ในทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎีซูเปอร์เมทริกซ์คือเมทริกซ์อะนา ล็อกแบบ Z² ที่มีระดับชั้น _{Z² โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ซูเปอร์เมทริกซ์คือ} เมทริกซ์บล็อกขนาด 2×2 ที่มีสมาชิกอยู่ในซูเปอร์อัลเจบรา (หรือซูเปอร์ริง ) ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดคือตัวอย่างที่มีสมาชิกอยู่ในซูเปอร์อัลเจบราแบบสลับที่ได้ (เช่นกราสส์มันน์อัลเจบรา ) หรือฟิลด์ ธรรมดา (ซึ่งถือว่าเป็นซูเปอร์อัลเจบราแบบสลับที่ได้ที่เป็นคู่ล้วนๆ)

ซูเปอร์เมทริกซ์เกิดขึ้นในการศึกษาพีชคณิตเชิงเส้นขั้นสูงโดยปรากฏในรูปของการแสดงพิกัดของการแปลงเชิงเส้น ระหว่าง ปริภูมิเวกเตอร์ขั้นสูงมิติจำกัดหรือ ซูเปอร์โมดูลอิสระ ซูเปอร์เมทริกซ์มีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในสาขาสมมาตรขั้นสูง

ให้Rเป็นซูเปอร์แอลเจบรา ที่กำหนดไว้ (โดยสมมติว่าเป็นเอกภาพและสมาคม ) บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องให้Rเป็นซูเปอร์คอมมิวเททีฟด้วย (ด้วยเหตุผลพื้นฐานเดียวกันกับกรณีที่ไม่มีการจัดลำดับ)

ให้p , q , rและsเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เมทริกซ์ขนาด ใหญ่ที่มีมิติ ( r | s ) × ( p | q ) คือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกอยู่ในR ซึ่งถูกแบ่งออกเป็น โครงสร้างบล็อกขนาด 2×2

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}}$

โดยมี จำนวนแถวทั้งหมด r + sและ จำนวนคอลัมน์ทั้งหมด p + q (ดังนั้นเมทริกซ์ย่อยX ₀₀ จึง มีมิติr × pและX ₁₁มีมิติs × q ) เมทริกซ์ธรรมดา (ไม่มีระดับ) สามารถมองได้ว่าเป็นซูเปอร์เมทริกซ์ซึ่งqและsเป็นศูนย์ทั้งคู่

ซู เปอร์เมทริก ซ์จัตุรัสคือเมทริกซ์ที่มี ( r | s ) = ( p | q ) ซึ่งหมายความว่า ไม่เพียงแต่เมทริกซ์X ที่ยังไม่ได้แบ่งส่วนจะเป็นเมทริกซ์ จัตุรัส เท่านั้น แต่บล็อกแนวทแยงX ₀₀และX ₁₁ก็เป็นเมทริกซ์จัตุรัสเช่นกัน

ซูเปอร์เมทริกซ์คู่คือ ซูเปอร์เมทริกซ์ที่บล็อกแนวทแยง ( X ₀₀และX ₁₁ ) ประกอบด้วยองค์ประกอบคู่ของR เท่านั้น (กล่าวคือ องค์ประกอบเอกพันธุ์ที่มีพาริตี 0) และบล็อกนอกแนวทแยง ( X ₀₁และX ₁₀ ) ประกอบด้วยองค์ประกอบคี่ของR เท่านั้น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {even} &\mathrm {odd} \\\mathrm {odd} &\mathrm {even} \end{bmatrix}}}$

ซูเปอร์เมทริกซ์คี่คือ ซูเปอร์เมทริกซ์ที่เงื่อนไขกลับกันเป็นจริง กล่าวคือ บล็อกแนวทแยงมุมเป็นจำนวนคี่ และบล็อกนอกแนวทแยงมุมเป็นจำนวนคู่

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {odd} &\mathrm {even} \\\mathrm {even} &\mathrm {odd} \end{bmatrix}}}$

