ในทางคณิตศาสตร์เททราชัน (หรือไฮเปอร์-4 ) เป็นการดำเนินการที่อิงกับการยกกำลังซ้ำๆไม่มีสัญลักษณ์ สากล สำหรับเททราชัน แต่สัญลักษณ์ลูกศรชี้ขึ้นของ Knuthและเลขชี้กำลังทางซ้ายเป็นที่นิยมใช้กัน ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$${\displaystyle {}^{x}b}$

ตามนิยามของการยกกำลังซ้ำหมาย ถึง การยกกำลังซ้ำ n ครั้ง โดยที่ค่าaถูกยกกำลังซ้ำจากขวาไปซ้าย กล่าวคือ การยกกำลังซ้ำ n ครั้ง ตัวเลขnเรียกว่าความสูงของฟังก์ชัน ในขณะที่aเรียกว่าฐานคล้ายกับการยกกำลัง จะอ่านว่า " การยกกำลังซ้ำครั้งที่ nของa " ตัวอย่างเช่น 2 ยกกำลังซ้ำเป็น 4 (หรือการยกกำลังซ้ำครั้งที่ 4 ของ 2) คือ ⁠ ⁠${\displaystyle {^{n}a}}$${\displaystyle {a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle {^{4}2}=2^{(2^{(2^{2})})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536}$

เททราชัน (Tetration) เป็น ไฮเปอร์โอเปอเรชันลำดับถัดไปหลังจากเลขยกกำลัง (exponentiation ) แต่ก่อนเพนทาชัน (pentation) เททราชันถูกใช้ร่วมกับไฮเปอร์โอเปอเรชันอื่นๆ ในการเขียนแทนจำนวนขนาดใหญ่มากชื่อนี้ตั้งโดยรูเบน กู๊ดสไตน์ (Reuben Goodstein)จากคำนำหน้าtetra- (หมายถึง "สี่") และคำว่า "iteration"

เทเทรชั่นสามารถนิยามแบบเวียนซ้ำได้เช่นกันดังนี้

${\displaystyle {a\uparrow \uparrow n}:={\begin{cases}1&{\text{ถ้า }}n=0,\\a^{a\uparrow \uparrow (n-1)}&{\text{ถ้า }}n>0.\end{cases}}}$

รูปแบบนี้ช่วยให้สามารถขยายการคูณแบบเททราชันไปยังโดเมนที่ทั่วไปกว่าจำนวนธรรมชาติเช่นจำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนหรือจำนวนเชิงอันดับได้

ตัวผกผัน สองตัวของการหาค่าราก ที่สอง เรียกว่ารากที่สองและลอการิทึมที่สองซึ่งคล้ายคลึงกับการหาค่ารากที่ n และการหาค่าลอการิทึม ตามลำดับฟังก์ชัน ทั้งสามนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน

ต่อไปนี้แสดงไฮเปอร์โอเปอเรชันสี่รายการแรก โดยเททราชันถือเป็นรายการที่สี่ใน ลำดับ ลำดับการดำเนินการเอกภาค ซึ่งกำหนดโดยถือเป็นการดำเนินการลำดับที่ศูนย์ ${\displaystyle a'=a+1}$

1. การเพิ่มสำเนาnชุดของ 1 ที่ถูกเพิ่มเข้าไปในชุดที่รวมกันแล้วโดยการสืบทอด$${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}$$
2. การคูณ คือ การคูณ จำนวนnครั้งของค่าที่รวมกันโดยการบวก$${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$$
3. การยกกำลัง คือ การ คูณค่า a กับค่าa อีกจำนวน n ครั้ง$${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$$
4. Tetration คือการรวมa n ชุดเข้าด้วยกันโดยการยกกำลัง สิ่งสำคัญคือ เลขชี้กำลังที่ซ้อนกันจะคำนวณจากขวาไปซ้าย: ⁠ ⁠หมายถึง⁠ ⁠และไม่ใช่⁠ ⁠$${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}} _{n}}$$${\displaystyle c^{b^{a}}}$${\displaystyle c^{\left(b^{a}\right)}}$${\displaystyle \left(c^{b}\right)^{a}.}$

การสืบทอด( ) เป็นการดำเนินการพื้นฐานที่สุด ในขณะที่การบวก ( ) เป็นการดำเนินการหลัก สำหรับการบวกจำนวนธรรมชาติ สามารถคิดได้ว่าเป็นลำดับต่อเนื่องของตัวสืบทอดของการคูณ ( ) ก็เป็นการดำเนินการหลักเช่นกัน แม้ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติ สามารถคิดได้ในทำนองเดียวกันว่าเป็นการบวกแบบต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของการยกกำลังสามารถคิดได้ว่าเป็นการคูณแบบต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของและการยกกำลังสี่เท่า ( ) เป็นการยกกำลังแบบต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของ การดำเนินการแต่ละอย่างข้างต้นถูกกำหนดโดยการทำซ้ำการดำเนินการก่อนหน้า^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม ต่างจากการดำเนินการก่อนหน้า การยกกำลังสี่เท่าไม่ใช่ฟังก์ชัน พื้นฐาน${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+1}$${\displaystyle a+n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle ^{n}a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$

พารามิเตอร์นี้เรียกว่าฐานในขณะที่พารามิเตอร์นี้อาจเรียกว่าความสูงในนิยามดั้งเดิมของเททราชัน พารามิเตอร์ความสูงต้องเป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น การกล่าวว่า "สามยกกำลังตัวเองลบห้าครั้ง" หรือ "สี่ยกกำลังตัวเองครึ่งหนึ่งของเวลา" นั้นไม่สมเหตุสมผล อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับการบวก การคูณ และการยกกำลังที่สามารถกำหนดได้ในลักษณะที่อนุญาตให้ขยายไปยังจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน มีความพยายามหลายครั้งที่จะวางเททราชันให้เป็นจำนวนลบ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน วิธีหนึ่งในการทำเช่นนั้นคือการใช้นิยามแบบเวียนเกิดสำหรับเททราชัน สำหรับจำนวนจริงบวก และ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ใดๆ เราสามารถกำหนดแบบเวียนเกิดได้ดังนี้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle {^{n}a}}$

