การตรวจจับขอบ

การตรวจจับขอบ ประกอบด้วยวิธีการ ทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายซึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่อระบุขอบซึ่งกำหนดเป็นเส้นโค้งในภาพดิจิทัลที่ความสว่างของภาพเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว หรือกล่าวอย่างเป็นทางการกว่านั้นคือ มีความไม่ต่อเนื่องปัญหาเดียวกันของการค้นหาความไม่ต่อเนื่องในสัญญาณหนึ่งมิติเรียกว่าการตรวจจับขั้นบันไดและปัญหาของการค้นหาความไม่ต่อเนื่องของสัญญาณเมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่า การ ตรวจจับการเปลี่ยนแปลงการตรวจจับขอบเป็นเครื่องมือพื้นฐานในการประมวลผลภาพการมองเห็นด้วยเครื่องจักรและการมองเห็นด้วยคอมพิวเตอร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านการตรวจจับคุณลักษณะและการสกัดคุณลักษณะ^{[ 1 ]}

แรงจูงใจ

จุดประสงค์ของการตรวจจับการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วของความสว่างของภาพคือการจับภาพเหตุการณ์สำคัญและการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของโลก สามารถแสดงได้ว่าภายใต้สมมติฐานทั่วไปสำหรับแบบจำลองการสร้างภาพ ความไม่ต่อเนื่องของความสว่างของภาพมีแนวโน้มที่จะสอดคล้องกับ: ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

ความไม่ต่อเนื่องในระดับความลึก
ความไม่ต่อเนื่องในการวางแนวพื้นผิว
การเปลี่ยนแปลงในคุณสมบัติของวัสดุและ
การเปลี่ยนแปลงของแสงสว่างในฉาก

ในกรณีที่ดีที่สุด ผลลัพธ์ของการใช้ตัวตรวจจับขอบกับภาพอาจนำไปสู่ชุดของเส้นโค้งที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งบ่งชี้ขอบเขตของวัตถุ ขอบเขตของร่องรอยบนพื้นผิว รวมถึงเส้นโค้งที่สอดคล้องกับความไม่ต่อเนื่องของทิศทางพื้นผิว ดังนั้น การใช้อัลกอริธึมตรวจจับขอบกับภาพอาจช่วยลดปริมาณข้อมูลที่จะต้องประมวลผลได้อย่างมาก และอาจกรองข้อมูลที่อาจถือว่ามีความสำคัญน้อยกว่าออกไป ในขณะที่ยังคงรักษาคุณสมบัติโครงสร้างที่สำคัญของภาพไว้ หากขั้นตอนการตรวจจับขอบประสบความสำเร็จ งานต่อไปของการตีความเนื้อหาข้อมูลในภาพต้นฉบับจึงอาจง่ายขึ้นอย่างมาก อย่างไรก็ตาม การจะได้ขอบที่สมบูรณ์แบบเช่นนั้นจากภาพจริงที่มีความซับซ้อนปานกลางนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป

ขอบที่สกัดจากภาพที่ไม่ธรรมดามักจะถูกขัดขวางด้วยการแตกเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อยซึ่งหมายความว่าเส้นโค้งของขอบไม่ได้เชื่อมต่อกัน มีส่วนขอบที่หายไป รวมถึงขอบปลอมที่ไม่สอดคล้องกับปรากฏการณ์ที่น่าสนใจในภาพ ซึ่งทำให้การตีความข้อมูลภาพในภายหลังมีความซับซ้อนมากขึ้น^{[ 4 ]}

การตรวจจับขอบเป็นหนึ่งในขั้นตอนพื้นฐานในกระบวนการประมวลผลภาพการวิเคราะห์ภาพการจดจำรูปแบบภาพ และเทคนิคคอมพิวเตอร์วิชั่น

คุณสมบัติของขอบ

ขอบที่สกัดได้จากภาพสองมิติของฉากสามมิติสามารถจำแนกได้เป็นขอบที่ขึ้นอยู่กับมุมมองและขอบที่ไม่ขึ้นอยู่กับมุมมอง ขอบที่ไม่ขึ้นอยู่กับมุมมองโดยทั่วไปจะสะท้อนคุณสมบัติโดยธรรมชาติของวัตถุสามมิติ เช่น รอยบนพื้นผิวและรูปร่างของพื้นผิวส่วนขอบที่ขึ้นอยู่กับมุมมองอาจเปลี่ยนแปลงไปเมื่อมุมมองเปลี่ยนไป และโดยทั่วไปจะสะท้อนถึงเรขาคณิตของฉาก เช่น วัตถุที่บดบังซึ่งกันและกัน

ตัวอย่างเช่น ขอบทั่วไปอาจเป็นเส้นแบ่งระหว่างบล็อกสีแดงกับบล็อกสีเหลือง ในทางตรงกันข้ามเส้น (ซึ่งสามารถตรวจจับได้ด้วยตัวตรวจจับสัน ) อาจเป็นกลุ่ม พิกเซลจำนวนเล็กน้อยที่มีสีต่างกันบนพื้นหลังที่ไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับเส้นหนึ่งๆ จึงมักจะมีขอบหนึ่งด้านในแต่ละด้านของเส้นนั้น

