แผนที่คาร์โนห์ ( KMหรือK-map ) เป็นแผนภาพที่สามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อน ของ นิพจน์พีชคณิต บู ลีน มอริซ คาร์โนห์ได้แนะนำเทคนิคนี้ในปี 1953 ^{[ 1 ] [ 2 ]}โดยเป็นการปรับปรุงแผนภูมิVeitch ของ เอ็ดเวิร์ด ดับเบิลยู. เวทช์ใน ^ปี 1952 [ ^{3 ] [ 4 ]}ซึ่งเป็นการค้นพบใหม่ของแผนภาพตรรกะ ของ อัลลัน มาร์ควานด์ในปี 1881 ^{[ 5 ] [ 6 ]}หรือแผนภาพมาร์ควานด์ [ ^{4 ] นอกจาก}นี้ยังรู้จักกันในชื่อแผนภาพมาร์ควานด์-เวทช์ [ ^{4 ] แผนที่}คาร์โนห์-เวทช์ (KV)และ (ไม่บ่อยนัก) แผนภูมิสโวโบดา [ ^{7 ] แผนที่} คาร์โนห์ถือ เป็นความก้าวหน้าในช่วงต้นของประวัติศาสตร์ วิธีการ ตรรกะเชิงรูปธรรมและยังคงมีความเกี่ยวข้องในยุคดิจิทัล โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้าน การออกแบบ วงจรตรรกะและวิศวกรรมดิจิทัล^{[ 4 ]}

แผนที่คาร์นอห์ช่วยลดความจำเป็นในการคำนวณที่ซับซ้อนโดยใช้ประโยชน์จากความสามารถในการจดจำรูปแบบของมนุษย์^{[ 1 ]}นอกจากนี้ยังช่วยให้สามารถระบุและกำจัดเงื่อนไขการแข่งขัน ที่อาจเกิดขึ้นได้ อย่าง รวดเร็ว ^{[ 8 ]}

ผลลัพธ์บูลีนที่ต้องการจะถูกถ่ายโอนจากตารางความจริงไปยังตารางสองมิติ โดยในแผนที่คาร์โนห์ เซลล์จะถูกเรียงลำดับตามรหัสเกรย์ [ ^{9 ] [ 4 ] และตำแหน่งเซลล์แต่ละตำแหน่งแสดงถึง การ}รวมกันของเงื่อนไขอินพุตหนึ่งชุด เซลล์ยังเป็นที่รู้จักในชื่อมินเทอมในขณะที่ค่าเซลล์แต่ละค่าแสดงถึงค่าเอาต์พุตที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันบูลีน กลุ่มที่เหมาะสมที่สุดของ 1 หรือ 0 จะถูกระบุ ซึ่งแสดงถึงเทอมของรูปแบบมาตรฐานของตรรกะในตารางความจริงดั้งเดิม^{[ 10 ]}เทอมเหล่านี้สามารถใช้เพื่อเขียนนิพจน์บูลีนขั้นต่ำที่แสดงถึงตรรกะที่ต้องการได้

แผนที่คาร์นอห์ใช้เพื่อลดความซับซ้อนของข้อกำหนดตรรกะในโลกแห่งความเป็นจริง เพื่อให้สามารถนำไปใช้โดยใช้เกตตรรกะ จำนวนน้อยที่สุด นิพจน์ผลรวมของผลคูณ ( SOP) สามารถนำไปใช้ได้เสมอโดยใช้เกต ANDที่ป้อนเข้าสู่เกต ORและนิพจน์ผลคูณของผลรวม (POS) นำไปสู่เกต OR ที่ป้อนเข้าสู่เกต AND นิพจน์ POS ให้ค่าผกผันของฟังก์ชัน (ถ้า F คือฟังก์ชัน ค่าผกผันของมันจะเป็น F') ^{[ 11 ]}แผนที่คาร์นอห์ยังสามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรรกะในการออกแบบซอฟต์แวร์ เงื่อนไขบูลีน เช่นที่ใช้ในคำสั่งเงื่อนไขอาจมีความซับซ้อนมาก ซึ่งทำให้โค้ดอ่านและบำรุงรักษายาก เมื่อลดขนาดแล้ว นิพจน์ผลรวมของผลคูณและผลคูณของผลรวมแบบมาตรฐานสามารถนำไปใช้ได้โดยตรงโดยใช้ตัวดำเนินการตรรกะ AND และ OR ^{[ 12 ]}