${\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

นิยามแบบเวียนซ้ำนั้นเทียบเท่ากับการยกกำลังซ้ำๆ สำหรับ ความสูง ตามธรรมชาติอย่างไรก็ตาม นิยามนี้ยังอนุญาตให้ขยายไปสู่ความสูงอื่นๆ เช่น, , และได้อีกด้วย ซึ่งการขยายเหล่านี้หลายอย่างเป็นหัวข้อที่กำลังมีการวิจัยอย่างจริงจัง ${\displaystyle ^{0}a}$${\displaystyle ^{-1}a}$${\displaystyle ^{i}a}$

มีคำศัพท์มากมายที่ใช้เรียกการโต้แย้ง แต่ละคำมีเหตุผลรองรับ แต่บางคำก็ไม่เป็นที่นิยมใช้ด้วยเหตุผลต่างๆ ต่อไปนี้เป็นการเปรียบเทียบคำศัพท์แต่ละคำพร้อมเหตุผลและข้อโต้แย้ง

• คำว่าtetrationซึ่ง Goodstein นำเสนอในบทความTransfinite Ordinals in Recursive Number Theory ^{[ 2 ]} ในปี 1947 (โดยขยายการแสดงฐานแบบเรียกซ้ำที่ใช้ในทฤษฎีบทของ Goodsteinเพื่อใช้การดำเนินการที่สูงกว่า) ได้รับความนิยมอย่างมาก นอกจากนี้ยังได้รับความนิยมในหนังสือInfinity and the MindของRudy Rucker อีกด้วย
• คำว่าsuperexponentiationได้รับการตีพิมพ์โดย Bromer ในบทความSuperexponentiation ของเขา ในปี 1987 ^{[ 3 ]}ก่อนหน้านี้ Ed Nelson ได้ใช้คำนี้ในหนังสือ Predicative Arithmetic ของเขาที่สำนักพิมพ์ Princeton University Pressในปี 1986
• คำว่าhyperpower ^{[ 4 ]}เป็นการรวมกันตามธรรมชาติของhyperและpowerซึ่งอธิบายถึง tetration ได้อย่างเหมาะสม ปัญหาอยู่ที่ความหมายของhyperที่เกี่ยวข้องกับ ลำดับ hyperoperationเมื่อพิจารณา hyperoperation คำว่าhyperหมายถึงทุกระดับ และคำว่าsuperหมายถึงระดับ 4 หรือ tetration ดังนั้นภายใต้การพิจารณาเหล่านี้hyperpowerจึงทำให้เข้าใจผิด เนื่องจากหมายถึง tetration เท่านั้น
• บางครั้งมีการใช้ คำว่าpower tower ^{[ 5 ]}ในรูปแบบ "power tower อันดับn " สำหรับการยกกำลังนั้นอาจเข้าใจผิดได้ง่าย: โปรดทราบว่าการดำเนินการยกกำลังนั้นเป็นแบบเชื่อมโยงทางขวา (ดูด้านล่าง ) การยกกำลังแบบ Tetration คือการยกกำลัง แบบวนซ้ำ (เรียก การดำเนินการ แบบเชื่อมโยงทางขวาว่า ^) โดยเริ่มจากด้านบนขวาของนิพจน์ด้วยอินสแตนซ์ a^a (เรียกค่านี้ว่า c) การยกกำลัง a ถัดไปทางซ้าย (เรียกสิ่งนี้ว่า 'ฐานถัดไป' b) คือการทำงานไปทางซ้ายหลังจากได้รับค่าใหม่ b^c การทำงานไปทางซ้าย ใช้ a ถัดไปทางซ้ายเป็นฐาน b และประเมินค่า b^c ใหม่ 'ลงจากหอคอย' ตามลำดับด้วยค่าใหม่สำหรับ c ในขั้นลงถัดไป${\displaystyle {\ \atop {\ }}{{\underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}} } \atop n}}$

เนื่องจากมีคำศัพท์และสัญลักษณ์ ที่คล้ายคลึงกัน ทำให้เททราชันมักถูกเข้าใจผิดว่าเป็นฟังก์ชันและนิพจน์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ต่อไปนี้เป็นคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องบางส่วน:

คำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับเทราเทิร์ชั่น

ศัพท์เฉพาะ	รูปร่าง
เตตระเรชั่น	${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}$
เลขชี้กำลังแบบวนซ้ำ	${\displaystyle a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a^{x}}}}}}$
เลขชี้กำลังซ้อนกัน (หรือเรียกว่าหอคอย)	${\displaystyle a_{n}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{2}^{a_{1}}}}}}$
เลขชี้กำลังอนันต์ (หรือหอคอย)	${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{{a_{3}}^{{a_{2}}^{a_{1}}}}}}}$

ในสองนิพจน์แรกaคือฐานและจำนวนครั้งที่aปรากฏคือความสูง (บวกหนึ่งสำหรับx ) ในนิพจน์ที่สามnคือความสูงแต่ฐานแต่ละอันแตกต่างกัน

ต้องระมัดระวังเมื่อกล่าวถึงเลขยกกำลังซ้ำ เนื่องจากโดยทั่วไปมักเรียกนิพจน์ในรูปแบบนี้ว่า การยกกำลังซ้ำ ซึ่งมีความกำกวม เพราะอาจหมายถึงกำลังซ้ำ หรือ เลขยกกำลัง ซ้ำ ก็ได้

มีรูปแบบการเขียนสัญลักษณ์หลายแบบที่สามารถใช้เพื่อแสดงเททราชันได้ สัญลักษณ์บางแบบสามารถใช้เพื่ออธิบายไฮเปอร์โอเปอเรชัน อื่นๆ ได้ด้วย ในขณะที่บางแบบจำกัดเฉพาะเททราชันและไม่มีส่วนขยายโดยตรง

