ในทางสถิติ ค่าตกค้างแบบปรับค่ามาตรฐาน ( Studentized residual)คืออัตราส่วนไร้หน่วยที่ได้จากการหารค่าตกค้างด้วยค่าประมาณของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยทั้งสองค่าแสดงในหน่วย เดียวกัน มันเป็นรูปแบบหนึ่งของสถิติtของ Studentโดยที่ค่าประมาณของความคลาดเคลื่อนจะแตกต่างกันไปในแต่ละจุด

นี่เป็นเทคนิคสำคัญในการตรวจจับค่าผิดปกติเป็นหนึ่งในหลายเทคนิคที่ตั้งชื่อตามวิลเลียม ซีลีย์ กอสเซ็ตผู้เขียนภายใต้นามแฝง "สตูเดนต์" (เช่นการแจกแจงของสตูเดนต์ ) การหารค่าสถิติด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างเรียกว่าการทำให้เป็นสตูเดนต์ (Studentizing ) ในทำนองเดียวกับการทำให้เป็นมาตรฐาน (Standardizing ) และการทำให้เป็นปกติ (Normalizing )

เหตุผลสำคัญที่ทำให้ต้องใช้แนวคิดเรื่องค่าตกค้าง (residual) คือ ในการวิเคราะห์การ ถดถอย ของตัวแปรสุ่มหลายตัว ค่า ความแปรปรวนของ ค่า ตกค้างที่ค่าตัวแปรป้อนเข้าต่างกันอาจแตกต่างกัน แม้ว่าค่าความแปรปรวนของ ค่าความคลาดเคลื่อน ( error)ที่ค่าตัวแปรป้อนเข้าต่างกันเหล่านั้นจะเท่ากันก็ตาม ประเด็นอยู่ที่ความแตกต่างระหว่างค่าความคลาดเคลื่อนและค่าตกค้างในทางสถิติโดยเฉพาะอย่างยิ่งพฤติกรรมของค่าตกค้างในการวิเคราะห์การถดถอย

พิจารณาแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย

${\displaystyle Y=\alpha _{0}+\alpha _{1}X+\varepsilon .\,}$

กำหนดให้ตัวอย่างสุ่ม ( X , Y ) โดยที่i = 1, ..., nแต่ละคู่ ( X , Y ) จะเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้      

${\displaystyle Y_{i}=\alpha _{0}+\alpha _{1}X_{i}+\varepsilon _{i},\,}$

ข้อผิดพลาดอยู่ที่ไหน${\displaystyle \varepsilon _{i}}$เป็นอิสระต่อกันและมีค่าความแปรปรวนเท่ากันทั้งหมด${\displaystyle \sigma ^{2}}$ค่าความคลาดเคลื่อนที่เหลืออยู่ไม่ใช่ค่าความคลาดเคลื่อนที่แท้จริง แต่เป็นค่าประมาณที่ได้จากข้อมูลที่สังเกตได้ เมื่อใช้วิธีการกำลังสองน้อยที่สุด ในการประมาณค่า${\displaystyle \alpha _{0}}$และ${\displaystyle \alpha _{1}}$จากนั้นจึงเป็นส่วนที่เหลือ${\displaystyle {\widehat {\varepsilon \,}}}$ซึ่งแตกต่างจากข้อผิดพลาด${\displaystyle \varepsilon }$ไม่สามารถเป็นอิสระได้ เนื่องจากเป็นไปตามข้อจำกัดทั้งสองข้อ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\widehat {\varepsilon \,}}_{i}=0}$

และ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\widehat {\varepsilon \,}}_{i}x_{i}=0.}$

(ในที่นี้ε คือ ข้อผิดพลาดลำดับที่ iและ${\displaystyle {\widehat {\varepsilon \,}__{i}}$(คือค่า ตกค้างลำดับที่ i )

