ส่วนโค้งแบบหูหิ้วตะกร้า
ส่วนโค้งแบบด้ามตะกร้า (หรือส่วนโค้งเว้าหรือส่วนโค้งสับ[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] ) มีลักษณะเฉพาะคือ โปรไฟล์ อินทราโดสที่เกิดจากลำดับของส่วนโค้งวงกลม โดยแต่ละส่วนโค้งสัมผัส กับส่วนโค้งข้างเคียง ส่งผลให้มีการเปลี่ยนผ่านที่ราบเรียบระหว่างส่วนโค้ง รูปร่างของส่วนโค้ง แบบด้ามตะกร้าคล้ายคลึงแต่แตกต่างจากรูปครึ่งวงรี [ 4 ]โดยรูปครึ่งวงรีมีลักษณะโค้ง ต่อเนื่อง ที่แปรผันจากปลายของแกนยาวไปยังจุดยอดของแกนสั้น
รูปทรงที่ง่ายที่สุดคือซุ้มโค้งสามจุดศูนย์กลางซึ่งประกอบด้วยส่วนโค้งสามส่วนที่มีจุดศูนย์กลางที่แตกต่างกัน ในขณะที่ซุ้มโค้งห้าจุดศูนย์กลางก็ใช้กันทั่วไปเช่นกัน[ 5 ]ซุ้มโค้งประเภทนี้แพร่หลายในการใช้งานทางสถาปัตยกรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการก่อสร้างสะพาน ซุ้มโค้งตามเส้นโค้งที่มีจุดศูนย์กลางมากกว่าสามจุดก็ใช้เช่นกัน
ประวัติศาสตร์
ตั้งแต่สมัยโรมัน สะพานโค้งถูกสร้างขึ้นด้วยซุ้มโค้งครึ่งวงกลมซึ่งเป็นครึ่งวงกลมที่สมบูรณ์ ตั้งแต่ช่วงต้นยุคกลางเป็นต้นมาซุ้มโค้งส่วนโค้งซึ่งเป็นครึ่งวงกลมที่ไม่สมบูรณ์ ถูกนำมาใช้สร้างสะพานโค้งที่มีความสูงน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของความสูงของช่องเปิด[ 6 ]
ซุ้มโค้งแหลมซึ่งเน้นความสูงโดยยกสูงขึ้นเหนือครึ่งหนึ่งของช่องเปิดนั้น ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในการก่อสร้างสะพานจนกระทั่งถึงยุคกลาง[ 6 ]
ซุ้มโค้งรูปด้ามตะกร้าปรากฏขึ้นในช่วงต้นยุคเรเนสซองส์โดยมีข้อดีด้านสุนทรียศาสตร์เหนือกว่าซุ้มโค้งแบบแบ่งส่วน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากซุ้มโค้งปลายมีลักษณะสัมผัส ในแนวตั้ง กับส่วนรองรับ[ 6 ]
การประยุกต์ใช้ซุ้มโค้งแบบด้ามตะกร้าที่เก่าแก่ที่สุดในฝรั่งเศสสามารถพบได้ที่สะพานปงต์เนิฟในเมืองตูลูส ซึ่งสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 16 และสะพานปงต์รอยัลในศตวรรษถัดมา[ 7 ]
ในศตวรรษที่ 18 การใช้ซุ้มโค้งแบบด้ามตะกร้ากลายเป็นที่แพร่หลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่มีศูนย์กลางสามจุด ดังเช่นสะพานที่Vizille , Lavaur, Gignac [ 8 ] Blois ( 1716–1724), Orléans (1750–1760), Moulins (1756–1764) และSaumur (1756–1770) [ 7 ]
สถาปนิกชื่อดังJean-Rodolphe Perronetออกแบบสะพานที่มีจุดศูนย์กลาง 11 จุดในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 18 รวมถึงสะพานที่Mantes (1757–1765), Nogent (1766–1769) และNeuilly (1766–1774) สะพาน Tours (1764–1777) ก็มีจุดศูนย์กลาง 11 จุดเช่นกัน ส่วนโค้งอื่นๆ โดยทั่วไปจะลดลงเหลือหนึ่งในสามหรือมากกว่าเล็กน้อย[ 7 ]ยกเว้นNeuillyซึ่งลดลงเหลือหนึ่งในสี่
