ในพลศาสตร์ของไหลการไหลแบบคูเอตต์ (Couette flow)คือการไหลของของเหลวหนืด ในช่องว่างระหว่างสองพื้นผิว โดยพื้นผิวหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวสัมผัสสัมพันธ์กับอีกพื้นผิวหนึ่ง การเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของพื้นผิวทำให้เกิดแรงเฉือน ต่อของเหลวและเหนี่ยวนำให้เกิดการไหล ทั้งนี้ ขึ้นอยู่กับนิยามของคำ อาจมี แรงดันเกรเดียนต์ที่กระทำในทิศทางการไหล ด้วย

การกำหนดค่า Couette จำลองปัญหาในทางปฏิบัติบางอย่าง เช่นเนื้อโลกและชั้นบรรยากาศ^{[ 1 ]}และ การไหลใน แบริ่งวารสารที่มีภาระเบานอกจากนี้ยังใช้ในการวัดความหนืดและเพื่อแสดงการประมาณค่าของความสามารถในการย้อนกลับ^{[ 2 ] [ 3 ]}

ตั้งชื่อตามมอริส กูเอ็ตต์ศาสตราจารย์ด้านฟิสิกส์แห่งมหาวิทยาลัยอองเจอร์ส ประเทศฝรั่งเศส ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ไอแซค นิวตันเป็นผู้กำหนดปัญหาการไหลของกูเอ็ตต์เป็นครั้งแรกในข้อเสนอที่ 51 ของหนังสือPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematica ของเขา และขยายแนวคิดดังกล่าวในบทสรุปที่ 2 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

การไหลแบบคูเอตต์ (Couette flow) มักถูกนำมาใช้ในหลักสูตรฟิสิกส์และวิศวกรรมระดับปริญญาตรีเพื่อแสดงให้เห็นถึง การเคลื่อนที่ของของไหล ที่ขับเคลื่อนด้วยแรงเฉือนการจัดเรียงอย่างง่ายคือแผ่นขนานสองแผ่นที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งแยกจากกันด้วยระยะโดยแผ่นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมพัทธ์คงที่ในระนาบของตัวเอง หากไม่พิจารณาความแตกต่างของความดัน สมการนาเวียร์-สโตกส์จะลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle h}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=0,}$

โดยที่คือพิกัดเชิงพื้นที่ที่ตั้งฉากกับแผ่น และคือสนามความเร็ว สมการนี้สะท้อนถึงสมมติฐานที่ว่าการไหลเป็นทิศทางเดียวนั่นคือ มีเพียงองค์ประกอบความเร็วหนึ่งในสามองค์ประกอบเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์ ถ้าแผ่นล่างสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตคือและคำตอบที่แน่นอน ${\displaystyle y}$${\displaystyle u(y)}$${\displaystyle (u,v,w)}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle u(0)=0}$${\displaystyle u(h)=U}$

${\displaystyle u(y)=U{\frac {y}{h}}}$

สามารถหาได้โดยการอินทิเกรตสองครั้งและแก้หาค่าคงที่โดยใช้เงื่อนไขขอบเขต ลักษณะเด่นของการไหลคือแรงเฉือนมีค่าคงที่ตลอดทั้งโดเมน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุพันธ์อันดับแรกของความเร็วมีค่าคงที่ ตามกฎความหนืดของนิวตัน แรงเฉือนคือผลคูณของนิพจน์นี้กับ ความ หนืดของของเหลว (ซึ่งมีค่าคงที่)${\displaystyle U/h}$

ในความเป็นจริงแล้ว วิธีแก้ปัญหาของ Couette นั้นไม่ได้เกิดขึ้นทันที ปัญหา "การเริ่มต้น" ที่อธิบายถึงการเข้าสู่สภาวะสมดุลนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad 0<y<h,}$

และมีเงื่อนไขขอบเขตเดียวกันกับการไหลแบบคงที่:

${\displaystyle u(0,t)=0,\quad u(h,t)=U,\quad t>0.}$

ปัญหาสามารถทำให้เป็นเนื้อเดียวกันได้โดยการลบคำตอบที่คงที่ออก จากนั้นการใช้การแยกตัวแปรจะนำไปสู่คำตอบ: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle u(y,t)=U{\frac {y}{h}}-{\frac {2U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-n^{2}\pi ^{2}{\frac {\nu t}{h^{2}}}}\sin \left[n\pi \left(1-{\frac {y}{h}}\right)\right]}$.

