะคงที่ แบบทั่วไปแนวคิดนี้อาจมาจากMagidor , ForemanและShelahและยังถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายโดยWoodinอีก ด้วย

เอาล่ะ ปล่อยให้${\displaystyle X}$เป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่า เซต${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$คลับ (ปิดและไม่จำกัดขอบเขต) จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชัน${\displaystyle F:[X]^{<\omega }\to X}$โดยที่${\displaystyle C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subseteq z\}}$. ที่นี่,${\displaystyle [y]^{<\โอเมก้า }}$คือกลุ่มของเซตย่อยจำกัดของ${\displaystyle y}$.

${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$อยู่นิ่งใน${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ก็ต่อเมื่อมันตรงตามเงื่อนไขของกลุ่มย่อยทั้งหมดของคลับเท่านั้น${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$.

เพื่อให้เห็นความเชื่อมโยงกับทฤษฎีแบบจำลอง โปรดสังเกตว่า ถ้า${\displaystyle M}$เป็นโครงสร้างที่มีจักรวาล${\displaystyle X}$ในภาษาที่นับได้และ${\displaystyle F}$เป็นฟังก์ชัน Skolemสำหรับ${\displaystyle M}$จากนั้นก็เป็นสถานี${\displaystyle S}$ต้องมีโครงสร้างย่อยพื้นฐานของ${\displaystyle M}$. ในความเป็นจริง,${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$จะอยู่นิ่งก็ต่อเมื่อสำหรับโครงสร้างดังกล่าวใดๆ${\displaystyle M}$มีโครงสร้างพื้นฐานของ${\displaystyle M}$ที่เป็นของ${\displaystyle S}$.

• "ชุดคงที่ " PlanetMath