ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขวิธีของสเตฟเฟนเซนเป็นวิธีวนซ้ำที่ตั้งชื่อตามโยฮัน เฟรเดอริก สเตฟเฟนเซนสำหรับการหาค่าราก เชิงตัวเลข ซึ่งคล้ายกับวิธีซีแคนต์และวิธีของนิวตันวิธีของสเตฟเฟนเซนบรรลุการลู่เข้า ในลำดับกำลังสอง โดยไม่ต้องใช้ค่าอนุพันธ์ ในขณะที่วิธีของนิวตันที่คุ้นเคยมากกว่าก็ลู่เข้าในลำดับกำลังสองเช่นกัน แต่ต้อง ใช้ค่าอนุพันธ์ และวิธีซีแคนต์ไม่จำเป็นต้องใช้ค่าอนุพันธ์ แต่ก็ลู่เข้าช้ากว่าในลำดับกำลังสองเช่นกัน

วิธีของสเตฟเฟนเซนมีข้อเสียคือต้องประเมินฟังก์ชันสองครั้งต่อขั้นตอน ในขณะที่วิธีซีแคนต์ต้องประเมินเพียงครั้งเดียวต่อขั้นตอน ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีประสิทธิภาพมากที่สุดในแง่ของต้นทุนการคำนวณขึ้นอยู่กับจำนวนรอบที่แต่ละวิธีต้องการ วิธีของนิวตันก็ต้องประเมินฟังก์ชันสองครั้งต่อขั้นตอนเช่นกัน – สำหรับฟังก์ชันและสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน – และต้นทุนการคำนวณจะแตกต่างกันไป ตั้งแต่ดีที่สุดเท่ากับวิธีซีแคนต์ ไปจนถึงแย่ที่สุดเท่ากับวิธีของสเตฟเฟนเซน สำหรับฟังก์ชันส่วนใหญ่ การคำนวณอนุพันธ์มีต้นทุนการคำนวณเท่ากับการคำนวณฟังก์ชันดั้งเดิม ดังนั้นในกรณีปกติ วิธีของนิวตันจึงมีต้นทุนเท่ากับวิธีของสเตฟเฟนเซน^{[ a ]}

วิธีของสเตฟเฟนเซนสามารถพัฒนามาจากการปรับกระบวนการเดลต้ากำลังสองของไอท์เคนซึ่งประยุกต์ใช้กับการวนซ้ำจุดตรึงเมื่อพิจารณาในแง่มุมนี้ วิธีของสเตฟเฟนเซนจึงสามารถขยายไปสู่การคำนวณจุดตรึงที่มีประสิทธิภาพในปริภูมิบานาค ทั่วไปได้อย่างเป็นธรรมชาติ ตราบใดที่รับประกันว่าจุดตรึงมีอยู่จริง และการวนซ้ำจุดตรึงรับประกันว่าจะลู่เข้า แม้ว่าอาจจะช้าก็ตาม โดยทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาค

สูตรที่ง่ายที่สุดของวิธีของสเตฟเฟนเซนเกิดขึ้นเมื่อใช้เพื่อหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันจริง กล่าวคือ เพื่อหาค่าจริงที่สอดคล้องกับ เงื่อนไข [b] เมื่อ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใกล้เคียงกับคำตอบจะต้องสอดคล้องกับเงื่อนไข^{[ b ]} อย่างแม่นยำหรือใกล้เคียงมาก สำหรับบางฟังก์ชัน วิธีของสเตฟเฟนเซนอาจใช้ได้แม้ว่าเงื่อนไขนี้จะไม่เป็นไปตามที่กำหนด แต่ในกรณีเช่นนั้น ค่าเริ่มต้นจะต้องใกล้เคียงกับคำตอบจริงมากและการลู่เข้าสู่คำตอบอาจช้า การปรับขนาดของขั้นตอนกลางของวิธีที่กล่าวถึงในภายหลัง สามารถปรับปรุงการลู่เข้าในบางกรณีเหล่านี้ได้${\displaystyle f}$${\displaystyle \ x_{\star }\ }$${\displaystyle \ f(x_{\star })=0~.}$${\displaystyle \ x_{\star }\ ,}$${\displaystyle \ f'\ ,}$${\displaystyle -1<f'(x_{\star })<0~.}$${\displaystyle \ x_{0}\ }$${\displaystyle \ x_{\star }\ ,}$