แผนที่คาร์โนห์ใช้เพื่อช่วยในการลดรูป ฟังก์ชัน พีชคณิตบูลีนตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชันบูลีนที่อธิบายโดยตารางความจริง ต่อไป นี้

ตารางค่าความจริงของฟังก์ชัน

	เอ	บี	ซี	ดี	⁠ ⁠${\displaystyle f(A,B,C,D)}$
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	0
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	0
6	0	1	1	0	1
7	0	1	1	1	0
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	1
11	1	0	1	1	1
12	1	1	0	0	1
13	1	1	0	1	1
14	1	1	1	0	1
15	1	1	1	1	0

ต่อไปนี้เป็นสัญลักษณ์สองแบบที่แตกต่างกันซึ่งอธิบายฟังก์ชันเดียวกันในพีชคณิตบูลีนที่ไม่ลดรูป โดยใช้ตัวแปรบูลีนA , B , C , Dและตัวผกผันของตัวแปรเหล่านั้น

• ${\displaystyle f(A,B,C,D)=\sum _{}m_{i},i\in \{6,8,9,10,11,12,13,14\}}$มินเทอร์ม ที่จะแมป อยู่ที่ไหน(เช่น แถวที่มีเอาต์พุต 1 ในตารางความจริง)${\displaystyle m_{i}}$
• ${\displaystyle f(A,B,C,D)=\prod _{}M_{i},i\in \{0,1,2,3,4,5,7,15\}}$แม็กซ์เทอม ที่จะแมป อยู่ที่ไหน(เช่น แถวที่มีเอาต์พุต 0 ในตารางความจริง)${\displaystyle M_{i}}$

ในตัวอย่างข้างต้น ตัวแปรป้อนเข้าทั้งสี่ตัวสามารถรวมกันได้ 16 วิธีที่แตกต่างกัน ดังนั้นตารางความจริงจึงมี 16 แถว และแผนที่คาร์โนห์มี 16 ตำแหน่ง แผนที่คาร์โนห์จึงถูกจัดเรียงในรูปแบบตาราง 4 × 4

ดัชนีแถวและคอลัมน์ (แสดงอยู่ด้านบนและด้านซ้ายของแผนที่คาร์โนห์) เรียงลำดับตามรหัสเกรย์แทนที่จะเป็นลำดับตัวเลขไบนารี รหัสเกรย์ช่วยให้มั่นใจได้ว่าจะมีเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงระหว่างเซลล์ที่อยู่ติดกันแต่ละคู่ เซลล์แต่ละเซลล์ในแผนที่คาร์โนห์ที่สมบูรณ์จะมีตัวเลขไบนารีที่แสดงถึงผลลัพธ์ของฟังก์ชันสำหรับชุดค่าป้อนเข้าเหล่านั้น

หลังจากสร้างแผนที่คาร์โนห์แล้ว จะใช้แผนที่นี้เพื่อค้นหารูปแบบที่ง่ายที่สุดรูปแบบหนึ่ง ซึ่งเรียกว่ารูปแบบมาตรฐานสำหรับข้อมูลในตารางความจริง เลข 1 ที่อยู่ติดกันในแผนที่คาร์โนห์แสดงถึงโอกาสในการทำให้สมการง่ายขึ้น เทอมย่อย ('เทอมขั้นต่ำ') สำหรับสมการสุดท้ายจะหาได้จากการล้อมรอบกลุ่มของเลข 1 ในแผนที่ กลุ่มเทอมย่อยต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและต้องมีพื้นที่เป็นกำลังของสอง (เช่น 1, 2, 4, 8...) รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของเทอมย่อยควรมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยไม่รวมเลข 0 กลุ่มอาจทับซ้อนกันเพื่อให้แต่ละกลุ่มมีขนาดใหญ่ขึ้น การจัดกลุ่มที่เหมาะสมที่สุดในตัวอย่างด้านล่างแสดงด้วยเส้นสีเขียว สีแดง และสีน้ำเงิน และกลุ่มสีแดงและสีเขียวทับซ้อนกัน กลุ่มสีแดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 2 × 2 กลุ่มสีเขียวเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 4 × 1 และพื้นที่ที่ทับซ้อนกันแสดงด้วยสีน้ำตาล

