ปริศนา เด็กชายหรือเด็กหญิงเกี่ยวข้องกับชุดคำถามในทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งเรียกอีกอย่างว่าปัญหาเด็กสองคน [ ^{1 ]}ลูกๆ ของนายสมิธ^{[ 2 ]}และปัญหาของนางสมิธการตั้งคำถามครั้งแรกย้อนกลับไปอย่างน้อยในปี 1959 เมื่อ  ^มาร์ติน การ์ดเนอร์ นำเสนอใน คอลัมน์ "เกมคณิตศาสตร์ " ของเขาในScientific American  เดือนตุลาคม 1959 เขาตั้งคำถามนี้ไว้ดังนี้:

• นายโจนส์มีลูกสองคน ลูกคนโตเป็นผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสองคนเป็นผู้หญิงคือเท่าไร?
• นายสมิธมีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งคนเป็นลูกชาย ความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสองคนเป็นลูกชายคือเท่าไร?

การ์ดเนอร์เป็นผู้ให้คำตอบในตอนแรก1/2และ​​1/3ตาม ลำดับแต่ต่อมายอมรับว่าคำถามข้อที่สองนั้นคลุมเครือ^{[ 1 ]}คำตอบอาจเป็น⁠1/2ขึ้นอยู่กับขั้นตอนในการได้มาซึ่งข้อมูล "อย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้ชาย" ความกำกวมขึ้นอยู่กับถ้อยคำที่แน่นอนและสมมติฐานที่เป็นไปได้ ได้รับการยืนยันโดยMaya Bar-HillelและRuma Falk [ ^{3 ] และ} Raymond S. Nickerson ^{[ 4 ]}

คำถามรูปแบบอื่นๆ ที่มีความคลุมเครือแตกต่างกันไป ได้รับความนิยมจาก^Ask Marilynในนิตยสาร Parade [ ^{5 ]} John TierneyจากThe New York Times [ ^{6 ]}และLeonard MlodinowในThe Drunkard's Walk [ ^{7 ] การ ศึกษาทางวิทยาศาสตร์ชิ้นหนึ่งแสดงให้เห็นว่า เมื่อมีการถ่ายทอดข้อมูลที่เหมือนกัน แต่ใช้ถ้อยคำที่คลุมเครือบางส่วนซึ่ง เน้น}จุดที่แตกต่างกัน เปอร์เซ็นต์ของนักศึกษาMBA ที่ตอบคำถาม ⁠1/2เปลี่ยนจาก 85% เป็น 39% ^{[ 2 ]}

ความขัดแย้งดังกล่าวได้กระตุ้นให้เกิดการโต้เถียงกันอย่างมาก^{[ 4 ]}ความขัดแย้งนี้เกิดจากว่าการตั้งค่าปัญหานั้นคล้ายคลึงกันสำหรับคำถามทั้งสองหรือไม่^{[ 2 ] [ 7 ]}คำตอบที่เข้าใจง่ายคือ⁠1/2[ ^{2 ]}คำตอบนี้เป็นไปตามสัญชาตญาณหากคำถามนำผู้อ่านให้เชื่อว่ามีความเป็นไปได้สองประการที่เท่าเทียมกันสำหรับเพศของบุตรคนที่สอง (เช่น เด็กชายและเด็กหญิง) ^[ 2 ^{]และความ}น่าจะเป็นของผลลัพธ์เหล่านี้เป็นค่าสัมบูรณ์ ไม่ใช่ค่ามีเงื่อนไข^{[ 8 ]}

ประการแรก ถือว่าพื้นที่ของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสามารถแจงนับได้อย่างง่ายดาย ซึ่งให้ คำจำกัดความ ของผลลัพธ์แบบขยาย : {BB, BG, GB, GG} ^{[ 9 ]}สัญลักษณ์นี้บ่งชี้ว่ามีการรวมกันของเด็กที่เป็นไปได้สี่แบบ โดยกำหนดให้เด็กชายเป็น B และเด็กหญิงเป็น G และใช้ตัวอักษรตัวแรกเพื่อแสดงถึงเด็กที่โตกว่า ประการที่สอง ถือว่าผลลัพธ์เหล่านี้มีความน่าจะเป็นเท่ากัน^{[ 9 ]} ซึ่งหมายถึง แบบจำลองต่อไปนี้กระบวนการเบอร์นูลลีที่มีp  =  ⁠1/2:​

1. เด็กแต่ละคนจะเป็นเพศชายหรือเพศหญิงอย่างใดอย่างหนึ่ง
2. เด็กแต่ละคนมีโอกาสที่จะเป็นเพศชายเท่ากับโอกาสที่จะเป็นเพศหญิง
3. เพศของเด็กแต่ละคนไม่เกี่ยวข้องกับเพศของเด็กคนอื่น

• นายโจนส์มีลูกสองคน ลูกคนโตเป็นผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสองคนเป็นผู้หญิงคือเท่าไร?

