ในการประมวลผลสัญญาณโดยเฉพาะการประมวลผลภาพการลดสัญญาณรบกวนแบบ Total Variationหรือที่รู้จักกันในชื่อTotal Variation RegularizationหรือTotal Variation Filteringเป็นกระบวนการกำจัดสัญญาณรบกวน ( ตัวกรอง ) โดยอาศัยหลักการที่ว่าสัญญาณที่มีรายละเอียดมากเกินไปและอาจเป็นรายละเอียดปลอมจะมีค่า Total Variation สูง นั่นคือ ค่าอินทิกรัลของขนาดเกรเดียนต์ของภาพ มีค่าสูง ตามหลักการนี้ การลดค่า Total Variation ของสัญญาณ—โดยที่ค่าดังกล่าวใกล้เคียงกับสัญญาณต้นฉบับ—จะกำจัดรายละเอียดที่ไม่ต้องการออกไป ในขณะที่ยังคงรักษารายละเอียดที่สำคัญ เช่นขอบภาพแนวคิดนี้ริเริ่มโดยLI Rudin , S. Osherและ E. Fatemi ในปี 1992 และปัจจุบันจึงเป็นที่รู้จักในชื่อแบบจำลอง ROF ^{[ 1 ]}

เทคนิคการกำจัดสัญญาณรบกวนนี้มีข้อดีเหนือกว่าเทคนิคแบบง่ายๆ เช่นการปรับเรียบเชิงเส้นหรือการกรองค่ามัธยฐานซึ่งช่วยลดสัญญาณรบกวนแต่ในขณะเดียวกันก็ทำให้ขอบเรียบขึ้นในระดับที่มากหรือน้อยกว่า ในทางตรงกันข้าม การลดสัญญาณรบกวนแบบความแปรผันทั้งหมดเป็นตัวกรองที่รักษาขอบได้ อย่างมีประสิทธิภาพอย่างมาก กล่าวคือ รักษาขอบไปพร้อมๆ กับการลดสัญญาณรบกวนในบริเวณราบเรียบ แม้ในอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนต่ำ^{[ 2 ]}

สำหรับสัญญาณดิจิทัล เราสามารถกำหนดความแปรผันรวมได้ดังนี้ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle V(x)=\sum _{n}|x_{n+1}-x_{n}|.}$

เมื่อกำหนดสัญญาณอินพุตเป้าหมายของการลดสัญญาณรบกวนแบบ Total Variation คือการหาค่าประมาณที่เรียกว่าซึ่งมีค่า Total Variation น้อยกว่าแต่ "ใกล้เคียง" กับมาตรวัดความใกล้เคียงอย่างหนึ่งคือ ผลรวมของกำลังสองของข้อผิดพลาด: ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{n}(x_{n}-y_{n})^{2}.}$

ดังนั้น ปัญหาการลดสัญญาณรบกวนแบบ Total Variation จึงเทียบเท่ากับการลดค่าฟังก์ชันแบบไม่ต่อเนื่องต่อไปนี้บนสัญญาณ: ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y)}$

โดยการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับเราสามารถหาอนุพันธ์ของสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ ที่สอดคล้องกันได้ ซึ่งสามารถอินทิเกรตเชิงตัวเลขได้โดยใช้สัญญาณดั้งเดิมเป็นเงื่อนไขเริ่มต้น นี่คือวิธีการดั้งเดิม^{[ 1 ]}หรืออีกทางหนึ่ง เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันนูน จึง สามารถใช้เทคนิคจากการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน เพื่อลดค่าให้น้อยที่สุดและหาคำตอบ ได้^{[ 3 ]}${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$

พารามิเตอร์การปรับค่า (regularization parameter) มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในกระบวนการลดสัญญาณรบกวน เมื่อค่ามีค่าน้อย จะไม่มีการปรับค่าให้เรียบ และผลลัพธ์จะเหมือนกับการลดผลรวมของกำลังสองของข้อผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุด อย่างไรก็ตาม เมื่อค่า มีค่ามากขึ้น เทอมความแปรผันรวมจะมีบทบาทมากขึ้น ซึ่งทำให้ผลลัพธ์มีความแปรผันรวมน้อยลง แต่ก็แลกมากับการที่ผลลัพธ์จะมีความคล้ายคลึงกับสัญญาณอินพุต (ที่มีสัญญาณรบกวน) น้อยลง ดังนั้น การเลือกพารามิเตอร์การปรับค่าจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการลดสัญญาณรบกวนให้ได้ปริมาณที่เหมาะสม ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \lambda \to \infty }$

ต่อไปนี้เราจะพิจารณาสัญญาณ 2 มิติyเช่น ภาพต่างๆ บรรทัดฐานความแปรผันรวมที่เสนอโดยบทความปี 1992 คือ

