ในพลศาสตร์ของไหลปัญหาของสโตกส์ หรือ ที่รู้จักกันในชื่อปัญหาที่สองของสโตกส์หรือบางครั้งเรียกว่าชั้นขอบเขตของสโตกส์หรือชั้นขอบเขตแบบสั่นคือปัญหาในการกำหนดการไหลที่เกิดจากพื้นผิวแข็งที่สั่น ซึ่งตั้งชื่อตามเซอร์จอร์จ สโต กส์ ถือเป็นหนึ่งในปัญหาที่ไม่เสถียรที่ง่ายที่สุดที่มีคำตอบที่แน่นอนสำหรับสมการนาเวียร์-สโตกส์ [ ^{1 ] [ 2 ] ใน}การ ไหล แบบปั่นป่วนปัญหานี้ยังคงเรียกว่าชั้นขอบเขตของสโตกส์ แต่ในปัจจุบันต้องอาศัยการทดลองการจำลองเชิงตัวเลขหรือวิธีการโดยประมาณเพื่อให้ได้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับการไหล

แหล่งที่มา: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

พิจารณาแผ่นโลหะยาวอนันต์ที่สั่นด้วยความเร็วในทิศทาง ซึ่งตั้งอยู่ที่ในโดเมนของไหลอนันต์ โดยที่คือความถี่ของการสั่น สมการนาเวียร์-สโตกส์ ที่ไม่สามารถอัดได้ จะลดรูปเป็น ${\displaystyle U\cos \omega t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

ความหนืดจ ลน์ อยู่ที่ไหนความแตกต่างของความดันไม่เกี่ยวข้องกับปัญหานี้เงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่มีการลื่นไถลบนผนังคือ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle u(0,t)=U\cos \omega t,\quad u(\infty ,t)=0,}$

และเงื่อนไขขอบเขตที่สองเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าการเคลื่อนที่ ณจุดเริ่มต้นนั้นไม่ส่งผลต่อระยะอนันต์ การไหลเกิดจากการเคลื่อนที่ของแผ่นเท่านั้น ไม่มีแรงดันเกรเดียนต์ที่ถูกกำหนดไว้ ${\displaystyle y=0}$

แหล่งที่มา: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

ไม่จำเป็นต้องระบุเงื่อนไขเริ่มต้นเนื่องจากเป็นคาบ เนื่องจากทั้งสมการและเงื่อนไขขอบเขตเป็นเชิงเส้น ความเร็วจึงสามารถเขียนได้ในรูปส่วนจริงของฟังก์ชันเชิงซ้อนบางฟังก์ชัน

${\displaystyle u=U\Re \left[e^{i\omega t}f(y)\right]}$

เพราะ. ${\displaystyle \cos \omega t=\Re \left[e^{i\omega t}\right]}$

เมื่อแทนค่านี้ลงในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย จะทำให้สมการนั้นกลายเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

${\displaystyle f''-{\frac {i\omega }{\nu }}f=0}$

พร้อมเงื่อนไขขอบเขต

${\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0}$

วิธีแก้ปัญหาข้างต้นคือ

${\displaystyle f(y)=\exp \left[-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}y\right]}$

${\displaystyle u(y,t)=Ue^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)}$

การรบกวนที่เกิดจากการสั่นของแผ่นโลหะจะเคลื่อนที่ผ่านของเหลวในรูปของคลื่นตามขวาง แต่จะถูกลดทอนลงอย่างมากด้วยปัจจัยเลขชี้กำลัง ความลึกของการทะลุทะลวงของคลื่นนี้จะลดลงตามความถี่ของการสั่น แต่จะเพิ่มขึ้นตามความหนืดจลน์ของของเหลว ${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$

แรงต่อหน่วยพื้นที่ที่ของเหลวกระทำต่อแผ่นนั้นคือ

${\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}={\sqrt {\rho \omega \mu }}U\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