ภายใต้สมมติฐานที่กล่าวมาข้างต้น ในปัญหานี้ จะสุ่มเลือกครอบครัวหนึ่งครอบครัว ในปริภูมิของตัวอย่าง นี้ มีเหตุการณ์สี่ เหตุการณ์ ที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน :

มีเพียงสองเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่านั้นที่ตรงตามเกณฑ์ที่ระบุในคำถาม (เช่น GG, GB) เนื่องจากความเป็นไปได้ทั้งสองในปริภูมิเหตุการณ์ใหม่ {GG, GB} มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน และมีเพียงหนึ่งในสองความเป็นไปได้ คือ GG เท่านั้นที่มีเด็กหญิงสองคน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เด็กคนเล็กจะเป็นเด็กหญิงด้วยคือ⁠1/2⁠ .

• นายสมิธมีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งคนเป็นลูกชาย ความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสองคนเป็นลูกชายคือเท่าไร?

คำถามนี้เหมือนกับคำถามข้อแรกทุกประการ ยกเว้นว่าแทนที่จะระบุว่าเด็กคนโตเป็นเด็กผู้หญิง คำถามนี้ระบุว่าอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้ชาย ในการตอบสนองต่อคำวิจารณ์ของผู้อ่านเกี่ยวกับคำถามที่ตั้งขึ้นในปี 1959 การ์ดเนอร์กล่าวว่าไม่มีคำตอบที่เป็นไปได้หากปราศจากข้อมูลที่ไม่ได้ให้มา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีการสองวิธีที่แตกต่างกันในการพิจารณาว่า "อย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้ชาย" อาจนำไปสู่ถ้อยคำของปัญหาที่เหมือนกันทุกประการ แต่กลับนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้องที่แตกต่างกัน

• จากครอบครัวทั้งหมดที่มีบุตรสองคน โดยอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นบุตรชาย จะสุ่มเลือกครอบครัวหนึ่งครอบครัว ซึ่งจะได้คำตอบว่า⁠1/3⁠ .
• จากครอบครัวที่มีลูกสองคนทั้งหมด จะสุ่มเลือกเด็กหนึ่งคน และระบุเพศของเด็กคนนั้นว่าเป็นเด็กผู้ชาย ซึ่งจะได้คำตอบว่า⁠1/2⁠ . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Grinstead และ Snell โต้แย้งว่าคำถามนั้นคลุมเครือในลักษณะเดียวกับที่ Gardner ทำ^{[ 10 ]}พวกเขาปล่อยให้ผู้อ่านตัดสินใจว่าขั้นตอนที่ให้คำตอบเป็น 1/3 นั้นสมเหตุสมผลสำหรับปัญหาตามที่ระบุไว้ข้างต้นหรือไม่ การกำหนดคำถามที่พวกเขากำลังพิจารณาโดยเฉพาะมีดังต่อไปนี้:

• พิจารณาครอบครัวหนึ่งที่มีลูกสองคน กำหนดให้ลูกคนหนึ่งเป็นผู้ชาย ความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสองคนเป็นผู้ชายคือเท่าใด

ในการกำหนดปัญหาเช่นนี้ ความกำกวมปรากฏชัดเจนที่สุด เพราะไม่ชัดเจนว่าเราสามารถสันนิษฐานได้หรือไม่ว่าเด็กคนใดคนหนึ่งเป็นเด็กผู้ชาย ซึ่งจะทำให้เด็กอีกคนหนึ่งไม่แน่ชัด หรือควรตีความในลักษณะเดียวกับ "อย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้ชาย" ความกำกวมนี้ทำให้เกิดความเป็นไปได้หลายอย่างที่ไม่เท่ากัน และทำให้จำเป็นต้องตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับวิธีการได้มาซึ่งข้อมูล ดังที่ Bar-Hillel และ Falk กล่าวไว้ ซึ่งสมมติฐานที่แตกต่างกันอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน (เนื่องจากโจทย์ปัญหาไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนเพียงพอที่จะอนุญาตให้มีการตีความและคำตอบที่ตรงไปตรงมาเพียงอย่างเดียว)

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าผู้สังเกตการณ์เห็นนายสมิธกำลังเดินเล่นกับลูกเพียงคนเดียว ถ้าเขามีลูกชายสองคน ลูกคนนั้นก็ต้องเป็นลูกชาย แต่ถ้าเขามีลูกชายและลูกสาว ลูกคนนั้นก็อาจจะเป็นลูกสาวก็ได้ ดังนั้น การเห็นเขาเดินเล่นกับลูกชายจึงตัดความเป็นไปได้ไม่เพียงแต่กรณีที่เขามีลูกสาวสองคนเท่านั้น แต่ยังตัดความเป็นไปได้ที่เขามีลูกชายและลูกสาวแล้วเลือกเดินเล่นกับลูกสาวด้วย