ในศตวรรษที่ 19 ซุ้มโค้งรูปหูหิ้วตะกร้าถูกนำมาใช้ในสะพานรถไฟสายหลักแห่งแรกๆ ของฝรั่งเศส รวมถึงสะพาน Cinq-Mars (ค.ศ. 1846–1847), สะพาน Port-de-Piles (ค.ศ. 1846–1848), สะพาน Morandière: Montlouis (ค.ศ. 1843–1845) และ Plessis-les-Tours (ค.ศ. 1855–1857)
ในอังกฤษ ในขณะที่ สะพาน กลอสเตอร์ (1826–1827) [ 9 ]และสะพานลอนดอน (1824–1831) [ 10 ]มีรูปทรงวงรีสะพานวอเตอร์ลูในลอนดอน (1816–1818) ยังคงรักษารูปทรงโค้งแบบด้ามตะกร้าไว้[ 7 ]
ซุ้มโค้งรูปด้ามตะกร้าหลายแห่งยังคงถูกสร้างขึ้นอย่างต่อเนื่องจนถึงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 ตัวอย่างที่โดดเด่น ได้แก่ สะพาน Edmonson Avenue ในบัลติมอร์ (1908–1909) ที่มีศูนย์กลางสามแห่ง[ 11 ]สะพาน Annibal (1868–1870) [ 12 ]และสะพาน Devil's Bridge (1870–1872) [ 13 ]ที่มีศูนย์กลางห้าแห่ง สะพาน Emperor Francis ในปราก (1898–1901) ที่มีศูนย์กลางเจ็ดแห่ง[ 14 ]และสะพาน Signac (1871–1872) ที่มีศูนย์กลางสิบเก้าแห่ง[ 15 ]
ในสหรัฐอเมริกา สะพานโทมัส ไวอะดักต์ซึ่งมีลักษณะเป็นซุ้มโค้งคล้ายด้ามตะกร้า ถูกสร้างขึ้นระหว่างปี พ.ศ. 2476 ถึง พ.ศ. 2478 [ 16 ]ปัจจุบันสะพานแห่งนี้เป็นกรรมสิทธิ์และดำเนินการโดยCSX Transportationและยังคงเป็นหนึ่งในสะพานรถไฟที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังคงใช้งานอยู่
การเปรียบเทียบระหว่างส่วนโค้งของด้ามตะกร้าและรูปทรงวงรี
สุนทรียศาสตร์
สถาปนิกโบราณให้ความสำคัญอย่างมากกับวิธีการที่ใช้ในการกำหนดโครงร่างของซุ้มโค้งแบบด้ามตะกร้า ความยืดหยุ่นที่มีอยู่ในกระบวนการเหล่านี้ทำให้สามารถกำหนดค่าได้หลากหลาย ทำให้สถาปนิกหลายคนนิยมใช้เส้นโค้งประเภทนี้มากกว่าวงรี ซึ่งรูปทรงถูกกำหนดไว้อย่างเข้มงวดโดยหลักการทางเรขาคณิต[ 17 ]
ในกรณีของวงรี การเปิดของส่วนโค้งและความสูงที่จุดศูนย์กลาง ซึ่งสอดคล้องกับแกนหลักและแกนรอง ส่งผลให้จุดคงที่ตาม เส้นโค้ง อินทราโดสทำให้ไม่มีพื้นที่สำหรับการปรับเปลี่ยนทางสถาปัตยกรรม ในทางกลับกัน เส้นโค้งที่มีจุดศูนย์กลางหลายจุดจะให้ความอิสระในการออกแบบมากขึ้น ทำให้สถาปนิกสามารถปรับฐานและจุดยอดของเส้นโค้งได้ตามความต้องการ ขึ้นอยู่กับการจัดเรียงของจุดศูนย์กลาง ความสามารถในการปรับตัวนี้ทำให้ซุ้มโค้งแบบด้ามตะกร้าเป็นตัวเลือกที่น่าสนใจสำหรับผู้ที่ต้องการความยืดหยุ่นด้านสุนทรียศาสตร์[ 17 ]
ข้อดีและข้อเสีย
ข้อดีของแนวทางการจัดวางแบบนี้มีความสำคัญอย่างมาก: การสร้างร่องขนาดเต็มนั้นถือว่าทำได้ง่ายและแม่นยำกว่า ทำให้สามารถจัดวางแนวปกติและข้อต่อส่วนต่างๆ ได้ทันที ณ สถานที่จริง[ 18 ]
จำนวนรูปทรงของvoussoirถูกจำกัดด้วยจำนวนรัศมีที่แตกต่างกันที่ใช้ ในขณะที่สำหรับซุ้มโค้งรูปวงรี จำนวนนี้โดยทั่วไปจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวน voussoir บวกหนึ่ง[ 18 ]