เมื่อกำหนดค่าเริ่มต้นที่เหมาะสมแล้วลำดับของค่าต่างๆจะถูกสร้างขึ้นโดยใช้สูตรด้านล่าง เมื่อทำงาน ค่าแต่ละค่าในลำดับจะเข้าใกล้คำตอบมากกว่าค่าก่อนหน้า ค่าจากขั้นตอนปัจจุบันจะสร้างค่าสำหรับขั้นตอนถัดไปโดยใช้สูตร^{[ 1 ]}${\displaystyle \ x_{0}\ ,}$${\displaystyle \ x_{0},\ \ x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n},\ \dots \ }$${\displaystyle \ x_{\star }\ }$${\displaystyle \ x_{n}\ }$${\displaystyle \ x_{n+1}\ }$

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{g(x_{n})}}}$

โดยที่ฟังก์ชันความชันเป็นฟังก์ชันประกอบของฟังก์ชันดั้งเดิมที่กำหนดโดยสูตร${\displaystyle \n=0,1,2,3,...\ ,}$${\displaystyle \ g(x)\ }$${\displaystyle \ f\ }$

${\displaystyle g(x)={\frac {f{\bigl (}x+f(x){\bigr )}}{f(x)}}-1}$

หรืออาจจะพูดให้ชัดเจนกว่านี้ก็ได้

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\qquad \approx \quad {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\equiv f'(x),}$

โดยที่คือขนาดช่วงก้าวระหว่างจุดการวนซ้ำครั้งสุดท้ายกับจุดเสริมที่ตั้งอยู่ที่${\displaystyle \ h\equiv f(x)\ }$${\displaystyle \ x\ ,}$${\displaystyle \ x+h~.}$

ในทางเทคนิค ฟังก์ชันนี้ เรียกว่า ผลต่างหารอันดับแรกระหว่างจุดสองจุดนั้น^{[ c ]}ในทางปฏิบัติ มันคือค่าเฉลี่ยของความชันของฟังก์ชันระหว่างจุดลำดับสุดท้ายและจุดเสริมที่ โดยมีขนาดของขั้นตอนกลาง (และทิศทาง) กำหนดโดย${\displaystyle \ g\ }$${\displaystyle \ f\ }$${\displaystyle f'}$${\displaystyle \ f\ }$${\displaystyle \left(x,y\right)={\bigl (}x_{n},f\left(x_{n}\right){\bigr )}}$${\displaystyle \ {\bigl (}x,y{\bigr )}={\bigl (}x_{n}+h,f\left(x_{n}+h\right){\bigr )}\ ,}$${\displaystyle \ h=f(x_{n})~.}$

เนื่องจากค่าของเป็นค่าประมาณของค่าจริง จึงสามารถตรวจสอบได้ว่าตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นต่อการรับประกันการลู่เข้าของอัลกอริทึมของสเตฟเฟนเซนหรือไม่ แม้ว่าความไม่สอดคล้องเล็กน้อยอาจไม่ร้ายแรงเสมอไป แต่การเบี่ยงเบนอย่างมากจากเงื่อนไขจะเตือนว่าวิธีการของสเตฟเฟนเซนมีแนวโน้มที่จะล้มเหลว และควรใช้อัลกอริทึมสำรองชั่วคราว (เช่นอัลกอริทึมอิลลินอยส์ ที่แข็งแกร่งกว่า หรือregula falsi ธรรมดา )${\displaystyle \ g\ }$${\displaystyle \ f'\ ,}$${\displaystyle \ -1<g<0\ ,}$

