ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์จุดเปลี่ยนความโค้ง ( inflection point , point of inflection , flex , หรือinflection ) (บางครั้งใช้คำว่า inflexion ) คือจุดบนเส้นโค้งระนาบเรียบที่ความโค้งเปลี่ยนเครื่องหมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของกราฟฟังก์ชันมันคือจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนจากเว้า (เว้าลง) เป็นนูน (เว้าขึ้น) หรือในทางกลับกัน

สำหรับกราฟของฟังก์ชันf ที่มี ระดับความสามารถ ใน การหาอนุพันธ์ C ² (อนุพันธ์อันดับแรกf'และอนุพันธ์อันดับสองf''มีอยู่และต่อเนื่อง) เงื่อนไขf'' = 0สามารถใช้เพื่อหาจุดเปลี่ยนเว้าได้เช่นกัน เนื่องจาก ต้องผ่าน จุดที่ f'' = 0 เพื่อเปลี่ยน f''จากค่าบวก (นูน) เป็นค่าลบ (เว้า) หรือในทางกลับกัน เนื่องจากf''ต่อเนื่อง จุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้งคือจุดที่f'' = 0และเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดนั้น (จากบวกเป็นลบหรือจากลบเป็นบวก) ^{[ 1 ]}จุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์แต่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายบางครั้งเรียกว่าจุดคลื่นหรือจุด คลื่น

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต จุดเปลี่ยนความโค้งถูกนิยามอย่างกว้างๆ กว่านั้นว่าเป็นจุดปกติที่เส้นสัมผัสตัดกับเส้นโค้งที่มีอันดับอย่างน้อย 3 และจุดคลื่นหรือจุดไฮเปอร์เฟล็กซ์ถูกนิยามว่าเป็นจุดที่เส้นสัมผัสตัดกับเส้นโค้งที่มีอันดับอย่างน้อย 4

จุดเปลี่ยนความโค้งในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือจุดบนเส้นโค้งที่ความโค้งเปลี่ยนเครื่องหมาย^{[ 2 ] [ 3 ]}

ตัวอย่างเช่น กราฟของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จะมีจุดเปลี่ยนเว้าที่( x , f ( x ))ก็ต่อเมื่ออนุพันธ์อันดับแรกf'มีค่าสุดขั้วที่แยกเดี่ยว ที่xเท่านั้น (ซึ่งไม่เหมือนกับการบอกว่าfมีค่าสุดขั้ว) กล่าวคือ ในบริเวณใกล้เคียงบางบริเวณxเป็นจุดเดียวที่f'มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด (เฉพาะที่) ถ้าค่าสุดขั้ว ทั้งหมด ของf'แยกเดี่ยวจุดเปลี่ยนเว้าก็คือจุดบนกราฟของfที่เส้นสัมผัสตัดกับเส้นโค้ง

จุดเปลี่ยนเว้าลงคือ จุดเปลี่ยนเว้าที่อนุพันธ์มีค่าเป็นลบทั้งสองข้างของจุดนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจุดเปลี่ยนเว้าที่ฟังก์ชันมีแนวโน้มลดลง ส่วนจุดเปลี่ยนเว้าขึ้นคือ จุดเปลี่ยนเว้าที่อนุพันธ์มีค่าเป็นบวกทั้งสองข้างของจุดนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจุดเปลี่ยนเว้าที่ฟังก์ชันมีแนวโน้มเพิ่มขึ้น

สำหรับเส้นโค้งเรียบที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริกจุดหนึ่งจะเป็นจุดเปลี่ยนเว้าหากค่าความโค้งที่มีเครื่องหมายเปลี่ยนจากบวกเป็นลบหรือจากลบเป็นบวก กล่าวคือเปลี่ยน เครื่องหมาย

สำหรับเส้นโค้งเรียบซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้ จุดเปลี่ยนเว้าคือจุดบนกราฟที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นศูนย์อย่างโดดเดี่ยวและเปลี่ยนเครื่องหมาย

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตจุดเอกฐานของเส้นโค้งเชิงพีชคณิตจะเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ต่อเมื่อจำนวนจุดตัดของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง (ที่จุดสัมผัส) มากกว่า 2 แรงจูงใจหลักของนิยามที่แตกต่างนี้คือ มิฉะนั้นเซตของจุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้งจะไม่ใช่เซตเชิงพีชคณิต ในความเป็นจริง เซตของจุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้งเชิงพีชคณิตบนระนาบก็คือ จุด เอกฐานที่เป็นศูนย์ของดีเทอร์ มิแนนต์เฮสเซียนของการเติมเต็มเชิง โปรเจคที ฟ ของเส้นโค้งนั้น