อย่างไรก็ตาม ความไม่ต่อเนื่องของโครงสร้างทำให้เกิดการปรากฏของหินโค้งที่ไม่สวยงาม ซึ่งไม่สามารถถอดออกได้เสมอไปในระหว่างการบูรณะ[ 18 ]
การลากเส้นโค้งที่มีจุดศูนย์กลางสามจุด
รูปไข่โบราณ
แม้ว่าซุ้มโค้งรูปด้ามตะกร้าจะไม่ถูกนำมาใช้สำหรับสะพานโค้งในสมัยโบราณ แต่ก็มีการนำไปใช้ในการก่อสร้างซุ้มโค้งประเภทอื่นเฮรอนแห่งอเล็กซานเดรียผู้ประพันธ์ตำราคณิตศาสตร์เมื่อกว่าศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช ได้อธิบายวิธีการที่ตรงไปตรงมาสำหรับการติดตามซุ้มโค้งนี้[ 19 ]
ในวิธีของ Heron ถ้า AB แทนความกว้างของส่วนโค้งที่ต้องการ และความสูง (หรือระยะยก) ยังไม่ถูกกำหนด จะมีการวาดครึ่งวงกลมบน AB ลากเส้นแนวตั้ง OC ผ่านจุด C บนส่วนโค้งนี้ และ สร้าง เส้นสัมผัส mn ที่จุด C ความยาว Cm และ Cn ถือว่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของรัศมีของส่วนโค้ง โดยการเชื่อมจุด mO และ nO จะได้จุด D และ E จากนั้นจึงลากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว DOE โดยมีฐานเท่ากับความสูงของส่วนโค้ง ต่อไป แบ่ง ส่วนของเส้นตรง DA ออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน และลากเส้นขนานกับ DO ผ่านจุดแบ่งเหล่านี้ (a, b, c) จุดตัดของเส้นขนานเหล่านี้กับแกนแนวนอน AB และแกนแนวตั้งที่ขยายออก CO จะได้จุดศูนย์กลางที่จำเป็นสำหรับการลากเส้นโค้งต่างๆ ที่มีจุดศูนย์กลางสามจุดตามแนว AB ซึ่งมักเรียกว่าวงรีโบราณ[ 19 ]
เมื่อส่วนโค้งรูปด้ามตะกร้าแพร่หลายมากขึ้นในการก่อสร้างสะพาน ขั้นตอนการติดตามส่วนโค้งดังกล่าวจำนวนมากจึงเกิดขึ้น ส่งผลให้จำนวนศูนย์กลางที่ใช้เพิ่มมากขึ้น[ 20 ]วัตถุประสงค์คือการสร้างเส้นโค้งที่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์แบบด้วยรูปทรงที่สวยงาม เนื่องจากลักษณะของปัญหาที่ไม่แน่นอน จึงมักมีการกำหนดเงื่อนไขบางอย่างโดยพลการเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ
ตัวอย่างเช่น บางครั้งก็ยอมรับกันว่าส่วนโค้งของวงกลมที่ประกอบกันเป็นเส้นโค้งนั้นจะต้องมีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากัน ในขณะที่บางครั้งก็กำหนดให้ส่วนโค้งเหล่านั้นต้องมีความยาวเท่ากัน นอกจากนี้ ขนาดของมุมหรือความยาวของรัศมีที่ต่อเนื่องกันก็สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามสัดส่วนที่กำหนดไว้
ได้มีการกำหนดอัตราส่วนที่สม่ำเสมอระหว่างการลดระดับของส่วนโค้งและจำนวนจุดศูนย์กลางที่ใช้ในการลากเส้นโค้งด้านในของส่วนโค้ง การลดระดับนี้วัดได้จากอัตราส่วนของความสูง (b) ต่อความกว้างของส่วนโค้ง (2a) ซึ่งแสดงเป็น b/2a อัตราส่วนที่ยอมรับได้อาจรวมถึงหนึ่งในสาม หนึ่งในสี่ หรือหนึ่งในห้า อย่างไรก็ตาม หากอัตราส่วนต่ำกว่าหนึ่งในห้า โดยทั่วไปแล้วจะนิยมใช้ส่วนโค้งวงกลมมากกว่าส่วนโค้งรูปหูหิ้วตะกร้าหรือรูปวงรี สำหรับทางลาดชันที่สูงกว่า ควรใช้จุดศูนย์กลางอย่างน้อยห้าจุด โดยบางแบบอาจใช้มากถึงสิบเอ็ดจุด ดังที่เห็นในส่วนโค้งของสะพาน Neuilly หรือมากถึงสิบเก้าจุดสำหรับสะพาน Signac เนื่องจากจุดศูนย์กลางจุดหนึ่งจะต้องอยู่บนแกนตั้งเสมอ จุดศูนย์กลางที่เหลือจึงถูกจัดเรียงอย่างสมมาตร ส่งผลให้จำนวนจุดศูนย์กลางทั้งหมดเป็นเลขคี่