รูปแบบการเขียนสัญลักษณ์สำหรับเททราชัน

ชื่อ	รูปร่าง	คำอธิบาย
สัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuth	${\displaystyle {\begin{aligned}a{\uparrow \uparrow }n\\a{\uparrow }^{2}n\end{aligned}}}$	อนุญาตให้ขยายเพิ่มเติมได้โดยการเพิ่มลูกศร หรือที่ทรงพลังยิ่งกว่านั้นคือการใช้ลูกศรที่มีดัชนีกำกับ
สัญกรณ์ลูกศรแบบลูกโซ่ของคอนเวย์	${\displaystyle a\rightarrow n\rightarrow 2}$	อนุญาตให้ขยายได้โดยการเพิ่มเลข 2 (เทียบเท่ากับการขยายข้างต้น) แต่ที่ทรงพลังยิ่งกว่านั้นคือการขยายห่วงโซ่
ฟังก์ชันแอคเคอร์แมนน์	${\displaystyle {}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3}$	ช่วยให้สามารถเขียนกรณีพิเศษในรูปของฟังก์ชัน Ackermann ได้ ${\displaystyle a=2}$
สัญกรณ์เลขยกกำลังแบบวนซ้ำ	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(1)}$	ช่วยให้สามารถขยายการคูณเลขชี้กำลังซ้ำๆ ได้อย่างง่ายดาย โดยใช้ค่าเริ่มต้นที่ไม่ใช่ 1
สัญกรณ์ Hooshmand [ 6 ]	${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {uxp} _{a}n\\[2pt]&a^{\frac {n}{}}\end{aligned}}}$	ใช้โดย MH Hooshmand [2006]
สัญกรณ์ ไฮเปอร์โอเปอเรชั่น	${\displaystyle {\begin{aligned}&a[4]n\\[2pt]&H_{4}(a,n)\end{aligned}}}$	อนุญาตให้ขยายเพิ่มเติมโดยการเพิ่มเลข 4 ซึ่งจะทำให้เกิดกลุ่มของไฮเปอร์โอเปอเรชันขึ้น
สัญลักษณ์ดับเบิลแคร์	a^^n	เนื่องจากลูกศรขึ้นใช้เหมือนกับเครื่องหมายแคเร็ต ( ^) ดังนั้นจึงสามารถเขียนเททราชันได้เป็น ( ) ^^; ซึ่งสะดวกสำหรับASCII

รูปแบบการเขียนข้างต้นรูปแบบหนึ่งใช้การเขียนเลขยกกำลังแบบซ้ำ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a^{x}}}}}}$โดยมีn เป็น s

สัญลักษณ์สำหรับการยกกำลังซ้ำนั้นมีไม่มากนัก แต่ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน:

รูปแบบการเขียนสัญลักษณ์สำหรับเลขยกกำลังซ้ำ

ชื่อ	รูปร่าง	คำอธิบาย
สัญกรณ์มาตรฐาน	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$	ออยเลอร์เป็นผู้บัญญัติศัพท์สัญลักษณ์นี้และสัญลักษณ์การวนซ้ำก็มีมานานพอๆ กัน ${\displaystyle \exp _{a}(x)=a^{x}}$${\displaystyle f^{n}(x)}$
สัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuth	${\displaystyle (a{\uparrow })^{n}x}$	ช่วยให้สามารถสร้างพลังพิเศษและฟังก์ชันเลขชี้กำลังขั้นสูงได้โดยการเพิ่มจำนวนลูกศร ซึ่งใช้ในบทความเกี่ยวกับจำนวนมาก
สัญกรณ์ข้อความ	exp_a^n(x)	อ้างอิงจากสัญลักษณ์มาตรฐาน สะดวกต่อการใช้งานกับ ASCII
สัญกรณ์เจ	x^^:(n-1)x	ทำซ้ำการยกกำลัง ดูJ (ภาษาโปรแกรม ) [ 7 ]
สัญกรณ์สิ่งกีดขวางอนันต์	${\displaystyle a\uparrow \uparrow n|x}$	Jonathan Bowers เป็นผู้คิดค้นสิ่งนี้[ 8 ]และสามารถขยายไปสู่การดำเนินการไฮเปอร์ที่สูงขึ้นได้

เนื่องจากการเติบโตอย่างรวดเร็วมากของเลขยกกำลังซ้ำ ค่าส่วนใหญ่ในตารางต่อไปนี้จึงมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะเขียนในรูปแบบสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้ ในกรณีเหล่านี้ จึงใช้สัญกรณ์เลขยกกำลังซ้ำเพื่อแสดงค่าในฐาน 10 ค่าที่มีจุดทศนิยมเป็นค่าโดยประมาณ โดยปกติแล้ว ขีดจำกัดที่สามารถคำนวณได้ในโปรแกรมคำนวณเชิงตัวเลข เช่นWolfram Alphaคือ 3↑↑4 และสามารถแสดงจำนวนหลักได้ถึง 3↑↑5

ตัวอย่างของเททราชัน

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {}^{2}x}$	${\displaystyle {}^{3}x}$	${\displaystyle {}^{4}x}$	${\displaystyle {}^{5}x}$	${\displaystyle {}^{6}x}$	${\displaystyle {}^{7}x}$
1	1	1	1	1	1	1
2	4 (2 2 )	16 (2 4 )	65,536 (2 16 )	2.00353 × 10 19,728 (2 65,536 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.29508)}$(10 6.03123×10 19,727 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(4.29508)}$
3	27 (3 3 )	7,625,597,484,987 (3 27 )	1.25801 × 10 3,638,334,640,024 (3 7,625,597,484,987 ) [ 9 ]	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1.09902)}$ (10 6.00225×10 3,638,334,640,023 )	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(1.09902)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(1.09902)}$
4	256 (4 4 )	1.34078 × 10 154 (4 256 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.18726)}$(10 8.07230×10 153 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(2.18726)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(2.18726)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(2.18726)}$
5	3,125 (5 5 )	1.91101 × 10 2,184 (5 3,125 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(3.33928)}$(10 1.33574×10 2,184 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(3.33928)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(3.33928)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(3.33928)}$
6	46,656 (6 6 )	2.65912 × 10 36,305 (6 46,656 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.55997)}$(10 2.0692×10 36,305 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(4.55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(4.55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(4.55997)}$
7	823,543 (7 7 )	3.75982 × 10 695,974 (7 823,543 )	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(5.84259)}$(10 3.17742×10 695,974 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(5.84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(5.84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(5.84259)}$
8	16,777,216 (8 8 )	6.01452 × 10 15,151,335	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(7.18045)}$(10 5.43165×10 15,151,335 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(7.18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(7.18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(7.18045)}$
9	387,420,489 (9 9 )	4.28125 × 10 369,693,099	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(8.56784)}$(10 4.08535×10 369,693,099 )	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(8.56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(8.56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(8.56784)}$
10	10,000,000,000 (10 10 )	10 10,000,000,000	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1)}$(10 10 10,000,000,000 )	${\displaystyle \exp _{10}^{5}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{6}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{7}(1)}$