แบบจำลองขอบแบบง่าย

แม้ว่าเอกสารบางฉบับจะกล่าวถึงการตรวจจับขอบขั้นบันไดในอุดมคติ แต่ขอบที่ได้จากภาพธรรมชาติมักไม่ใช่ขอบขั้นบันไดในอุดมคติเสมอไป แต่โดยปกติแล้วจะได้รับผลกระทบจากปัจจัยอย่างใดอย่างหนึ่งหรือหลายอย่างดังต่อไปนี้:

ความเบลอของจุดโฟกัสเกิดจากความชัดลึก ที่จำกัด และฟังก์ชันการกระจายจุดที่จำกัด
ความพร่ามัวที่เกิดจากเงาที่เกิดจากแหล่งกำเนิดแสงที่มีรัศมีไม่เป็นศูนย์
การแรเงาบนวัตถุเรียบ

นักวิจัยจำนวนหนึ่งได้ใช้ขอบขั้นบันไดที่เรียบด้วยฟังก์ชันเกาส์เซียน ( ฟังก์ชันข้อผิดพลาด ) เป็นส่วนขยายที่ง่ายที่สุดของแบบจำลองขอบขั้นบันไดในอุดมคติสำหรับการจำลองผลกระทบของการเบลอขอบในการใช้งานจริง^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} ดังนั้น ภาพหนึ่งมิติ $f$ ซึ่งมีขอบด้านหนึ่งวางอยู่ที่ตำแหน่งพอดี $x=0$ อาจแสดงในรูปแบบดังนี้:

f(x)={\frac {I_{r}-I_{\ell }}{2}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)+1\right)+I_{\ell }.

ที่ด้านซ้ายของขอบ ความเข้มคือ $I_{\ell }=\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)$ และอยู่ทางด้านขวาของขอบ $I_{r}=\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)$ พารามิเตอร์มาตราส่วน $\sigma$ เรียกว่าค่าความเบลอของขอบภาพ โดยทั่วไปแล้ว ควรปรับค่าพารามิเตอร์นี้ตามคุณภาพของภาพ เพื่อหลีกเลี่ยงการทำลายขอบภาพที่แท้จริง

ความยากลำบาก

นอกเหนือจากภาพที่มีวัตถุเรียบง่ายหรือมีแสงที่ควบคุมได้ดี การตรวจจับขอบไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากอาจเป็นเรื่องยากที่จะกำหนดว่าควรใช้เกณฑ์ใดในการกำหนดขอบระหว่างพิกเซลสองพิกเซล^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่น ในสัญญาณหนึ่งมิติต่อไปนี้ คนส่วนใหญ่จะบอกโดยสัญชาตญาณว่ามีขอบระหว่างพิกเซลที่ 4 และ 5:

5	7	6	4	152	148	149

อย่างไรก็ตาม หากความแตกต่างของความเข้มระหว่างพิกเซลที่ 4 และพิกเซลที่ 5 น้อยลง ก็จะไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะบอกว่าควรมีขอบในบริเวณนั้น ในทำนองเดียวกัน หากความแตกต่างของความเข้มระหว่างพิกเซลข้างเคียงสูงขึ้น ก็อาจมีข้อโต้แย้งว่าควรพิจารณาว่ามีขอบมากกว่าหนึ่งขอบ หรืออาจไม่มีขอบเลยก็ได้

5	7	6	61	113	148	149

แนวทาง

มีวิธีการตรวจจับขอบหลายวิธี แต่ส่วนใหญ่สามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท คือ วิธีการค้นหา และ วิธี การค้นหาจุดตัดศูนย์วิธีการค้นหาจุดตัดศูนย์จะตรวจจับขอบโดยการคำนวณค่าความแรงของขอบก่อน ซึ่งโดยทั่วไปจะเป็นนิพจน์อนุพันธ์อันดับหนึ่งเช่น ขนาดของเกรเดียนต์ จากนั้นจึงค้นหาค่าสูงสุดเฉพาะทิศทางของขนาดเกรเดียนต์โดยใช้ค่าประมาณของทิศทางเฉพาะที่ของขอบ ซึ่งโดยทั่วไปคือทิศทางของเกรเดียนต์ ส่วนวิธีการค้นหาจุดตัดศูนย์จะค้นหาจุดตัดศูนย์ในนิพจน์อนุพันธ์อันดับสองที่คำนวณจากภาพเพื่อค้นหาขอบ ซึ่งโดยทั่วไปคือจุดตัดศูนย์ของลาปลาเซียนหรือจุดตัดศูนย์ของนิพจน์เชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น ในขั้นตอนการประมวลผลล่วงหน้าก่อนการตรวจจับขอบ มักจะมีการใช้ขั้นตอนการปรับให้เรียบ ซึ่งโดยทั่วไป คือ การปรับให้เรียบแบบเกาส์เซียน (ดูเพิ่มเติมที่การลดสัญญาณรบกวน )

วิธีการตรวจจับขอบภาพที่ได้รับการตีพิมพ์เผยแพร่ส่วนใหญ่แตกต่างกันในประเภทของตัวกรองปรับความเรียบที่ใช้และวิธีการคำนวณค่าความเข้มของขอบภาพ เนื่องจากวิธีการตรวจจับขอบภาพหลายวิธีอาศัยการคำนวณค่าความชันของภาพ จึงทำให้วิธีการเหล่านี้แตกต่างกันในประเภทของตัวกรองที่ใช้ในการคำนวณค่าประมาณความชันในทิศทางxและy ด้วย