วิธีการของฮุยเกนส์
สำหรับการสร้างเส้นโค้งที่มีจุดศูนย์กลางสามจุด Huyghens ได้อธิบายวิธีการที่เกี่ยวข้องกับการลากเส้นโค้งที่มีรัศมีต่างกันซึ่งสอดคล้องกับมุมที่เท่ากัน โดยเฉพาะมุม 60 องศา[ 21 ]
เริ่มต้นด้วยการให้ AB แทนช่องเปิด และ OE แทนลูกศรของส่วนโค้ง จากจุดศูนย์กลาง O ลากส่วนโค้ง AMF โดยใช้รัศมี OA จากนั้นกำหนดให้ส่วนโค้ง AM เป็นหนึ่งในหกของเส้นรอบวง นั่นหมายความว่าคอร์ดของส่วนโค้ง AM เท่ากับรัศมี OA ลากคอร์ด AM และ MF ตามด้วยเส้นตรง Em ผ่านจุด E ซึ่งเป็นจุดปลายของแกนรอง ขนานกับ MF
จุดตัดของคอร์ด AM และ Em กำหนดจุด m ซึ่งเป็นขอบเขตของส่วนโค้งแรก โดยการลากเส้น mP ขนานกับ MO จะได้จุด n และ P ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางสองจุดที่จำเป็นสำหรับการสร้าง จุดศูนย์กลางที่สาม n จะอยู่ห่างจากแกน OE เป็นระยะ n'O ซึ่งเท่ากับ nO
การวิเคราะห์รูปแสดงให้เห็นว่าส่วนโค้งทั้งสาม—Am, mEm' และ m'B—ประกอบกันเป็นเส้นโค้งและสอดคล้องกับมุมเท่ากันที่จุดศูนย์กลาง Anm, mPm' และ m'n'B ซึ่งทั้งหมดมีขนาด 60 องศา[ 21 ]
วิธีการของบอสซุต
ชาร์ลส์ บอสซูต์เสนอวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับการวาดเส้นโค้งสามจุดศูนย์กลาง ซึ่งช่วยลดความซับซ้อนของกระบวนการ
ในวิธีนี้ AB แทนช่องเปิด และ OE แทนลูกศรของส่วนโค้ง โดยทำหน้าที่เป็นแกนยาวและแกนสั้นของเส้นโค้ง เริ่มต้นด้วยการลากส่วนของเส้นตรง AE จากจุด E ให้ลากส่วนของเส้นตรง EF' ซึ่งเท่ากับผลต่างระหว่าง OA และ OE จากนั้นลากเส้นตั้งฉากจากจุดกึ่งกลาง m ของ AF' จุด n และ P ซึ่งเส้นตั้งฉากนี้ตัดกับแกนหลักและส่วนขยายของแกนรอง จะทำหน้าที่เป็นจุดศูนย์กลางสองจุดที่จำเป็นสำหรับการสร้าง[ 22 ]
เมื่อใช้ค่าการเปิดและระยะยกที่เท่ากัน เส้นโค้งที่ได้จากวิธีนี้จะมีความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุดจากเส้นโค้งที่ได้จากเทคนิคก่อนหน้านี้
เส้นโค้งที่มีจุดศูนย์กลางมากกว่าสามจุด
สำหรับเส้นโค้งที่มีจุดศูนย์กลางมากกว่าสามจุด วิธีการที่ Bérard, Jean-Rodolphe Perronet , Émiland Gautheyและคนอื่นๆ ระบุไว้ ประกอบด้วยการดำเนินการโดยวิธีลองผิดลองถูก เช่นเดียวกับสะพานNeuilly
เริ่มจากการวาดเส้นโค้งโดยประมาณเส้นแรกตามข้อมูลที่กำหนดขึ้นเอง จากนั้นจึงปรับแก้ส่วนประกอบของเส้นโค้งเหล่านั้นโดยใช้สูตรที่แน่นอนพอสมควร เพื่อให้เส้นโค้งเหล่านั้นผ่านจุดปลายของแกนหลักและแกนรองอย่างแม่นยำ