หมายเหตุ:ถ้าxไม่แตกต่างจาก 10 มากนัก แล้วสำหรับทุกค่าตัวอย่างเช่นในตารางข้างต้น และความแตกต่างจะยิ่งน้อยลงไปอีกในแถวถัดไป ${\displaystyle k\geq 3,~^{m}x=\exp _{10}^{k}z,~z>1~\Rightarrow ~^{m+1}x=\exp _{10}^{k+1}z'{\text{ with }}z'\approx z}$${\displaystyle z-z'<1.5\cdot 10^{-15}{\text{ for }}x=3=k,~m=4}$

การคูณแบบเททราชันสามารถขยายได้สองวิธีที่แตกต่างกัน ในสมการนั้นทั้งฐานaและความสูงnสามารถขยายความได้โดยใช้คำจำกัดความและคุณสมบัติของการคูณแบบเททราชัน แม้ว่าฐานและความสูงจะสามารถขยายออกไปนอกเหนือจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบไปยังโดเมน ต่างๆ ได้ รวมถึงฟังก์ชันเชิงซ้อน เช่นและความสูงอนันต์nแต่คุณสมบัติที่จำกัดกว่าของการคูณแบบเททราชันจะลดความสามารถในการขยายการคูณแบบเททราชันลง ${\displaystyle ^{n}a}$${\displaystyle {^{n}0}}$${\displaystyle {}^{n}i}$

เลขชี้กำลังไม่ได้ถูกกำหนดอย่างสม่ำเสมอ ดังนั้น tetrations จึงไม่ได้ถูกกำหนดอย่างชัดเจนด้วยสูตรที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตามถูกกำหนดไว้อย่างดีและมีอยู่จริง: ^{[ 10 ]}${\displaystyle 0^{0}}$${\displaystyle {^{n}0}}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดได้อย่างสม่ำเสมอซึ่งคล้ายคลึงกับการกำหนด ${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$${\displaystyle 0^{0}=1}$

ภายใต้ส่วนขยายนี้กฎจากคำนิยามเดิมจึงยังคงใช้ได้อยู่ ${\displaystyle {}^{0}0=1}$${\displaystyle {^{0}a}=1}$

เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนสามารถยกกำลังได้ การยกกำลังซ้ำจึงสามารถนำไปใช้กับฐานในรูปแบบz = a + bi (โดยที่aและbเป็นจำนวนจริง) ตัวอย่างเช่น ในⁿ zโดยที่z = iการยกกำลังซ้ำทำได้โดยใช้สาขาหลักของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้สูตรของออยเลอร์เราจะได้ความสัมพันธ์ดังนี้:

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

สิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงนิยามแบบเวียนเกิดสำหรับ^{n +1} i = a′ + b′i โดยกำหนดให้ ⁿ i = a + biใดๆ:

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

สามารถคำนวณค่าโดยประมาณได้ดังต่อไปนี้:

ค่าของการเทเรชันของฐานเชิงซ้อน

${\textstyle {}^{n}i}$	ค่าโดยประมาณ
${\textstyle {}^{1}i=i}$	ฉัน
${\textstyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}$	0.2079
${\textstyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}$	0.9472 + 0.3208 i
${\textstyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}$	0.0501 + 0.6021 i
${\textstyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}$	0.3872 + 0.0305 i
${\textstyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}$	0.7823 + 0.5446 i
${\textstyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}$	0.1426 + 0.4005 i
${\textstyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}$	0.5198 + 0.1184 i
${\textstyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}$	0.5686 + 0.6051 i

การแก้ความสัมพันธ์ผกผันดังเช่นในส่วนก่อนหน้า จะได้ผลลัพธ์ที่คาดหวังคือ⁰ i = 1และ⁻¹ i = 0โดยค่าn ที่เป็นลบ จะให้ผลลัพธ์เป็นอนันต์บนแกนจินตนาการ เมื่อพล็อตลงในระนาบเชิงซ้อนลำดับทั้งหมดจะวนเป็นเกลียวไปสู่ลิมิต0.4383 + 0.3606 iซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นค่าที่nเป็นอนันต์

ลำดับการทำซ้ำแบบเททราชันดังกล่าวได้รับการศึกษามาตั้งแต่สมัยของออยเลอร์ แต่ยังเข้าใจได้ไม่ดีนักเนื่องจากพฤติกรรมที่อลหม่านของมัน งานวิจัยที่ตีพิมพ์ส่วนใหญ่ในอดีตมุ่งเน้นไปที่การลู่เข้าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ทำซ้ำอย่างไม่สิ้นสุด งานวิจัยในปัจจุบันได้รับประโยชน์อย่างมากจากการเกิดขึ้นของคอมพิวเตอร์ทรงพลังที่มี ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์ เชิงแฟรกทัลและเชิงสัญลักษณ์ ความรู้ส่วนใหญ่เกี่ยวกับเททราชันมาจากการความรู้ทั่วไปเกี่ยวกับพลศาสตร์เชิงซ้อนและการวิจัยเฉพาะด้านของแผนที่เลขชี้กำลัง