ถ้าสเกลาร์Rเป็นจำนวนคู่ล้วน จะไม่มีสมาชิกคี่ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นซูเปอร์เมทริกซ์คู่จะเป็นซูเปอร์เมทริกซ์ แบบ บล็อกแนวทแยงและซูเปอร์เมทริกซ์คี่จะเป็นซูเปอร์เมทริกซ์แบบนอกแนวทแยง

ซูเปอร์เมทริกซ์จะเป็นเมทริกซ์เอกพันธุ์ได้ก็ต่อเมื่อเป็นเมทริกซ์คู่หรือเมทริกซ์คี่เท่านั้น ค่าพาริตี | X | ของซูเปอร์เมทริกซ์เอกพันธุ์ที่ไม่เป็นศูนย์Xจะเป็น 0 หรือ 1 ขึ้นอยู่กับว่าเป็นเมทริกซ์คู่หรือเมทริกซ์คี่ ซูเปอร์เมทริกซ์ทุกตัวสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของซูเปอร์เมทริกซ์คู่และซูเปอร์เมทริกซ์คี่ได้อย่างไม่ซ้ำกัน

ซูเปอร์เมทริกซ์ที่มีมิติเข้ากันได้สามารถบวกหรือคูณกันได้เช่นเดียวกับเมทริกซ์ทั่วไป การดำเนินการเหล่านี้เหมือนกับการดำเนินการทั่วไปทุกประการ โดยมีข้อจำกัดว่าการดำเนินการเหล่านี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อบล็อกมีมิติเข้ากันได้เท่านั้น นอกจากนี้ยังสามารถคูณซูเปอร์เมทริกซ์ด้วยองค์ประกอบของR (ทางซ้ายหรือขวา) ได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม การดำเนินการนี้จะแตกต่างจากกรณีที่ไม่มีการจัดลำดับเนื่องจากมี องค์ประกอบ คี่อยู่ในR

ให้M _{r | s × p | q} ( R ) แทนเซตของซูเปอร์เมทริกซ์ทั้งหมดเหนือRที่มีมิติ ( r | s )×( p | q ) เซตนี้ก่อให้เกิดซูเปอร์โมดูลเหนือRภายใต้การบวกซูเปอร์เมทริกซ์และการคูณสเกลาร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าRเป็นซูเปอร์แอลจีบราเหนือฟิลด์Kแล้ว M _{r | s × p | q} ( R ) จะก่อให้เกิดซูเปอร์เวกเตอร์สเปซ เหนือK

ให้M _{p | q} ( R ) แทนเซตของซูเปอร์เมทริกซ์กำลังสองทั้งหมดเหนือRที่มีมิติ ( p | q )×( p | q ) เซตนี้สร้างซูเปอร์ริงภายใต้การบวกและการคูณซูเปอร์เมทริกซ์ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าRเป็นซูเปอร์แอลจีบราเชิงสลับ การคูณซูเปอร์เมทริกซ์จะเป็นการดำเนินการเชิงเส้นคู่ ดังนั้น M _{p | q} ( R ) จึงสร้างซูเปอร์แอลจีบราเหนือ R

ซูเปอร์เมทริกซ์สองเมทริกซ์ที่มีมิติ ( r | s )×( p | q ) สามารถบวกกันได้เช่นเดียวกับในกรณีที่ไม่มีการจัดระดับเพื่อให้ได้ซูเปอร์เมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกัน การบวกสามารถทำได้แบบเป็นบล็อก เนื่องจากบล็อกมีขนาดที่เข้ากันได้ จะเห็นได้ง่ายว่าผลรวมของซูเปอร์เมทริกซ์คู่สองเมทริกซ์เป็นจำนวนคู่ และผลรวมของซูเปอร์เมทริกซ์คี่สองเมทริกซ์เป็นจำนวนคี่