การสำรวจวิธีการตรวจจับขอบที่แตกต่างกันหลายวิธีสามารถพบได้ใน (Ziou และ Tabbone 1998); ^{[ 6 ]}ดูบทความสารานุกรมเกี่ยวกับการตรวจจับขอบในสารานุกรมคณิตศาสตร์^{[ 3 ]}และสารานุกรมวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และวิศวกรรม^{[ 7 ]}

ฉลาดหลักแหลม

จอห์น แคนนีพิจารณาปัญหาทางคณิตศาสตร์ของการหาตัวกรองการปรับเรียบที่เหมาะสมที่สุด โดยพิจารณาจากเกณฑ์การตรวจจับ การระบุตำแหน่ง และการลดการตอบสนองหลายครั้งต่อขอบเดียว^{[ 8 ]}เขาแสดงให้เห็นว่าตัวกรองที่เหมาะสมที่สุด ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ คือผลรวมของพจน์เลขชี้กำลังสี่พจน์ เขายังแสดงให้เห็นว่าตัวกรองนี้สามารถประมาณค่าได้ดีด้วยอนุพันธ์อันดับแรกของเกาส์เซียน แคนนียังได้แนะนำแนวคิดของการระงับค่าสูงสุดที่ไม่ใช่ค่าสูงสุด ซึ่งหมายความว่า เมื่อกำหนดตัวกรองการปรับเรียบเบื้องต้น จุดขอบจะถูกกำหนดให้เป็นจุดที่ขนาดของเกรเดียนต์มีค่าสูงสุดเฉพาะที่ในทิศทางของเกรเดียนต์ การมองหาจุดตัดศูนย์ของอนุพันธ์อันดับ 2 ตามทิศทางของเกรเดียนต์นั้นได้รับการเสนอครั้งแรกโดยฮาราลิค [ ^{9 ] ใช้} เวลาน้อยกว่าสองทศวรรษในการค้นหาความหมายเชิงแปรผันทางเรขาคณิตที่ทันสมัยสำหรับตัวดำเนินการนั้น ซึ่งเชื่อมโยงกับ ตัวตรวจจับขอบ Marr–Hildreth (จุดตัดศูนย์ของลาปลาเซียน) การสังเกตนั้นได้รับการนำเสนอโดยรอน คิมเมลและอัลเฟรด บรุคสไตน์^{[ 10 ]}

แม้ว่างานของเขาจะทำในช่วงแรกๆ ของคอมพิวเตอร์วิชั่น แต่ตัวตรวจจับขอบ Canny (รวมถึงรูปแบบต่างๆ) ก็ยังคงเป็นตัวตรวจจับขอบที่ทันสมัยที่สุด^{[ 11 ]}ตัวตรวจจับขอบที่ทำงานได้ดีกว่า Canny มักต้องการเวลาในการคำนวณที่นานกว่าหรือจำนวนพารามิเตอร์ที่มากกว่า

โควาเลฟสกี

Vladimir A. Kovalevsky ^{[ 12 ]}ได้เสนอแนวทางที่แตกต่างออกไป เขาใช้การประมวลผลล่วงหน้าของภาพด้วยตัวกรอง Sigma ^{[ 13 ]}และด้วยตัวกรองพิเศษสำหรับการเจือจางของแรมป์ วิธีนี้ไม่ใช้ความสว่างของภาพ แต่ใช้เฉพาะความเข้มของช่องสี ซึ่งมีความสำคัญต่อการตรวจจับขอบระหว่างพิกเซลที่อยู่ติดกันสองพิกเซลที่มีความสว่างเท่ากันแต่มีสีต่างกัน วิธีนี้จะสแกนภาพสองครั้ง ครั้งแรกตามแนวเส้นแนวนอน และครั้งที่สองตามแนวคอลัมน์แนวตั้ง ในแต่ละเส้นแนวนอนจะพิจารณาพิกเซลที่อยู่ติดกันหกพิกเซล และคำนวณความแตกต่างของสีห้าค่าระหว่างพิกเซลที่อยู่ติดกันแต่ละคู่ ความแตกต่างของสีแต่ละค่าคือผลรวมของความแตกต่างสัมบูรณ์ของความเข้มของช่องสีแดง สีเขียว และสีน้ำเงินของพิกเซลที่อยู่ติดกันที่สอดคล้องกัน หากผลรวมนี้มากกว่าเกณฑ์ที่กำหนด เครื่องหมายของความแตกต่างของสีจะถูกตั้งค่าให้เท่ากับเครื่องหมายของความแตกต่างของความเข้มสีเขียว หากความแตกต่างของสีเขียวเป็นศูนย์ เครื่องหมายของความแตกต่างของสีจะถูกตั้งค่าให้เท่ากับเครื่องหมายของความแตกต่างของความเข้มสีแดง อย่างไรก็ตาม หากความแตกต่างของสีเขียวและสีแดงเป็นศูนย์ทั้งคู่ เครื่องหมายของความแตกต่างของสีจะถูกกำหนดให้เท่ากับเครื่องหมายของความแตกต่างของสีน้ำเงิน ซึ่งในกรณีนี้ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เนื่องจากผลรวมมากกว่าค่าเกณฑ์ มีการกำหนดเงื่อนไขบางประการสำหรับค่าและเครื่องหมายของความแตกต่างของสีทั้งห้าสี โดยหากตรงตามเงื่อนไข จะมีการวางเส้นแนวตั้งสั้นๆ ระหว่างพิกเซลที่สามและสี่จากหกพิกเซล เพื่อใช้เป็นป้ายกำกับของขอบ มีการคำนวณที่คล้ายกันสำหรับคอลัมน์แนวตั้ง ในกรณีนี้ จะมีการวางเส้นแนวนอนสั้นๆ ระหว่างพิกเซลที่สามและสี่จากหกพิกเซลที่ต่อเนื่องกัน เส้นแนวตั้งและแนวนอน (ซึ่งเป็นเซลล์หนึ่งมิติของกลุ่มเซลล์นามธรรมที่สอดคล้องกับภาพ) ส่วนใหญ่จะประกอบเป็นลำดับที่เชื่อมต่อกันซึ่งแสดงถึงขอบ วิธีนี้มีความแข็งแกร่งและรวดเร็วมาก และที่สำคัญกว่านั้นคือ สามารถตรวจจับขอบระหว่างพิกเซลที่อยู่ติดกันที่มีความสว่างเท่ากันได้ หากความแตกต่างของสีระหว่างพิกเซลเหล่านี้มากกว่าค่าเกณฑ์