ดังนั้น แม้ว่าจะเป็นความจริงที่ว่านายสมิธทุกคนมีลูกชายอย่างน้อยหนึ่งคน (กล่าวคือ เงื่อนไขนี้จำเป็น) แต่ก็ไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่านายสมิธทุกคนที่มีลูกชายอย่างน้อยหนึ่งคนนั้นเป็นคู่ที่ตั้งใจไว้ กล่าวคือ โจทย์ไม่ได้ระบุว่าการมีลูกชายเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอที่จะระบุว่านายสมิธมีลูกชายด้วยวิธีนี้

^{บาร์-ฮิลเลลและฟอล์ก [ 3 ]}แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับปัญหาเวอร์ชันของการ์ดเนอร์ว่า "นายสมิธ ซึ่งแตกต่างจากผู้อ่าน น่าจะทราบเพศของลูกทั้งสองคนเมื่อกล่าวประโยคนี้" กล่าวคือ "ฉันมีลูกสองคน และอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นผู้ชาย" นอกจากนี้ยังต้องสันนิษฐานว่านายสมิธจะรายงานข้อเท็จจริงนี้เสมอหากเป็นความจริง และอาจจะเงียบหรือบอกว่าเขามีลูกสาวอย่างน้อยหนึ่งคน เพื่อให้คำตอบที่ถูกต้องคือ⁠1/3ตามที่การ์ดเนอร์ตั้งใจไว้ แต่แรก แต่ภายใต้สมมติฐานนั้น หากเขานิ่งเงียบหรือบอกว่าเขามีลูกสาวหนึ่งคน ก็มีความเป็นไปได้ 100% ว่าเขามีลูกสาวสองคน

If it is assumed that this information was obtained by looking at both children to see if there is at least one boy, the condition is both necessary and sufficient. Three of the four equally probable events for a two-child family in the sample space above meet the condition, as in this table:

Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is ⁠1/3⁠. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex. Instead, one must consider only the probabilities where the statement will be made in each case.^[10] So, if ALOB represents the event where the statement is "at least one boy", and ALOG represents the event where the statement is "at least one girl", then this table describes the sample space:

So, if at least one is a boy when the fact is chosen randomly, the probability that both are boys is $${\displaystyle \mathrm {\frac {P(ALOB\;and\;BB)}{P(ALOB)}} ={\frac {\frac {1}{4}}{0+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{2}}\,.}$$

The paradox occurs when it is not known how the statement "at least one is a boy" was generated. Either answer could be correct, based on what is assumed.^[11]

However, the "⁠1/3⁠" answer is obtained only by assuming P(ALOB | BG) = P(ALOB | GB) =1, which implies P(ALOG | BG) = P(ALOG | GB) = 0, that is, the other child's sex is never mentioned although it is present. As Marks and Smith say, "This extreme assumption is never included in the presentation of the two-child problem, however, and is surely not what people have in mind when they present it."^[11]

Another way to analyse the ambiguity (for question 2) is by making explicit the generative process (all draws are independent).

• The following process leads to answer ${\displaystyle \mathrm {P} (c_{1}=c_{2}=\mathrm {B} \mid \mathrm {การสังเกต} )={\frac {1}{3}}}$ :
  • Draw ${\displaystyle c_{1}}$ equiprobably from ${\displaystyle \mathrm {\{B,G\}} }$
  • Draw ${\displaystyle c_{2}}$ equiprobably from ${\displaystyle \mathrm {\{B,G\}} }$
  • Discard cases where there is no B
  • Observe ${\displaystyle c_{1}=\mathrm {B} \land c_{2}=\mathrm {B} }$
• The following process leads to answer ${\displaystyle \mathrm {P} (c_{1}=c_{2}=\mathrm {B} \mid \mathrm {การสังเกต} )={\frac {1}{2}}}$ :
  • Draw ${\displaystyle c_{1}}$ equiprobably from ${\displaystyle \mathrm {\{B,G\}} }$
  • Draw ${\displaystyle c_{2}}$ equiprobably from ${\displaystyle \mathrm {\{B,G\}} }$
  • Draw index ${\displaystyle i}$ equiprobably from ${\displaystyle \{1,2\}}$
  • Observe ${\displaystyle c_{i}=\mathrm {B} }$

Following classical probability arguments, we consider a large urn containing two children. We assume equal probability that either is a boy or a girl. The three discernible cases are thus:

1. both are girls (GG) – with probability P(GG) = ⁠1/4⁠,
2. both are boys (BB) – with probability of P(BB) = ⁠1/4⁠, and
3. one of each (G·B) – with probability of P(G·B) = ⁠1/2⁠ .