เราสามารถคูณซูเปอร์เมทริกซ์ที่มีมิติ ( r | s )×( p | q ) ด้วยซูเปอร์เมทริกซ์ที่มีมิติ ( p | q )×( k | l ) ได้เช่นเดียวกับกรณีที่ไม่มีการจัดระดับเพื่อให้ได้เมทริกซ์ที่มีมิติ ( r | s )×( k | l ) การคูณสามารถทำได้ในระดับบล็อกด้วยวิธีที่ชัดเจน:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{b เมทริกซ์}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{ 10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bเมทริกซ์}}.}$

โปรดทราบว่าบล็อกของซูเปอร์เมทริกซ์ผลคูณZ = XYกำหนดโดย

${\displaystyle Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,}$

ถ้าXและYเป็นเมทริกซ์เอกพันธุ์ที่มีพาริตี | X | และ | Y | แล้วXYจะเป็นเมทริกซ์เอกพันธุ์ที่มีพาริตี | X | + | Y | กล่าวคือ ผลคูณของซูเปอร์เมทริกซ์คู่หรือซูเปอร์เมทริกซ์คี่สองตัวจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์คู่ ในขณะที่ผลคูณของซูเปอร์เมทริกซ์คู่และซูเปอร์เมทริกซ์คี่จะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์คี่

การคูณสเกลาร์สำหรับซูเปอร์เมทริกซ์นั้นแตกต่างจากกรณีที่ไม่มีการจัดระดับเนื่องจากการมีอยู่ขององค์ประกอบคี่ในRให้Xเป็นซูเปอร์เมทริกซ์ การคูณสเกลาร์ทางซ้ายด้วย α ∈ Rถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\alpha \,X_{01}\\{\hat {\alpha }}\,X_{10}&{\hat {\alpha }}\,X_{11}\end{bmatrix}}}$

โดยการคูณสเกลาร์ภายในเป็นการคูณแบบธรรมดาที่ไม่มีการจัดลำดับ และแสดงถึงการผกผันระดับในRซึ่งกำหนดไว้บนองค์ประกอบเอกพันธุ์โดย ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(-1)^{|\alpha |}\alpha .}$

การคูณสเกลาร์ทางขวาด้วย α ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน:

${\displaystyle X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\,{\hat {\alpha }}\\X_{10}\,\alpha &X_{11}\,{\hat {\alpha }}\end{bmatrix}}.}$

ถ้า α เป็นจำนวนคู่และการดำเนินการทั้งสองนี้จะเหมือนกับเวอร์ชันที่ไม่มีการจัดลำดับ ถ้า α และXเป็นเอกพันธุ์แล้ว α⋅ XและX ⋅α ต่างก็เป็นเอกพันธุ์ที่มีพาริตี |α| + | X | ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าRเป็นซูเปอร์คอมมิวเททีฟแล้ว จะได้ว่า ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha }$

${\displaystyle \alpha \cdot X=(-1)^{|\alpha ||X|}X\cdot \alpha .}$

เมทริกซ์ธรรมดาอาจมองได้ว่าเป็นตัวแทนพิกัดของการแปลงเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ (หรือโมดูลอิสระ ) ในทำนองเดียวกัน ซูเปอร์เมทริกซ์อาจมองได้ว่าเป็นตัวแทนพิกัดของการแปลงเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ซูเปอร์ (หรือ ซูเปอร์ โมดูลอิสระ ) อย่างไรก็ตาม มีความแตกต่างที่สำคัญในกรณีที่มีการจัดลำดับชั้น โฮโมมอร์ฟิซึมจากปริภูมิเวกเตอร์ซูเปอร์หนึ่งไปยังอีกปริภูมิหนึ่งนั้น ตามนิยามแล้ว คือโฮโมมอร์ฟิซึมที่รักษาการจัดลำดับชั้น (กล่าวคือ แมปองค์ประกอบคู่ไปยังองค์ประกอบคู่ และองค์ประกอบคี่ไปยังองค์ประกอบคี่) ตัวแทนพิกัดของการแปลงดังกล่าวจะเป็น ซูเปอร์เมทริกซ์ คู่ เสมอ ซูเปอร์เมทริกซ์คี่สอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้นที่กลับการจัดลำดับชั้น ซูเปอร์เมทริกซ์ทั่วไปแสดงถึงการแปลงเชิงเส้นที่ไม่จัดลำดับชั้นใดๆ การแปลงดังกล่าวยังคงมีความสำคัญในกรณีที่มีการจัดลำดับชั้น แม้ว่าจะมีความสำคัญน้อยกว่าการแปลงที่มีการจัดลำดับชั้น (คู่) ก็ตาม