เกิดการเลื่อนเฟสระหว่างการสั่นของแผ่นโลหะกับแรงที่เกิดขึ้น

ข้อสังเกตที่สำคัญจากวิธีแก้ปัญหาของ Stokes สำหรับการไหลเหนือผนังที่สั่นคือชั้นของไหลสองชั้นที่อยู่ห่างกันจะสั่นเป็นเฟสเดียวกัน ความยาวนี้กำหนดความยาวคลื่นของการเคลื่อนที่ของไหลในแนวตั้งฉากกับแผ่น เนื่องจากความเร็วที่สั่นจะลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเมื่อเราเคลื่อนที่ออกห่างจากผนัง ความหนืดจึงมีอิทธิพลเหนือความเฉื่อยของไหลในชั้นของไหลที่อยู่ติดกับผนัง มาตราส่วนความยาวของชั้นขอบเขตนี้กำหนดโดยและเรียกว่าชั้นขอบเขตของ Stokes ^{[ 7 ]}${\displaystyle 2\pi {\sqrt {2\nu /\omega }}}$${\displaystyle \delta _{St}\approx {\sqrt {\nu /\omega }}}$

ดังนั้น การแกว่ง ของกระแสน้ำวนจึงจำกัดอยู่ในชั้นขอบเขตบาง ๆ และลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลเมื่อเคลื่อนที่ออกห่างจากผนัง^{[ 8 ]}ข้อสังเกตนี้ยังใช้ได้กับกรณีของชั้นขอบเขตแบบปั่นป่วนด้วย นอกชั้นขอบเขตของสโตกส์ ซึ่งมักจะเป็นปริมาตรของไหลส่วนใหญ่ การแกว่งของกระแสน้ำวนอาจถูกละเลยได้ โดยประมาณแล้ว การแกว่งของความเร็วการไหลจะไม่หมุนวนนอกชั้นขอบเขต และ ทฤษฎี การไหลศักย์สามารถนำไปใช้กับส่วนที่แกว่งของการเคลื่อนที่ได้ วิธีนี้ช่วยลดความซับซ้อนของการแก้ปัญหาการไหลเหล่านี้ได้อย่างมาก และมักนำไปใช้ในบริเวณการไหลที่ไม่หมุนวนของคลื่นเสียงและคลื่นน้ำ

ถ้าบริเวณของไหลถูกล้อมรอบด้วยผนังด้านบนที่อยู่กับที่ ซึ่งตั้งอยู่ที่ความสูงความเร็วการไหลจะกำหนดโดย ${\displaystyle y=h}$

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2(\cosh 2\lambda h-\cos 2\lambda h)}}[e^{-\lambda (y-2h)}\cos(\omega t-\lambda y)+e^{\lambda (y-2h)}\cos(\omega t+\lambda y)-e^{-\lambda y}\cos(\omega t-\lambda y+2\lambda h)-e^{\lambda y}\cos(\omega t+\lambda y-2\lambda h)]}$

ที่ไหน. ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\omega /(2\nu )}}}$

สมมติว่าขอบเขตของโดเมนของไหลเป็นโดยที่แทนพื้นผิวอิสระ จากนั้นวิธีแก้ปัญหาที่แสดงโดยChia-Shun Yihในปี 1968 ^{[ 9 ]}จะได้รับโดย ${\displaystyle 0<y<h}$${\displaystyle y=h}$

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U\cos h/\delta \,\mathrm {cosh} \,h/\delta }{2(\cos ^{2}h/\delta +\mathrm {sinh} ^{2}h/\delta )}}\Re \left\{W+W^{*}-i\mathrm {tanh} \,h/\delta \,\tan h/\delta \,(W-W^{*})\right\},\qquad W=\mathrm {cosh} [(1+i)(h-y)/\delta ]e^{i\omega t}}$

โดยที่และคือค่าสังยุคเชิงซ้อนของ${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$${\displaystyle W^{*}}$${\displaystyle W.}$