นี่คือความน่าจะ เป็นก่อนหน้า

ทีนี้เราเพิ่มสมมติฐานเพิ่มเติมว่า "อย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้ชาย" = B โดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์สเราพบว่า

$${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid B)} =\mathrm {P(B\mid BB)\times {\frac {P(BB)}{P(B)}}} =1\times {\frac {\left({\frac {1}{4}}\right)}{\left({\frac {3}{4}}\right)}}={\frac {1}{3}}\,.}$$

โดยที่ P(A|B) หมายถึง "ความน่าจะเป็นของ A เมื่อกำหนดให้ B" P(B|BB) = ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กผู้ชายอย่างน้อยหนึ่งคน เมื่อกำหนดให้ทั้งสองคนเป็นเด็กผู้ชาย = 1 P(BB) = ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กผู้ชายทั้งสองคน = ⁠1/4จากการแจกแจงก่อนหน้า P(B) = ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งคนจะเป็นเด็กผู้ชาย ซึ่งรวมถึงกรณี BB และ G·B =1/4+​​1/2=​​3/4⁠ .

โปรดทราบว่า แม้ว่าสมมติฐานตามธรรมชาติดูเหมือนจะเป็นความน่าจะเป็นของ⁠1/2ดังนั้นค่าที่ได้มาของ1/3ดูเหมือนจะต่ำ ค่า "ปกติ" ที่แท้จริงของ P(BB) คือ1/4ดังนั้น​​1/3จริงๆ แล้ว สูงกว่า นิดหน่อย

ความขัดแย้งเกิดขึ้นเพราะสมมติฐานข้อที่สองนั้นค่อนข้างประดิษฐ์ขึ้น และเมื่ออธิบายปัญหาในบริบทจริง ๆ แล้วสิ่งต่าง ๆ ก็เริ่มยุ่งยากขึ้น เราจะรู้ได้อย่างไรว่า "อย่างน้อย" หนึ่งคนเป็นเด็กผู้ชาย? คำอธิบายหนึ่งของปัญหาบอกว่าเรามองเข้าไปในหน้าต่าง เห็นเด็กเพียงคนเดียวและเป็นเด็กผู้ชาย นี่ฟังดูเหมือนสมมติฐานเดียวกัน อย่างไรก็ตาม สมมติฐานนี้เทียบเท่ากับการ "สุ่มตัวอย่าง" จากการกระจาย (เช่น นำเด็กหนึ่งคนออกจากโถ ตรวจสอบว่าเป็นเด็กผู้ชาย แล้วจึงใส่กลับเข้าไป) ให้เราเรียกข้อความที่ว่า "ตัวอย่างเป็นเด็กผู้ชาย" ว่าข้อเสนอ "ข" ตอนนี้เรามี:

$${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid b)} =\mathrm {P(b\mid BB)\times {\frac {P(BB)}{P(b)}}} =1\times {\frac {\left({\frac {1}{4}}\right)}{\left({\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {1}{2}}\,.}$$

ความแตกต่างอยู่ที่ P(b) ซึ่งเป็นเพียงความน่าจะเป็นของการสุ่มได้เด็กผู้ชายจากกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด (กล่าวคือ โดยไม่มีคำว่า "อย่างน้อย") ซึ่งเห็นได้ชัดว่า⁠1/2⁠ .

การวิเคราะห์แบบเบย์เซียนสามารถขยายไปสู่กรณีที่เราผ่อนคลายข้อสมมติฐานเรื่องประชากร 50:50 ได้อย่างง่ายดาย หากเราไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับประชากร เราจะถือว่ามี "ไพรเออร์แบบแบนราบ" กล่าวคือ P(GG) = P(BB) = P(G·B) = ⁠1/3ในกรณีนี้ สมมติฐาน "อย่างน้อย" จะให้ผลลัพธ์ P(BB|B) = ⁠1/2และสมมติฐานการสุ่มตัวอย่างทำให้ได้ P(BB|b) = ⁠2/3ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่สามารถอนุมานได้จากกฎการสืบทอดตำแหน่งเช่น กัน

หลังจากที่ Gardner ทำให้ปรากฏการณ์นี้เป็นที่นิยม ก็มีการนำเสนอและอภิปรายในรูปแบบต่างๆ มากมาย รูปแบบแรกที่นำเสนอโดย Bar-Hillel & Falk ^{[ 3 ]}มีถ้อยคำดังนี้:

• นายสมิธเป็นพ่อของลูกสองคน เราพบเขาเดินอยู่บนถนนกับเด็กชายคนหนึ่งซึ่งเขาแนะนำอย่างภาคภูมิใจว่าเป็นลูกชายของเขา โอกาสที่ลูกอีกคนของนายสมิธจะเป็นเด็กผู้ชายมีมากน้อยเพียงใด?