เพื่อจุดประสงค์ในการค้นหาจุดเสริมนี้เท่านั้น ค่าของฟังก์ชันจะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดที่ว่า^{[ b ]}สำหรับส่วนอื่นๆ ทั้งหมดของการคำนวณ วิธีการของ Steffensen ต้องการเพียงให้ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและมีคำตอบใกล้เคียง^{[ 1 ]}มีการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยหลายประการของขั้นตอนที่ใช้ในสูตรสำหรับความชันเช่น การคูณด้วย⁠${\displaystyle \ h\ }$${\displaystyle \ f\ }$${\displaystyle \ -1<f'(x_{\star })<0~.}$${\displaystyle \ f\ }$${\displaystyle \ h\ }$${\displaystyle \ g\ }$ 1 /2หรือ​​ 3 /4เพื่อรองรับฟังก์ชันที่ไม่ตรงตามข้อกำหนดอย่างสมบูรณ์${\displaystyle \ f\ }$

ข้อได้เปรียบหลักของวิธีของสเตฟเฟนเซนคือการลู่เข้าแบบกำลังสอง^{[ 1 ]}เช่นเดียว กับ วิธีของนิวตัน–กล่าวคือ ทั้งสองวิธีสามารถหาคำตอบของสมการได้"เร็ว" เท่ากัน ในกรณีนี้เร็วหมายความว่าสำหรับทั้งสองวิธี จำนวนหลักที่ถูกต้องในคำตอบจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในแต่ละขั้นตอน แต่สูตรสำหรับวิธีของนิวตันต้องประเมินอนุพันธ์ของฟังก์ชันรวมถึงตัวฟังก์ชัน เอง ด้วย ในขณะที่วิธีของสเตฟเฟนเซนต้องการเพียงตัวมันเองเท่านั้น นี่เป็นสิ่งสำคัญเมื่ออนุพันธ์ไม่สามารถหาได้ง่ายหรือมีประสิทธิภาพ${\displaystyle \ f\ }$${\displaystyle \ f'\ }$${\displaystyle \ f\ ,}$${\displaystyle \ f\ }$

ราคาของการลู่เข้าอย่างรวดเร็วคือการประเมินฟังก์ชันสองครั้ง: ทั้งและต้องคำนวณ ซึ่งอาจใช้เวลานานหากมีความซับซ้อน สำหรับการเปรียบเทียบ ทั้งregula falsiและวิธี secantต้องการการประเมินฟังก์ชันเพียงครั้งเดียวต่อขั้นตอน วิธี secant เพิ่มจำนวนหลักที่ถูกต้อง "เพียง" ประมาณ 1.6 เท่าต่อขั้นตอน แต่สามารถทำขั้นตอนของวิธี secant ได้เป็นสองเท่าภายในเวลาที่กำหนด เนื่องจากวิธี secant สามารถดำเนินการได้เป็นสองเท่าในเวลาเดียวกันกับวิธีของ Steffensen ^{[ d ]}ในการใช้งานจริง วิธี secant ลู่เข้าได้เร็วกว่าวิธีของ Steffensen เมื่อทั้งสองอัลกอริทึมประสบความสำเร็จ: วิธี secant บรรลุจำนวนหลักประมาณ(1.6) ² ≈ 2.6เท่า สำหรับทุกๆ สองขั้นตอน (การประเมินฟังก์ชันสองครั้ง) เมื่อเทียบกับปัจจัย 2ของ Steffensen สำหรับทุกๆ หนึ่งขั้นตอน (การประเมินฟังก์ชันสองครั้ง)${\displaystyle \ f(x_{n})\ }$${\displaystyle \ f(x_{n}+h)\ }$${\displaystyle \ f\ }$ 

เช่นเดียวกับ อัลกอริธึมการหาค่ารากแบบวนซ้ำส่วนใหญ่จุดอ่อนที่สำคัญในวิธีการของสเตฟเฟนเซนคือการเลือกค่าเริ่มต้นที่ "ใกล้เคียงเพียงพอ" หากค่าของไม่ "ใกล้เคียงเพียงพอ" กับคำตอบที่แท้จริงวิธีการอาจล้มเหลว และลำดับของค่าอาจสลับไปมาระหว่างสอง (หรือมากกว่า) ค่าสุดขั้วอย่างไม่แน่นอน หรืออาจลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ หรือทั้งสองอย่าง${\displaystyle \ x_{0}~.}$${\displaystyle \ x_{0}\ }$${\displaystyle \ x_{\star }\ ,}$${\displaystyle \ x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,\dots \ }$

