ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเรียบสม่ำเสมอคือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน ซึ่งมีคุณสมบัติว่า สำหรับทุก ๆจะมีอยู่เช่นนั้น ถ้าโดยที่และแล้ว ${\displaystyle X}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle \|x\|=1}$${\displaystyle \|y\|\leq \delta }$

${\displaystyle \|x+y\|+\|xy\|\leq 2+\epsilon \|y\|.}$

ค่าสัมบูรณ์ของความเรียบของปริภูมิบรรทัดฐานXคือฟังก์ชัน ρ ที่กำหนดสำหรับทุกt > 0โดยสูตร^{[ 1 ]}

${\displaystyle \rho _{X}(t)=\sup {\Bigl \{}{\frac {\|x+y\|+\|xy\|}{2}}-1\,:\,\|x\|=1,\;\|y\|=t{\Bigr \}}.}$

อสมการสามเหลี่ยมแสดงให้เห็นว่าρ ( t ) ≤ tปริภูมิบรรทัดฐานXจะเรียบสม่ำเสมอ ก็ต่อเมื่อρ ( t ) / tมีแนวโน้มเข้าสู่ 0 เมื่อtมีแนวโน้มเข้าสู่ 0

• ปริภูมิ Banachที่เรียบสม่ำเสมอทุก ปริภูมิ สะท้อนกลับได้^{[ 2 ]}
• ปริภูมิ Banach จะเรียบสม่ำเสมอก็ต่อเมื่อปริภูมิคู่ต่อเนื่อง ของมัน เป็นนูนสม่ำเสมอ (และในทางกลับกัน ผ่านการสะท้อนกลับ) ^{[ 3 ]}โมดูลัสของความนูนและความเรียบเชื่อมโยงกันโดย${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$

${\displaystyle \rho _{X^{*}}(t)=\sup\{t\varepsilon /2-\delta _{X}(\varepsilon ):\varepsilon \in [0,2]\},\quad t\geq 0,}$

และฟังก์ชันนูนสูงสุดที่ขยายโดยโมดูลัสของความนูน δ จะได้รับจาก^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\tilde {\delta }}_{X}(\varepsilon )=\sup\{\varepsilon t/2-\rho _{X^{*}}(t):t\geq 0\}.}$

นอกจากนี้^{[ 5 ]}

${\displaystyle \delta _{X}(\varepsilon /2)\leq {\tilde {\delta }}_{X}(\varepsilon )\leq \delta _{X}(\varepsilon ),\quad \varepsilon \in [0,2].}$

• ปริภูมิบานาคจะเรียบสม่ำเสมอ ก็ต่อเมื่อลิมิต

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\|x+ty\|-\|x\|}{t}}}$

มีอยู่สม่ำเสมอสำหรับทุก(โดยที่หมายถึงทรงกลมหน่วยของ)${\displaystyle x,y\in S_{X}}$${\displaystyle S_{X}}$${\displaystyle X}$

• เมื่อ1 < ^{p < ∞ ปริภูมิ L p}จะเรียบสม่ำเสมอ ( และนูนสม่ำเสมอ)

Enfloพิสูจน์^{[ 6 ]} ว่าคลาสของปริภูมิ Banach ที่ยอมรับบรรทัดฐานนูนสม่ำเสมอที่เทียบเท่ากันนั้นตรงกับคลาสของ ปริภูมิ Banach ซูเปอร์รีเฟล็ก ซีฟ ซึ่งแนะนำโดย Robert C. James [ ^{7 ] เนื่องจาก} ปริภูมิเป็นซูเปอร์รีเฟล็กซีฟก็ต่อเมื่อปริภูมิคู่ของมันเป็นซูเปอร์รีเฟล็กซีฟ ดังนั้นคลาสของปริภูมิ Banach ที่ยอมรับบรรทัดฐานนูนสม่ำเสมอที่เทียบเท่ากันจึงตรงกับคลาสของปริภูมิที่ยอมรับบรรทัดฐานเรียบสม่ำเสมอที่เทียบเท่ากันทฤษฎีบทการปรับบรรทัดฐาน ของ Pisier ^{[ 8 ]} ระบุว่าปริภูมิซูเปอร์รีเฟล็กซี  ฟ Xยอมรับบรรทัดฐานเรียบสม่ำเสมอที่เทียบเท่ากัน ซึ่งโมดูลัสของความเรียบ ρ เป็นไปตามเงื่อนไข สำหรับค่าคงที่ Cบางค่า  และ  p > 1 บางค่า

${\displaystyle \rho _{X}(t)\leq C\,t^{p},\quad t>0.}$

ดังนั้น พื้นที่สะท้อนกลับยิ่งยวดY ทุกพื้นที่ จึงยอมรับบรรทัดฐานนูนสม่ำเสมอที่เทียบเท่ากัน ซึ่งโมดูลัสของความนูน เป็นไปตามเงื่อนไข สำหรับค่าคงที่ c > 0บางค่า  และจำนวนจริงบวกq บางค่า

${\displaystyle \delta _{Y}(\varepsilon )\geq c\,\varepsilon ^{q},\quad \varepsilon \in [0,2].}$

หากพื้นที่บรรทัดฐานยอมรับบรรทัดฐานที่เทียบเท่ากันสองบรรทัดฐาน บรรทัดฐานหนึ่งนูนสม่ำเสมอและอีกบรรทัดฐานหนึ่งเรียบสม่ำเสมอ เทคนิคการหาค่าเฉลี่ยของ Asplund ^{[ 9 ]}จะสร้างบรรทัดฐานที่เทียบเท่ากันอีกบรรทัดฐานหนึ่งซึ่งทั้งนูนสม่ำเสมอและเรียบสม่ำเสมอ

• พื้นที่นูนสม่ำเสมอ