Bar-Hillel และ Falk ใช้รูปแบบนี้เพื่อเน้นความสำคัญของการพิจารณาข้อสมมติฐานพื้นฐาน คำตอบที่เข้าใจง่ายคือ⁠1/2และเมื่อพิจารณาตามสมมติฐานที่เป็นธรรมชาติที่สุดแล้ว นี่ก็ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม บางคนอาจโต้แย้งว่า "...ก่อนที่นายสมิธจะระบุว่าเด็กชายคนนั้นเป็นลูกชายของเขา เรารู้เพียงว่าเขาเป็นพ่อของเด็กชายสองคน (BB) หรือเด็กหญิงสองคน (GG) หรือเป็นพ่อของเด็กชายหนึ่งคนและเด็กหญิงหนึ่งคนในลำดับใดก็ได้ กล่าวคือBGหรือ GB โดยสมมติอีกครั้งว่าเหตุการณ์เป็นอิสระและมีความน่าจะเป็นเท่ากัน เราเริ่มต้นด้วยความน่าจะเป็นที่⁠1/4ว่าสมิธเป็นพ่อของเด็กชายสองคน การค้นพบว่าเขามีลูกชายอย่างน้อยหนึ่งคนจะตัดเหตุการณ์ GG ออกไป เนื่องจากเหตุการณ์ที่เหลืออีกสามเหตุการณ์มีความน่าจะเป็นเท่ากัน เราจึงได้ความน่าจะเป็นเท่ากับ1/3สำหรับ BB" ^{[ 3 ]}

โดยทั่วไปแล้ว เรามักสันนิษฐานว่านายสมิธเลือกเด็กที่จะเดินเป็นเพื่อนแบบสุ่ม ถ้าเป็นเช่นนั้น เนื่องจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ BB เป็นสองเท่าของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ BG หรือ GB ที่จะทำให้เด็กชายเดินเป็นเพื่อน (และเหตุการณ์ GG มีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ จึงตัดความเป็นไปได้ออกไป) ดังนั้น การรวมกันของเหตุการณ์ BG และ GB จึงมีความน่าจะเป็นเท่ากับเหตุการณ์ BB และด้วยเหตุนี้ โอกาสที่เด็กอีกคนจะเป็นเด็กชายก็คือ⁠1/2อย่างไรก็ตามบาร์-ฮิลเลลและฟอล์กเสนอสถานการณ์ทางเลือกอื่น พวกเขาจินตนาการถึงวัฒนธรรมที่เด็กผู้ชายมักถูกเลือกเป็นเพื่อนร่วมเดินมากกว่าเด็กผู้หญิง ในกรณีนี้ การรวมกันของ BB, BG และ GB ถือว่า มีโอกาส เท่ากันที่จะทำให้เด็กผู้ชายเป็นเพื่อนร่วมเดิน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เด็กอีกคนจะเป็นเด็กผู้ชายก็คือ1/3⁠ .

ในปี พ.ศ. 2534 Marilyn vos Savantได้ตอบคำถามของผู้อ่านที่ขอให้เธอตอบคำถามเกี่ยวกับความขัดแย้งระหว่างเด็กชายหรือเด็กหญิงในรูปแบบที่แตกต่างออกไป ซึ่งรวมถึงสุนัขพันธุ์บีเกิล ด้วย ^{[ 5 ]}ในปี พ.ศ. 2539 เธอได้ตีพิมพ์คำถามนี้อีกครั้งในรูปแบบที่แตกต่างออกไป คำถามในปี พ.ศ. 2534 และ พ.ศ. 2539 มีถ้อยคำดังนี้:

• แม่ค้าบอกว่าเธอมีลูกบีเกิลสองตัวใหม่มาให้คุณดู แต่เธอไม่รู้ว่าเป็นตัวผู้ ตัวเมีย หรือเป็นคู่กัน คุณบอกเธอว่าคุณต้องการตัวผู้เพียงตัวเดียว เธอจึงโทรศัพท์ไปหาคนที่กำลังอาบน้ำให้พวกมัน "อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นตัวผู้ใช่ไหมคะ" เธอถาม "ใช่ค่ะ!" เธอบอกคุณพร้อมกับรอยยิ้ม โอกาสที่อีกตัวจะเป็นตัวผู้คือเท่าไร?
• สมมติว่าหญิงและชายคู่หนึ่ง (ซึ่งไม่ได้เป็นญาติกัน) ต่างก็มีลูกสองคน เรารู้ว่าอย่างน้อยหนึ่งในลูกของหญิงนั้นเป็นลูกชาย และลูกคนโตของชายนั้นเป็นลูกชาย คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมโอกาสที่หญิงจะมีลูกชายสองคนจึงไม่เท่ากับโอกาสที่ชายจะมีลูกชายสองคน?

