ฟังก์ชันของตัวแปรจริง${\displaystyle f(x)}$สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดหนึ่ง${\displaystyle a}$ของโดเมน นั้น หากโดเมนนั้นมีช่วงเปิดที่ประกอบด้วย⁠${\displaystyle a}$และขีดจำกัด$${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$$ มีอยู่^{[ 2 ]} ซึ่งหมายความว่าสำหรับจำนวนจริงบวก ทุกจำนวน${\displaystyle \varepsilon }$มีจำนวนจริงบวกอยู่จำนวนหนึ่ง${\displaystyle \delta }$โดยที่สำหรับทุกๆ${\displaystyle h}$โดยที่${\displaystyle |h|<\delta }$และ${\displaystyle h\neq 0}$แล้ว${\displaystyle f(a+h)}$ได้รับการกำหนดแล้ว และ $${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,}$$ โดยที่เส้นแนวตั้งแสดงถึงค่าสัมบูรณ์นี่เป็นตัวอย่างของนิยามลิมิตแบบ (ε, δ) ^{[ 3 ]}

ถ้าฟังก์ชัน${\displaystyle f}$สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่⁠${\displaystyle a}$นั่นคือถ้าลิมิต${\displaystyle L}$ถ้ามีอยู่จริง ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์ของ${\displaystyle f}$ที่⁠${\displaystyle a}$มีสัญลักษณ์หลายแบบสำหรับอนุพันธ์ ^{[ 4 ]}อนุพันธ์ของ${\displaystyle f}$ที่${\displaystyle a}$สามารถระบุได้ด้วย⁠${\displaystyle f'(a)}$อ่านว่า "${\displaystyle f}$จำนวนเฉพาะของ${\displaystyle a}$หรืออาจใช้สัญลักษณ์แทนได้ว่า${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$อ่านว่า "อนุพันธ์ของ${\displaystyle f}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle x}$ที่⁠${\displaystyle a}$หรือ​​${\displaystyle df}$โดย (หรือเหนือกว่า)${\displaystyle dx}$ที่⁠${\displaystyle a}$"ดูหมายเหตุ§ ด้านล่าง หาก${\displaystyle f}$ถ้าฟังก์ชันมีอนุพันธ์ที่ทุกจุดในโดเมน ของฟังก์ชัน นั้น แสดงว่าสามารถกำหนดฟังก์ชันได้โดยการแมปทุกจุด ในโดเมนนั้น${\displaystyle x}$ไปสู่ค่าของอนุพันธ์ของ${\displaystyle f}$ที่⁠${\displaystyle x}$ฟังก์ชันนี้เขียนขึ้นโดย${\displaystyle f'}$และเรียกว่าฟังก์ชันอนุพันธ์หรืออนุพันธ์ของ⁠${\displaystyle f}$ฟังก์ชัน​${\displaystyle f}$บางครั้งฟังก์ชันจะมีอนุพันธ์ที่จุดส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่ทุกจุดในโดเมน ฟังก์ชันที่มีค่า ณ จุดเหล่านั้น${\displaystyle a}$เท่ากับ${\displaystyle f'(a)}$เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle f'(a)}$มีนิยามและในที่อื่นไม่มีนิยาม เรียกอีกอย่างว่าอนุพันธ์ของ⁠${\displaystyle f}$มันยังคงเป็นฟังก์ชันอยู่ แต่โดเมนของมันอาจเล็กกว่าโดเมนของ${\displaystyle f}$[ ⁵ ]^​​

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า${\displaystyle f}$ให้ฟังก์ชันยกกำลังเป็น: ⁠${\displaystyle f(x)=x^{2}}$.จากนั้นผลหารในนิยามของอนุพันธ์คือ ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.}$$ การหารในขั้นตอนสุดท้ายนั้นใช้ได้ตราบใดที่⁠${\displaystyle h\neq 0}$ยิ่งใกล้เท่าไหร่${\displaystyle h}$คือ⁠${\displaystyle 0}$ยิ่งนิพจน์นี้เข้าใกล้ค่ามากเท่าไร${\displaystyle 2a}$ขีด จำกัดมีอยู่จริง และสำหรับทุกอินพุต${\displaystyle a}$ขีดจำกัดคือ⁠${\displaystyle 2a}$ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังสองคือฟังก์ชันคูณสอง :${\displaystyle f'(x)=2x}$⁠ .