ค่าความคลาดเคลื่อน (residuals) ต่างจากค่าความคลาดเคลื่อน (errors) ตรงที่ค่าความแปรปรวนของค่าความคลาดเคลื่อนไม่เท่ากันทั้งหมดค่าความแปรปรวนจะลดลงเมื่อ ค่า x ที่สอดคล้องกัน อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของx มากขึ้น นี่ไม่ใช่ลักษณะของข้อมูลเอง แต่เป็นเพราะการถดถอยนั้นเหมาะสมกับค่าที่อยู่ปลายสุดของโดเมนได้ดีกว่า นอกจากนี้ยังสะท้อนให้เห็นในฟังก์ชันอิทธิพลของจุดข้อมูลต่างๆ ต่อสัมประสิทธิ์การถดถอยด้วยกล่าวคือ จุดปลายมีอิทธิพลมากกว่า สิ่งนี้สามารถสังเกตได้เช่นกัน เนื่องจากค่าความคลาดเคลื่อนที่จุดปลายขึ้นอยู่กับความชันของเส้นที่เหมาะสมอย่างมาก ในขณะที่ค่าความคลาดเคลื่อนที่จุดกึ่งกลางค่อนข้างไม่ไวต่อความชัน ข้อเท็จจริงที่ว่าค่าความแปรปรวนของค่าความคลาดเคลื่อนแตกต่างกันแม้ว่าค่าความแปรปรวนของค่าความคลาดเคลื่อนที่แท้จริงจะเท่ากันทั้งหมด เป็นสาเหตุหลักที่ทำให้จำเป็นต้องใช้การปรับค่าให้เป็นค่ามาตรฐาน (studentization)

ปัญหาไม่ได้อยู่ที่เพียงแค่ค่าพารามิเตอร์ของประชากร (ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ไม่เป็นที่ทราบเท่านั้น แต่เป็นเพราะการถดถอยให้ผลลัพธ์การกระจายของค่าความคลาดเคลื่อนที่แตกต่างกันณจุดข้อมูลต่างๆ ซึ่ง ต่างจาก ตัวประมาณ ค่าแบบจุดของการกระจายแบบเอกตัวแปรที่มี การกระจาย ของค่าความคลาดเคลื่อนร่วมกัน

สำหรับแบบจำลองอย่างง่ายนี้เมทริกซ์การออกแบบคือ

${\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}1&x_{1}\\\vdots &\vdots \\1&x_{n}\end{matrix}}\right]}$

และเมทริกซ์หมวกHคือเมทริกซ์ของการฉายภาพเชิงตั้งฉากลงบนปริภูมิคอลัมน์ของเมทริกซ์การออกแบบ:

${\displaystyle H=X(X^{T}X)^{-1}X^{T}.\,}$

ค่าเลเวอเรจh คือ ค่าในแนวทแยงมุมลำดับที่ iของเมทริกซ์หมวก ส่วนค่าความแปรปรวนของ ค่าตกค้างลำดับที่ iคือ

${\displaystyle \operatorname {var} ({\widehat {\varepsilon \,}}_{i})=\sigma ^{2}(1-h_{ii}).}$

ในกรณีที่เมทริกซ์การออกแบบXมีเพียงสองคอลัมน์ (ดังตัวอย่างข้างต้น) ค่านี้จะเท่ากับ

${\displaystyle \operatorname {var} ({\widehat {\varepsilon \,}}_{i})=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {1}{n}}-{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-{\bar {x}})^{2}}}\right).}$

ในกรณีของค่าเฉลี่ยเลขคณิตเมทริกซ์ออกแบบXจะมีเพียงคอลัมน์เดียว ( เวกเตอร์ของเลขหนึ่ง ) ซึ่งก็คือ:

${\displaystyle \operatorname {var} ({\widehat {\varepsilon \,}}_{i})=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {1}{n}}\right).}$

จากคำจำกัดความข้างต้นค่าตกค้างแบบ Studentizedคือ

${\displaystyle t_{i}={{\widehat {\varepsilon \,}}_{i} \over {\widehat {\sigma }}{\sqrt {1-h_{ii}\ }}}}$

โดยที่h คืออัตราส่วนการใช้ประโยชน์และ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$เป็นการประมาณค่าσ ที่เหมาะสม (ดูด้านล่าง)

ในกรณีของค่าเฉลี่ย ค่านี้จะเท่ากับ:

${\displaystyle t_{i}={{\widehat {\varepsilon \,}}_{i} \over {\widehat {\sigma }}{\sqrt {(n-1)/n}}}}$

^{โดยทั่วไป แล้ว}ค่าประมาณของσ²คือค่าตกค้างแบบ studentized ภายใน

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={1 \over nm}\sum _{j=1}^{n}{\widehat {\varepsilon \,}}_{j}^{\,2}.}$

โดยที่mคือจำนวนพารามิเตอร์ในแบบจำลอง (ในตัวอย่างของเราคือ 2)

แต่ถ้าหากสงสัยว่ากรณีที่ i อาจมีขนาดใหญ่ผิดปกติ ก็จะไม่เป็นไปตามการกระจายแบบปกติเช่นกัน ดังนั้นจึงควรตัดข้อมูล ที่ iออกจากการประมาณค่าความแปรปรวนเมื่อพิจารณาว่า กรณีที่ iอาจเป็นค่าผิดปกติหรือไม่ และควรใช้ ค่าความคลาดเคลื่อน มาตรฐานภายนอก แทน ซึ่งก็คือ   