โดยทั่วไปแล้ว เซลล์ต่างๆ จะถูกแทนด้วยตัวย่อที่อธิบายค่าตรรกะของอินพุตที่เซลล์นั้นครอบคลุม ตัวอย่างเช่นADหมายถึงเซลล์ที่ครอบคลุมพื้นที่ 2x2 ซึ่งAและDเป็นจริง กล่าวคือ เซลล์หมายเลข 13, 9, 15, 11 ในแผนภาพด้านบน ในทางกลับกันA Dหมายถึงเซลล์ที่Aเป็นจริงและDเป็นเท็จ (นั่นคือDเป็นจริง)

ตารางนี้ เชื่อมต่อ กันแบบวงแหวนซึ่งหมายความว่ากลุ่มสี่เหลี่ยมสามารถวนไปตามขอบได้ (ดูภาพประกอบ) เซลล์ทางด้านขวาสุดนั้น 'อยู่ติดกัน' กับเซลล์ทางด้านซ้ายสุด ในแง่ที่ว่าค่าอินพุตที่สอดคล้องกันนั้นแตกต่างกันเพียงหนึ่งบิตเท่านั้น ในทำนองเดียวกัน เซลล์ที่อยู่ด้านบนสุดและเซลล์ที่อยู่ด้านล่างสุดก็เช่นกัน ดังนั้นA Dจึงเป็นคำที่ถูกต้องได้—เพราะมันรวมเซลล์ที่ 12 และ 8 ที่ด้านบน และวนไปด้านล่างเพื่อรวมเซลล์ที่ 10 และ 14—เช่นเดียวกับB Dซึ่งรวมถึงมุมทั้งสี่

เมื่อสร้างแผนที่คาร์โนห์และเชื่อมโยงเลข 1 ที่อยู่ติดกันด้วยกล่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว ก็สามารถหามินเทอมเชิงพีชคณิตได้โดยการตรวจสอบว่าตัวแปรใดคงที่อยู่ภายในแต่ละกล่อง

สำหรับกลุ่มสีแดง:

• Aมีค่าเท่ากันและเท่ากับ 1 ตลอดทั้งกล่อง ดังนั้นจึงควรนำไปรวมไว้ในการแสดงผลเชิงพีชคณิตของมินเทอมสีแดงด้วย
• Bไม่คงสถานะเดิม (มันเปลี่ยนจาก 1 เป็น 0) ดังนั้นจึงควรตัดออก
• Cไม่เปลี่ยนแปลง มันเป็น 0 เสมอ ดังนั้นค่าตรงข้ามของมัน คือ NOT-C จึงควรรวมอยู่ด้วย ดังนั้นC จึง ควรรวมอยู่ด้วย
• ค่า Dเปลี่ยนแปลงไป จึงถูกตัดออก

ดังนั้น มินเทอร์มแรกในนิพจน์ผลรวมของผลคูณแบบบูลีนคือ A C

สำหรับกลุ่มสีเขียวAและBยังคงอยู่ในสถานะเดิม ในขณะที่CและDเปลี่ยนแปลงไปBมีค่าเป็น 0 และต้องถูกกลับค่าก่อนจึงจะนำมารวมได้ ดังนั้นพจน์ที่สองจึงเป็นA Bโปรดสังเกตว่าการที่กลุ่มสีเขียวทับซ้อนกับกลุ่มสีแดงนั้นเป็นสิ่งที่ยอมรับได้

ในทำนองเดียวกัน กลุ่มสีน้ำเงินให้คำว่า BC D

วิธีแก้ปัญหาของแต่ละกลุ่มจะถูกรวมเข้าด้วยกัน: รูปแบบปกติของวงจรคือ. ${\displaystyle A{\overline {C}}+A{\overline {B}}+BC{\overline {D}}}$