ตัวตรวจจับ Canny–Deriche ได้รับการพัฒนาจากเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายคลึงกันกับตัวตรวจจับขอบ Canny แม้ว่าจะเริ่มต้นจากมุมมองแบบไม่ต่อเนื่องแล้วนำไปสู่ชุดตัวกรองแบบวนซ้ำสำหรับการปรับภาพให้เรียบแทนที่จะใช้ตัวกรองแบบเอกซ์โปเนนเชียลหรือตัวกรองแบบเกาส์เซียน^{[ 14 ]}

ตัวตรวจจับขอบแบบดิฟเฟอเรนเชียลที่อธิบายไว้ด้านล่างนี้ สามารถมองได้ว่าเป็นการปรับปรุงวิธีการของ Canny จากมุมมองของค่าคงที่แบบดิฟเฟอเรนเชียลที่คำนวณจากการแสดงพื้นที่มาตราส่วนซึ่งนำไปสู่ข้อดีหลายประการทั้งในแง่ของการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีและการใช้งานระดับซับพิกเซล ในแง่นั้นตัวกรอง Log Gaborได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นตัวเลือกที่ดีในการแยกขอบเขตในฉากธรรมชาติ^{[ 15 ]}

วิธีการลำดับแรกอื่นๆ

สามารถใช้ตัวดำเนินการหาค่าความชันที่แตกต่างกันเพื่อประมาณค่าความชันของภาพจากภาพอินพุตหรือภาพที่ปรับให้เรียบแล้ว วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้ความแตกต่างแบบศูนย์กลาง:

{\begin{aligned}L_{x}(x,y)&=-{\frac {1}{2}}L(x-1,y)+0\cdot L(x,y)+{\frac {1}{2}}\cdot L(x+1,y)\\[8pt]L_{y}(x,y)&=-{\frac {1}{2}}L(x,y-1)+0\cdot L(x,y)+{\frac {1}{2}}\cdot L(x,y+1),\end{aligned}}

ซึ่งสอดคล้องกับการประยุกต์ใช้มาสก์ตัวกรองต่อไปนี้กับข้อมูลภาพ:

L_{y}={\begin{bmatrix}+1/2&0&-1/2\end{bmatrix}}L\quad {\text{และ}}\quad L_{x}={\begin{bmatrix}+1/2\\0\\-1/2\end{bmatrix}}L.

ตัวดำเนินการ Sobelที่รู้จักกันดีและใช้งานกันมาก่อนหน้านี้มีพื้นฐานมาจากตัวกรองดังต่อไปนี้:

L_{y}={\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}L\quad {\text{และ}}\quad L_{x}={\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\0&0&0\\-1&-2&-1\end{bmatrix}}L.

เมื่อได้ค่าประมาณของ อนุพันธ์อันดับแรกของ ภาพ แล้ว ขนาดของเกรเดียนต์จะถูกคำนวณดังนี้:

|\nabla L|={\sqrt {L_{x}^{2}+L_{y}^{2}}}

ในขณะที่สามารถประมาณทิศทางการไล่ระดับได้ดังนี้

\theta =\operatorname {atan2} (L_{y},L_{x}).