ช่วงเวลาที่อธิบายถึงการผ่อนคลายไปสู่สภาวะสมดุลคือดังแสดงในรูป เวลาที่ใช้ในการไปถึงสภาวะสมดุลขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างแผ่นและค่าความหนืดจลน์ของของเหลวเท่านั้น แต่ไม่ขึ้นอยู่กับ ${\displaystyle t\sim h^{2}/\nu }$${\displaystyle h}$${\displaystyle U}$

การไหลแบบคูเอตต์ทั่วไปนั้นรวมถึงการไล่ระดับความดันคงที่ในทิศทางขนานกับแผ่น สมการนาเวียร์-สโตกส์คือ ${\displaystyle G=-dp/dx=\mathrm {constant} }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }},}$

โดยที่ความหนืดไดนามิกคือเมื่อทำการอินทิเกรตสมการข้างต้นสองครั้งและใช้เงื่อนไขขอบเขต (เช่นเดียวกับกรณีการไหลแบบคูเอตต์โดยไม่มีการไล่ระดับความดัน) จะได้ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu }}y\,(h-y)+U{\frac {y}{h}}.}$

ความชันของความดันอาจเป็นบวก (ความชันของความดันที่ไม่เอื้ออำนวย) หรือลบ (ความชันของความดันที่เอื้ออำนวย) ในกรณีจำกัดของแผ่นคงที่ ( ) การไหลเรียกว่าการไหลแบบ Plane Poiseuilleและมีโปรไฟล์ความเร็วแบบพาราโบลาสมมาตร (โดยอ้างอิงจากระนาบกลางแนวนอน) ^{[ 7 ]}${\displaystyle U=0}$

ในการไหลที่ไม่สามารถอัดได้โปรไฟล์ความเร็วจะเป็นเส้นตรงเนื่องจากอุณหภูมิของของเหลวคงที่ เมื่อผนังด้านบนและด้านล่างมีอุณหภูมิต่างกัน โปรไฟล์ความเร็วจะซับซ้อนมากขึ้น อย่างไรก็ตาม มีวิธีแก้ปัญหาโดยปริยายที่แน่นอนดังที่แสดงโดย CR Illingworth ในปี 1950 ^{[ 8 ]}

พิจารณาการไหลแบบคูเอตต์ในระนาบ โดยที่ผนังด้านล่างอยู่นิ่งและผนังด้านบนเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่กำหนดให้คุณสมบัติของของไหลที่ผนังด้านล่างมีตัวห้อยและคุณสมบัติของของไหลที่ผนังด้านบนมีตัวห้อยคุณสมบัติและความดันที่ผนังด้านบนถูกกำหนดไว้และถือเป็นปริมาณอ้างอิง ให้ เป็นระยะห่างระหว่างผนังทั้งสอง เงื่อนไขขอบเขตคือ ${\displaystyle U}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle l}$

${\displaystyle u=0,\ v=0,\ h=h_{w}=c_{pw}T_{w}\ {\text{at}}\ y=0,}$

${\displaystyle u=U,\ v=0,\ h=h_{\infty }=c_{p\infty }T_{\infty },\ p=p_{\infty }\ {\text{at}}\ y=l}$

โดยที่คือเอนทาลปีจำเพาะและคือ ความ ร้อนจำเพาะการอนุรักษ์มวลและโมเมนตัมกำหนดให้ทุกที่ในโดเมนการไหลการอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัมลดลงเหลือ ${\displaystyle h}$${\displaystyle c_{p}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle v=0,\ p=p_{\infty }}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\mu {\frac {du}{dy}}\right)=0,\quad \Rightarrow \quad {\frac {d\tau }{dy}}=0,\quad \Rightarrow \quad \tau =\tau _{w}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Pr} }}{\frac {d}{dy}}\left(\mu {\frac {dh}{dy}}\right)+\mu \left({\frac {du}{dy}}\right)^{2}=0.}$

โดยที่คือความเค้นเฉือนที่ผนัง การไหลไม่ขึ้นอยู่กับเลขเรย์โนลด์แต่ขึ้นอยู่กับเลขแพรนดท์และเลขมัคโดยที่คือค่าการนำความร้อนคือความเร็วเสียงและคืออัตราส่วนความร้อนจำเพาะแนะนำตัวแปรไร้มิติ ${\displaystyle \tau =\tau _{w}={\text{constant}}}$${\displaystyle \mathrm {Re} =Ul/\nu _{\infty }}$${\displaystyle \mathrm {Pr} =\mu _{\infty }c_{p\infty }/\kappa _{\infty }}$${\displaystyle \mathrm {M} =U/c_{\infty }=U/{\sqrt {(\gamma -1)h_{\infty }}}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\frac {y}{l}},\quad {\tilde {T}}={\frac {T}{T_{\infty }}},\quad {\tilde {T}}_{w}={\frac {T_{w}}{T_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {u}}={\frac {u}{U}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}},\quad {\tilde {\tau }}_{w}={\frac {\tau _{w}}{\mu _{\infty }U/l}}}$