ดังนั้น แผนที่ของคาร์โนห์จึงเป็นแนวทางในการลดความซับซ้อนของ

${\displaystyle {\begin{aligned}f(A,B,C,D)={}&{\overline {A}}BC{\overline {D}}+A{\overline {B}}\,{\overline {C}}\,{\overline {D}}+A{\overline {B}}\,{\overline {C}}D+A{\overline {B}}C{\overline {D}}+{}\\&A{\overline {B}}CD+AB{\overline {C}}\,{\overline {D}}+AB{\overline {C}}D+ABC{\overline {D}}\\={}&A{\overline {C}}+A{\overline {B}}+BC{\overline {D}}\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ ยังสามารถลดรูปสมการนี้ได้โดยการใช้สัจพจน์ของพีชคณิตบูลีน อย่างระมัดระวัง แต่เวลาที่ใช้ในการทำเช่นนั้นจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามจำนวนพจน์

การหาค่าผกผันของฟังก์ชันทำได้ในลักษณะเดียวกัน โดยการจัดกลุ่มเลข 0 แทน^{[ nb 1 ]}

คำศัพท์ทั้งสามคำที่ใช้แทนคำผกผันนั้น แสดงอยู่ในกรอบสีเทาที่มีขอบสีต่างกัน:

• สีน้ำตาล : เอบี
• ทองคำ : เอซี
• สีน้ำเงิน : บีซีดี

ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ที่ตรงกันข้าม:

${\displaystyle {\overline {f(A,B,C,D)}}={\overline {A}}\,{\overline {B}}+{\overline {A}}\,{\overline {C}}+BCD}$

โดยใช้กฎของเดอ มอร์แกน เราสามารถหา ผล คูณ ของผลรวม ได้:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(A,B,C,D)&={\overline {\overline {f(A,B,C,D)}}}\\&={\overline {{\overline {A}}\,{\overline {B}}+{\overline {A}}\,{\overline {C}}+BCD}}\\&=\left({\overline {{\overline {A}}\,{\overline {B}}}}\right)\left({\overline {{\overline {A}}\,{\overline {C}}}}\right)\left({\overline {BCD}}\right)\\&=\left(A+B\right)\left(A+C\right)\left({\overline {B}}+{\overline {C}}+{\overline {D}}\right)\end{aligned}}}$

แผนที่คาร์โนห์ยังช่วยให้การลดรูปฟังก์ชันที่มีตารางความจริงซึ่งรวมถึงเงื่อนไข " ไม่สนใจ " ทำได้ง่ายขึ้น เงื่อนไข "ไม่สนใจ" คือการรวมกันของอินพุตที่ผู้ออกแบบไม่สนใจว่าเอาต์พุตจะเป็นอย่างไร ดังนั้น เงื่อนไข "ไม่สนใจ" สามารถรวมหรือแยกออกจากกลุ่มสี่เหลี่ยมใดก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่าแบบใดทำให้กลุ่มนั้นใหญ่ขึ้น โดยปกติจะแสดงด้วยขีดหรือเครื่องหมาย X บนแผนที่

ตัวอย่างทางด้านขวาเหมือนกับตัวอย่างด้านบน แต่ค่าของf (1,1,1,1) ถูกแทนที่ด้วย "ไม่สนใจ" ซึ่งจะทำให้พจน์สีแดงขยายลงไปจนถึงด้านล่างสุด และทำให้พจน์สีเขียวหายไปโดยสมบูรณ์

ซึ่งจะได้สมการขั้นต่ำใหม่ดังนี้:

${\displaystyle f(A,B,C,D)=A+BC{\overline {D}}}$

โปรดสังเกตว่าพจน์แรกคือA เท่านั้น ไม่ใช่AC ในกรณีนี้ ตัว เลือกที่ไม่สนใจได้ตัดพจน์หนึ่งออกไป (สี่เหลี่ยมสีเขียว) ลดความซับซ้อนของอีกพจน์หนึ่ง (สีแดง) และกำจัดอันตรายจากการแข่งขัน (โดยการลบพจน์สีเหลืองออกดังแสดงในส่วนถัดไปเกี่ยวกับอันตรายจากการแข่งขัน)

กรณีตรงกันข้ามสามารถลดรูปได้ดังนี้:

${\displaystyle {\overline {f(A,B,C,D)}}={\overline {A}}\,{\overline {B}}+{\overline {A}}\,{\overline {C}}+{\overline {A}}D}$

