ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเคอร์เนลของมาร์คอฟ (เรียกอีกอย่างว่าเคอร์เนลสุ่มหรือเคอร์เนลความน่าจะเป็น ) คือแผนที่ซึ่งในทฤษฎีทั่วไปของกระบวนการมาร์คอฟทำหน้าที่เหมือนกับเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะในทฤษฎีของกระบวนการมาร์คอฟที่มีปริภูมิสถานะจำกัด^{[ 1 ]}

ให้และเป็นปริภูมิที่วัดได้เคอร์เนลของมาร์คอฟที่มีแหล่งกำเนิดและเป้าหมายซึ่งบางครั้งเขียนว่าเป็นฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\คณิตศาสตร์ {B}})}$${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\คณิตศาสตร์ {B}})}$${\displaystyle \kappa :(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]}$

1. สำหรับทุกๆ (ค่าคงที่) แผนที่นั้นสามารถวัดได้${\displaystyle B_{0}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\mapsto \kappa (B_{0},x)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
2. สำหรับทุกๆ (ค่าคงที่) แผนที่นี้เป็นการวัดความน่าจะเป็นบน${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle B\mapsto \kappa (B,x_{0})}$${\displaystyle (Y,{\คณิตศาสตร์ {B}})}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจะเชื่อมโยงจุดแต่ละจุดกับการวัดความน่าจะเป็นบนโดยที่สำหรับเซตที่วัดได้ทุกเซตแผนที่สามารถวัดได้โดยสัมพันธ์กับพีชคณิต^{[ 2 ]}${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \kappa (dy|x):B\mapsto \kappa (B,x)}$${\displaystyle (Y,{\คณิตศาสตร์ {B}})}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\mapsto \kappa (B,x)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

พิจารณาและ( เซตกำลังของ) จากนั้นเคอร์เนลของมาร์คอฟจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยความน่าจะเป็นที่กำหนดให้กับสมาชิกเดี่ยวสำหรับแต่ละ: ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{m\},\,m\in Y=\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\in X=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \kappa (B|n)=\sum _{m\in B}\kappa (\{m\}|n),\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$.

ตอนนี้ การเดินแบบสุ่ม ที่ไปทางขวาด้วยความน่าจะเป็น และไปทางซ้ายด้วยความน่าจะเป็นถูกกำหนดโดย ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$

${\displaystyle \kappa (\{m\}|n)=p\delta _{m,n+1}+(1-p)\delta _{m,n-1},\quad \forall n,m\in \mathbb {Z} }$

โดยที่ Kronecker deltaคืออะไรความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะสำหรับการเดินแบบสุ่มนั้นเทียบเท่ากับ Markov kernel ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle P(m|n)=\kappa (\{m\}|n)}$

โดยทั่วไปแล้ว ให้พิจารณา ทั้งจำนวนนับ และจำนวนจริงอีกครั้งหนึ่ง เคอร์เนลของมาร์คอฟถูกกำหนดโดยความน่าจะเป็นที่มันกำหนดให้กับเซตที่มีสมาชิกเดียวสำหรับแต่ละเซต${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X),\ {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(Y)}$${\displaystyle i\in X}$

${\displaystyle \kappa (B|i)=\sum _{j\in B}\kappa (\{j\}|i),\qquad \forall i\in X,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$,

เรากำหนดกระบวนการมาร์คอฟโดยการกำหนดความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะโดยที่ตัวเลข กำหนด เมทริกซ์สุ่ม (ที่นับได้) กล่าวคือ ${\displaystyle P(j|i)=K_{ji}}$${\displaystyle K_{ji}}$${\displaystyle (K_{ji})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{ji}&\geq 0,\qquad &\forall (j,i)\in Y\times X,\\\sum _{j\in Y}K_{ji}&=1,\qquad &\forall i\in X.\\\end{aligned}}}$

จากนั้นเราจึงกำหนด

${\displaystyle \kappa (\{j\}|i)=K_{ji}=P(j|i),\qquad \forall i\in X,\quad \forall B\in {\mathcal {B}}}$.