การคูณแบบเททราชันสามารถขยายไปสู่ ความสูง อนันต์ได้ กล่าวคือ สำหรับ ค่า a บาง ค่าในจะมีผลลัพธ์ที่กำหนดไว้อย่างดีสำหรับn ที่เป็นอนันต์ เนื่องจากสำหรับฐานภายในช่วงที่กำหนด การคูณแบบเททราชันจะลู่เข้าสู่ค่าจำกัดเมื่อความสูงมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์ตัวอย่างเช่นจะลู่เข้าสู่ 2 และจึงสามารถกล่าวได้ว่า เท่ากับ 2 แนวโน้มที่เข้าใกล้ 2 สามารถเห็นได้จากการประเมินหอคอยขนาดเล็กที่มีความสูงจำกัด: ${\displaystyle {}^{n}a}$${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

โดยทั่วไปแล้ว เลขชี้กำลังที่ทำซ้ำอย่างไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งกำหนดเป็นลิมิตของเมื่อnเข้าสู่อนันต์ จะลู่เข้าสำหรับe ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e}โดยประมาณช่วงตั้งแต่ 0.066 ^{[ 11 ]}ถึง 1.44 ^{[ 12 ]}ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่แสดงโดยLeonhard Euler [ ^{13 ] ลิ}มิต หากมีอยู่ จะเป็นคำตอบจริงบวกของสมการy = x ^yดังนั้นx = y ^{1/ y}ลิมิตที่กำหนดเลขชี้กำลังอนันต์ของxไม่มีอยู่เมื่อx > e ^{1/ e}เนื่องจากค่าสูงสุดของy ^{1/ y}คือe ^{1/ e}ลิมิตยังไม่สามารถมีอยู่ได้เมื่อ0 < x < e ^{− e}${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{x^{x}}}}}$${\displaystyle {}^{n}x}$

สามารถขยายแนวคิดนี้ไปยังจำนวนเชิงซ้อนz ได้ โดยมีนิยามดังนี้:

${\displaystyle {}^{\infty }z=\cdot ^{\cdot ^{z^{z^{z}}}}=e^{-\mathrm {W} (-\ln {z})}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

โดยที่Wแทนฟังก์ชัน W ของ Lambertสูตรนี้ได้มาจากสมมติฐานที่ว่า ลู่เข้า ดังนั้น, , , และ(ดูรากที่สองด้านล่าง) ${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{z^{z^{z}}}}=a}$${\displaystyle z^{a}=a}$${\displaystyle z=a^{1/a}}$${\displaystyle 1/z=(1/a)^{1/a}={}^{2}(1/a)}$${\displaystyle 1/a=\mathrm {ssrt} (1/z)=e^{W(\ln(1/z))}}$

เนื่องจากลิมิตy = ^∞ x (ถ้ามีอยู่บนเส้นจำนวนจริงบวก กล่าวคือสำหรับe ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} ) จะต้องสอดคล้องกับx ^y = yเราจึงเห็นว่าx ↦ y = ^∞ xเป็น (กิ่งล่างของ) ฟังก์ชันผกผันของy ↦ x = y 1 ^{/ y}

เราสามารถกลับกฎการเรียกซ้ำสำหรับเททราชันได้

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

วิธีการเขียน:

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right).}$

เมื่อแทนค่า −1 ลงในkจะได้

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$[ ^{14 ]​}

ค่าลบที่น้อยกว่านั้นไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนด้วยวิธีนี้ การแทนค่า −2 ลงในkในสมการเดียวกันจะได้

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty }$

ซึ่งไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม บางครั้งอาจถือว่าเป็นเซตได้^{[ 14 ]}

สำหรับนิยามใดๆ ของ ก็สอดคล้องกับกฎ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอาจมีค่าใดๆก็ได้เพราะ ${\displaystyle a=1}$${\displaystyle {^{-1}a}}$${\displaystyle {^{-1}1}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{z}}$สำหรับสิ่งใดก็ตาม${\displaystyle z={^{-1}1}}$

การประมาณเชิงเส้น (คำตอบสำหรับเงื่อนไขความต่อเนื่อง การประมาณสำหรับเงื่อนไขความสามารถในการหาอนุพันธ์) กำหนดโดย:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

เพราะฉะนั้น:

ค่าประมาณเชิงเส้น

การประมาณค่า	โดเมน
${\textstyle {}^{x}a\approx x+1}$	สำหรับ−1 < x < 0
${\textstyle {}^{x}a\approx a^{x}}$	สำหรับ0 < x < 1
${\textstyle {}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}}$	สำหรับ1 < x < 2

และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์นี้สามารถหาได้เฉพาะเป็นช่วงๆ เท่านั้น ที่ค่าx เป็นจำนวนเต็ม อนุพันธ์จะถูกคูณด้วย อนุพันธ์นี้สามารถหาได้อย่างต่อเนื่องก็ต่อเมื่อตัวอย่างเช่น การใช้วิธีการเหล่านี้และ${\displaystyle \ln {a}}$${\displaystyle x>-2}$${\displaystyle a=e}$${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

ทฤษฎีบทหลักในบทความของ Hooshmand ^{[ 6 ]}ระบุว่า: ให้. ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและตรงตามเงื่อนไข: ${\displaystyle 0<a\neq 1}$${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}}$สำหรับทุกคนและ${\displaystyle x>-1}$${\displaystyle f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$สามารถหาอนุพันธ์ได้บนช่วง(−1, 0 )
• ${\displaystyle f^{\prime }}$เป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลงหรือเพิ่มขึ้นบนช่วง(−1, 0)และ
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right),}$

จากนั้นจึงถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงผ่านสมการ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x>-2,}$

โดยที่แทนส่วนที่เป็นเศษส่วนของxและคือฟังก์ชันที่ทำซ้ำ ของฟังก์ชัน${\displaystyle (x)=x-[x]}$${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \exp _{a}}$

หลักฐานคือเงื่อนไขข้อที่สองถึงข้อที่สี่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าfเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนช่วง[−1, 0 ]

การประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันเททราชันธรรมชาติสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง แต่ไม่มีอนุพันธ์อันดับสองที่ค่าจำนวนเต็มของตัวแปร ฮูชมานด์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทความไม่ซ้ำกันอีกทฤษฎีบทหนึ่งซึ่งระบุว่า: ${\displaystyle {}^{x}e}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}}$สำหรับทุกคนและ${\displaystyle x>-1}$${\displaystyle f(0)=1}$
• ${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันนูนบนช่วง(−1, 0)และ
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right)}$,

จากนั้น(นี่คือชื่อที่ฮูชมานด์ใช้เรียกการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันเททราชันธรรมชาติ) ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$${\displaystyle f={\text{uxp}}}$

การพิสูจน์นั้นคล้ายคลึงกับที่ผ่านมา สมการเวียนเกิดรับรองว่าและเงื่อนไขความนูนบ่งชี้ว่าเป็นเชิงเส้นบน(−1, 0 ) ${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$${\displaystyle f}$

ดังนั้น การประมาณเชิงเส้นของเททราชันธรรมชาติจึงเป็นคำตอบเดียวของสมการสำหรับและซึ่งเป็นฟังก์ชันนูนบน ช่วง (−1, +∞)คำตอบอื่นๆ ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงพอทั้งหมดจะต้องมีจุดเปลี่ยนเว้าบนช่วง(−1, 0 ) ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}}$${\displaystyle x>-1}$${\displaystyle f(0)=1}$

นอกเหนือจากการประมาณเชิงเส้นแล้วการประมาณเชิงกำลังสอง (สำหรับข้อกำหนดเรื่องความสามารถในการหาอนุพันธ์) มีดังนี้:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1+\ln(a)}}x-{\frac {1-\ln(a)}{1+\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับทุกค่าแต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้สองครั้ง ตัวอย่างเช่นถ้าสิ่งนี้เหมือนกับการประมาณเชิงเส้น^{[ 1 ]}${\displaystyle x>0}$${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$${\displaystyle a=e}$

เนื่องจากวิธีการคำนวณ ฟังก์ชันนี้จึงไม่ "หักล้างกัน" ตรงกันข้ามกับเลขยกกำลัง ซึ่ง. กล่าวคือ ${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$.

เช่นเดียวกับการประมาณค่ากำลังสอง การประมาณค่ากำลังสามและวิธีการทั่วไปสำหรับการประมาณค่าระดับnก็มีอยู่เช่นกัน แม้ว่าจะยุ่งยากกว่ามากก็ตาม^{[ 1 ] [ 15 ]}

ในปี 2017 มีการพิสูจน์^{[ 16 ]}ว่ามีฟังก์ชันเฉพาะตัวที่สอดคล้อง กับ (เทียบเท่าเมื่อ) โดยมีเงื่อนไขเสริม และ (จุดตรึงดึงดูด/ผลักดันของลอการิทึมโดยประมาณ) เป็นนอกจากนี้ ยังเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนยกเว้นส่วนตัดตามแกนจริงที่การสร้างนี้ได้รับการคาดการณ์ครั้งแรกโดย Kouznetsov (2009) ^{[ 17 ]}และได้รับการดำเนินการอย่างเข้มงวดโดย Kneser ในปี 1950 ^{[ 18 ]}การพิสูจน์ของ Paulsen & Cowgill ขยายการสร้างดั้งเดิมของ Kneser ไปยังฐานใดๆและงานต่อมาแสดงให้เห็นวิธีการขยายผลลัพธ์นี้ไปยังฐานเชิงซ้อนทั้งหมด รวมถึงฐานภายในบริเวณที่ลู่เข้า^{[ 19 ]}${\displaystyle F}$${\displaystyle F(z+1)=\exp {\bigl (}F(z){\bigr )}}$${\displaystyle F(z+1)=b^{F(z)}}$${\displaystyle b=e}$${\displaystyle F(0)=1}$${\displaystyle F(z)\to \xi _{\pm }}$${\displaystyle 0.318\pm 1.337\,\mathrm {i} }$${\displaystyle z\to \pm i\infty }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z\leq -2}$${\displaystyle b>e^{1/e}\approx 1.445}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}b}$

สามารถนิยามเททราชันสำหรับจำนวนเชิงอันดับได้โดยใช้การเหนี่ยวนำอนันต์สำหรับทุกαและทุกβ > 0 : $${\displaystyle {}^{0}\alpha =1}$$$${\displaystyle {}^{\beta }\alpha =\sup(\{\alpha ^{{}^{\gamma }\alpha }:\gamma <\beta \}).}$$

การคูณแบบเททราชัน (จำกัดเฉพาะ) ไม่ใช่ฟังก์ชันเวียนเกิดพื้นฐานเราสามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปมานว่า สำหรับทุกฟังก์ชันเวียนเกิดพื้นฐานfจะมีค่าคงที่c อยู่ค่าหนึ่ง ซึ่ง ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$

${\displaystyle f(x)\leq \underbrace {\cdot ^{\cdot ^{2^{2^{x}}}}} _{c}.}$

เรากำหนดให้ด้านขวามือเป็น สมมติในทางตรงกันข้ามว่า tetration เป็นการเรียกซ้ำแบบพื้นฐานก็เป็นการเรียกซ้ำแบบพื้นฐานเช่นกัน จากอสมการข้างต้น จะมีค่าคงที่cที่ทำให้โดยให้เราจะได้ว่า ซึ่งขัดแย้งกัน ${\displaystyle g(c,x)}$${\displaystyle g(x,x)+1}$${\displaystyle g(x,x)+1\leq g(c,x)}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle g(c,c)+1\leq g(c,c)}$

การยกกำลังมีตัวดำเนินการผกผันสองอย่าง คือรากและลอการิทึมในทำนองเดียวกันตัวผกผันของการยกกำลังสี่มักเรียกว่ารากยิ่งยวดและลอการิทึมยิ่งยวด (อันที่จริง การดำเนินการไฮเปอร์ทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 มีตัวผกผันที่คล้ายกัน ) เช่น ในฟังก์ชันตัวผกผันสองตัวคือรากยิ่งยวดกำลังสามของyและลอการิทึมยิ่งยวดฐาน  yของx${\displaystyle {^{3}}y=x}$