โดยใช้กฎของเดอ มอร์แกน เราสามารถหา ผล คูณ ของผลรวม ได้:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(A,B,C,D)&={\overline {\overline {f(A,B,C,D)}}}\\&={\overline {{\overline {A}}\,{\overline {B}}+{\overline {A}}\,{\overline {C}}+{\overline {A}}\,D}}\\&=\left({\overline {{\overline {A}}\,{\overline {B}}}}\right)\left({\overline {{\overline {A}}\,{\overline {C}}}}\right)\left({\overline {{\overline {A}}\,D}}\right)\\&=\left(A+B\right)\left(A+C\right)\left(A+{\overline {D}}\right)\end{aligned}}}$

แผนที่คาร์โนห์มีประโยชน์ในการตรวจจับและกำจัดสภาวะการแข่งขัน ( race condition ) อันตรายจากการแข่งขันนั้นตรวจจับได้ง่ายมากโดยใช้แผนที่คาร์โนห์ เพราะสภาวะการแข่งขันอาจเกิดขึ้นได้เมื่อเคลื่อนที่ระหว่างบริเวณที่อยู่ติดกันแต่แยกจากกันบนแผนที่ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากธรรมชาติของการเข้ารหัสแบบเกรย์ คำว่า " ติดกัน"จึงมีความหมายพิเศษดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น – ในความเป็นจริงแล้วเรากำลังเคลื่อนที่บนทรงโดนัท (torus) มากกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยวนรอบด้านบน ด้านล่าง และด้านข้าง

• ในตัวอย่างข้างต้นสภาวะการแข่งขันที่อาจเกิดขึ้นได้เกิดขึ้นเมื่อCเป็น 1 และDเป็น 0, Aเป็น 1 และBเปลี่ยนจาก 1 เป็น 0 (เปลี่ยนจากสถานะสีน้ำเงินเป็นสถานะสีเขียว) ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ถูกกำหนดให้คงที่ที่ 1 แต่เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงนี้ไม่ได้ครอบคลุมโดยเงื่อนไขเฉพาะในสมการ จึงมีโอกาสเกิดความผิดพลาด (การเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของผลลัพธ์ไปเป็น 0)
• ในตัวอย่างเดียวกันนี้ ยังมีข้อผิดพลาดอีกประการหนึ่งที่สังเกตได้ยากกว่า นั่นคือ เมื่อDเป็น 0 และAกับBเป็น 1 ทั้งคู่ โดยที่ C เปลี่ยนจาก 1 เป็น 0 (เคลื่อนจากสถานะสีน้ำเงินไปยังสถานะสีแดง) ในกรณีนี้ ข้อผิดพลาดจะวนจากด้านบนของแผนที่ลงมาด้านล่าง

ความผิดพลาดจะเกิดขึ้นจริงหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับลักษณะทางกายภาพของการใช้งาน และเราจำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับแอปพลิเคชัน ในวงจรลอจิกที่มีสัญญาณนาฬิกาควบคุมนั้น เพียงพอแล้วที่วงจรจะปรับตัวให้เข้ากับค่าที่ต้องการได้ทันเวลาเพื่อให้ตรงตามกำหนดเวลา ในตัวอย่างของเรา เราไม่ได้พิจารณาวงจรลอจิกที่มีสัญญาณนาฬิกาควบคุม

ในกรณีของเรา การเพิ่มเทอมเพิ่มเติมจะช่วยขจัดปัญหาการแข่งขันที่อาจเกิดขึ้น โดยเชื่อมโยงระหว่างสถานะเอาต์พุตสีเขียวและสีน้ำเงิน หรือสถานะเอาต์พุตสีน้ำเงินและสีแดง ซึ่งแสดงเป็นบริเวณสีเหลือง (ซึ่งวนจากด้านล่างไปยังด้านบนของครึ่งขวา) ในแผนภาพด้านข้าง ${\displaystyle A{\overline {D}}}$

คำศัพท์ดังกล่าวอาจซ้ำซ้อนในแง่ของตรรกะคงที่ของระบบ แต่คำศัพท์ที่ซ้ำซ้อนหรือคำศัพท์ที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป นั้น มักจำเป็นเพื่อให้มั่นใจได้ว่าประสิทธิภาพการทำงานแบบไดนามิกจะปราศจากปัญหาการแข่งขัน