อีกครั้งที่ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะ เมทริกซ์สุ่ม และเคอร์เนลของมาร์คอฟ ล้วนเป็นการกำหนดรูปแบบใหม่ที่เทียบเท่ากัน

ให้เป็นมาตรวัดบนและเป็นฟังก์ชันที่วัดได้เมื่อเทียบกับพีชคณิตผลคูณโดยที่ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle (Y,{\คณิตศาสตร์ {B}})}$${\displaystyle k:Y\times X\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \int _{Y}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)=1,\qquad \forall x\in X}$,

จากนั้นก็คือการแมป ${\displaystyle \kappa (dy|x)=k(y,x)\nu (dy)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]\\\kappa (B|x)=\int _{B}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)\end{cases}}}$

กำหนดเคอร์เนล Markov ^{[ 3 ]}ตัวอย่างนี้เป็นการขยายตัวอย่างกระบวนการ Markov ที่นับได้ โดยที่เป็นมาตรวัดการนับยิ่งไปกว่านั้น ยังครอบคลุมตัวอย่างสำคัญอื่นๆ เช่น เคอร์เนลการสังเคราะห์ โดยเฉพาะเคอร์เนล Markov ที่กำหนดโดยสมการความร้อนตัวอย่างหลังนี้รวมถึงเคอร์เนล Gaussianบนที่มีมาตรวัด Lebesgueมาตรฐานและ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle \nu (dx)=dx}$

${\displaystyle k_{t}(y,x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}t}}e^{-(y-x)^{2}/(2t^{2})}.}$

กำหนดให้และ เป็น ปริภูมิที่วัดได้ใดๆ และให้เป็นฟังก์ชันที่วัดได้ จากนั้นกำหนดเช่น ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \kappa (dy|x)=\delta _{f(x)}(dy)}$

${\displaystyle \kappa (B|x)=\mathbf {1} _{B}(f(x))=\mathbf {1} _{f^{-1}(B)}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}f(x)\in B\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

โปรดทราบว่าฟังก์ชันตัวบ่งชี้สามารถวัดได้สำหรับทุกค่า ก็ต่อเมื่อสามารถวัดได้เท่านั้น ${\displaystyle \mathbf {1} _{f^{-1}(B)}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle f}$

ตัวอย่างนี้ช่วยให้เราคิดถึงเคอร์เนลของมาร์คอฟว่าเป็นฟังก์ชันทั่วไปที่มีค่า (โดยทั่วไป) สุ่มมากกว่าค่าที่แน่นอน กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันหลายค่าที่ค่าต่างๆ ไม่ได้มีน้ำหนักเท่ากัน

ตัวอย่างที่ไม่ชัดเจนนัก ลองพิจารณาและจำนวนจริงที่มีพีชคณิตซิกมามาตรฐานของเซตโบเรลจากนั้น ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \kappa (B|n)={\begin{cases}\mathbf {1} _{B}(0)&n=0\\\Pr(\xi _{1}+\cdots +\xi _{x}\in B)&n\neq 0\\\end{cases}}}$

โดยที่คือจำนวนองค์ประกอบในสถานะนั้นคือตัวแปรสุ่มอิสระ และมี การกระจายเหมือน กัน (โดยปกติจะมีค่าเฉลี่ยเป็น 0) และ โดยที่คือฟังก์ชันตัวบ่งชี้สำหรับกรณีง่ายๆ ของการโยนเหรียญแบบจำลองนี้จะจำลองระดับต่างๆ ของกระดานกัลตัน ${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \xi _{i}}$${\displaystyle \mathbf {1} _{B}}$