วิธีการของสเตฟเฟนเซนที่นำมาใช้ใน โค้ด MATLABที่แสดงด้านล่างนี้ สามารถพบได้โดยใช้กระบวนการเดลต้ากำลังสองของไอท์เคนสำหรับการเร่งการลู่เข้าเพื่อเปรียบเทียบสูตรต่อไปนี้กับสูตรในส่วนด้านบน โปรดสังเกตว่าวิธีนี้สมมติว่าเริ่มต้นด้วยลำดับที่ลู่เข้าเชิงเส้นและเพิ่มอัตราการลู่เข้าของลำดับนั้น หากเครื่องหมายของสอดคล้องกันและ"ใกล้เคียงเพียงพอ" กับขีดจำกัดที่ต้องการของลำดับแล้วเราสามารถสมมติได้ว่า${\displaystyle x_{n}=p-p_{n}}$${\displaystyle p_{n},\,p_{n+1},\,p_{n+2}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {p_{n+1}-p}{p_{n}-p}}\approx {\frac {p_{n+2}-p}{p_{n+1}-p}},}$

ดังนั้น

${\displaystyle (p_{n+2}-2p_{n+1}+p_{n})p\approx p_{n+2}p_{n}-p_{n+1}^{2}.}$

เมื่อแก้สมการหาค่าลิมิตที่ต้องการของลำดับจะได้:${\displaystyle p}$

${\displaystyle p\approx {\frac {p_{n+2}p_{n}-p_{n+1}^{2}}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_{n}}}}$

${\displaystyle =~{\frac {\,(\,p_{n}^{2}+p_{n}\,p_{n+2}-2\,p_{n}\,p_{n+1}\,)-(\,p_{n}^{2}-2\,p_{n}\,p_{n+1}+p_{n+1}^{2}\,)\,}{\,p_{n+2}-2\,p_{n+1}+p_{n}\,}}}$

${\displaystyle =p_{n}-{\frac {(p_{n+1}-p_{n})^{2}}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_{n}}},}$

ซึ่งส่งผลให้ลำดับลู่เข้าอย่างรวดเร็วยิ่งขึ้น:

${\displaystyle p\approx p_{n+3}=p_{n}-{\frac {(p_{n+1}-p_{n})^{2}}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_{n}}}.}$

วิธีของสเตฟเฟนเซนยังสามารถใช้เพื่อหาค่าป้อนเข้าสำหรับฟังก์ชันประเภทอื่นที่ให้ผลลัพธ์เหมือนกับค่าป้อนเข้าได้เช่นค่าพิเศษ ที่ เรียกว่าจุดตรึง (fixed points ) ฟังก์ชันเหล่านี้จำนวนมากสามารถใช้หาคำตอบของตัวเองได้โดยการนำผลลัพธ์กลับมาใช้เป็นค่าป้อนเข้าซ้ำๆ แต่ความเร็วในการลู่เข้าอาจช้า หรือฟังก์ชันอาจไม่ลู่เข้าเลยก็ได้ ขึ้นอยู่กับแต่ละฟังก์ชัน วิธีของสเตฟเฟนเซนช่วยเร่งการลู่เข้าให้เร็วขึ้นจนกลายเป็นแบบกำลังสอง (quadratic )${\displaystyle \ x=x_{\star }\ }$${\displaystyle \ F\ }$${\displaystyle \ x_{\star }=F(x_{\star })\ }$${\displaystyle \ x_{\star }~.}$${\displaystyle \ x_{\star }\ }$

เพื่อความเข้าใจง่ายขึ้น ขอละเว้นประเด็นเรื่อง ปริภูมิบานาคทั่วไปเทียบกับจำนวนจริง พื้นฐานไว้ก่อน: เพื่อให้ผู้อ่านเข้าใจส่วนก่อนหน้าอีกครั้ง เราสามารถสร้างฟังก์ชันจุดตรึงแบบจำลองง่ายๆโดยใช้ฟังก์ชันรากใดๆ ก็ได้ โดย ที่ เป็นค่าคงที่ที่มีเครื่องหมายที่เหมาะสม ซึ่งมีขนาดเล็กพอที่จะทำให้มีเสถียรภาพภายใต้การวนซ้ำ แต่มีขนาดใหญ่พอที่จะทำให้ความไม่เป็นเชิงเส้นของฟังก์ชันนั้นเห็นได้ชัดเจน${\displaystyle \ {\tilde {F}}\ ,}$${\displaystyle \ f\ ,}$${\displaystyle \ {\tilde {F}}(x)=x+\varepsilon \ f(x)~.}$${\displaystyle \ \varepsilon \ }$${\displaystyle \ {\tilde {F}}\ }$${\displaystyle \ f\ }$