รากซุปเปอร์คือการดำเนินการผกผันของการหารซ้ำโดยสัมพันธ์กับฐาน: ถ้าแล้วyเป็นรากซุปเปอร์ลำดับที่n ของ x ( หรือ) ${\displaystyle ^{n}y=x}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65{,}536}$

ดังนั้น 2 จึงเป็นรากที่ 4 ของ65,536 ${\displaystyle \left({\sqrt[{4}]{65{,}536}}_{s}=2\right)}$

รากซุปเปอร์อันดับ 2รากซุปเปอร์กำลังสองหรือรากซุปเปอร์กำลังสองมีสัญลักษณ์ที่เทียบเท่ากันสองแบบคือ และมันคือส่วนกลับของและสามารถแสดงด้วยฟังก์ชัน Lambert W ได้ : ^{[ 20 ]}${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=\exp(W(\ln x))={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$หรือ

${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W(\ln x)}}$

ฟังก์ชันนี้ยังแสดงให้เห็นถึงลักษณะการสะท้อนของฟังก์ชันรากและฟังก์ชันลอการิทึม เนื่องจากสมการด้านล่างจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ: ${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

เช่นเดียวกับรากที่สองรากที่สองยิ่งยวดของxอาจไม่มีคำตอบเดียว แต่ต่างจากรากที่สองตรงที่ การหาจำนวนรากที่สองยิ่งยวดของxอาจทำได้ยาก โดยทั่วไป ถ้าแล้วxจะมีรากที่สองยิ่งยวดบวกสองตัวระหว่าง 0 กับ 1 ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตร: ; และถ้าแล้วxจะมีรากที่สองยิ่งยวดบวกหนึ่งตัวที่มากกว่า 1 ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตร: ถ้าxเป็นบวกและน้อยกว่าจะไม่มี รากที่สองยิ่งยวดที่ เป็นจำนวนจริงแต่สูตรที่ให้ไว้ข้างต้นจะให้ค่าจำนวนอนันต์นับได้ของรากที่สองยิ่งยวดเชิงซ้อนสำหรับx ที่มีค่า จำกัด ใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 1 ^{[ 20 ]}ฟังก์ชันนี้ถูกใช้เพื่อกำหนดขนาดของกลุ่มข้อมูล^{[ 21 ]}${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=\left\{e^{W_{-1}(\ln x)};e^{W_{0}(\ln x)}\right\}}$${\displaystyle x>1}$${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W_{0}(\ln x)}}$${\displaystyle e^{-1/e}}$

ที่: ${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+{\mathcal {O}}{\left((x-1)^{8}\right)}}$$

หนึ่งในสูตรที่ง่ายและเร็วกว่าสำหรับการหารากที่สามคือสูตรเวียนเกิด ถ้าหากว่าสามารถใช้สูตรต่อไปนี้ได้: ${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$

• ${\displaystyle x_{0}=1}$
• ${\displaystyle x_{n+1}=\exp(W(W(x_{n}\ln y)))}$

สูตรเวียนเกิดนี้ใช้การแสดงค่ารากที่สองอย่างชัดเจนผ่านฟังก์ชัน Lambert W ที่กล่าวมาข้างต้น โดยเราสามารถแสดงค่าในรูปแบบและใช้รากที่สองสองครั้ง: ${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$${\displaystyle y^{x}=(x^{x})^{(x^{x})}}$${\displaystyle x=\mathrm {ssrt} (\mathrm {ssrt} (y^{x}))}$

สำหรับจำนวนเต็มn > 2 แต่ละตัว ฟังก์ชันⁿ xจะถูกกำหนดและเพิ่มขึ้นสำหรับx ≥ 1และⁿ 1 = 1ดังนั้นรากซุปเปอร์ลำดับที่n ของ x , , จะมีอยู่สำหรับx ≥ 1 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

อย่างไรก็ตาม หากใช้การประมาณเชิงเส้นข้างต้นแล้วถ้า−1 < y ≤ 0ดังนั้นจึงไม่สามารถมีอยู่ได้ ${\displaystyle ^{y}x=y+1}$${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$

ในทำนองเดียวกับรากพิเศษกำลังสอง คำศัพท์สำหรับรากพิเศษอื่นๆ สามารถอิงตามรากปกติได้ เช่น "รากพิเศษกำลังสาม" สามารถแสดงได้เป็น; "รากพิเศษลำดับที่ 4" สามารถแสดงได้เป็น; และ " รากพิเศษลำดับที่n " คือ โปรดทราบว่า อาจไม่สามารถกำหนดได้อย่างเฉพาะเจาะจง เนื่องจากอาจมีรากที่ nมากกว่าหนึ่ง^รากตัวอย่างเช่นxมีรากพิเศษ (จำนวนจริง) เพียงรากเดียวหากnเป็นจำนวนคี่และมีได้มากถึงสองรากหากnเป็นจำนวน คู่${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

เช่นเดียวกับการขยายการคูณแบบเททราชันไปสู่ความสูงอนันต์ รากยิ่งยวดสามารถขยายไปถึงn = ∞ได้ โดยจะนิยามได้ดีก็ต่อเมื่อ1/ e ≤ x ≤ eโปรดสังเกตว่าและดังนั้นดังนั้น เมื่อมันนิยามได้ดีและแตกต่างจากการคูณแบบเททราชันปกติ มันเป็นฟังก์ชันพื้นฐานตัวอย่างเช่น ${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$${\displaystyle y=x^{1/x}}$${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$

จาก ทฤษฎีบท Gelfond–Schneiderพบว่ารากซุปเปอร์สำหรับจำนวนเต็มบวกnใดๆ จะเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนอดิศัยและจะเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนอตรรกยะ^{[ 22 ]}ยังคงเป็นคำถามที่เปิดอยู่ว่ารากซุปเปอร์อตรรกยะเป็นจำนวนอดิศัยในกรณีหลังหรือไม่ ${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$