สำหรับฟังก์ชันfถ้าอนุพันธ์อันดับสองf″ ( x )มีอยู่ ณ จุดx _{= 0}และx _{= 0}เป็นจุดเปลี่ยนเว้าของfแล้วf″ ( x _{= 0} ) = 0แต่เงื่อนไขนี้ไม่เพียงพอสำหรับการมีจุดเปลี่ยนเว้า แม้ว่าจะมีอนุพันธ์อันดับใดๆ ก็ตาม ในกรณีนี้ จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับต่ำสุด (เหนืออันดับสอง) ที่ไม่เป็นศูนย์เป็นอันดับคี่ (อันดับสาม อันดับห้า เป็นต้น) ถ้าอนุพันธ์อันดับต่ำสุดที่ไม่เป็นศูนย์เป็นอันดับคู่ จุดนั้นจะไม่ใช่จุดเปลี่ยนเว้า แต่เป็นจุดคลื่น อย่างไรก็ตาม ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ทั้ง ^จุดเปลี่ยนเว้าและจุดคลื่นมักถูกเรียกว่าจุด เปลี่ยนเว้าตัวอย่างของจุดคลื่นคือx = 0สำหรับฟังก์ชันfที่กำหนดโดยf ( x ) = x⁴

ในข้อความข้างต้น สมมติว่าfมีอนุพันธ์อันดับสูงที่ไม่เป็นศูนย์ที่xซึ่งอาจไม่ใช่กรณีเสมอไป หากเป็นเช่นนั้น เงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์อันดับแรกที่ไม่เป็นศูนย์มีอันดับคี่ หมายความว่าเครื่องหมายของf ' ( x )จะเหมือนกันทั้งสองด้านของxในบริเวณใกล้เคียงของxถ้าเครื่องหมายนี้เป็นบวกจุดนั้นจะเป็นจุดเปลี่ยนเว้าขึ้นถ้าเป็นลบจุดนั้นจะเป็นจุดเปลี่ยนเว้าลง

1. เงื่อนไขเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของจุดเปลี่ยนเว้าในกรณีที่_f ( x )สามารถหา อนุพันธ์ต่อเนื่องได้ kครั้งในบริเวณใกล้เคียงจุดx₀โดยที่kเป็นจำนวนคี่และk ≥ 3คือ f ^{( n )} ( x₀ ) = 0สำหรับn = 2, ..., k − 1และf ^{( k )} ( x₀ ₎ ≠ 0 _{ดังนั้น} f ( x )จะมีจุดเปลี่ยนเว้า_ที่x₀
2. เงื่อนไขการมีอยู่เพียงพอทั่วไปอีกประการหนึ่งกำหนดให้f″ ( x ₀ + ε )และf″ ( x ₀ − ε )ต้องมีเครื่องหมายตรงข้ามกันในบริเวณใกล้เคียง  x ₀ ( Bronshtein และ Semendyayev 2004, หน้า 231)

จุดเปลี่ยนเว้าสามารถแบ่งประเภทได้ตามว่าf ' ( x )เป็นศูนย์หรือไม่เป็นศูนย์

• ถ้าf ' ( x )เป็นศูนย์ จุดนั้นจะเป็นจุดนิ่งของจุดเปลี่ยนเว้า
• ถ้าf ' ( x )ไม่เป็นศูนย์ จุดนั้นจะเป็นจุดเปลี่ยนเว้าที่ไม่คงที่

จุดเปลี่ยนเว้านิ่งไม่ใช่จุดสุดขีดเฉพาะที่โดยทั่วไปแล้ว ในบริบทของฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัวจุดนิ่งที่ไม่ใช่จุดสุดขีดเฉพาะที่เรียกว่าจุด อานม้า

ตัวอย่างของจุดเปลี่ยนเว้าคงที่คือจุด(0, 0) ^บนกราฟของy = x³เส้นสัมผัสคือ แกน xซึ่งตัดกราฟที่จุดนี้

ตัวอย่างของจุดเปลี่ยนเว้าที่ไม่คงที่คือจุด(0, 0)บนกราฟของy = x³ + axสำหรับค่า a ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์^{เส้นสัมผัส}ที่จุดกำเนิดคือเส้นตรงy = axซึ่งตัดกราฟที่จุดนี้

ฟังก์ชันบางฟังก์ชันอาจเปลี่ยนความโค้งโดยไม่มีจุดเปลี่ยนความโค้ง แต่จะเปลี่ยนความโค้งรอบเส้นกำกับแนวตั้งหรือจุดไม่ต่อเนื่องแทน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเว้าเมื่อx เป็นลบ และนูนเมื่อx เป็นบวก แต่ไม่มีจุดเปลี่ยนความโค้งเพราะ 0 ไม่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

ฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชันมีจุดเปลี่ยนเว้า แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองจะไม่เป็นศูนย์ก็ตาม ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันรากที่สามจะเว้าขึ้นเมื่อ x เป็นลบ และเว้าลงเมื่อ x เป็นบวก แต่ไม่มีอนุพันธ์อันดับใด ๆ ที่จุดกำเนิด

• จุดวิกฤต (คณิตศาสตร์)
• ขีดจำกัดทางนิเวศวิทยา
• การกำหนดค่าแบบเฮสเซ่ที่เกิดจากจุดเปลี่ยนความโค้งทั้งเก้าจุดของเส้นโค้งวงรี
• โอจี (Ogee ) รูปทรงทางสถาปัตยกรรมที่มีจุดโค้งงอ
• จุดยอด (เส้นโค้ง)คือ ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดเฉพาะที่ของความโค้ง

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับจุดเปลี่ยนผัน

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จุดเปลี่ยนผัน" . แมธเวิลด์ .
• "จุดเปลี่ยนเว้า" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]