เมื่อพิจารณาจากปริมาณเหล่านี้ คำตอบจะเป็นดังนี้

${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {h}}_{w}+\left[{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} +(1-{\tilde {h}}_{w})\right]{\tilde {u}}-{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} \,{\tilde {u}}^{2},}$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\frac {1}{{\tilde {\tau }}_{w}}}\int _{0}^{\tilde {u}}{\tilde {\mu }}\,d{\tilde {u}},\quad {\tilde {\tau }}_{w}=\int _{0}^{1}{\tilde {\mu }}\,d{\tilde {u}},\quad q_{w}=-{\frac {1}{\mathrm {Pr} }}\tau _{w}\left({\frac {dh}{du}}\right)_{w},}$

โดยที่คือความร้อนที่ถ่ายเทต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่จากผนังด้านล่าง ดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันโดยปริยายของ นอกจากนี้ยังสามารถเขียนคำตอบในรูปของอุณหภูมิการฟื้นตัวและเอนทาลปีการฟื้นตัวที่ประเมินที่อุณหภูมิของผนังฉนวน กล่าวคือ ค่าของและสำหรับซึ่งจากนั้นคำตอบคือ ${\displaystyle q_{w}}$${\displaystyle {\tilde {h}},{\tilde {T}},{\tilde {u}},{\tilde {\mu }}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle T_{r}}$${\displaystyle h_{r}}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle h_{w}}$${\displaystyle q_{w}=0}$

${\displaystyle {\frac {q_{w}}{\tau _{w}U}}={\frac {{\tilde {T}}_{w}-{\tilde {T}}_{r}}{(\gamma -1)\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} }},\quad {\tilde {T}}_{r}=1+{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} ,}$

${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {h}}_{w}+({\tilde {h}}_{r}-{\tilde {h}}_{w}){\tilde {u}}-{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} \,{\tilde {u}}^{2}.}$

ถ้าความร้อนจำเพาะคงที่แล้ว. เมื่อและแล้วและจะคงที่ทุกที่ จึงได้ผลลัพธ์ของการไหลแบบคูเอตต์ที่ไม่สามารถอัดได้กลับคืนมา มิฉะนั้น จะต้องทราบความสัมพันธ์ของ กับอุณหภูมิอย่างสมบูรณ์แม้ว่าจะไม่มีสูตรที่ง่ายสำหรับที่ทั้งแม่นยำและใช้ได้ทั่วไป แต่ก็มีการประมาณค่าหลายวิธีสำหรับวัสดุบางชนิด — ดูตัวอย่างเช่นความสัมพันธ์ของความหนืดกับอุณหภูมิเมื่อและปริมาณที่ได้กลับคืนมาจะเป็นหนึ่งสำหรับอากาศ ค่ามักถูกใช้ และผลลัพธ์สำหรับกรณีนี้แสดงอยู่ในรูป ${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {T}}}$${\displaystyle \mathrm {M} \rightarrow 0}$${\displaystyle T_{w}=T_{\infty },\Rightarrow q_{w}=0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})}$${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})}$${\displaystyle \mathrm {M} \rightarrow 0}$${\displaystyle q_{w}\neq 0}$${\displaystyle {\tilde {T}}_{r}=1}$${\displaystyle \gamma =1.4,\ {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})={\tilde {T}}^{2/3}}$

ผลกระทบของการแยกตัวและการแตกตัวเป็นไอออน (เช่นไม่คงที่) ได้รับการศึกษาเช่นกัน ในกรณีนั้น อุณหภูมิการฟื้นตัวจะลดลงเนื่องจากการแยกตัวของโมเลกุล^{[ 9 ]}${\displaystyle c_{p}}$

การไหลแบบหนึ่งมิติใช้ได้เมื่อแผ่นทั้งสองมีความยาวอนันต์ในทิศทางตามกระแส ( ) และทิศทางขวาง ( ) เมื่อความยาวตามทิศทางขวางมีค่าจำกัด การไหลจะกลายเป็นแบบสองมิติและเป็นฟังก์ชันของทั้งและอย่างไรก็ตาม ต้องคงความยาวอนันต์ในทิศทางตามกระแสไว้เพื่อให้แน่ใจว่าการไหลเป็นแบบทิศทางเดียว ${\displaystyle u(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาช่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวอนันต์ โดยมีความสูงตามแนวขวางและความกว้างตามแนวยาว ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าผนังด้านบนเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่หากไม่มีการกำหนดความชันของความดัน สมการนาเวียร์-สโตกส์จะลดลงเหลือ ${\displaystyle h}$${\displaystyle l}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0}$