โมดูลใหญ่Mบนพีชคณิตใหญ่Rเรียกว่าโมดูลอิสระก็ต่อเมื่อมีฐานเอกพันธุ์อิสระ ถ้าฐานดังกล่าวประกอบด้วย สมาชิกคู่ pตัวและสมาชิกคี่q ตัว โมดูล Mจะมีอันดับp | qถ้าRเป็นพีชคณิตสลับที่แบบซูเปอร์คอมมิวเททีฟ อันดับจะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกฐาน เช่นเดียวกับในกรณีที่ไม่มีการจัดลำดับ

ให้R ^{p | q}เป็นปริภูมิของซูเปอร์เวกเตอร์คอลัมน์—ซูเปอร์เมทริกซ์ที่มีมิติ ( p | q )×(1|0) โดยธรรมชาติแล้วนี่คือR-ซูเปอร์โมดูลขวา เรียกว่าปริภูมิพิกัด ขวา จากนั้น ซูเปอร์เมทริกซ์Tที่มีมิติ ( r | s )×( p | q ) สามารถคิดได้ว่าเป็นแผนที่เชิงเส้น R ขวา

${\displaystyle T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,}$

โดยที่การกระทำของTบนR ^{p | q}คือการคูณซูเปอร์เมทริกซ์ (การกระทำนี้โดยทั่วไปไม่ใช่ แบบ R-เชิงเส้นด้านซ้าย ซึ่งเป็นเหตุผลที่เราคิดว่าR ^{p | q}เป็น ซูเปอร์โมดูล ด้านขวา )

ให้M เป็น R- ซูเปอร์โมดูล ขวาอิสระที่มีอันดับp | qและให้N เป็น R- ซูเปอร์โมดูล ขวาอิสระที่มีอันดับr | sให้ ( e _i ) เป็นฐานอิสระสำหรับMและให้ ( f _k ) เป็นฐานอิสระสำหรับNการเลือกฐานดังกล่าวเทียบเท่ากับการเลือกไอโซมอร์ฟิซึมจากMไปยังR ^{p | q}และจากNไปยังR ^{r | s}แผนที่เชิงเส้นใดๆ (ที่ไม่มีระดับ)

${\displaystyle T:M\to N\,}$

สามารถเขียนได้เป็นซูเปอร์เมทริกซ์ ( r | s )×( p | q ) โดยสัมพันธ์กับฐานที่เลือก ส่วนประกอบของซูเปอร์เมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องจะถูกกำหนดโดยสูตร

${\displaystyle T(e_{i})=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}_{i}.}$

การแยกส่วนแบบบล็อกของซูเปอร์เมทริกซ์ Tสอดคล้องกับการแยกส่วนของMและNออกเป็นโมดูลย่อยคู่และโมดูลย่อยคี่:

${\displaystyle M=M_{0}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.}$

การดำเนินการหลายอย่างบนเมทริกซ์ทั่วไปสามารถขยายไปสู่เมทริกซ์ยิ่งยวดได้ แม้ว่าการขยายเหล่านั้นจะไม่ชัดเจนหรือตรงไปตรงมาเสมอไปก็ตาม

ซูเปอร์ทรานสโพสของซูเปอร์เมทริกซ์คือ อะนาล็อกแบบ Z² _- graded ของทรานสโพสให้

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

ให้ X เป็นซูเปอร์เมทริกซ์เอกพันธุ์ ( r | s )×( p | q ) ซูเปอร์ทรานสโพสของXคือซูเปอร์เมทริกซ์ ( p | q )×( r | s )

${\displaystyle X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{|X|}C^{t}\\-(-1)^{|X|}B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}}$