วิธีมิคาล
ในบทความที่ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1831 นักคณิตศาสตร์มิคาลได้กล่าวถึงปัญหาการสร้างเส้นโค้งด้วยวิธีการทางวิทยาศาสตร์ เขาได้พัฒนาตารางที่มีข้อมูลที่จำเป็นสำหรับการวาดเส้นโค้งที่มีจุดศูนย์กลาง 5, 7 และ 9 จุด ทำให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำโดยไม่ต้องลองผิดลองถูก
วิธีการคำนวณของ Michal สามารถใช้ได้กับเส้นโค้งที่มีจุดศูนย์กลางจำนวนเท่าใดก็ได้ เขาตั้งข้อสังเกตว่าเงื่อนไขที่จำเป็นในการแก้ปัญหาอาจค่อนข้างเป็นไปตามอำเภอใจ เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เขาเสนอให้สร้างเส้นโค้งโดยใช้ส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับมุมเท่ากันหรือส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากัน อย่างไรก็ตาม เพื่อกำหนดรัศมีของส่วนโค้งเหล่านี้ให้สมบูรณ์ เขายังตั้งสมมติฐานว่ารัศมีควรสอดคล้องกับรัศมีของความโค้งของวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกึ่งกลางของแต่ละส่วนโค้ง โดยที่ส่วนเปิดทำหน้าที่เป็นแกนหลักและส่วนขึ้นทำหน้าที่เป็นแกนรอง[ 23 ]
เมื่อจำนวนจุดศูนย์กลางเพิ่มขึ้น เส้นโค้งที่ได้จะมีลักษณะใกล้เคียงกับรูปวงรี โดยมีช่องเปิดและความชันเท่ากัน
ตารางต่อไปนี้แสดงการสร้างซุ้มโค้งแบบด้ามตะกร้า ซึ่งมีลักษณะเฉพาะคือมุมที่รองรับโดยส่วนโค้งต่างๆ ที่ประกอบกันเป็นซุ้มโค้งนั้นเท่ากัน ค่าสัดส่วนสำหรับรัศมีเริ่มต้นจะคำนวณโดยใช้ครึ่งหนึ่งของช่องเปิดเป็นหน่วยวัด นอกจากนี้ ส่วนที่ยื่นออกมาจะถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของลูกศร (ระยะทางแนวตั้งจากจุดสูงสุดของซุ้มโค้งไปยังเส้นที่เชื่อมต่อจุดปลาย) ต่อช่องเปิดทั้งหมด[ 23 ]
| 5 ศูนย์ | 7 ศูนย์ | 9 ศูนย์ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| หยด | รัศมีที่ 1 | หยด | รัศมีที่ 1 | รัศมีที่ 2 | หยด | รัศมีที่ 1 | รัศมีที่ 2 | รัศมีที่ 3 |
| 0.36 | 0.556 | 0.33 | 0.455 | 0.63 | 0.25 | 0.259 | 0.341 | 0.597 |
| 0.35 | 0.53 | 0.32 | 0.431 | 0.604 | 0.24 | 0.24 | 0.318 | 0.556 |
| 0.34 | 0.504 | 0.31 | 0.406 | 0.578 | 0.23 | 0.222 | 0.296 | 0.535 |
| 0.33 | 0.477 | 0.3 | 0.383 | 0.551 | 0.22 | 0.203 | 0.276 | 0.504 |
| 0.32 | 0.45 | 0.29 | 0.359 | 0.525 | 0.21 | 0.185 | 0.251 | 0.474 |
| 0.31 | 0.423 | 0.28 | 0.346 | 0.498 | 0.2 | 0.166 | 0.228 | 0.443 |
| 0.3 | 0.396 | 0.27 | 0.312 | 0.472 | ||||
| 0.26 | 0.289 | 0.445 | ||||||
| 0.25 | 0.265 | 0.419 | ||||||
ตารางที่ให้มานี้ช่วยให้สามารถสร้างซุ้มประตูทรงหูหิ้วตะกร้าได้อย่างง่ายดาย โดยใช้ระยะห่างระหว่างเสา 5, 7 หรือ 9 จุดตามที่กำหนด โดยไม่ต้องคำนวณอย่างละเอียด ข้อกำหนดเพียงอย่างเดียวคือ ระยะห้อยลงมาต้องตรงกับค่าใดค่าหนึ่งที่ Michal เสนอไว้