วิธีการนี้สำหรับการค้นหาจุดคงที่ของฟังก์ชันค่าจริงได้รับการขยายความสำหรับฟังก์ชันที่แมปพื้นที่ Banachไปยังตัวมันเองหรือโดยทั่วไปยิ่งกว่านั้นคือฟังก์ชันที่แมปจากพื้นที่ Banach หนึ่งไปยัง พื้นที่ Banachอื่นวิธีการทั่วไปนี้ถือว่าตระกูลของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตที่เกี่ยวข้องกับและสามารถคิดค้นขึ้นได้ซึ่ง (ในระดับท้องถิ่น) ตรงตามเงื่อนไข^{[ 2 ]}${\displaystyle \ F:X\to X\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ F:X\to Y\ }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ Y~.}$${\displaystyle \ {\bigl \{}\ G(u,v):u,v\in X\ {\bigr \}}\ }$${\displaystyle \ u\ }$${\displaystyle \ v\ }$

${\displaystyle F\left(u\right)-F\left(v\right)=G\left(u,v\right)\ {\bigl (}\ u-v\ {\bigr )}\quad }$

1

ตัวดำเนินการนี้เทียบเท่ากับเมทริกซ์ที่มีสมาชิกทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของเวกเตอร์อาร์กิวเมนต์โปรดกลับไปดูฟังก์ชันง่ายๆที่ให้ไว้ในส่วนแรกอีกครั้ง ซึ่งฟังก์ชันนั้นรับค่าและส่งออกเฉพาะจำนวนจริง: ในกรณีนั้น ฟังก์ชันคือผลต่างหารในรูปแบบทั่วไปนี้ ตัวดำเนินการนี้เป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้กับผลต่างหารสำหรับการใช้งานใน ปริภูมิ บานาค${\displaystyle \ G\ }$${\displaystyle \ u\ }$${\displaystyle \ v~.}$${\displaystyle \ f\ ,}$${\displaystyle \ g\ }$${\displaystyle \ G\ }$

ถ้าการหารเป็นไปได้ในปริภูมิบานาค ตัวดำเนินการเชิงเส้นสามารถหาได้จาก${\displaystyle \ G\ }$

${\displaystyle G\left(u,v\right)={\bigl [}\ F\left(u\right)-F\left(v\right)\ {\bigr ]}\ {\bigl (}\ u-v\ {\bigr )}^{-1}\ ,}$

ซึ่งอาจให้ข้อมูลเชิงลึกบางอย่าง: เมื่อแสดงในลักษณะนี้ ตัวดำเนินการเชิงเส้นสามารถมองเห็นได้ง่ายขึ้นว่าเป็นเวอร์ชันที่ซับซ้อนของผลต่างหารที่กล่าวถึงในส่วนแรกข้างต้น รูปแบบผลหารแสดงไว้ที่นี่เพื่อเป็นแนวทางเท่านั้น ไม่จำเป็นต้องใช้โปรดทราบด้วยว่าการหารภายในปริภูมิ Banach ไม่จำเป็นสำหรับวิธีการของ Steffensen ที่ซับซ้อนให้ใช้งานได้ ข้อกำหนดเพียงอย่างเดียวคือตัวดำเนินการต้องเป็นไปตาม ( 1 )${\displaystyle \ G\ }$${\displaystyle \ g\ }$${\displaystyle \ G\ }$