สำหรับคำถามข้อที่สอง วอส ซาวานต์ ให้คำตอบแบบคลาสสิกว่า โอกาสที่ผู้หญิงคนนั้นจะมีลูกชายสองคนนั้นอยู่ที่ประมาณ⁠1/3ในขณะที่โอกาสที่ผู้ชายคนนั้นจะมีลูกชายสองคนนั้นอยู่ที่ประมาณ⁠1/2⁠ . เพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็นของผู้อ่านที่ตั้งคำถามเกี่ยวกับการวิเคราะห์ของเธอ vos Savant จึงทำการสำรวจผู้อ่านที่มีลูกสองคนพอดี โดยอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้ชาย จากการตอบแบบสอบถาม 17,946 ครั้ง พบว่า 35.9% รายงานว่ามีลูกชายสองคน^{[ 9 ]}

บทความของ Vos Savant ได้รับการกล่าวถึงโดย Carlton และ Stansfield ^{[ 9 ]}ในบทความปี 2005 ในThe American Statisticianผู้เขียนไม่ได้กล่าวถึงความกำกวมที่อาจเกิดขึ้นในคำถามและสรุปว่าคำตอบของเธอถูกต้องจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ โดยพิจารณาจากสมมติฐานที่ว่าโอกาสที่เด็กจะเป็นเด็กชายหรือเด็กหญิงนั้นเท่ากัน และเพศของเด็กคนที่สองเป็นอิสระจากคนแรก เกี่ยวกับแบบสำรวจของเธอ พวกเขากล่าวว่า "อย่างน้อยที่สุดก็ยืนยันการยืนยันที่ถูกต้องของ Vos Savant ว่า "โอกาส" ที่ตั้งไว้ในคำถามเดิม แม้จะฟังดูคล้ายกัน แต่ก็แตกต่างกัน และความน่าจะเป็นแรกนั้นแน่นอนว่าใกล้เคียงกับ 1 ใน 3 มากกว่า 1 ใน 2"

คาร์ลตันและสแตนส์ฟิลด์ได้อภิปรายถึงสมมติฐานทั่วไปในปรากฏการณ์เด็กชายหรือเด็กหญิง พวกเขาแสดงให้เห็นว่าในความเป็นจริงแล้วเด็กชายมีโอกาสเกิดมากกว่าเด็กหญิง และเพศของเด็กคนที่สองไม่ได้เป็นอิสระจากเพศของเด็กคนแรก ผู้เขียนสรุปว่า แม้ว่าสมมติฐานของคำถามจะขัดแย้งกับการสังเกต แต่ปรากฏการณ์นี้ก็ยังมีคุณค่าทางการศึกษา เนื่องจาก "แสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่น่าสนใจที่สุดอย่างหนึ่ง" ^{[ 9 ]}แน่นอนว่าค่าความน่าจะเป็นที่แท้จริงไม่สำคัญ จุดประสงค์ของปรากฏการณ์นี้คือการแสดงให้เห็นถึงตรรกะที่ดูเหมือนขัดแย้งกัน ไม่ใช่อัตราการเกิดที่แท้จริง

สมมติว่าเราได้รับแจ้งไม่เพียงแต่ว่านายสมิธมีลูกสองคน และหนึ่งในนั้นเป็นลูกชาย แต่ยังได้รับแจ้งด้วยว่าลูกชายเกิดในวันอังคาร ข้อมูลนี้จะเปลี่ยนแปลงการวิเคราะห์ก่อนหน้านี้หรือไม่ คำตอบก็ขึ้นอยู่กับวิธีการนำเสนอข้อมูลนี้อีกครั้ง – กระบวนการคัดเลือกแบบใดที่ทำให้เราได้ความรู้นี้มา

ตามแบบแผนของโจทย์ปัญหา สมมติว่าในประชากรครอบครัวที่มีลูกสองคน เพศของเด็กทั้งสองคนเป็นอิสระต่อกัน มีโอกาสเป็นเด็กชายหรือเด็กหญิงเท่าๆ กัน และวันเกิดของเด็กแต่ละคนก็เป็นอิสระต่อกัน โอกาสที่จะเกิดในวันใดวันหนึ่งของสัปดาห์คือ⁠1/7⁠ .

จากทฤษฎีบทของเบย์สที่กล่าวว่า ความน่าจะเป็นที่จะมีลูกชายสองคน โดยที่ลูกชายคนหนึ่งเกิดในวันอังคารนั้น กำหนดโดย:

${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid B_{T})={\frac {P(B_{T}\mid BB)\times P(BB)}{P(B_{T})}}} }$.