${\displaystyle V(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}}$

และมีคุณสมบัติเป็นไอโซโทรปิกและไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้รูปแบบที่บางครั้งใช้กัน เนื่องจากบางครั้งอาจง่ายกว่าในการหาค่าต่ำสุด คือเวอร์ชันแอนไอโซโทรปิก

${\displaystyle V_{\ตัวดำเนินการชื่อ {aniso} }(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}}}+{\sqrt {|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}=\sum _{i,j}|y_{i+1,j}-y_{i,j}|+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|.}$

ปัญหาการลดสัญญาณรบกวนแบบ Total Variation มาตรฐานยังคงอยู่ในรูปแบบนี้

${\displaystyle \min _{y}[\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} (x,y)+\lambda V(y)],}$

โดยที่Eคือนอร์มL มิติ ตรงกันข้ามกับกรณี 1 มิติ การแก้ปัญหาการลดสัญญาณรบกวนนี้ไม่ใช่เรื่องง่าย อัลกอริทึมล่าสุดที่ แก้ปัญหานี้เรียกว่าวิธีคู่หลัก^{[ 4 ]}

ส่วนหนึ่งเป็นผลมาจากการวิจัยด้านการบีบอัดข้อมูล (compressed sensing)ในช่วงกลางทศวรรษ 2000 ทำให้มีอัลกอริทึมมากมาย เช่นวิธี split-Bregmanที่สามารถแก้ปัญหาในรูปแบบต่างๆ ของปัญหานี้ได้

สมมติว่าเราได้รับภาพที่มีสัญญาณรบกวนและต้องการคำนวณภาพที่ปราศจากสัญญาณรบกวนในพื้นที่ 2 มิติ ROF แสดงให้เห็นว่าปัญหาการลดค่าต่ำสุดที่เรากำลังมองหาที่จะแก้ไขคือ: ^{[ 5 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}+{\lambda \over 2}\int _{\Omega }(fu)^{2}\,dx}$

โดยที่คือเซตของฟังก์ชันที่มีการเปลี่ยนแปลงจำกัดในโดเมนคือการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในโดเมน และคือพจน์ปรับโทษ เมื่อมีความเรียบ การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดจะเทียบเท่ากับปริพันธ์ของขนาดเกรเดียนต์: ${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {BV} (\โอเมก้า )}$${\displaystyle \Omega }$${\textstyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {TV} (\โอเมก้า )}$${\textstyle \lambda }$${\textstyle u}$

${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}=\int _{\Omega }\|\nabla u\|\,dx}$

โดยที่คือค่าบรรทัดฐานยุคลิดจากนั้นฟังก์ชันเป้าหมายของปัญหาการหาค่าต่ำสุดจะเป็นดังนี้: จากฟังก์ชันนี้ สมการออยเลอร์-ลากรางจ์สำหรับการหาค่าต่ำสุด – โดยสมมติว่าไม่มีการพึ่งพาเวลา – จะให้ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีที่ไม่เป็นเชิงเส้นแก่เรา: ${\textstyle \|\cdot \|}$$${\displaystyle \min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\int _{\Omega }\left[\|\nabla u\|+{\lambda \over 2}(fu)^{2}\right]\,dx}$$

สำหรับอัลกอริธึมเชิงตัวเลขบางอย่าง การแก้สมการ ROF ในรูปแบบที่ขึ้นอยู่กับเวลาจะเหมาะสมกว่า:$${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}=\nabla \cdot \left({\nabla u \over {\|\nabla u\|}}\right)+\lambda (f-u)}$$

แบบจำลอง Rudin–Osher–Fatemi เป็นองค์ประกอบสำคัญในการสร้างภาพแรกของหลุมดำ^{[ 6 ]}

• การแพร่แบบไม่สมมาตร
• การแปรผันที่จำกัด
• การลดสัญญาณรบกวนแบบ Basis pursuit
• อัลกอริทึมแชมโบลล์-พ็อค
• การประมวลผลภาพดิจิทัล
• ลาสโซ (สถิติ)
• การลดเสียงรบกวน
• หมายถึงสิ่งที่ไม่ใช่ท้องถิ่น
• การประมวลผลสัญญาณ
• การเปลี่ยนแปลงทั้งหมด

• TVDIP: การใช้งาน Matlab แบบครบวงจรสำหรับการลดสัญญาณรบกวนแบบ Total Variation 1 มิติ
• การแปรผันรวมแบบ Primal-Dual ที่มีประสิทธิภาพ
• อัลกอริทึมลดสัญญาณรบกวนภาพ TV-L1 ใน Matlab