อัตราส่วนในนิยามของอนุพันธ์ คือ ความชันของเส้นตรงที่ลากผ่านสองจุดบนกราฟของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$โดยเฉพาะอย่างยิ่งประเด็นต่างๆ${\displaystyle (a,f(a))}$และ​${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$.เช่นเดียวกับ${\displaystyle h}$เมื่อค่าเล็กลง จุดเหล่านี้จะเข้าใกล้กันมากขึ้น และความชันของเส้นนี้จะเข้าใกล้ค่าจำกัด ซึ่งก็คือความชันของเส้นสัมผัสกับกราฟของ${\displaystyle f}$ที่⁠${\displaystyle a}$กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์คือความชันของเส้นสัมผัส ^{[ 7 ]}

วิธีคิดเกี่ยวกับอนุพันธ์วิธีหนึ่ง${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$คืออัตราส่วนของ การเปลี่ยนแปลง เล็กน้อยในผลลัพธ์ของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ต่อการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในอินพุต^{[ 8 ]}เพื่อให้สัญชาตญาณนี้มีความเข้มงวด จำเป็นต้องมีระบบกฎสำหรับการจัดการปริมาณเล็กน้อย^{[ 9 ]}ระบบจำนวนไฮเปอร์เรียลเป็นวิธีหนึ่งในการจัดการ ปริมาณ อนันต์และปริมาณเล็กน้อย ไฮเปอร์เรียลเป็นส่วนขยายของจำนวนจริงที่มีจำนวนมากกว่าสิ่งใดๆ ในรูปแบบ${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$สำหรับจำนวนพจน์ที่จำกัดใดๆ จำนวนดังกล่าวเป็นอนันต์ และส่วนกลับ ของจำนวนเหล่านั้น เป็นอนันต์เล็กๆ การประยุกต์ใช้จำนวนไฮเปอร์เรียลกับพื้นฐานของแคลคูลัสเรียกว่าการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานซึ่งเป็นวิธีในการกำหนดแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัส เช่น อนุพันธ์และปริพันธ์ในรูปของอนันต์เล็กๆ ทำให้ความหมายที่แม่นยำยิ่งขึ้นแก่...${\displaystyle d}$ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ ดังนั้น อนุพันธ์ของ${\displaystyle f(x)}$กลายเป็น$${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$$สำหรับค่าอนันต์เล็ก ๆ ที่กำหนด${\displaystyle dx}$โดยที่${\displaystyle \operatorname {st} }$แสดงถึงฟังก์ชันส่วนมาตรฐานซึ่ง "ปัดเศษ" ไฮเปอร์เรียลจำกัดแต่ละตัวให้เป็นจำนวนจริงที่ใกล้ที่สุด^{[ 10 ]}ใช้ฟังก์ชันยกกำลังสอง${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ยกตัวอย่างเช่นอีกครั้ง $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$$

ต่อไปนี้คือหลักเกณฑ์สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานที่พบได้บ่อยที่สุด โดยที่${\displaystyle a}$เป็นจำนวนจริง และ${\displaystyle e}$เป็น ฐาน ^ของลอการิทึมธรรมชาติ ประมาณ2.71828 ^[ 29 ^]

• อนุพันธ์ของเลขยกกำลัง :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}$

• ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลอการิทึม ธรรมชาติและลอการิทึมฐานทั่วไป:

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$สำหรับ​${\displaystyle a>0}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$สำหรับ​${\displaystyle x>0}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$สำหรับ​${\displaystyle x,a>0}$

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน :

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$สำหรับ​${\displaystyle -1<x<1}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$สำหรับ​${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

กฎต่อไปนี้อนุญาตให้อนุมานอนุพันธ์ของฟังก์ชันจำนวนมากจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน: ^{[ 30 ]}

• กฎคงที่ : ถ้า${\displaystyle f}$หากเป็นฟังก์ชันคงที่แล้ว สำหรับทุก ๆ⁠${\displaystyle x}$⁠ ,

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• กฎการบวก :

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$และจำนวนจริงทั้งหมด${\displaystyle \alpha }$และ​${\displaystyle \beta }$⁠ .

• กฎของผลิตภัณฑ์ :

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด${\displaystyle f}$และ​${\displaystyle g}$ในกรณีพิเศษ กฎนี้รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle \alpha }$เป็นค่าคงที่เพราะ${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$ตามกฎคงที่

• กฎการหาร :

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$ที่อินพุตทั้งหมดที่⁠${\displaystyle g\neq 0}$⁠ .

• กฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันประกอบ : ถ้า ⁠${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$จากนั้น

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดย${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$เป็น $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$$ ในที่นี้ พจน์ที่สองคำนวณโดยใช้กฎลูกโซ่และพจน์ที่สามคำนวณโดยใช้กฎผลคูณ อนุพันธ์ที่ทราบของฟังก์ชันพื้นฐาน⁠${\displaystyle x^{2}}$, ⁠​${\displaystyle x^{4}}$, ⁠​${\displaystyle \sin(x)}$, ⁠​${\displaystyle \ln(x)}$และ​​${\displaystyle \exp(x)}$รวมถึงค่าคงที่ด้วย${\displaystyle 7}$นอกจากนี้ยังมีการใช้งานอีกด้วย

ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์${\displaystyle \mathbf {y} }$ของตัวแปรจริงจะส่งจำนวนจริงไปยังเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ บางแห่ง${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ฟังก์ชันเวกเตอร์สามารถแยกออกเป็นฟังก์ชันพิกัดได้${\displaystyle y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t)}$หมายความว่า​${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t))}$ซึ่ง รวมถึง เส้นโค้งพาราเมตริกในตัวอย่างเช่น${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$หรือ​${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ฟังก์ชันพิกัดเป็นฟังก์ชันค่าจริง ดังนั้นนิยามของอนุพันธ์ข้างต้นจึงใช้ได้กับฟังก์ชันเหล่านั้น อนุพันธ์ของ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์ที่เรียกว่าเวกเตอร์สัมผัสซึ่งพิกัดของเวกเตอร์นี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันพิกัด นั่นคือ^{[ 38 ]}$${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$$ ถ้าลิมิตมีอยู่ การลบในตัวเศษเป็นการลบเวกเตอร์ ไม่ใช่สเกลาร์ ถ้าอนุพันธ์ของ${\displaystyle \mathbf {y} }$มีอยู่สำหรับทุกค่าของ⁠${\displaystyle t}$จากนั้น${\displaystyle \mathbf {y} '}$เป็นฟังก์ชันเวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง^{[ 38 ]}

ฟังก์ชันสามารถขึ้นอยู่กับตัวแปรมากกว่าหนึ่ง ตัวได้ อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันที่มีหลายตัวแปร คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง โดยที่ตัวแปรอื่นๆ คงที่ อนุพันธ์ย่อยใช้ในแคลคูลัสเวกเตอร์และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เช่นเดียวกับอนุพันธ์ทั่วไป มีสัญลักษณ์หลายแบบ: อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน${\displaystyle f(x,y,\dots )}$โดยสัมพันธ์กับตัวแปร${\displaystyle x}$มีการแสดงความหมายได้หลากหลายโดย

⁠${\displaystyle f_{x}}$, ⁠​${\displaystyle f'_{x}}$, ⁠​${\displaystyle \partial _{x}f}$, ⁠​${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$หรือ​​${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$⁠ ,

ท่ามกลางความเป็นไปได้อื่นๆ^{[ 39 ]}อาจคิดได้ว่าเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันใน${\displaystyle x}$-ทิศทาง^{[ 40 ]}ในที่นี้∂คือd ที่โค้งมน เรียกว่าสัญลักษณ์อนุพันธ์ย่อยเพื่อแยกความแตกต่างจากตัวอักษรdบางครั้ง ∂ จะออกเสียงว่า "der", "del" หรือ "partial" แทนที่จะเป็น "dee" ^{[ 41 ]}ตัวอย่างเช่น ให้⁠${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$จาก นั้นอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$โดยพิจารณาจากตัวแปรทั้งสอง${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ได้แก่: $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.}$$ โดยทั่วไป อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ในทิศทาง${\displaystyle x_{i}}$ณ จุดนั้น${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ถูกกำหนดให้เป็น: ^{[ 42 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$$

นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัวให้${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$เป็นฟังก์ชันค่าจริง ดังกล่าว ถ้าอนุพันธ์ย่อยทั้งหมด${\displaystyle f}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle x_{j}}$ถูกกำหนดที่จุด⁠${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$อนุพันธ์ย่อยเหล่า นี้กำหนดเวกเตอร์ $${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$$ ซึ่งเรียกว่าความชันของ${\displaystyle f}$ที่⁠${\displaystyle a}$ถ้า​${\displaystyle f}$ถ้าอนุพันธ์สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดในโดเมนใดโดเมนหนึ่งแล้ว เกรเดียนต์จะเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์${\displaystyle \nabla f}$ที่แมปจุดนั้น${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ไปยังเวกเตอร์${\displaystyle \nabla f(a_{1},\dots ,a_{n})}$ดังนั้นความชันจึงกำหนดสนามเวกเตอร์ ^{[ 43 ]}

ถ้า${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันค่าจริงบน⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$จาก นั้นอนุพันธ์ย่อยของ${\displaystyle f}$วัดการเปลี่ยนแปลงในทิศทางของแกนพิกัด ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันของ${\displaystyle x}$และ​${\displaystyle y}$จาก นั้นอนุพันธ์ย่อยของมันจะวัดการเปลี่ยนแปลงใน${\displaystyle f}$ใน${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ทิศทาง อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่ได้วัดการเปลี่ยนแปลงโดยตรงของ${\displaystyle f}$ในทิศทางอื่นใด เช่น ตามแนวเส้นทแยงมุม${\displaystyle y=x}$สิ่งเหล่านี้วัดได้โดยใช้อนุพันธ์เชิงทิศทาง เมื่อกำหนดเวกเตอร์${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$จากนั้นอนุพันธ์เชิงทิศทางของ${\displaystyle f}$ในทิศทางของ${\displaystyle \mathbf {v} }$ณ จุดนั้น${\displaystyle \mathbf {x} }$คือ: ^{[ 44 ]}$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

ถ้าอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดของ${\displaystyle f}$มีอยู่และต่อเนื่องที่⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$จาก นั้นจึงกำหนดอนุพันธ์เชิงทิศทางของ${\displaystyle f}$ในทิศทาง${\displaystyle \mathbf {v} }$โดยใช้สูตร: ^{[ 45 ]}$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$$

เมื่อไร${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันจากเซตย่อยเปิดของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ถึง⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$จาก นั้นอนุพันธ์เชิงทิศทางของ${\displaystyle f}$ในทิศทางที่เลือกนั้นเป็นการประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุดสำหรับ${\displaystyle f}$ณ จุดนั้นและในทิศทางนั้น อย่างไรก็ตาม เมื่อ⁠${\displaystyle n>1}$ไม่มีอนุพันธ์เชิงทิศทาง ใดเพียงตัวเดียวที่สามารถให้ภาพที่สมบูรณ์ของพฤติกรรมของ${\displaystyle f}$อนุพันธ์รวมให้ภาพที่สมบูรณ์โดยพิจารณาทุกทิศทางพร้อมกัน นั่นคือ สำหรับเวกเตอร์ใดๆ${\displaystyle \mathbf {v} }$เริ่มต้นที่⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$สูตรการประมาณเชิงเส้นเป็นไปตามนี้ : ^{[ 46 ]}$${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$$ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ตัวแปรเดียว${\displaystyle f'(\mathbf {a} )}$ถูกเลือกเพื่อให้ข้อผิดพลาดในการประมาณค่านี้มีค่าน้อยที่สุด อนุพันธ์รวมของ${\displaystyle f}$ที่${\displaystyle \mathbf {a} }$เป็นการแปลงเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกัน${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$โดยที่^{[ 46 ]}$${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$$ ที่นี่${\displaystyle \mathbf {h} }$เป็นเวกเตอร์ใน⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ดังนั้นค่ามาตรฐานในตัวส่วนจึงเป็นความยาวมาตรฐานบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$อย่างไรก็ตาม​${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} }$เป็นเวกเตอร์ใน⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$และค่ามาตรฐานในตัวเศษคือความยาวมาตรฐานบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$[ ⁴⁶ ]ถ้า^​​${\displaystyle v}$เป็นเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่⁠${\displaystyle a}$จากนั้น${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$เรียกว่าการผลักดันไปข้างหน้าของ${\displaystyle \mathbf {v} }$โดย​${\displaystyle f}$⁠ . ^{[ 47 ]}

ถ้าอนุพันธ์รวมมีอยู่ ณ⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$จาก นั้นอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดและอนุพันธ์ทิศทางของ${\displaystyle f}$มีอยู่ ณ⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$และสำหรับทุกคน${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠ ,${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$คืออนุพันธ์เชิงทิศทางของ${\displaystyle f}$ในทิศทาง${\displaystyle \mathbf {v} }$ถ้า​${\displaystyle f}$เขียนโดยใช้ฟังก์ชันพิกัด ดังนั้น⁠${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})}$ดังนั้นอนุพันธ์รวมสามารถแสดงได้โดยใช้อนุพันธ์ย่อยในรูปเมทริก ซ์ เมท ริกซ์นี้เรียกว่าเมทริกซ์จาโคเบียนของ${\displaystyle f}$ที่${\displaystyle \mathbf {a} }$: ^{[ 48 ]}$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$$