โดยที่A ^tแทนการสลับแถวและคอลัมน์แบบธรรมดาของAซึ่งสามารถขยายไปยังซูเปอร์เมทริกซ์ใดๆ ก็ได้โดยใช้คุณสมบัติเชิงเส้น ต่างจากการสลับแถวและคอลัมน์แบบธรรมดา การสลับแถวและคอลัมน์แบบซูเปอร์เมทริกซ์โดยทั่วไปไม่ใช่การผกผันแต่มีอันดับ 4 การใช้การสลับแถวและคอลัมน์แบบซูเปอร์เมทริกซ์สองครั้งกับซูเปอร์เมทริกซ์Xจะได้

${\displaystyle (X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.}$

ถ้าRเป็นแบบซูเปอร์คอมมิวเททีฟ ทรานสโพสซูเปอร์จะสอดคล้องกับเอกลักษณ์

${\displaystyle (XY)^{st}=(-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,}$

การสลับตำแหน่งพาริตีของซูเปอร์เมทริกซ์เป็นการดำเนินการใหม่ที่ไม่มีแบบอย่างในระดับชั้น ให้

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

ให้ X เป็นซูเปอร์เมทริกซ์ขนาด ( r | s )×( p | q ) ทรานสโพสพาริตีของXคือซูเปอร์เมทริกซ์ขนาด ( s | r )×( q | p )

${\displaystyle X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}.}$

กล่าวคือ บล็อก ( i , j ) ของเมทริกซ์ที่สลับตำแหน่งแล้ว คือ บล็อก (1− i , 1− j ) ของเมทริกซ์ดั้งเดิม

การดำเนินการสลับตำแหน่งและสมมาตรเป็นไปตามเอกลักษณ์

• ${\displaystyle (X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }}$
• ${\displaystyle (X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}}$

รวมถึง

• ${\displaystyle \pi ^{2}=id\,}$
• ${\displaystyle \pi \circ st\circ \pi =(st)^{3}}$

โดยที่stหมายถึงการดำเนินการซูเปอร์ทรานสโพส

ซูเปอร์เทรซของซูเปอร์เมทริกซ์จัตุรัสคืออนาล็อกแบบZ² _- graded ของเทรซโดยนิยามบนซูเปอร์เมทริกซ์เอกพันธุ์ด้วยสูตร

${\displaystyle \mathrm {str} (X)=\mathrm {tr} (X_{00})-(-1)^{|X|}\mathrm {tr} (X_{11})\,}$

โดยที่ tr หมายถึงร่องรอยปกติ

ถ้าRเป็นแบบซูเปอร์คอมมิวเททีฟ ซูเปอร์เทรซจะสอดคล้องกับเอกลักษณ์

${\displaystyle \mathrm {str} (XY)=(-1)^{|X||Y|}\mathrm {str} (YX)\,}$

สำหรับซูเปอร์เมทริกซ์เอกพันธุ์ XและY

เบเรซิเนียน (หรือซูเปอร์ดีเทอร์มิแนนต์ ) ของซูเปอร์เมทริกซ์จัตุรัส คือ อนาล็อก _แบบZ²เกรดของ ดี เทอร์มิแนนต์ เบเรซิเนียนจะนิยามได้ดีเฉพาะบนซูเปอร์เมทริกซ์คู่ที่ผกผันได้เหนือซูเปอร์แอลจีบราเชิงสลับที่R เท่านั้น ในกรณีนี้จะกำหนดโดยสูตร

${\displaystyle \mathrm {Ber} (X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.}$

โดยที่ det หมายถึงดีเทอร์มิแนนต์ปกติ (ของเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกอยู่ในพีชคณิตสลับที่ R ₀ )

ตัวดำเนินการเบเรซินมีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับตัวกำหนดทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นตัวดำเนินการแบบคูณและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับตำแหน่งแบบซูเปอร์ทรานสโพส มันมีความสัมพันธ์กับซูเปอร์เทรซโดยสูตร

${\displaystyle \mathrm {Ber} (e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,}$