เมื่อเลือก นิยามของการเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง (ในx ) ^{ของ x} a แล้ว จะมีการกำหนด ซูเปอร์ลอการิทึมที่สอดคล้องกันสำหรับจำนวนจริงx ทั้งหมด และa > 1 ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}x}$${\displaystyle \log _{a}^{4}x}$

ฟังก์ชันslog _a xเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&\geq -2\end{aligned}}}$

นอกเหนือจากปัญหาเกี่ยวกับการขยายขอบเขตของเททราชันแล้ว ยังมีคำถามที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขอีกหลายข้อเกี่ยวกับเททราชัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างระบบจำนวน เช่นจำนวนเต็มและจำนวนอตรรกยะ :

• ไม่ทราบว่ามีจำนวนเต็มใดที่ⁿ πเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ เนื่องจากเราไม่สามารถคำนวณจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมของπ ได้อย่างแม่นยำเพียงพอ ^{[ 23 ]}เช่นเดียวกันสำหรับn ^e สำหรับ πเนื่องจากเราไม่ทราบวิธีการอื่นใด^{นอกจาก}การ^{คำนวณ}โดยตรงใน^ความเป็น^จริงเนื่องจากπ = π ดังนั้นπ = ...${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle \log _{10}(e)\cdot {}^{3}e=1656520.36764}$${\displaystyle {}^{4}e>2\cdot 10^{1656520}}$${\displaystyle {}^{3}\pi <1.35\cdot 10^{18}\ll 10^{1656520}}$${\displaystyle \pi <e^{2}}$${\displaystyle {}^{4}\pi <{}^{n}e}$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle e,{}^{2}e,{}^{3}e,\dots }$
• ไม่ทราบว่าⁿ qเป็นจำนวนตรรกยะสำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ และจำนวนตรรกยะบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็มq หรือ ไม่^{[ 22 ]}ตัวอย่างเช่น ไม่ทราบว่ารากบวกของสมการ⁴ x = 2เป็นจำนวนตรรกยะ หรือไม่
• ยังไม่ทราบแน่ชัดว่า^e πหรือ^π e (ซึ่งนิยามโดยใช้ส่วนขยายของ Kneser) เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่

สำหรับกราฟ Hแต่ละกราฟที่มีhจุดยอด และε > 0 แต่ละ ค่า ให้กำหนด

${\displaystyle D=2\uparrow \uparrow 5h^{4}\log(1/\varepsilon ).}$

จากนั้นกราฟ Gแต่ละกราฟบน จุดยอด n จุดที่มี สำเนาHไม่เกินn ^h /Dสามารถทำให้ ปราศจาก H ได้โดยการลบ ขอบไม่เกินεn ^{2 ออก [ 25 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการหมุนเวียนของอนุภาค

ลองค้นหาคำว่า tetrationใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• ฟังก์ชันแอคเคอร์แมนน์
• สัญกรณ์บิ๊กโอ
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองเท่า
• การผ่าตัดเกิน
• ลอการิทึมแบบวนซ้ำ
• เลขคณิตดัชนีระดับสมมาตร

• แดเนียล ไกส์เลอร์, เททราชั่น
• วิลเลียม พอลเซน, เครื่องคำนวณเททราชัน (ค้นหาค่าเททราชันของความสูงเชิงซ้อนใดๆ ของฐานเก้าฐานที่เลือกไว้ล่วงหน้า)
• Ioannis Galidakis, การขยายไฮเปอร์4 ไปสู่จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม (ไม่ระบุวันที่, ปี 2006 หรือก่อนหน้านั้น) (บทวิจารณ์ที่ง่ายกว่าและอ่านง่ายกว่าของเอกสารอ้างอิงถัดไป)
• Ioannis Galidakis, การขยาย hyper4 และสัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuth ไปสู่จำนวนจริง (ไม่ระบุวันที่, ปี 2006 หรือก่อนหน้านั้น)
• โรเบิร์ต มูนาโฟการขยายฟังก์ชันไฮเปอร์4 ไปสู่จำนวนจริง (การสนทนาอย่างไม่เป็นทางการเกี่ยวกับการขยายเททราชันไปสู่จำนวนจริง)
• โลด แวนเดอเวนน์, การหารรากที่สองของสองด้วย 4 (2004). (ความพยายามที่จะขยายการหารด้วย 4 ไปยังจำนวนจริง)
• Ioannis Galidakis, คณิตศาสตร์ ( รายการอ้างอิงที่ครบถ้วนเกี่ยวกับการวิจัยเททราชัน มีข้อมูลมากมายเกี่ยวกับฟังก์ชัน Lambert W พื้นผิว Riemann และการต่อยอดเชิงวิเคราะห์)
• โจเซฟ แมคโดเนลล์, ประเด็นสำคัญบางประการของฟังก์ชันไฮเปอร์พาวเวอร์เก็บถาวรเมื่อ 17 มกราคม 2010 ที่ Wayback Machine
• เดฟ แอล. เรนโฟรเว็บเพจสำหรับเลขชี้กำลังที่ทำซ้ำอย่างไม่สิ้นสุด
• Knobel, R. (1981). "Exponentials Reiterated". American Mathematical Monthly . 88 (4): 235– 252. doi : 10.1080/00029890.1981.11995239 .
• ฮันส์ เมาเรอร์, "Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)" Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft ในฮัมบูร์ก4 , (1901), p. 33–50. (อ้างอิงถึงการใช้งานจากกระดาษของ Knobel)${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$${\displaystyle \ {^{n}a}}$
• ปฏิบัติการที่สี่
• Luca Moroni, คุณสมบัติแปลกประหลาดของหอคอยพลังอนันต์ ( https://arxiv.org/abs/1908.05559 )

• กาลิดาคิส, ไอโออันนิส; ไวส์สไตน์, เอริค โวล์ฟกัง . "หอคอยพลังงาน" . MathWorld . สืบค้นเมื่อ 5 กรกฎาคม 2019 .