ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของพื้นผิวในสามมิติจุดสะดือหรือจุดอุมบิลิกคือจุดบนพื้นผิวที่มีลักษณะเป็นทรงกลมในระดับท้องถิ่น ณ จุดดังกล่าวความโค้งปกติในทุกทิศทางมีค่าเท่ากัน ดังนั้นความโค้งหลัก ทั้งสอง จึงเท่ากัน และเวกเตอร์สัมผัสทุกตัวเป็นทิศทางหลักชื่อ "อุมบิลิก" มาจากภาษาละตินumbilicus ( สะดือ )

โดยทั่วไป จุดสะดือจะปรากฏเป็นจุดโดดเดี่ยวในบริเวณรูปวงรีของพื้นผิว กล่าวคือ บริเวณที่ความโค้งเกาส์เซียนเป็นค่าบวก

ทรงกลมเป็นพื้นผิวเดียวที่มีความโค้งไม่เป็นศูนย์ซึ่งทุกจุดเป็นจุดสะดือ จุดสะดือแบนราบคือจุดสะดือที่มีความโค้งเกาส์เซียนเป็นศูนย์อานม้าเป็นตัวอย่างของพื้นผิวที่มีจุดสะดือแบนราบ และบนระนาบทุกจุดเป็นจุดสะดือแบนราบ พื้นผิวปิดที่เทียบเท่าทางโทโพโลยีกับทอรัสอาจมีหรือไม่มีจุดสะดือเป็นศูนย์ก็ได้ แต่พื้นผิวปิดทุกพื้นผิวที่มีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ ไม่เป็นศูนย์ ซึ่ง ฝังตัวอย่างราบรื่นในปริภูมิยูคลิดจะมีจุดสะดืออย่างน้อยหนึ่งจุดข้อสันนิษฐานที่มีชื่อเสียงของConstantin Carathéodoryตั้งแต่ปี 1924 ระบุว่าพื้นผิวเรียบทุกพื้นผิวที่เทียบเท่าทางโทโพโลยีกับทรงกลมจะมีจุดสะดืออย่างน้อยสองจุด^{[ 1 ]}ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Brendan Guilfoyle และ Wilhelm Klingenberg และตีพิมพ์เป็นสามส่วน^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}โดยสรุปในปี 2024 ซึ่งเป็นปีครบรอบร้อยปีของข้อสันนิษฐาน

จุดสะดือหลักๆ มี 3 ประเภท ได้แก่ จุดสะดือรูปวงรี จุดสะดือรูปพาราโบลา และจุดสะดือรูปไฮเปอร์โบลา จุดสะดือรูปวงรีมี เส้น สัน 3 เส้นผ่านจุดสะดือ ส่วนจุดสะดือรูปไฮเปอร์โบลามีเพียงเส้นเดียว จุดสะดือรูปพาราโบลาเป็นกรณีเปลี่ยนผ่านที่มีเส้นสัน 2 เส้น โดยเส้นหนึ่งเป็นเส้นเอกฐาน อาจมีรูปแบบอื่นๆ ที่เป็นไปได้สำหรับกรณีเปลี่ยนผ่าน กรณีเหล่านี้สอดคล้องกับ_ภัยพิบัติ ขั้นพื้นฐาน D⁴⁻ ^, D⁵และ_{D⁴⁺ ใน} ทฤษฎีภัยพิบัติของเรเน่ ธอม จุด^{สะดือ}_รูปวงรีและรูปไฮเปอร์โบลามีเสถียรภาพทางโครงสร้าง แต่ จุดสะดือรูปพาราโบลาไม่มีเสถียรภาพ เนื่องจากสามารถถูกทำลายได้ภายใต้การรบกวนเพียงเล็กน้อย

สะดือยังสามารถจำแนกลักษณะได้จากรูปแบบของสนามเวกเตอร์ ทิศทางหลัก รอบสะดือ ซึ่งโดยทั่วไปจะก่อตัวเป็นหนึ่งในสามรูปแบบ ได้แก่ รูปดาว รูปมะนาว และรูปดาวมะนาว (หรือรูปดาวประหลาด) ดัชนีของสนามเวกเตอร์คือ −½ (รูปดาว) หรือ ½ (รูปมะนาว รูปดาวประหลาด) สะดือรูปวงรีและรูปพาราโบลาจะมีรูปแบบรูปดาวเสมอ ในขณะที่สะดือรูปไฮเปอร์โบลาอาจเป็นรูปดาว รูปมะนาว หรือรูปดาวประหลาด การจำแนกประเภทนี้เป็นผลงานของDarboux เป็นครั้งแรก และชื่อต่างๆ มาจาก Hannay ^{[ 5 ]}