กรณีการไหลแบบสั่นในระยะไกลโดยที่แผ่นโลหะอยู่นิ่ง สามารถสร้างได้ง่ายๆ จากวิธีแก้ปัญหาเดิมสำหรับแผ่นโลหะที่สั่นโดยใช้การซ้อนทับเชิงเส้นของคำตอบ พิจารณาการสั่นของความเร็วสม่ำเสมอในระยะไกลจากแผ่นโลหะ และความเร็วเป็นศูนย์ที่แผ่นโลหะ แตกต่างจากของไหลที่อยู่นิ่งในปัญหาเดิม ความดันเกรเดียนต์ที่ระยะอนันต์นี้จะต้องเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกของเวลา คำตอบจึงกำหนดโดย ${\displaystyle u(\infty ,t)=U_{\infty }\cos \omega t}$${\displaystyle u(0,t)=0}$

${\displaystyle u(y,t)=U_{\infty }\left[\,\cos \omega t-{\text{e}}^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\,\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)\right],}$

ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่ผนังy = 0สอดคล้องกับเงื่อนไขไม่ลื่นไถลสำหรับผนังที่หยุดนิ่ง สถานการณ์นี้มักพบในคลื่นเสียงใกล้ผนังแข็ง หรือในการเคลื่อนที่ของของเหลวใกล้พื้นทะเลในคลื่นน้ำค่าความหมุนวนสำหรับการไหลแบบสั่นใกล้ผนังที่หยุดนิ่งนั้นเท่ากับค่าความหมุนวนในกรณีของแผ่นที่สั่น แต่มีเครื่องหมายตรงข้าม

พิจารณาทรงกระบอกยาวอนันต์ที่มีรัศมีซึ่งแสดงการสั่นแบบบิดด้วยความเร็วเชิงมุมโดยที่คือความถี่ จากนั้นความเร็วจะเข้าใกล้หลังจากเฟสชั่วคราวเริ่มต้นไปที่^{[ 10 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle \Omega \cos \omega t}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle v_{\theta }=a\Omega \ \Re \left[{\frac {K_{1}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

โดยที่ฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงชนิดที่สอง วิธีแก้ปัญหานี้สามารถแสดงได้ด้วยอาร์กิวเมนต์จริง^{[ 11 ]} ดังนี้: ${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\theta }\left(r,t\right)&=\Psi \left\lbrace \left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)+{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\cos \left(t\right)\right.\\&+\left.\left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)-{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\sin \left(t\right)\right\rbrace \\\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \Psi =\left[{\textrm {kei}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)+{\textrm {ker}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)\right]^{-1},}$

${\displaystyle \mathrm {kei} }$และเป็นฟังก์ชันของเคลวินและสัมพันธ์กับเลขเรย์โนลด์แบบสั่นไร้มิติที่กำหนดโดย โดยที่คือความหนืดจลน์ ${\displaystyle \mathrm {ker} }$${\displaystyle R_{\omega }}$${\displaystyle R_{\omega }=\omega a^{2}/\nu }$${\displaystyle \nu }$

ถ้าทรงกระบอกสั่นในทิศทางตามแนวแกนด้วยความเร็วแล้วสนามความเร็วจะเป็น ${\displaystyle U\cos \omega t}$

${\displaystyle u=U\ \Re \left[{\frac {K_{0}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

โดยที่คือฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่สอง ${\displaystyle K_{0}}$

แหล่งที่มา: ^{[ 12 ]}

ในการไหลแบบคูเอตต์แทนที่จะเป็นการเคลื่อนที่เชิงเส้นของแผ่นใดแผ่นหนึ่ง จะเป็นการสั่นของระนาบหนึ่งแทน ถ้าผนังด้านล่างอยู่นิ่งที่และผนังด้านบนเคลื่อนที่แบบสั่นด้วยความเร็วแล้วสนามความเร็วจะกำหนดโดย ${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=h}$${\displaystyle U\cos \omega t}$

${\displaystyle u=U\ \Re \left\{e^{-i\omega t}{\frac {\sin ky}{\sin kh}}\right\},\quad {\text{where}}\quad k={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}.}$

แรงเสียดทานต่อหน่วยพื้นที่บนระนาบที่เคลื่อนที่คือและบนระนาบที่อยู่กับที่คือ ${\displaystyle -\mu U\Re \{k\cot kh\}}$${\displaystyle \mu U\Re \{k\csc kh\}}$

• ปัญหาของเรย์ลีย์