สมมติว่าความน่าจะเป็นของการเกิดในวันอังคารคือε  =  ⁠1/7ซึ่งจะถูกกำหนดหลังจากได้คำตอบทั่วไปแล้ว ปัจจัยที่สองในตัวเศษก็คือ⁠1/4⁠คือความน่าจะเป็นที่จะมีลูกชายสองคน พจน์แรกในตัวเศษคือความน่าจะเป็นที่จะมีลูกชายอย่างน้อยหนึ่งคนเกิดในวันอังคาร โดยที่ครอบครัวมีลูกชายสองคน หรือ1 − (1 − ε ) ² (หนึ่งลบด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่มีลูกชายคนใดเกิดในวันอังคาร) สำหรับตัวส่วน ให้เราแยกส่วนประกอบดังนี้:

${\displaystyle \mathrm {P} (\mathrm {B} _{\mathrm {T} })=\mathrm {P} (\mathrm {B} _{\mathrm {T} }\mid \mathrm {GG} )\mathrm {P} (\mathrm {GG} )+\mathrm {P} (\mathrm {B} _{\mathrm {T} }\mid \mathrm {BG} )\mathrm {P} (\mathrm {BG} )+\mathrm {P} (\mathrm {B} _{\mathrm {T} }\mid \mathrm {GB} )\mathrm {P} (\mathrm {GB} )+\mathrm {P} (\mathrm {B} _{\mathrm {T} }\mid \mathrm {BB} )\mathrm {P} (\mathrm {BB} )}$.

แต่ละพจน์มีน้ำหนักตามความน่าจะเป็น1/4พจน์แรกคือ 0 (ไม่มีเด็กผู้ชาย) พจน์สุดท้ายทราบแล้วจากข้อสังเกตก่อนหน้านี้และคือεมีเด็กผู้ชายเพียงคนเดียว ดังนั้นเขามีโอกาส ε ที่จะเกิดในวันอังคาร ดังนั้นสมการทั้งหมดคือ :${\displaystyle \mathrm {P(B_{T}\mid BG)} }$${\displaystyle \mathrm {P(B_{T}\mid GB)} }$

${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid B_{T})} ={\frac {\left(1-(1-\varepsilon )^{2}\right)\times {\frac {1}{4}}}{0+{\frac {1}{4}}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\left(\varepsilon +\varepsilon -\varepsilon ^{2}\right)}}={\frac {1-(1-\varepsilon )^{2}}{4\varepsilon -\varepsilon ^{2}}}}$.

สำหรับสิ่งนี้จะลดลงเหลือ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid B_{T})} ={\frac {2-\varepsilon }{4-\varepsilon }}}$.

หาก ตอนนี้ εถูกตั้งค่าเป็น⁠1/7ความน่าจะเป็นจึงกลายเป็น13/27หรือประมาณ 0.48 ในความเป็นจริง เมื่อεเข้าใกล้ 0 ความน่าจะเป็นโดยรวมจะเข้าใกล้⁠1/2ซึ่งเป็นคำตอบที่คาดหวังเมื่อสุ่มเลือกเด็กหนึ่งคน (เช่น เด็กคนโตเป็นเด็กผู้ชาย) และถูกนำออกจากกลุ่มเด็กที่เป็นไปได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่อมีการให้รายละเอียดเกี่ยวกับเด็กผู้ชายมากขึ้นเรื่อยๆ (เช่น เกิดวันที่ 1 มกราคม) โอกาสที่เด็กอีกคนจะเป็นเด็กผู้หญิงจะเข้าใกล้ครึ่งหนึ่ง^{[ 12 ]}

ดูเหมือนว่ามีการนำข้อมูลที่ไม่เกี่ยวข้องเข้ามา แต่ความน่าจะเป็นของเพศของเด็กอีกคนกลับเปลี่ยนแปลงไปอย่างมากจากเดิม (โอกาสที่เด็กอีกคนจะเป็นเด็กผู้หญิงคือ⁠2/3(โดยที่ยังไม่ทราบว่าเด็กชายคนนั้นเกิดในวันอังคาร)

เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น ลองนึกภาพว่าแบบสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านของมาริลีน วอส ซาวานต์ ถามว่าเด็กชายในครอบครัวเกิดวันใดของสัปดาห์ หากมาริลีนแบ่งชุดข้อมูล ทั้งหมด ออกเป็นเจ็ดกลุ่ม – กลุ่มละหนึ่งกลุ่มสำหรับแต่ละวันของสัปดาห์ที่ลูกชายเกิด – หกในเจ็ดครอบครัวที่มีลูกชายสองคนจะถูกนับรวมในสองกลุ่ม (กลุ่มสำหรับวันของสัปดาห์ที่ลูกชายคนแรกเกิด และกลุ่มสำหรับวันของสัปดาห์ที่ลูกชายคนที่สองเกิด) ซึ่งจะทำให้ความน่าจะเป็นของการเกิดลูกชายสองคนในแต่ละกลุ่มเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า