ตัวดำเนินการความแตกต่างอันดับแรกอื่นๆ สำหรับการประมาณ ค่าเก รเดียนต์ของภาพได้รับการเสนอในตัวดำเนินการ Prewitt , Roberts cross , ตัวดำเนินการ Kayyali ^{[ 16 ]}และตัวดำเนินการ Frei–Chen

เป็นไปได้ที่จะขยายขนาดของฟิลเตอร์เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาการแยกแยะขอบในภาพที่มีอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนต่ำ(SNR ) แต่ข้อเสียคือความละเอียดของภาพจะลดลง ตัวอย่างเช่น ฟิลเตอร์ Extended Prewitt ขนาด 7×7

การกำหนดเกณฑ์และการเชื่อมโยง

เมื่อเราคำนวณค่าความเข้มของขอบ (โดยทั่วไปคือขนาดของเกรเดียนต์) ได้แล้ว ขั้นตอนต่อไปคือการกำหนดค่าเกณฑ์เพื่อตัดสินว่ามีขอบอยู่หรือไม่ ณ จุดใดจุดหนึ่งของภาพ ยิ่งค่าเกณฑ์ต่ำเท่าไร ก็ยิ่งตรวจพบขอบได้มากขึ้นเท่านั้น และผลลัพธ์ก็จะยิ่งไวต่อสัญญาณรบกวนและการตรวจจับขอบของส่วนประกอบที่ไม่เกี่ยวข้องในภาพมากขึ้น ในทางกลับกัน ค่าเกณฑ์สูงอาจพลาดขอบที่ละเอียดอ่อน หรือทำให้ขอบแตกเป็นชิ้นๆ

หากใช้การหาขอบกับภาพที่มีเฉพาะค่าความชัน ขอบที่ได้โดยทั่วไปจะหนา และจำเป็นต้องมีการประมวลผลเพิ่มเติมเพื่อลดความหนาของขอบ อย่างไรก็ตาม สำหรับขอบที่ตรวจพบด้วยวิธีการระงับค่าสูงสุดที่ไม่ใช่ค่าสูงสุด (non-maximum suppression) เส้นโค้งของขอบจะบางโดยนิยาม และพิกเซลของขอบสามารถเชื่อมต่อกันเป็นรูปหลายเหลี่ยมของขอบได้โดยใช้กระบวนการเชื่อมต่อขอบ (การติดตามขอบ) บนตารางแบบไม่ต่อเนื่อง ขั้นตอนการระงับค่าสูงสุดที่ไม่ใช่ค่าสูงสุดสามารถทำได้โดยการประมาณทิศทางของความชันโดยใช้ค่าอนุพันธ์อันดับแรก จากนั้นปัดเศษทิศทางของความชันให้เป็นพหุคูณของ 45 องศา และสุดท้ายเปรียบเทียบค่าความชันในทิศทางของความชันที่ประมาณไว้

วิธีการที่นิยมใช้กันทั่วไปในการแก้ปัญหาการกำหนดค่าเกณฑ์ที่เหมาะสมสำหรับการทำ Thresholding คือการใช้Thresholdingร่วมกับHysteresisวิธีนี้ใช้ค่าเกณฑ์หลายค่าในการค้นหาขอบ เราเริ่มต้นด้วยการใช้ค่าเกณฑ์บนเพื่อหาจุดเริ่มต้นของขอบ เมื่อเราได้จุดเริ่มต้นแล้ว เราจะติดตามเส้นทางของขอบผ่านพิกเซลของภาพทีละพิกเซล โดยจะทำเครื่องหมายขอบเมื่อใดก็ตามที่ค่าสูงกว่าค่าเกณฑ์ล่าง เราจะหยุดทำเครื่องหมายขอบก็ต่อเมื่อค่าลดลงต่ำกว่าค่าเกณฑ์ล่าง วิธีนี้ตั้งสมมติฐานว่าขอบมักจะเป็นเส้นโค้งต่อเนื่อง และช่วยให้เราสามารถติดตามส่วนที่จางๆ ของขอบที่เราเคยเห็นมาก่อนได้ โดยไม่จำเป็นต้องทำเครื่องหมายพิกเซลที่มีสัญญาณรบกวนทุกพิกเซลในภาพว่าเป็นขอบ อย่างไรก็ตาม เรายังคงมีปัญหาในการเลือกพารามิเตอร์ Thresholding ที่เหมาะสม และค่า Thresholding ที่เหมาะสมอาจแตกต่างกันไปในแต่ละส่วนของภาพ

การเชื่อมต่อของความชันโดยไม่ต้องใช้เกณฑ์ขนาด (สูง)

วิธีนี้ค้นหาชุดพิกเซลที่เชื่อมต่อกันซึ่งมี ขนาด อนุพันธ์ทิศทางมากกว่าค่าเกณฑ์ที่ค่อนข้างเล็ก^{[ 17 ]}โดยพิจารณาเฉพาะการมีอยู่ของเกรเดียนต์แทนที่จะเป็นความแรงของเกรเดียนต์ หลังจากใช้ค่าเกณฑ์ที่เล็กมาก (เช่น 5) จะได้ภาพไบนารี จากนั้นจึงใช้การดำเนินการเปิดทางสัณฐานวิทยาและการดำเนินการปิดทางสัณฐานวิทยากับภาพไบนารีเพื่อปิดช่องว่าง จากนั้นจึงใช้การดำเนินการแปลงระยะทางกับภาพไบนารีเพื่อล้างพิกเซลที่อยู่ห่างจากพื้นหลัง ดังนั้นรูปร่างคล้ายก้อนหรือบริเวณที่มีป้ายกำกับผิดพลาดอื่นๆ จะถูกลบออกจากแผนที่ขอบ