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{(i)}^{2}={1 \over n-m-1}\sum _{\begin{smallmatrix}j=1\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\widehat {\varepsilon \,}}_{j}^{\,2},}$

โดยพิจารณาจากค่าตกค้างทั้งหมดยกเว้น ค่าตกค้าง ที่น่าสงสัย ลำดับที่ i ขอเน้นย้ำว่า${\displaystyle {\widehat {\varepsilon \,}}_{j}^{\,2}(j\neq i)}$สำหรับผู้ต้องสงสัยiจะคำนวณโดยไม่รวมกรณีที่i 

ถ้าค่าประมาณσ ² รวมกรณี ที่ i ไว้ด้วยแล้ว จะเรียกว่าค่าตกค้างแบบ studentized ภายใน${\displaystyle t_{i}}$(เรียกอีกอย่างว่าค่าตกค้างมาตรฐาน^{[ 1 ]} ) หากค่าประมาณ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{(i)}^{2}}$หากใช้แทนโดยไม่รวมกรณี ที่ i จะเรียกว่านักเรียนที่ได้รับการฝึกฝนจากภายนอก${\displaystyle t_{i(i)}}$.

ถ้าความคลาดเคลื่อนเป็นอิสระต่อกันและ มีการกระจายแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวนσ²แล้วการกระจายความน่าจะเป็นของค่าตกค้างที่ปรับให้เป็นมาตรฐานภายนอกลำดับที่i จะเป็น ^{ดังนี้}${\displaystyle t_{i(i)}}$เป็นการแจกแจงแบบ t ของนักเรียนที่มีองศาอิสระn  − m − 1 และสามารถมีค่าได้ตั้งแต่   ${\displaystyle \scriptstyle -\infty }$ถึง${\displaystyle \scriptstyle +\infty }$.

ในทางกลับกัน ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานภายในอยู่ในช่วง${\displaystyle 0\,\pm \,{\sqrt {\nu }}}$โดยที่ν = n  − mคือจำนวนองศาอิสระของส่วนเหลือ ถ้าt แทนส่วนเหลือแบบ studentized ภายใน และสมมติอีกครั้งว่าข้อผิดพลาดเป็นตัวแปรเกาส์เซียนที่มีการกระจายเหมือนกันและเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น: ^{[ 2 ]} 

${\displaystyle t_{i}\sim {\sqrt {\nu }}{t \over {\sqrt {t^{2}+\nu -1}}}}$

โดยที่tเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบ t ของนักเรียนที่มีองศาอิสระν  − 1 ในความเป็นจริง สิ่งนี้หมายความว่า t ² / νเป็นไปตามการแจกแจงเบต้าB (1/2,( ν − 1)/2) การแจกแจงข้างต้นบางครั้งเรียกว่าการแจกแจงเทา^{[ 2 ]}ซึ่งได้รับการพัฒนาครั้งแรกโดย Thompson ในปี 1935 ^{[ 3 ]}   

เมื่อν = 3 ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานภายในจะมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอระหว่าง${\displaystyle \scriptstyle -{\sqrt {3}}}$และ${\displaystyle \scriptstyle +{\sqrt {3}}}$. If there is only one residual degree of freedom, the above formula for the distribution of internally studentized residuals doesn't apply. In this case, the t are all either +1 or −1, with 50% chance for each.

The standard deviation of the distribution of internally studentized residuals is always 1, but this does not imply that the standard deviation of all the t of a particular experiment is 1. For instance, the internally studentized residuals when fitting a straight line going through (0, 0) to the points (1, 4), (2, −1), (2, −1) are ${\displaystyle {\sqrt {2}},\ -{\sqrt {5}}/5,\ -{\sqrt {5}}/5}$, and the standard deviation of these is not 1.

Note that any pair of studentized residual t and t (where ${\displaystyle i\neq j}$), are NOT i.i.d. They have the same distribution, but are not independent due to constraints on the residuals having to sum to 0 and to have them be orthogonal to the design matrix.

Many programs and statistics packages, such as R, Python, etc., include implementations of Studentized residual.

• Cook's distance – a measure of changes in regression coefficients when an observation is deleted
• Grubbs's test
• Normalization (statistics)
• Samuelson's inequality
• Standard score
• William Sealy Gosset

• Cook, R. Dennis; Weisberg, Sanford (1982). Residuals and Influence in Regression (Repr. ed.). New York: Chapman and Hall. ISBN 041224280X. Retrieved 23 February 2013.