ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีพีชคณิต ซูเปอร์ คอนฟอร์มอลเป็นพีชคณิตลีแบบแบ่งระดับหรือซูเปอร์พีชคณิตที่รวมพีชคณิตคอนฟอร์มอลและซูเปอร์สมมาตร เข้าด้วยกัน ในสองมิติ พีชคณิตซูเปอร์คอนฟอร์มอลมีมิติอนันต์ ในมิติที่สูงกว่า พีชคณิตซูเปอร์คอนฟอร์มอลมีมิติจำกัดและสร้างกลุ่มซูเปอร์คอนฟอร์มอล (ในสองมิติแบบยุคลิดซูเปอร์พีชคณิตลีไม่สร้างซูเปอร์กรุ๊ปลี ใดๆ )

กลุ่มคอนฟอร์มอลของ${\displaystyle (p+q)}$พื้นที่มิติ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$เป็น${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$และพีชคณิตลีของมันคือ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$พีชคณิตซูเปอร์คอนฟอร์มอลเป็นพีชคณิตลีซูเปอร์แอลเจบราที่มีตัวประกอบโบซอนิกอยู่ภายใน${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$และตัวสร้างคี่ซึ่งแปลงเป็นตัวแทนสปินเนอร์ของ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$เมื่อพิจารณาจากการจำแนกประเภทของซูเปอร์อัลเจบราลีแบบง่ายมิติจำกัดของ Kac แล้ว สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้เฉพาะเมื่อค่ามีขนาดเล็กเท่านั้น${\displaystyle p}$และ${\displaystyle q}$รายการ (ซึ่งอาจไม่ครบถ้วน) คือ

• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)}$ในระบบ 3+0D ขอบคุณ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(N|4)}$ใน 2+1D ขอบคุณ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)}$ในระบบ 4+0D ขอบคุณ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|N)}$ใน 3+1D ขอบคุณ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4|N)}$ในรูปแบบ 2+2 มิติ ขอบคุณ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)}$;
• รูปแบบที่แท้จริงของ${\displaystyle F(4)}$ในห้ามิติ
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)}$ในมิติ 5+1 มิติ เนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า สปินเนอร์และการแสดงแทนพื้นฐานของ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )}$มีการจับคู่กันโดยใช้การแปลงอัตโนมัติภายนอก

ตาม^{[ 1 ] [ 2 ]}พีชคณิตซูเปอร์คอนฟอร์มอลที่มี${\displaystyle {\mathcal {N}}}$สมมาตรยิ่งยวดในมิติ 3+1 นั้นกำหนดโดยตัวสร้างโบซอนิก${\displaystyle P_{\mu }}$,${\displaystyle D}$,${\displaystyle M_{\mu \nu }}$,${\displaystyle K_{\mu }}$สมมาตร U(1) R${\displaystyle A}$สมมาตร SUN(N) R${\displaystyle T_{j}^{i}}$และเครื่องกำเนิดเฟอร์มิออนิก${\displaystyle Q^{\alpha i}}$,${\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}}$,${\displaystyle S_{i}^{\alpha }}$และ${\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}}$. ที่นี่,${\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\จุด }$ระบุถึงดัชนีปริภูมิเวลา;${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots }$ดัชนีสปินเนอร์ Weyl มือซ้าย;${\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots }$ดัชนีสปินเนอร์ Weyl มือขวา และ${\displaystyle i,j,\dots }$ดัชนีสมมาตร R ภายใน

วงเล็บเหลี่ยม Lie ของพีชคณิตคอนฟอร์มอลโบซอนิกกำหนดโดย

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \n }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },D]=0}$

${\displaystyle [D,P_{\rho }]=-P_{\rho }}$

${\displaystyle [D,K_{\rho }]=+K_{\rho }}$

${\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D}$

${\displaystyle [K_{n},K_{m}]=0}$

${\displaystyle [P_{n},P_{m}]=0}$

โดยที่ η คือเมตริกมินคอฟสกีส่วนเมตริกสำหรับตัวสร้างเฟอร์มิออนมีดังนี้:

${\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{Q,S\right\}=}$

${\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0}$

ตัวสร้างคอนฟอร์มอลแบบโบซอนิกไม่มีประจุ R ใดๆ เนื่องจากสามารถสลับตำแหน่งกับตัวสร้างสมมาตร R ได้:

${\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}$

${\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}$

แต่เครื่องกำเนิดเฟอร์มิออนนั้นมีประจุ R อยู่ด้วย:

${\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [A,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}}$

ภายใต้การแปลงคอนฟอร์มอลแบบโบซอนิก ตัวสร้างเฟอร์มิออนิกจะแปลงสภาพดังนี้:

${\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [D,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}$

${\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}$

มีพีชคณิตที่เป็นไปได้สองแบบที่มีซูเปอร์สมมาตรขั้นต่ำในสองมิติ ได้แก่ พีชคณิตเนเวอ-ชวาร์ซ และพีชคณิตราโมนด์ นอกจากนี้ยังอาจมีซูเปอร์สมมาตรเพิ่มเติมได้ เช่น พีชคณิตซูเปอร์คอนฟอร์มอ ลN = 2

• สมมาตรแบบคอนฟอร์มอล
• พีชคณิตซูเปอร์วิราโซโร
• พีชคณิตซูเปอร์สมมาตร