การลดความหนาของขอบ

การลดความหนาของขอบเป็นเทคนิคที่ใช้ในการกำจัดจุดที่ไม่ต้องการและผิดปกติบริเวณขอบของภาพ เทคนิคนี้ใช้หลังจากที่ภาพได้รับการกรองสัญญาณรบกวนแล้ว (โดยใช้ตัวกรองค่ามัธยฐาน ตัวกรองเกาส์เซียน ฯลฯ) จากนั้นจึงใช้ตัวดำเนินการตรวจจับขอบ (เช่นที่อธิบายไว้ข้างต้น Canny หรือ Sobel) เพื่อตรวจจับขอบ และหลังจากนั้นจึงทำการปรับขอบให้เรียบโดยใช้ค่าเกณฑ์ที่เหมาะสม วิธีนี้จะกำจัดจุดที่ไม่ต้องการทั้งหมด และหากใช้ด้วยความระมัดระวัง จะทำให้ได้ขอบที่มีความหนาเพียงหนึ่งพิกเซล

ข้อดี:

ขอบที่คมและบางช่วยเพิ่มประสิทธิภาพในการจดจำวัตถุได้ ดียิ่งขึ้น
หากใช้การแปลงฮอฟ (Hough transform) ในการตรวจจับเส้นตรงและวงรี การลดความหนาอาจให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่ามาก
หากขอบนั้นเป็นขอบเขตของบริเวณ การทำให้บางลงจะช่วยให้ได้พารามิเตอร์ของภาพ เช่น เส้นรอบวง โดยไม่ต้องใช้พีชคณิตมากนัก

มีอัลกอริธึมยอดนิยมหลายตัวที่ใช้ในการทำเช่นนี้ หนึ่งในนั้นมีรายละเอียดดังต่อไปนี้:

เลือกประเภทการเชื่อมต่อเช่น 8, 6 หรือ 4
การเชื่อมต่อแบบ 8เป็นที่นิยม โดยจะพิจารณาพิกเซลทั้งหมดที่อยู่รอบๆ พิกเซลที่กำหนด
ลบจุดที่อยู่ทางทิศเหนือ ทิศใต้ ทิศตะวันออก และทิศตะวันตกออก
ทำเช่นนี้ซ้ำหลายรอบ กล่าวคือ หลังจากผ่านรอบทางทิศเหนือแล้ว ให้ใช้ภาพที่ผ่านการประมวลผลบางส่วนเดียวกันในรอบอื่นๆ ต่อไปเรื่อยๆ
ลบจุดออกหาก: จุดนั้นไม่มีจุดข้างเคียงในทิศเหนือ (หากคุณอยู่ในเส้นทางผ่านทิศเหนือ และทิศทางที่เกี่ยวข้องสำหรับเส้นทางผ่านอื่นๆ) จุดนั้นไม่ใช่จุดสิ้นสุดของเส้น จุดนั้นอยู่โดดเดี่ยวการลบจุดจะไม่ทำให้จุดข้างเคียงถูกตัดการเชื่อมต่อแต่อย่างใด
มิเช่นนั้น ก็ให้คงประเด็นเอาไว้

จำนวนรอบการวัดในแต่ละทิศทางควรเลือกให้เหมาะสมกับระดับความแม่นยำที่ต้องการ

แนวทางลำดับที่สอง

ตัวดำเนินการตรวจจับขอบบางตัวใช้หลักการอนุพันธ์อันดับสองของความเข้มแสงเป็นพื้นฐาน ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะจับอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันความเข้มแสง ดังนั้น ในกรณีต่อเนื่องที่สมบูรณ์แบบ การตรวจจับจุดตัดศูนย์ในอนุพันธ์อันดับสองจะจับค่าสูงสุดเฉพาะที่ในความชันได้

ตัวดำเนินการ Marr–Hildrethในยุคแรกนั้นอาศัยการตรวจจับจุดตัดศูนย์ของตัวดำเนินการ Laplacian ที่ใช้กับภาพที่ปรับให้เรียบด้วยฟังก์ชัน Gaussian อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าตัวดำเนินการนี้จะให้ขอบปลอมที่สอดคล้องกับค่าต่ำสุดเฉพาะที่ของขนาดความชันด้วย นอกจากนี้ ตัวดำเนินการนี้จะให้การระบุตำแหน่งที่ไม่ดีที่ขอบโค้ง ดังนั้นในปัจจุบัน ตัวดำเนินการนี้จึงมีความสำคัญในเชิงประวัติศาสตร์เป็นหลัก

ความแตกต่าง

วิธีการตรวจจับขอบลำดับที่สองที่ละเอียดกว่า ซึ่งตรวจจับขอบโดยอัตโนมัติด้วยความแม่นยำระดับซับพิกเซล ใช้แนวทางเชิงอนุพันธ์ ต่อไปนี้ ในการตรวจจับจุดตัดศูนย์ของอนุพันธ์เชิงทิศทางลำดับที่สองในทิศทางเกรเดียนต์:

ตามวิธีการทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในการแสดงข้อกำหนดของการระงับค่าสูงสุดที่ไม่ใช่ค่าสูงสุดที่เสนอโดย Lindeberg ^{[ 4 ]}^{[ 18 ]}ให้เราแนะนำระบบพิกัดท้องถิ่นที่จุดภาพแต่ละจุด $(u,v)$ โดยมี $v$ ทิศทางขนานกับทิศทางของเกรเดียนต์ โดยสมมติว่าภาพได้รับการปรับให้เรียบเบื้องต้นด้วยวิธีการปรับให้เรียบแบบเกาส์เซียนและการแสดงผลในปริภูมิมาตราส่วนแล้ว $L(x,y;t)$ ในระดับใหญ่ $t$ เมื่อคำนวณเสร็จแล้ว เราสามารถกำหนดให้ขนาดของเกรเดียนต์ของการแสดงพื้นที่มาตราส่วนซึ่งเท่ากับอนุพันธ์ทิศทางอันดับแรกใน $v$ -ทิศทาง $L_{v}$ ควรมีอนุพันธ์ทิศทางอันดับแรกใน $v$ ทิศทางเท่ากับศูนย์

\บางส่วน _{v}(L_{v})=0

ในขณะที่อนุพันธ์ทิศทางอันดับสองใน $v$ -ทิศทางของ $L_{v}$ ควรเป็นค่าลบ กล่าวคือ

\partial _{vv}(L_{v})\leq 0.

เขียนออกมาเป็นนิพจน์ที่ชัดเจนในรูปของอนุพันธ์ย่อยเฉพาะที่ $L_{x},L_{y},\ldots ,L_{yyy}$ นิยามของขอบนี้สามารถแสดงได้ในรูปของเส้นโค้งตัดศูนย์ของค่าคงที่เชิงอนุพันธ์

L_{v}^{2}L_{vv}=L_{x}^{2}\,L_{xx}+2\,L_{x}\,L_{y}\,L_{xy}+L_{y}^{2}\,L_{yy}=0,

ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขเครื่องหมายบนตัวแปรเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้

L_{v}^{3}L_{vvv}=L_{x}^{3}\,L_{xxx}+3\,L_{x}^{2}\,L_{y}\,L_{xxy}+3\,L_{x}\,L_{y}^{2}\,L_{xyy}+L_{y}^{3}\,L_{yyy}\leq 0

ที่ไหน $L_{x},L_{y},\ldots ,L_{yyy}$ หมายถึงอนุพันธ์ย่อยที่คำนวณจากการแสดงแทนในปริภูมิมาตราส่วน $L$ ได้มาจากการปรับภาพต้นฉบับให้เรียบด้วยเคอร์เนลแบบเกาส์เซียนด้วยวิธีนี้ ขอบจะถูกสร้างขึ้นโดยอัตโนมัติเป็นเส้นโค้งต่อเนื่องที่มีความแม่นยำระดับซับพิกเซล นอกจากนี้ยังสามารถใช้การกำหนดเกณฑ์แบบฮิสเทอรีซิสกับส่วนขอบที่แตกต่างกันและระดับซับพิกเซลเหล่านี้ได้อีกด้วย

ในทางปฏิบัติ การประมาณค่าอนุพันธ์อันดับแรกสามารถคำนวณได้โดยใช้ความแตกต่างแบบศูนย์กลางดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น ในขณะที่อนุพันธ์อันดับสองสามารถคำนวณได้จากการแสดงแทนในปริภูมิมาตราส่วน $L$ ตาม:

{\begin{aligned}L_{xx}(x,y)&=L(x-1,y)-2L(x,y)+L(x+1,y),\\[6pt]L_{xy}(x,y)&={\frac {1}{4}}(L(x-1,y-1)-L(x-1,y+1)-L(x+1,y-1)+L(x+1,y+1)),\\[6pt]L_{yy}(x,y)&=L(x,y-1)-2L(x,y)+L(x,y+1).\end{aligned}}

ซึ่งสอดคล้องกับหน้ากากกรองต่อไปนี้:

L_{xx}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}L\quad {\text{and}}\quad L_{xy}={\begin{bmatrix}-1/4&0&1/4\\0&0&0\\1/4&0&-1/4\end{bmatrix}}L\quad {\text{and}}\quad L_{yy}={\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}}L.

อนุพันธ์อันดับสูงกว่าสำหรับเงื่อนไขเครื่องหมายอันดับสามสามารถหาได้ในลักษณะเดียวกัน

อิงตามความสอดคล้องของเฟส

การพัฒนาล่าสุดในเทคนิคการตรวจจับขอบใช้แนวทางโดเมนความถี่ในการค้นหาตำแหน่งขอบ วิธี การความสอดคล้องของเฟส (หรือที่เรียกว่าความสอดคล้องของเฟส) พยายามค้นหาตำแหน่งในภาพที่ไซนูซอยด์ทั้งหมดในโดเมนความถี่อยู่ในเฟสเดียวกัน ตำแหน่งเหล่านี้โดยทั่วไปจะสอดคล้องกับตำแหน่งของขอบที่รับรู้ได้ โดยไม่คำนึงว่าขอบนั้นจะแสดงด้วยการเปลี่ยนแปลงความเข้มขนาดใหญ่ในโดเมนเชิงพื้นที่หรือไม่ ประโยชน์ที่สำคัญของเทคนิคนี้คือตอบสนองได้ดีต่อแถบ Machและหลีกเลี่ยงผลบวกเท็จที่มักพบรอบขอบหลังคาขอบหลังคาคือความไม่ต่อเนื่องในอนุพันธ์อันดับแรกของโปรไฟล์ระดับสีเทา^{[ 19 ]}