เมื่อกำหนดปริภูมิที่วัดได้ เรา จะ พิจารณาเคอร์เนลของมาร์คอฟเป็นมอร์ฟิซึมโดยสัญชาตญาณแล้ว แทนที่จะกำหนดจุดที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนให้ กับแต่ละปริภูมิ เคอร์เนลจะกำหนดจุด "คลุมเครือ" ซึ่งทราบค่าได้ด้วยระดับความไม่แน่นอนบางอย่าง คล้ายกับการวัดทางกายภาพจริง ถ้าเรามีปริภูมิที่วัดได้ที่สามและเคอร์เนลความน่าจะเป็นและเราสามารถกำหนดองค์ประกอบโดยใช้สมการแชปแมน-โคลโมโกโรฟได้${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]}$${\displaystyle \kappa :X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (Z,{\mathcal {C}})}$${\displaystyle \kappa :X\to Y}$${\displaystyle \lambda :Y\to Z}$${\displaystyle \lambda \circ \kappa :X\to Z}$

${\displaystyle (\lambda \circ \kappa )(dz|x)=\int _{Y}\lambda (dz|y)\kappa (dy|x)}$.

องค์ประกอบนี้มีคุณสมบัติการสลับที่ตามทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบโมโนโทนและฟังก์ชันเอกลักษณ์ที่ถือว่าเป็นเคอร์เนลของมาร์คอฟ (เช่น การวัดเดลต้า ) เป็นหน่วยสำหรับองค์ประกอบนี้ ${\displaystyle \kappa _{1}(dx'|x)=\delta _{x}(dx')}$

องค์ประกอบนี้กำหนดโครงสร้างของหมวดหมู่บนพื้นที่ที่วัดได้โดยมีเคอร์เนล Markov เป็นมอร์ฟิซึม ซึ่งกำหนดครั้งแรกโดย Lawvere ^{[ 4 ]}หมวดหมู่ของเคอร์เนล Markov

การประกอบกันของปริภูมิความน่าจะเป็น และเคอร์เนลความน่าจะเป็นจะกำหนดปริภูมิความน่าจะเป็นโดยที่การวัดความน่าจะเป็นจะกำหนดโดย ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P_{X})}$${\displaystyle \kappa :(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},P_{Y}=\kappa \circ P_{X})}$

${\displaystyle P_{Y}(B)=\int _{X}\int _{B}\kappa (dy|x)P_{X}(dx)=\int _{X}\kappa (B|x)P_{X}(dx)=\mathbb {E} _{P_{X}}\kappa (B|\cdot ).}$

ให้เป็นปริภูมิความน่าจะเป็น และ เป็นเคอร์เนลของมาร์คอฟ จาก ไปยัง บางค่าแล้วจะมีมาตรวัดที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว บน เช่นนั้น: ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})}$

${\displaystyle Q(A\times B)=\int _{A}\kappa (B|x)\,P(dx),\quad \forall A\in {\mathcal {A}},\quad \forall B\in {\mathcal {B}}.}$

ให้เป็นปริภูมิบอเรล , เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าอยู่ในปริภูมิการวัดและเป็นพีชคณิตย่อย แล้วจะมีเคอร์เนลของมาร์คอฟจากไป อยู่ เช่นนั้นเป็นรูปแบบหนึ่งของความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขสำหรับทุก ๆนั่นคือ ${\displaystyle (S,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (S,Y)}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}})}$${\displaystyle (S,Y)}$${\displaystyle \kappa (\cdot ,B)}$${\displaystyle \mathbb {E} [\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}]}$${\displaystyle B\in Y}$

${\displaystyle P(X\in B\mid {\mathcal {G}})=\mathbb {E} \left[\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}\right]=\kappa (\cdot ,B),\qquad P{\text{-a.s.}}\,\,\forall B\in Y.}$

เรียกว่าการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขปกติของสิ่งที่กำหนดให้และไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

เคอร์เนลการเปลี่ยนสถานะเป็นการขยายแนวคิดของเคอร์เนลมาร์คอฟในแง่ที่ว่า สำหรับทุกค่าแผนที่ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle B\mapsto \kappa (B|x)}$

อาจเป็นค่าการวัดประเภทใดก็ได้ (ที่ไม่ใช่ค่าลบ) ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าการวัดความน่าจะเป็นเสมอไป

• เคอร์เนลMarkovในnLab

• หมวดหมู่ของเคอร์เนล Markov