สำหรับพื้นผิวที่มีจีนัส 0 ที่มีอุมบิลิกแยกเดี่ยว เช่น ทรงรี ดัชนีของเวกเตอร์สนามทิศทางหลักต้องเป็น 2 ตามทฤษฎีบทของปวงกาเร-ฮอปฟ์พื้นผิวจีนัส 0 ทั่วไปมีอุมบิลิกอย่างน้อยสี่จุดที่มีดัชนี ½ ทรงรีหมุนรอบแกนมีอุมบิลิกที่ไม่ใช่แบบทั่วไปสองจุด ซึ่งแต่ละจุดมีดัชนี 1 ^{[ 6 ]}

• ลักษณะของเส้นโค้งบริเวณใกล้สะดือ
• 
  ดาว
• 
  มอนสตาร์
• 
  มะนาว

การจำแนกประเภทของเส้นสะดือมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการจำแนกประเภทของรูปแบบลูกบาศก์ จริง รูปแบบลูกบาศก์จะมีเส้นรากจำนวนหนึ่งซึ่งทำให้รูปแบบลูกบาศก์เป็นศูนย์สำหรับจำนวนจริงทั้งหมดมีความเป็นไปได้หลายประการ ได้แก่: ${\displaystyle ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}}$${\displaystyle \lambda (x,y)}$${\displaystyle \lambda }$

• เส้นสามเส้นที่แตกต่างกัน: รูปทรงลูกบาศก์วงรี , แบบจำลองมาตรฐาน${\displaystyle x^{2}yy^{3}}$
• เส้นสามเส้น โดยสองเส้นทับกัน: รูปแบบลูกบาศก์พาราโบลาแบบจำลองมาตรฐาน${\displaystyle x^{2}y}$
• เส้นจำนวนจริงเดี่ยว: รูปแบบลูกบาศก์ไฮเปอร์โบลิกแบบจำลองมาตรฐาน${\displaystyle x^{2}y+y^{3}}$
• เส้นสามเส้นที่ตรงกัน แบบจำลองมาตรฐาน^{[ 7 ]}${\displaystyle x^{3}}$

ชั้นสมมูลของลูกบาศก์ดังกล่าวภายใต้การปรับขนาดแบบสม่ำเสมอจะก่อให้เกิดพื้นที่ฉายจริงสามมิติ และเซตย่อยของรูปแบบพาราโบลาจะกำหนดพื้นผิว – ซึ่งคริสโตเฟอร์ ซีแมนเรียกว่ากำไลสะดือ[ ^{7 ] การ}ใช้ชั้นสมมูลภายใต้การหมุนของระบบพิกัดจะลบพารามิเตอร์ออกไปอีกหนึ่งตัว และรูปแบบลูกบาศก์สามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบลูกบาศก์เชิงซ้อนที่มีพารามิเตอร์เชิงซ้อนเพียงตัวเดียวรูปแบบพาราโบลาเกิดขึ้นเมื่อเดลตอยด์ภายใน รูปแบบวงรีอยู่ภายในเดลตอยด์ และรูปแบบไฮเปอร์โบลาอยู่ภายนอก ถ้าและไม่ใช่รากที่สามของเอกภาพ รูปแบบลูกบาศก์จะเป็นรูปแบบลูกบาศก์มุมฉากซึ่งมีบทบาทพิเศษสำหรับสะดือ ถ้าแล้วเส้นรากสองเส้นจะตั้งฉากกัน^{[ 8 ]}${\displaystyle z^{3}+3{\overline {\beta }}z^{2}{\overline {z}}+3\beta z{\overline {z}}^{2}+{\overline {z}}^{3}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{3}}(2e^{i\theta }+e^{-2i\theta })}$${\displaystyle \left|\beta \right|=1}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \left|\beta \right|={\tfrac {1}{3}}}$

รูปแบบลูกบาศก์ที่สองคือJacobianซึ่งสร้างขึ้นโดยการหาดีเทอร์มิแนนต์ของ Jacobianของฟังก์ชันเวกเตอร์โดยมีค่าคงที่คูณอยู่ นี่คือรูปแบบลูกบาศก์เมื่อใช้จำนวนเชิงซ้อน Jacobian จะเป็นรูปแบบลูกบาศก์พาราโบลิกเมื่อ ซึ่งเป็นเดลทอยด์ภายนอกในแผนภาพการจำแนกประเภท^{[ 8 ]}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle F(x,y)=(x^{2}+y^{2},ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})}$${\displaystyle bx^{3}+(2c-a)x^{2}y+(d-2b)xy^{2}-cy^{3}}$${\displaystyle \beta =-2e^{i\theta }-e^{-2i\theta }}$