วิธีของสเตฟเฟนเซนจึงคล้ายกับวิธีของนิวตันมาก ยกเว้นว่าจะใช้ผลต่างหารแทนอนุพันธ์โปรดทราบว่าสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่อยู่ใกล้จุดคงที่บางจุดฟังก์ชันจุดคงที่และตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ตรงตามเงื่อนไข ( 1 ) โดยที่คือตัวดำเนินการเอกลักษณ์${\displaystyle \ G{\bigl (}F\left(x\right),x{\bigr )}\ }$${\displaystyle \ F'(x)~.}$${\displaystyle \ x\ }$${\displaystyle \ x_{\star }\ ,}$${\displaystyle \ F\ }$${\displaystyle \ G\ }$${\displaystyle \ F'(x)\ \approx \ G{\bigl (}F\left(x\right),x{\bigr )}\ \approx \ I\ ,}$${\displaystyle \ I\ }$

ในกรณีที่การหารเป็นไปได้ในปริภูมิบานาค สูตรการวนซ้ำแบบทั่วไปจะกำหนดโดย

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+{\Bigl [}\ I-G{\bigl (}F\left(x_{n}\right),x_{n}{\bigr )}\ {\Bigr ]}^{-1}{\Bigl [}\ F\left(x_{n}\right)-x_{n}\ {\Bigr ]}\ ,}$

ในกรณีทั่วไปที่การหารอาจเป็นไปไม่ได้ สูตรการวนซ้ำจำเป็นต้องหาคำตอบที่ใกล้เคียงกับซึ่ง${\displaystyle \ n=1,\ 2,\ 3,\ ...~.}$${\displaystyle \ x_{n+1}\ }$${\displaystyle \ x_{n}\ }$

${\displaystyle {\Bigl [}\ I-G{\bigl (}F\left(x_{n}\right),x_{n}{\bigr )}\ {\Bigr ]}{\bigl (}\ x_{n+1}-x_{n}\ {\bigr )}=F\left(x_{n}\right)-x_{n}~.}$

ในทำนองเดียวกัน เราอาจแสวงหาคำตอบสำหรับรูปแบบที่ลดทอนลงบ้าง${\displaystyle \ x_{n+1}\ }$

${\displaystyle {\Bigl [}\ I-G{\bigl (}F\left(x_{n}\right),x_{n}{\bigr )}\ {\Bigr ]}\ x_{n+1}={\Bigl [}\ F\left(x_{n}\right)-G{\bigl (}F\left(x_{n}\right),x_{n}{\bigr )}\ x_{n}\ {\Bigr ]}\ ,}$

โดยค่าทั้งหมดที่อยู่ภายในวงเล็บเหลี่ยมเป็นอิสระจากส่วนพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเหลี่ยมนั้นขึ้นอยู่กับ เท่านั้นอย่างไรก็ตาม รูปแบบที่สองอาจไม่เสถียรทางตัวเลขเท่ารูปแบบแรก เนื่องจากรูปแบบแรกเกี่ยวข้องกับการหาค่าสำหรับความแตกต่างที่ (หวังว่าจะ) เล็กน้อย จึงอาจมีแนวโน้มที่จะหลีกเลี่ยงการเปลี่ยนแปลงที่มากเกินไปหรือผิดปกติของค่าที่วนซ้ำได้มากกว่า${\displaystyle \ x_{n+1}\$ :} ${\displaystyle \ x_{n}\ }$${\displaystyle \ x_{n}~.}$

ถ้าตัวดำเนินการเชิงเส้นเป็นไปตามเงื่อนไข${\displaystyle \ G\ }$

${\displaystyle {\Bigl \|}G\left(u,v\right)-G\left(x,y\right){\Bigr \|}\leq k{\biggl (}{\Bigl \|}u-x{\Bigr \|}+{\Bigr \|}v-y{\Bigr \|}{\biggr )}}$

สำหรับค่าคงที่จริงบวกบางค่า วิธีการนี้จะลู่เข้าสู่จุดคงที่แบบกำลังสองหากการประมาณค่าเริ่มต้น"ใกล้เคียงเพียงพอ" กับคำตอบที่ต้องการซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข${\displaystyle \ k\ ,}$${\displaystyle \ F\ }$${\displaystyle \ x_{0}\ }$${\displaystyle \ x_{\star }\ }$${\displaystyle \ x_{\star }=F(x_{\star })~.}$