พร้อมเงื่อนไขขอบเขต

${\displaystyle u(0,z)=0,\quad u(h,z)=U,}$

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad u(y,l)=0.}$

เมื่อใช้การแยกตัวแปรจะได้คำตอบดังนี้

${\displaystyle u(y,z)={\frac {4U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {\sinh(\beta _{n}y)}{\sinh(\beta _{n}h)}}\sin(\beta _{n}z),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{l}}.}$

เมื่อเงื่อนไขเป็นไปตามที่กำหนด การไหลแบบ Couette ในระนาบจะกลับคืนมา ดังแสดงในรูป ${\displaystyle h/l\ll 1}$

การไหลแบบเทย์เลอร์-คูเอตต์เป็นการไหลระหว่างทรงกระบอกร่วมแกนยาวอนันต์สองอันที่หมุนได้^{[ 10 ]}ปัญหาดั้งเดิมได้รับการแก้ไขโดยสโตกส์ในปี พ.ศ. 2388 ^{[ 11 ]}แต่ ชื่อของ เจฟฟรีย์ อิงแกรม เทย์เลอร์ถูกนำมาใช้กับการไหลนี้เพราะเขาศึกษาเสถียรภาพของมันในบทความที่มีชื่อเสียงในปี พ.ศ. 2466 ^{[ 12 ]}

ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในพิกัดทรงกระบอก กำหนดให้รัศมีของทรงกระบอกด้านในและด้านนอกเป็นและ ตามลำดับ สมมติว่าทรงกระบอกหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่และแล้วความเร็วในทิศทาง คือ^{[ 13 ]}${\displaystyle (r,\theta ,z)}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle \Omega _{1}}$${\displaystyle \Omega _{2}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{\theta }(r)=ar+{\frac {b}{r}},\qquad a={\frac {\Omega _{2}R_{2}^{2}-\Omega _{1}R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}},\quad b={\frac {(\Omega _{1}-\Omega _{2})R_{1}^{2}R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}}.}$

สมการนี้แสดงให้เห็นว่า ผลกระทบจากความโค้งไม่เอื้ออำนวยให้เกิดแรงเฉือนคงที่ในโดเมนการไหลอีกต่อไป

ปัญหาการไหลแบบคลาสสิกของเทย์เลอร์-คูเอตต์ถือว่าทรงกระบอกมีความยาวอนันต์ หากทรงกระบอกมีความยาวจำกัดที่ไม่สามารถละเลยได้การวิเคราะห์จะต้องได้รับการแก้ไข (แม้ว่าการไหลจะยังคงเป็นทิศทางเดียว) สำหรับปัญหาความยาวจำกัดสามารถแก้ไขได้โดยใช้การแยกตัวแปรหรือการแปลงอินทิกรัลซึ่งให้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ 14 ]}${\displaystyle l}$${\displaystyle \Omega _{2}=0}$

${\displaystyle v_{\theta }(r,z)={\frac {4R_{1}\Omega _{1}}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {I_{1}(\beta _{n}R_{2})K_{1}(\beta _{n}r)-K_{1}(\beta _{n}R_{2})I_{1}(\beta _{n}r)}{I_{1}(\beta _{n}R_{2})K_{1}(\beta _{n}R_{1})-K_{1}(\beta _{n}R_{2})I_{1}(\beta _{n}R_{1})}}\sin(\beta _{n}z),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{l}},}$

ฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สอง อยู่ที่ไหน${\displaystyle I(\beta _{n}r),\ K(\beta _{n}r)}$

• การไหลแบบลามินาร์
• การไหลของสโตกส์-คูเอตต์
• สมการ Hagen–Poiseuille
• การไหลของเทย์เลอร์-คูเอตต์
• การไหลแบบ Hagen–Poiseuille จากสมการ Navier–Stokes
• การไหลของออสโตรมอฟ

• คำศัพท์เฉพาะของ AMS: Couette Flow
• มุมมองของนักวิทยาศาสตร์ด้านรีโอโลยี: วิทยาศาสตร์เบื้องหลังอุปกรณ์เสริมเซลล์คูเอตต์