พื้นผิวใดๆ ที่มีจุดสะดือแยกอยู่ที่จุดกำเนิดสามารถแสดงได้ใน รูปแบบ พารามิเตอร์ของ Mongeโดยที่คือความโค้งหลักที่ไม่ซ้ำกัน ประเภทของสะดือจะถูกจำแนกตามรูปแบบลูกบาศก์จากส่วนลูกบาศก์และรูปแบบลูกบาศก์ Jacobian ที่สอดคล้องกัน แม้ว่าทิศทางหลักจะไม่ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงที่สะดือ แต่ขอบเขตของทิศทางหลักเมื่อติดตามสันบนพื้นผิวสามารถพบได้ และสิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับเส้นรากของรูปแบบลูกบาศก์ รูปแบบของเส้นโค้งถูกกำหนดโดย Jacobian ^{[ 8 ]}${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}\kappa (x^{2}+y^{2})+{\tfrac {1}{3}}(ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})+\ldots }$${\displaystyle \kappa }$

การจำแนกประเภทของจุดสะดือมีดังนี้: ^{[ 8 ]}

• ภายในกล้ามเนื้อเดลตอยด์ชั้นใน - สะดือรูปวงรี
  • บนวงกลมด้านใน - เส้นสันสองเส้นสัมผัสกัน
• บริเวณกล้ามเนื้อเดลตอยด์ด้านใน - สะดือรูปพาราโบลา
• ด้านนอกกล้ามเนื้อเดลตอยด์ส่วนใน - สะดือรูปไฮเปอร์โบลิก
  • ภายในวงกลมด้านนอก - ลวดลายดาว
  • วงกลมด้านนอก - การกำเนิดของสายสะดือ
  • ระหว่างวงกลมด้านนอกและกล้ามเนื้อเดลตอยด์ด้านนอก - รูปแบบดาวประหลาด
  • เดลตอยด์ด้านนอก - ลายเลมอน
• จุดยอดของกล้ามเนื้อเดลทอยด์ด้านใน - สะดือทรงลูกบาศก์ (เชิงสัญลักษณ์)
• บนเส้นทแยงมุมและเส้นแนวนอน - สะดือสมมาตรที่มีสมมาตรแบบกระจกเงา

ในตระกูลพื้นผิวทั่วไป สะดือสามารถสร้างขึ้นหรือถูกทำลายได้เป็นคู่: การเกิดของสะดือเป็นการเปลี่ยนแปลง สะดือทั้งสองจะเป็นไฮเปอร์โบลิก อันหนึ่งมีรูปแบบดาว และอีกอันมีรูปแบบมอนสตาร์ วงกลมด้านนอกในแผนภาพ ซึ่งเป็นรูปทรงลูกบาศก์มุมฉาก ทำให้เกิดกรณีการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ สะดือเชิงสัญลักษณ์เป็นกรณีพิเศษของสิ่งนี้^{[ 8 ]}

สะดือรูปวงรีและสะดือรูปไฮเปอร์โบลามีพื้นผิวโฟกัส ที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน สัน บนพื้นผิวจะสอดคล้องกับขอบแหลมดังนั้นแต่ละแผ่นของพื้นผิวโฟกัสรูปวงรีจะมีขอบแหลมสามขอบซึ่งมาบรรจบกันที่จุดโฟกัสสะดือแล้วจึงเปลี่ยนไปยังแผ่นอื่น สำหรับสะดือรูปไฮเปอร์โบลาจะมีขอบแหลมเพียงขอบเดียวซึ่งเปลี่ยนจากแผ่นหนึ่งไปยังอีกแผ่นหนึ่ง^{[ 8 ]}

จุดpในซับแมนิโฟลด์แบบรีมันน์เรียกว่าจุดสะดือ ถ้าที่จุด p รูปแบบพื้นฐานที่สอง (ที่มีค่าเป็นเวกเตอร์) เป็นเทนเซอร์เวกเตอร์ปกติของเมตริกเหนี่ยวนำ ( รูปแบบพื้นฐานแรก ) หรือเทียบเท่ากัน สำหรับเวกเตอร์Uและ  V ทั้งหมด ที่จุด p , II( U ,  V ) =  g _p ( U ,  V ) โดยที่คือ เวกเตอร์ ความโค้งเฉลี่ยที่  จุด p${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$

กล่าวได้ว่าส่วนย่อยของพื้นผิว (submanifold) เป็นแบบอุมบิลิก (หรือแบบอุมบิลิกทั้งหมด) ถ้าเงื่อนไขนี้เป็นจริงที่ทุกจุดpซึ่งเทียบเท่ากับการกล่าวว่าส่วนย่อยของพื้นผิวนั้นสามารถทำให้เป็นเส้นทางจีโอเดสิกโดยสมบูรณ์ได้โดยการเปลี่ยนแปลงเชิงคอนฟอร์มัลที่เหมาะสมของเมตริกของพื้นผิวโดยรอบ (“แอมเบียนต์”) ตัวอย่างเช่น พื้นผิวในปริภูมิยูคลิดจะเป็นแบบอุมบิลิกก็ต่อเมื่อมันเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลม

• สะดือ – ศัพท์ทางกายวิภาคศาสตร์ หมายถึง เกี่ยวกับ หรือสัมพันธ์กับสะดือ