จากมุมมองของการวิเคราะห์ทางสถิติ คำถามที่เกี่ยวข้องมักจะคลุมเครือ และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีคำตอบที่ "ถูกต้อง" อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าปริศนาเรื่องเด็กชายหรือเด็กหญิงจะจบลงเพียงเท่านี้ เพราะความคลุมเครือไม่ใช่สิ่งที่อธิบายว่าความน่าจะเป็นโดยสัญชาตญาณเกิดขึ้นได้อย่างไร การสำรวจเช่นของวอส ซาวานต์ ชี้ให้เห็นว่าคนส่วนใหญ่เข้าใจปัญหาของ การ์ดเนอร์ ซึ่งหากพวกเขาเข้าใจอย่างสอดคล้องกันก็จะนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง1/3คำตอบ อาจไม่ใช่คำตอบเชิงความน่าจะเป็น แต่โดยส่วนใหญ่แล้วผู้คนมักจะตัดสินใจโดยสัญชาตญาณ1/2คำตอบเกี่ยว กับความน่าจะเป็น แม้จะมีความกำกวมอยู่บ้าง แต่ปัญหานี้ก็เป็นที่น่าสนใจสำหรับนักวิจัยด้านจิตวิทยาที่ต้องการเข้าใจว่ามนุษย์ประเมินความน่าจะเป็นอย่างไร

Fox & Levav (2004) ใช้ปัญหา (เรียกว่าปัญหาของนายสมิธซึ่งให้เครดิตแก่การ์ดเนอร์ แต่ไม่ได้ใช้คำพูดที่เหมือนกับเวอร์ชันของการ์ดเนอร์เป๊ะๆ) เพื่อทดสอบทฤษฎีเกี่ยวกับวิธีที่ผู้คนประเมินความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข^{[ 2 ]}ในการศึกษานี้ ความขัดแย้งถูกนำเสนอต่อผู้เข้าร่วมในสองวิธี:

• นายสมิธกล่าวว่า "ผมมีลูกสองคน และอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นผู้ชาย" จากข้อมูลนี้ ความน่าจะเป็นที่ลูกอีกคนจะเป็นผู้ชายคือเท่าไร?
• นายสมิธกล่าวว่า "ผมมีลูกสองคน และไม่ใช่ว่าทั้งสองคนเป็นผู้หญิง" จากข้อมูลนี้ โอกาสที่ลูกทั้งสองคนจะเป็นผู้ชายคือเท่าไร?

ผู้เขียนโต้แย้งว่าสูตรแรกทำให้ผู้อ่านเข้าใจผิดว่ามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่างสำหรับ "เด็กคนอื่น" ^{[ 2 ]}ในขณะที่สูตรที่สองทำให้ผู้อ่านเข้าใจผิดว่ามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สี่อย่าง ซึ่งหนึ่งในนั้นถูกปฏิเสธ (ส่งผลให้⁠1/3โดยความน่าจะเป็นที่เด็กทั้งสองคนจะเป็นเด็กผู้ชายนั้น มาจากผลลัพธ์ที่เป็นไปได้อีก 3 อย่าง ซึ่งมีเพียง 1 ในนั้นที่เด็กทั้งสองคนจะเป็นเด็กผู้ชาย) จากการศึกษาพบว่า 85% ของผู้เข้าร่วมตอบว่า...1/2สำหรับการกำหนดรูปแบบแรก ในขณะที่ มีเพียง 39% เท่านั้นที่ตอบแบบนั้นสำหรับการกำหนดรูปแบบที่สอง ผู้เขียนโต้แย้งว่าเหตุผลที่ผู้คนตอบคำถามแต่ละข้อแตกต่างกัน (รวมถึงปัญหาอื่นๆ ที่คล้ายกัน เช่นปัญหา Monty Hallและปริศนากล่องของ Bertrand ) เป็นเพราะการใช้ฮิวริสติก แบบง่ายๆ ที่ไม่สามารถกำหนดจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ได้อย่างถูกต้อง^{[ 2 ]}

• ปรากฏการณ์เบอร์แทรนด์ (ความน่าจะเป็น)
• ความขัดแย้งของเนคไท
• ปัญหาเจ้าหญิงนิทรา
• ปรากฏการณ์ที่ขัดแย้งกันในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก
• ปัญหาซองจดหมายสองซอง
• รายชื่อของความขัดแย้ง

• มีเด็กผู้หญิงอย่างน้อยหนึ่งคนใน MathPages
• ปัญหาเกี่ยวกับลูกหมีสองตัว
• ปัญหาหมอนของลูอิส แคร์รอล
• เมื่อสัญชาตญาณและคณิตศาสตร์อาจดูผิดพลาด
• อีกรูปแบบหนึ่งที่อธิบายถึงเงื่อนไขแปลกประหลาดอย่างยิ่งซึ่งทำให้ความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลงไป