ในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค เมทริกซ์ Cabibbo –Kobayashi–Maskawaหรือเมทริกซ์ CKMหรือเมทริกซ์การผสมควาร์กหรือเมทริกซ์ KMเป็นเมทริกซ์เอกภาพที่บรรจุข้อมูลเกี่ยวกับความแรงของอันตร กิริยา อ่อนที่เปลี่ยนรสชาติในทางเทคนิคแล้ว มันระบุความไม่ตรงกันของสถานะควอนตัมของควาร์กเมื่อพวกมันเคลื่อนที่อย่างอิสระและเมื่อพวกมันมีส่วนร่วมในอันตรกิริยาอ่อนมันมีความสำคัญในการทำความเข้าใจการละเมิด CPเมทริกซ์นี้ถูกนำเสนอสำหรับควาร์กสามรุ่นโดยMakoto KobayashiและToshihide Maskawa โดยเพิ่ม รุ่นหนึ่งเข้าไปในเมทริกซ์ที่Nicola Cabibbo นำเสนอไว้ก่อนหน้านี้ เมทริกซ์นี้ยังเป็นส่วนขยายของกลไก GIMซึ่งรวมเฉพาะสองในสามตระกูลของควาร์กในปัจจุบันเท่านั้น

ในปี พ.ศ. 2506 Nicola Cabibboได้แนะนำมุม Cabibbo ( θc ₎เพื่อรักษาความเป็นสากลของ ปฏิสัมพันธ์ แบบอ่อน^{[ 1 ]} Cabibbo ได้รับแรงบันดาลใจจากงานก่อนหน้าของMurray Gell-Mannและ Maurice Lévy ^{[ 2 ]} เกี่ยวกับเวกเตอร์ที่ไม่แปลกและแปลกที่หมุนอย่างมีประสิทธิภาพและกระแสอ่อนแกน ซึ่งเขาอ้างอิง^{[ 3 ]}

เมื่อพิจารณาจากแนวคิดปัจจุบัน (ควาร์กยังไม่ได้รับการเสนอ) มุม Cabibbo เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นสัมพัทธ์ที่ควาร์กดาวน์และควาร์กแปลกสลายตัวเป็นควาร์กอัพ ( | V _ud | ²   และ | V _us | ²  ตามลำดับ) ในศัพท์ฟิสิกส์อนุภาค วัตถุที่เชื่อมต่อกับควาร์กอัพผ่านปฏิสัมพันธ์อ่อนกระแสประจุคือการซ้อนทับของควาร์กประเภทดาวน์ ซึ่งในที่นี้แสดงด้วยd′ [ ^{4 ] ใน} ทางคณิตศาสตร์คือ:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

หรือใช้มุมมองแบบคาบิบโบ:

${\displaystyle d'=\cos \theta _{\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _{\mathrm {c} }\;s~.}$

เมื่อใช้ค่าที่ยอมรับกันในปัจจุบันสำหรับ | V _ud | และ | V _us | (ดูด้านล่าง) มุม Cabibbo สามารถคำนวณได้โดยใช้

${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {\,|V_{\mathrm {us} }|\,}{|V_{\mathrm {ud} }|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.}$

เมื่อ มีการค้นพบ ควาร์กเสน่ห์ในปี 1974 ก็พบว่าควาร์กดาวน์และควาร์กแปลกสามารถเปลี่ยนสถานะเป็นควาร์กอัพหรือควาร์กเสน่ห์ได้ ซึ่งนำไปสู่สมการสองชุด:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

${\displaystyle s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;}$

หรือใช้มุมมองแบบคาบิบโบ:

${\displaystyle d'=~~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~,}$

${\displaystyle s'=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~.}$

สามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ ได้ ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

หรือใช้มุมคาบิบโบ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

โดยที่ | V _ij | ²ต่างๆแทนความน่าจะเป็นที่ควาร์กชนิดjจะสลายตัวเป็นควาร์กชนิดi เมทริกซ์การหมุน 2×2 นี้  เรียกว่า "เมทริกซ์ Cabibbo" และต่อมาได้ขยายเป็นเมทริกซ์ CKM 3×3

ในปี พ.ศ. 2516 เมื่อสังเกตว่าการละเมิด CPไม่สามารถอธิบายได้ในแบบจำลองสี่ควาร์ก Kobayashi และ Maskawa จึงขยายเมทริกซ์ Cabibbo ไปเป็นเมทริกซ์ Cabibbo–Kobayashi–Maskawa (หรือเมทริกซ์ CKM) เพื่อติดตามการสลายตัวแบบอ่อนของควาร์กสามรุ่น: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_{\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.}$

ด้านซ้ายคือ คู่ดับเบิลต์อัน มีปฏิสัมพันธ์อ่อนของควาร์กชนิดดาวน์ และด้านขวาคือเมทริกซ์ CKM พร้อมด้วยเวกเตอร์ของสถานะมวลของควาร์กชนิดดาวน์ เมทริกซ์ CKM อธิบายความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะจากควาร์กชนิดj หนึ่ง ไปเป็นควาร์กชนิดi อีกชนิดหนึ่ง การเปลี่ยนสถานะเหล่านี้เป็นสัดส่วนกับ| V _ij | ²

ณ ปี 2023 การกำหนดค่าขนาด แต่ละค่า ขององค์ประกอบเมทริกซ์ CKM ที่ดีที่สุดคือ: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97435\pm 0.00016&0.22500\pm 0.00067&0.00369\pm 0.00011\\0.22486\pm 0.00067&0.97349\pm 0.00016&0.04182_{-0.00074}^{+0.00085}\\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020}&0.04110_{-0.00072}^{+0.00083}&0.999118_{-0.000036}^{+0.000031}\end{bmatrix}}.}$

เมื่อใช้ค่าเหล่านั้น เราสามารถตรวจสอบความเป็นเอกภาพของเมทริกซ์ CKM ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราพบว่าองค์ประกอบของเมทริกซ์แถวแรกให้ผลลัพธ์ดังนี้:${\displaystyle |V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=0.999997\pm 0.0007}$

ทำให้ผลการทดลองสอดคล้องกับค่าทางทฤษฎีที่ 1

การเลือกใช้ควาร์กชนิดดาวน์ในนิยามนั้นเป็นเพียงข้อตกลง และไม่ได้แสดงถึงความไม่สมมาตรที่ต้องการทางกายภาพระหว่างควาร์กชนิดอัพและชนิดดาวน์ ข้อตกลงอื่นๆ ก็ใช้ได้เช่นกัน: สถานะมวลu , cและtของควาร์กชนิดอัพสามารถกำหนดเมทริกซ์ได้อย่างเทียบเท่ากันในแง่ของคู่ปฏิสัมพันธ์แบบอ่อนu′ , c′และt′เนื่องจากเมทริกซ์ CKM เป็นเมทริกซ์เอกภาพ ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันของมันจึงเหมือนกับเมทริกซ์สลับตำแหน่งคู่ สังยุค ซึ่งตัวเลือกอื่นๆ ใช้ โดยปรากฏเป็นเมทริกซ์เดียวกันในรูปแบบที่เปลี่ยนแปลงไปเล็กน้อย

เพื่อให้เมทริกซ์มีความทั่วไปมากขึ้น ให้นับจำนวนพารามิเตอร์ที่สำคัญทางกายภาพในเมทริกซ์V นี้ ที่ปรากฏในการทดลอง ถ้ามี ควาร์ก Nรุ่น (2 Nรสชาติ ) แล้ว

• เมท ริกซ์เอกลักษณ์ขนาด N  ×  N (กล่าวคือ เมทริกซ์Vที่V ^† V = Iโดยที่V ^†คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนเชิงซ้อนของVและIคือเมทริกซ์เอกลักษณ์) จำเป็นต้องระบุพารามิเตอร์จริง จำนวน N^ตัว
• 2 N  − 1 ของพารามิเตอร์เหล่านี้ไม่มีความสำคัญทางกายภาพ เนื่องจากเฟสหนึ่งสามารถถูกดูดซับเข้าไปในฟิลด์ควาร์กแต่ละฟิลด์ได้ (ทั้งของสถานะมวลและสถานะอ่อน) แต่เมทริกซ์ไม่ขึ้นอยู่กับเฟสร่วม ดังนั้น จำนวนตัวแปรอิสระทั้งหมดที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกเฟสของเวกเตอร์ฐานคือN 2 ⁻  (2 N  − 1) = ( N  − 1) ²
  • ในจำนวนนี้⁠1/2N ( N  − 1) คือมุมการหมุนที่เรียกว่ามุมการผสมควาร์ก
  • ส่วนที่เหลือ1/2( N  − 1)( N −  2) เป็นเฟสที่ซับซ้อนซึ่งทำให้เกิด การ ละเมิดCP

สำหรับกรณีN  = 2 จะมีพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว ซึ่งก็คือมุมการผสมระหว่างควาร์กสองรุ่น ในทางประวัติศาสตร์ นี่คือเมทริกซ์ CKM เวอร์ชันแรกเมื่อทราบเพียงควาร์กสองรุ่นเท่านั้น มุมนี้เรียกว่ามุมคาบิบโบตามชื่อผู้คิดค้นคือนิโคลา คาบิบโบ

สำหรับ กรณี แบบจำลองมาตรฐาน ( N  = 3) จะมีมุมการผสมสามมุมและเฟสเชิงซ้อนที่ละเมิด CP หนึ่งเฟส^{[ 7 ]}

แนวคิดของคาบิบโบมีที่มาจากความต้องการที่จะอธิบายปรากฏการณ์สองอย่างที่สังเกตได้:

1. การเปลี่ยนภาพu ↔ d , e ↔ ν _eและμ ↔ ν _μมีแอมพลิจูดที่คล้ายกัน
2. การเปลี่ยนสถานะที่มีการเปลี่ยนแปลงความแปลกประหลาดΔS = 1มีแอมพลิจูดเท่ากับ⁠ 1 /4ใน บรรดาผู้ที่มีΔS = 0

วิธีแก้ปัญหาของ Cabibbo ประกอบด้วยการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความเป็นสากลแบบอ่อน (ดูด้านล่าง) เพื่อแก้ไขปัญหาแรก พร้อมกับมุมผสมθc _ซึ่งปัจจุบันเรียกว่ามุม Cabibboระหว่าง ควาร์ ก dและsเพื่อแก้ไขปัญหาที่สอง

สำหรับควาร์กสองรุ่นนั้น จะไม่มีเฟสที่ละเมิดสมมาตร CP ได้ ดังที่แสดงโดยการนับในส่วนก่อนหน้า เนื่องจากการละเมิดสมมาตร CP ได้ถูกพบเห็นแล้วในปี 1964 ในการสลายตัวของเคออน ที่เป็นกลาง แบบ จำลองมาตรฐานที่เกิดขึ้นหลังจากนั้นไม่นานจึงบ่งชี้อย่างชัดเจนถึงการมีอยู่ของควาร์กรุ่นที่สาม ดังที่โคบายาชิและมาสกาวะชี้ให้เห็นในปี 1973 การค้นพบควาร์กด้านล่างที่เฟอร์มิแล็บ (โดย กลุ่มของ ลีออน เลเดอร์แมน ) ในปี 1976 จึงเริ่มต้นการค้นหา ควาร์กด้านบนซึ่งเป็นควาร์กรุ่นที่สามที่หายไป ในทันที

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าค่าเฉพาะที่มุมต่างๆ มีนั้นไม่ใช่การคาดการณ์จากแบบจำลองมาตรฐาน แต่เป็นพารามิเตอร์อิสระในปัจจุบัน ยังไม่มีทฤษฎีใดที่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปที่อธิบายว่าทำไมมุมต่างๆ จึงควรมีค่าตามที่วัดได้ในการทดลอง

ข้อจำกัดของความเป็นเอกภาพของเมทริกซ์ CKM บนเทอมแนวทแยงสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \sum _{k}|V_{jk}|^{2}=\sum _{k}|V_{kj}|^{2}=1}$

แยกกันสำหรับแต่ละรุ่นjซึ่งหมายความว่าผลรวมของการจับคู่ทั้งหมดของควาร์กชนิดอัพตัว ใด ตัวหนึ่ง กับควาร์กชนิดดาวน์ ทั้งหมดจะมีค่าเท่ากันสำหรับทุกรุ่น ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าความเป็นสากลแบบอ่อน และ นิโคลา คาบิบโบเป็นผู้ชี้ให้เห็นเป็นครั้งแรกในปี 1967 ในทางทฤษฎีแล้ว เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ดับเบิลเล็ต SU(2) ทั้งหมดจับคู่กับ เวกเตอร์โบซอน ของปฏิสัมพันธ์แบบอ่อน ด้วยความแรงเท่ากันความสัมพันธ์นี้ได้รับการทดสอบเชิงทดลองอย่างต่อเนื่อง

ข้อจำกัดที่เหลือของความเป็นเอกภาพของเมทริกซ์ CKM สามารถเขียนได้ในรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0~.}$

สำหรับค่าiและj ที่กำหนดไว้และแตกต่างกัน นี่คือข้อจำกัดของจำนวนเชิงซ้อนสามจำนวน หนึ่งจำนวนสำหรับแต่ละค่า kซึ่งระบุว่าจำนวนเหล่านี้เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมในระนาบเชิงซ้อนมีตัวเลือกiและj หก แบบ (สามแบบเป็นอิสระต่อกัน) ดังนั้นจึงมีรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวหกรูป แต่ละรูปเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมเอกภาพรูปร่างของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้อาจแตกต่างกันมาก แต่ทั้งหมดมีพื้นที่เท่ากัน ซึ่งสามารถเชื่อมโยงกับ เฟส ที่ละเมิดสมมาตร CP ได้พื้นที่นี้จะเป็นศูนย์สำหรับพารามิเตอร์เฉพาะในแบบจำลองมาตรฐานที่ไม่มีการละเมิดสมมาตร CPทิศทางของรูปสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับเฟสของสนามควาร์ก

ปริมาณที่เป็นที่นิยมซึ่งมีค่าเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเอกภาพคือค่าคงที่ของ Jarlskog (ซึ่งแนะนำโดยCecilia Jarlskogในปี 1985)

${\displaystyle J=c_{12}c_{13}^{2}c_{23}s_{12}s_{13}s_{23}\sin \delta \approx 3\cdot 10^{-5}~.}$

สำหรับดัชนีภาษากรีกที่แสดงถึงควาร์กอัพ และดัชนีภาษาละตินที่แสดงถึงควาร์กดาวน์ เทนเซอร์ 4 มิติจะมีสมมาตรผกผันสองเท่า ${\displaystyle \;(\alpha ,\beta ;i,j)\equiv \operatorname {Im} (V_{\alpha i}V_{\beta j}V_{\alpha j}^{*}V_{\beta i}^{*})\;}$

${\displaystyle (\beta ,\alpha ;i,j)=-(\alpha ,\beta ;i,j)=(\alpha ,\beta ;j,i)~.}$

เมื่อพิจารณาถึงความไม่สมมาตร จะมีส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ เพียง 9 = 3 × 3 ส่วน เท่านั้น ซึ่งน่าทึ่งมาก ที่สามารถแสดงให้เห็นได้ จากความเป็นเอกภาพของ V ว่า ส่วนประกอบเหล่านี้มีขนาดเท่ากันทั้งหมดนั่นคือ

${\displaystyle (\alpha ,\beta ;i,j)=J~{\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{\alpha \beta }\otimes {\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{ij}\;,}$

ดังนั้น

${\displaystyle J=(u,c;s,b)=(u,c;d,s)=(u,c;b,d)=(c,t;s,b)=(c,t;d,s)=(c,t;b,d)=(t,u;s,b)=(t,u;b,d)=(t,u;d,s)~.}$

เนื่องจากด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสามารถตรวจสอบได้โดยตรงด้วยการทดลอง เช่นเดียวกับมุมทั้งสาม ดังนั้นการทดสอบแบบจำลองมาตรฐานประเภทหนึ่งจึงเป็นการตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นปิดสนิทหรือไม่ นี่คือจุดประสงค์ของการทดลองสมัยใหม่หลายชุดที่กำลังดำเนินการอยู่ที่โครงการBELLE ของญี่ปุ่น และ โครงการ BaBar ของสหรัฐอเมริกา รวมถึงที่LHCbใน CERN ประเทศสวิตเซอร์แลนด์

จำเป็นต้องใช้พารามิเตอร์อิสระสี่ตัวเพื่อกำหนดเมทริกซ์ CKM ให้สมบูรณ์ มีการเสนอรูปแบบการกำหนดพารามิเตอร์หลายแบบ และสามแบบที่ใช้กันทั่วไปแสดงไว้ด้านล่าง

การกำหนดพารามิเตอร์ดั้งเดิมของ Kobayashi และ Maskawa ใช้มุมสามมุม ( θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) และมุมเฟสที่ละเมิด CP ( δ ) ^{[ 5 ]} θ ₁คือมุม Cabibbo เพื่อความกระชับ โคไซน์และไซน์ของมุมθ _kจะถูกแทนด้วยc _kและs _kสำหรับk = 1, 2, 3ตามลำดับ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}c_{3}&s_{1}s_{3}\\-s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\-s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

การกำหนดพารามิเตอร์ แบบ "มาตรฐาน" ของ Chau-Keung ^{[ 8 ]}สำหรับเมทริกซ์ CKM ใช้มุมออยเลอร์ สามมุม ( θ ₁₂ , θ ₂₃ , θ ₁₃ ) และเฟสที่ละเมิด CP หนึ่งเฟส ( δ ₁₃ ) ^{[ 9 ]} θ ₁₂คือมุม Cabibbo ซึ่งเป็นแบบแผนที่กลุ่มข้อมูลอนุภาค สนับสนุน การเชื่อมโยงระหว่างรุ่นควาร์กjและkจะหายไปหากθ _jk = 0โคไซน์และไซน์ของมุมจะถูกแสดงด้วยc _jkและs _jkตามลำดับ

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}\\0&1&0\\-s_{13}&0&c_{13}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

ค่าพารามิเตอร์มาตรฐานในปี 2008 คือ: ^{[ 10 ]}

θ ₁₂ =13.04° ± 0.05° , θ ₁₃ =0.201° ± 0.011° , θ ₂₃ =2.38° ± 0.06°

และ

δ ₁₃ =1.20 ± 0.08  เรเดียน =68.8° ± 4.5 °

Lincoln Wolfensteinได้แนะนำการกำหนดพารามิเตอร์แบบที่สามของเมทริกซ์ CKM โดยใช้พารามิเตอร์จริงสี่ตัวคือλ , A , ρและηซึ่งทั้งหมดจะ 'หายไป' (เป็นศูนย์) หากไม่มีการเชื่อมต่อ^{[ 11 ]}พารามิเตอร์ Wolfenstein ทั้งสี่ตัวมีคุณสมบัติว่าทั้งหมดมีลำดับที่ 1 และเกี่ยวข้องกับการกำหนดพารามิเตอร์ 'มาตรฐาน':

${\displaystyle \lambda =s_{12}~,}$	${\displaystyle \lambda =s_{12}~,}$
${\displaystyle A\lambda ^{2}=s_{23}~,}$	${\displaystyle A={\frac {s_{23}}{\;s_{12}^{2}\;}}~,}$
${\displaystyle A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )=s_{13}e^{-i\delta }~,\quad }$	${\displaystyle \rho =\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{{\frac {\;s_{13}\,e^{-i\delta }\;}{s_{12}\,s_{23}}}\right\}~,\quad \eta =-\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{{\frac {\;s_{13}\,e^{-i\delta }\;}{s_{12}\,s_{23}}}\right\}~.}$

แม้ว่าการกำหนดพารามิเตอร์ของ Wolfenstein สำหรับเมทริกซ์ CKM จะมีความแม่นยำได้ตามต้องการเมื่อดำเนินการไปจนถึงลำดับสูง แต่โดยส่วนใหญ่แล้วจะใช้เพื่อสร้างค่าประมาณที่สะดวกสำหรับการกำหนดพารามิเตอร์มาตรฐาน ค่าประมาณถึงลำดับλ ³ซึ่งมีความแม่นยำดีกว่า 0.3% คือ:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.}$

อัตรา การ ละเมิด CPสอดคล้องกับพารามิเตอร์η

โดยใช้ค่าของส่วนก่อนหน้าสำหรับเมทริกซ์ CKM ณ ปี 2008 การกำหนดค่าพารามิเตอร์ Wolfenstein ที่ดีที่สุดคือ: ^{[ 6 ]}

λ = 0.22500 ± 0.0067,   A =0.826+0.018 −0.015,   ρ = 0.159±0.010 และ   η = 0.348±0.010

ในปี 2008 โคบายาชิและมาสกาวะได้รับ รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์คนละครึ่ง“จากการค้นพบต้นกำเนิดของสมมาตรที่แตกหักซึ่งทำนายการมีอยู่ของควาร์กอย่างน้อยสามตระกูลในธรรมชาติ” ^{[ 12 ]}มีรายงานว่านักฟิสิกส์บางคนรู้สึกขมขื่นที่คณะกรรมการรางวัลโนเบลไม่ได้มอบรางวัลให้กับผลงานของคาบิบโบซึ่งผลงานก่อนหน้านี้ของเขามีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผลงานของโคบายาชิและมาสกาวะ^{[ 13 ]}เมื่อถูกถามถึงปฏิกิริยาต่อรางวัล คาบิบโบเลือกที่จะไม่แสดงความคิดเห็น^{[ 14 ]}

• การกำหนดแบบจำลองมาตรฐานและการละเมิด CP
• ควอนตัมโครโมไดนามิกส์รสชาติและปัญหา CP ที่รุนแรง
• มุมไวน์เบิร์ก (Weinberg angle ) เป็นมุมที่คล้ายกันสำหรับค่า Z และการผสมโฟตอน
• เมทริกซ์ Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakataซึ่งเป็นเมทริกซ์การผสมที่เทียบเท่าสำหรับนิวตริโน
• สูตรโคอิเดะ

• ดีเจ กริฟฟิธส์ (2008). บทนำเกี่ยวกับอนุภาคพื้นฐาน (ฉบับที่ 2). จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ . ISBN 978-3-527-40601-2.

• B. Povh และคณะ (1995). อนุภาคและนิวเคลียส: บทนำสู่แนวคิดทางฟิสิกส์ . สปริงเกอร์ . ISBN 978-3-540-20168-7.

• II Bigi, AI Sanda (2000). การละเมิด CP . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-44349-4.

• "กลุ่มข้อมูลอนุภาค: เมทริกซ์การผสมควาร์ก CKM" (PDF )
• "กลุ่มข้อมูลอนุภาค: การละเมิด CP ในการสลายตัวของเมซอน" (PDF )
• "การทดลองบาบาร์ "ที่SLACรัฐแคลิฟอร์เนีย และ"การทดลอง BELLE "ที่KEKประเทศญี่ปุ่น