การแปลงเฟสแบบยืด (PST)

การแปลงเฟสสเตรทช์หรือPST เป็นวิธีการคำนวณที่ได้รับแรงบันดาลใจจากฟิสิกส์สำหรับการประมวลผลสัญญาณและภาพ หนึ่งในประโยชน์ของมันคือการตรวจจับและจำแนกคุณลักษณะ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} PST เป็นผลสืบเนื่องมาจากการวิจัยเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์แบบกระจายตัวแบบยืดเวลา PST แปลงภาพโดยจำลองการแพร่กระจายผ่านตัวกลางแบบเลี้ยวเบนที่มีคุณสมบัติการกระจายตัวแบบ 3 มิติที่ออกแบบมา (ดัชนีหักเห) การดำเนินการนี้อาศัยความสมมาตรของโปรไฟล์การกระจายตัวและสามารถเข้าใจได้ในแง่ของฟังก์ชันเฉพาะของการกระจายตัวหรือโหมดการยืด^{[ 22 ]} PST ทำงานคล้ายกับกล้องจุลทรรศน์คอนทราสต์เฟส แต่ใช้กับภาพดิจิทัล PST ยังสามารถใช้ได้กับภาพดิจิทัล รวมถึงข้อมูลเชิงเวลาและอนุกรมเวลาด้วย

ซับพิกเซล

เพื่อเพิ่มความแม่นยำในการตรวจจับขอบ มีการเสนอเทคนิคย่อยพิกเซลหลายวิธี รวมถึงการปรับเส้นโค้ง วิธีการอิงโมเมนต์^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}วิธีการสร้างใหม่ และวิธีการผลกระทบพื้นที่บางส่วน^{[ 25 ]}วิธีการเหล่านี้มีลักษณะที่แตกต่างกัน วิธีการปรับเส้นโค้งนั้นง่ายต่อการคำนวณ แต่ได้รับผลกระทบจากสัญญาณรบกวนได้ง่าย วิธีการอิงโมเมนต์ใช้วิธีการอิงอินทิกรัลเพื่อลดผลกระทบของสัญญาณรบกวน แต่ในบางกรณีอาจต้องใช้การคำนวณมากขึ้น วิธีการสร้างใหม่ใช้การไล่ระดับแนวนอนหรือการไล่ระดับแนวตั้งเพื่อสร้างเส้นโค้งและค้นหาจุดสูงสุดของเส้นโค้งเป็นขอบย่อยพิกเซล วิธีการผลกระทบพื้นที่บางส่วนนั้นอิงตามสมมติฐานที่ว่าค่าพิกเซลแต่ละค่าขึ้นอยู่กับพื้นที่ทั้งสองด้านของขอบภายในพิกเซลนั้น ทำให้ได้การประมาณค่าที่แม่นยำสำหรับพิกเซลขอบแต่ละพิกเซล ตัวแปรบางอย่างของเทคนิคอิงโมเมนต์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความแม่นยำที่สุดสำหรับขอบที่แยกเดี่ยว^{[ 24 ]}

เครื่องตรวจจับขอบ Marr-Hildreth

ตัวตรวจจับขอบ Marr-Hildreth ^{[ 26 ]}โดดเด่นด้วยการใช้ตัวดำเนินการ Laplacian of Gaussian (LoG) สำหรับการตรวจจับขอบในภาพดิจิทัล แตกต่างจากวิธีการตรวจจับขอบอื่นๆ วิธีการ LoG ผสมผสานการปรับเรียบแบบเกาส์เซียนเข้ากับการดำเนินการอนุพันธ์อันดับสอง ทำให้สามารถลดสัญญาณรบกวนและเพิ่มความคมชัดของขอบได้พร้อมกัน ข้อได้เปรียบที่สำคัญของวิธีนี้อยู่ที่ความสามารถในการตรวจจับขอบในระดับต่างๆ โดยการปรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของเคอร์เนลเกาส์เซียน ทำให้สามารถตรวจจับรายละเอียดปลีกย่อยรวมถึงการเปลี่ยนแปลงที่กว้างขึ้นได้ ยิ่งไปกว่านั้น เทคนิคนี้ใช้การตรวจจับจุดตัดศูนย์บนการตอบสนองของ LoG เพื่อระบุตำแหน่งขอบได้อย่างแม่นยำ ทำให้มีความทนทานต่อสัญญาณรบกวนและรักษาความต่อเนื่องของขอบ วิธีการนี้มีประสิทธิภาพเป็นพิเศษสำหรับการตรวจจับขอบที่มีขอบเขตชัดเจนในภาพ ในขณะที่ลดผลบวกเท็จเนื่องจากสัญญาณรบกวน ทำให้เป็นเครื่องมือที่มีค่าในแอปพลิเคชันคอมพิวเตอร์วิชั่นที่การระบุตำแหน่งขอบที่แม่นยำมีความสำคัญ

โค้ดสำหรับการตรวจจับขอบโดยใช้ตัวดำเนินการ Prewitt, Scharr และ Sobel

แหล่งที่มา: ^{[ 27 ]}