ตัวอย่างเช่น ในการวาดเส้นโค้งที่มีจุดศูนย์กลางเจ็ดจุด ช่องเปิดกว้าง 12 เมตร และความลาดชัน 3 เมตร ซึ่งสอดคล้องกับการลดระดับหนึ่งในสี่ (หรือ 0.25) รัศมีแรกและรัศมีที่สองสามารถคำนวณได้ดังนี้: 6×0.265 และ 6×0.419 ซึ่งจะได้ค่า 1.594 เมตร และ 2.514 เมตร ตามลำดับ
ในการวาดเส้นโค้งภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ติดป้ายกำกับว่า ABCD นั้น จะต้องเริ่มต้นด้วยการวาดครึ่งวงกลมบนส่วนของเส้นตรง AB ซึ่งทำหน้าที่เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และแบ่งครึ่งวงกลมนั้นออกเป็นเจ็ดส่วนเท่าๆ กัน จากนั้นจึงลากเส้นคอร์ด Aa, ab, bc และ cd โดยที่คอร์ด cd แทนครึ่งส่วน
บนแกน AB จากจุด A วัดความยาวได้ 1.590 เมตร เพื่อกำหนดจุดศูนย์กลางแรก ซึ่งกำหนดให้เป็น m ลากเส้นขนานที่มีรัศมี O ผ่านจุดนี้ ตัดกับคอร์ด Aa ที่จุด n ซึ่งเป็นจุดปลายของส่วนโค้งแรก จากจุด n วัดความยาวได้ nm เท่ากับ 2.514 เมตร เพื่อระบุจุดศูนย์กลางที่สอง m ลากเส้นขนานที่มีรัศมี O จากจุด m ในขณะที่ลากเส้นขนานกับคอร์ด ab จากจุด n จุดตัดของเส้นขนานทั้งสองนี้ที่จุด n′ กำหนดจุดปลายของส่วนโค้งที่สอง[ 24 ]
ดำเนินการตามกระบวนการนี้ต่อไป โดยลากเส้นขนานผ่านจุด n′ ไปยังคอร์ด bc และจากจุด E ลากเส้นขนานไปยังคอร์ด cd จุดตัดของเส้นทั้งสองนี้ที่จุด n′′ ใช้ในการลากเส้นขนานไปยังรัศมี O จุด m และ m ซึ่งเส้นนี้ตัดกับส่วนขยายของรัศมี n′m และแกนตั้ง จะกลายเป็นจุดศูนย์กลางที่สามและสี่ จุดศูนย์กลางสามจุดสุดท้าย m , m และ m จะอยู่ในตำแหน่งสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางสามจุดแรก m 1 m และ m [ 25 ]
ดังแสดงในรูป ส่วนโค้ง An, nn′, n′n′′, เป็นต้น รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากัน คือ 51° 34' 17" 14' ยิ่งไปกว่านั้น การสร้างครึ่งวงรีโดยให้ AB เป็นแกนเอกและ OE เป็นแกนรอง แสดงให้เห็นว่าส่วนโค้งของครึ่งวงรีซึ่งอยู่ภายในมุมเดียวกันกับส่วนโค้งของวงกลม มีรัศมีของความโค้งเท่ากับรัศมีของความโค้งของส่วนโค้งเหล่านั้นเอง
วิธีนี้แสดงให้เห็นถึงความง่ายดายในการสร้างเส้นโค้งโดยใช้จุดศูนย์กลางห้า เจ็ด หรือเก้าจุด
วิธีการของเลอรูจ
หลังจากผลงานของนายมิคาลแล้ว หัวข้อนี้ได้รับการศึกษาเพิ่มเติมโดยนายเลอรูจ หัวหน้าวิศวกรของโครงการสะพานและทางยกระดับ (Ponts et Chaussées) โดยเลอรูจได้พัฒนาตารางสำหรับการสร้างเส้นโค้งที่มีจุดศูนย์กลางสาม ห้า เจ็ด และแม้กระทั่งสิบห้าจุด
แนวทางของเขาแตกต่างจากวิธีการของมิคาลตรงที่กำหนดว่ารัศมีที่ต่อเนื่องกันจะต้องเพิ่มขึ้นตามลำดับเลขคณิต ข้อกำหนดนี้หมายความว่ามุมที่เกิดขึ้นระหว่างรัศมีไม่จำเป็นต้องเท่ากัน ซึ่งช่วยให้มีความยืดหยุ่นมากขึ้นในการออกแบบเส้นโค้ง