ในทำนองเดียวกัน จะต้องเพิ่มพจน์เพิ่มเติมของ เข้าไป ในส่วนกลับเพื่อขจัดอันตรายจากการแข่งขันที่อาจเกิดขึ้นอีกประการหนึ่ง การใช้กฎของเดอ มอร์แกน จะสร้างนิพจน์ผลคูณของผลรวมอีกแบบหนึ่งสำหรับ fแต่มีตัวประกอบใหม่คือ ${\displaystyle {\overline {A}}D}$${\displaystyle \left(A+{\overline {D}}\right)}$

ต่อไปนี้คือแผนที่คาร์โนห์แบบ 2 ตัวแปร 2 × 2 ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยแต่ละแผนที่จะแสดงมินเทอมในรูปฟังก์ชันของและสมการขั้นต่ำที่ปราศจากความเสี่ยงจากการแข่งขัน ( ดูส่วนก่อนหน้า ) มินเทอมถูกนิยามว่าเป็นนิพจน์ที่ให้รูปแบบนิพจน์ที่เล็กที่สุดของตัวแปรที่ถูกแมป สามารถสร้างบล็อกที่เชื่อมต่อกันในแนวนอนและแนวตั้งได้ทุกรูปแบบ บล็อกเหล่านี้ต้องมีขนาดเป็นกำลังของ 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) นิพจน์เหล่านี้สร้างการแมปเชิงตรรกะขั้นต่ำของนิพจน์ตัวแปรเชิงตรรกะขั้นต่ำสำหรับนิพจน์ไบนารีที่จะถูกแมป ต่อไปนี้คือบล็อกทั้งหมดที่มีฟิลด์เดียว ${\textstyle \sum m()}$

บล็อกสามารถต่อขยายไปทางด้านล่าง ด้านบน ด้านซ้าย หรือด้านขวาของแผนภูมิได้ และยังสามารถต่อขยายออกไปนอกขอบแผนภูมิเพื่อลดความแปรปรวนได้อีกด้วย เนื่องจากตัวแปรเชิงตรรกะแต่ละตัวจะสอดคล้องกับคอลัมน์แนวตั้งและแถวแนวนอนแต่ละแถว การแสดงภาพ k-map สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นรูปทรงกระบอก ฟิลด์ที่ขอบด้านซ้ายและขวาอยู่ติดกัน และด้านบนและด้านล่างก็อยู่ติดกัน k-map สำหรับตัวแปรสี่ตัวจะต้องแสดงเป็นรูปทรงโดนัทหรือทอรัส มุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมที่วาดโดย k-map จะอยู่ติดกัน จำเป็นต้องใช้แผนที่ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นสำหรับตัวแปร 5 ตัวขึ้นไป

• 
  Σ m (0); K = 0
• 
  Σ m (1); K = A ′ B ′
• 
  Σ m (2); K = AB ′
• 
  Σ m (3); K = A ′ B
• 
  Σ m (4); K = AB
• 
  Σ m (1,2); K = B ′
• 
  Σ m (1,3); K = A ′
• 
  Σ m (1,4); K = A ′ B ′ + AB
• 
  Σ m (2,3); K = AB ′ + A ′ B
• 
  Σ m (2,4); K = A
• 
  Σ m (3,4); K = B
• 
  Σ m (1,2,3); K = A' + B ′
• 
  Σ m (1,2,4); K = A + B ′
• 
  Σ m (1,3,4); K = A ′ + B
• 
  Σ m (2,3,4); K = A + B
• 
  Σ m (1,2,3,4); K = 1

วิธีการย่อขนาดกราฟิกที่เกี่ยวข้อง ได้แก่:

• แผนภาพ Marquand (พ.ศ. 2424) โดยAllan Marquand (พ.ศ. 2396-2467) ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 4 ]}
• แผนภูมิ Veitch (1952) โดยEdward W. Veitch (1924–2013) ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• แผนภูมิสโวโบดา (พ.ศ. 2499) โดยอันโตนิน สโวโบดา (พ.ศ. 2450–2523) ^{[ 7 ]}
• แผนที่มาโฮนีย์ ( M-map ,หมายเลขกำหนด , 1963) โดย Matthew V. Mahoney (ส่วนขยายแบบสมมาตรสะท้อนของแผนที่คาร์โนห์สำหรับจำนวนอินพุตที่มากขึ้น)
• เทคนิค แผนที่คาร์โนห์แบบลดรูป (RKM) (ตั้งแต่ปี 1969) เช่นตัวแปรที่ไม่บ่อยแผนที่ตัวแปรป้อนเข้า (MEV)แผนที่ป้อนเข้าตัวแปร (VEM) หรือแผนที่คาร์โนห์ป้อนเข้าตัวแปร (VEKM) โดย GW Schultz, Thomas E. Osborne , Christopher R. Clare, J. Robert Burgoon, Larry L. Dornhoff, William I. Fletcher, Ali M. Rushdi และคนอื่นๆ (ส่วนขยายแผนที่คาร์โนห์หลายแบบต่อเนื่องกันโดยอาศัยอินพุตตัวแปรสำหรับอินพุตจำนวนมากขึ้น)
• แผนที่วงแหวนมินเทอร์ม (MRM, 1990) โดย Thomas R. McCalla (ส่วนขยายสามมิติของแผนที่ Karnaugh สำหรับจำนวนอินพุตที่มากขึ้น)

• รูปแบบปกติเชิงพีชคณิต (ANF)
• แผนภาพการตัดสินใจแบบไบนารี (BDD) เป็นโครงสร้างข้อมูลที่แสดงถึงฟังก์ชันบูลีนในรูปแบบย่อ
• ตัวลดตรรกะฮิวริสติกเอสเพรสโซ
• รายชื่อหัวข้อพีชคณิตบูลีน
• การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงตรรกะ
• ตารางพุนเน็ตต์ (ค.ศ. 1905) แผนภาพที่คล้ายกันในทางชีววิทยา
• อัลกอริทึมควิน-แมคคลัสกีย์
• การขยายของรีด-มุลเลอร์
• แผนภาพเวนน์ (1880)
• พหุนาม Zhegalkin

• Katz, Randy Howard (1998) [1994]. การออกแบบตรรกะร่วมสมัยเล่มที่ 26 บริษัทสำนักพิมพ์เบนจามิน/คัมมิงส์หน้า  70–85 ISBN 0-8053-2703-7.
• Vingron, Shimon Peter ( 2004) [2003-11-05]. "แผนที่คาร์นอห์" ทฤษฎีการสลับ: ความเข้าใจผ่านตรรกะภาคแสดงเบอร์ลิน ไฮเดลเบิร์ก นิวยอร์ก: Springer-Verlagหน้า  57–76 ISBN 3-540-40343-4.
• Wickes, William E. (1968). "3.5. แผนภาพ Veitch". การออกแบบตรรกะด้วยวงจรรวม . นิวยอร์ก สหรัฐอเมริกา: John Wiley & Sons . หน้า  36–49 . LCCN  68-21185 . หน้า 36: […] เป็นการปรับปรุงแผนภาพเวนน์โดยแทนที่วงกลมด้วยสี่เหลี่ยมและจัดเรียงในรูปแบบเมทริกซ์ แผนภาพ Veitch จะติดป้ายกำกับสี่เหลี่ยมด้วยminterms Karnaugh กำหนด ค่า 1 และ 0 ให้กับสี่เหลี่ยมและป้ายกำกับ และอนุมานรูปแบบการกำหนดหมายเลขที่ใช้กันทั่วไป
• Maxfield, Clive "Max" (2006-11-29). "ตรรกะรีด-มุลเลอร์" . ตรรกะเบื้องต้น . EE Times . ตอนที่ 3. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2017-04-19 . เรียกดูเมื่อ2017-04-19 .
• ลินด์, แลร์รี เฟรเดอริก; เนลสัน, จอห์น คริสโตเฟอร์ คันลิฟฟ์ (1977). "ส่วนที่ 2.3" การวิเคราะห์และการออกแบบระบบดิจิทัลแบบลำดับ . สำนักพิมพ์แมคมิลแลน . ISBN 0-33319266-4.(146 หน้า)
• Holder, Michel Elizabeth (มีนาคม 2548) [14 กุมภาพันธ์ 2548]. "เทคนิคแผนที่ Karnaugh ที่ได้รับการดัดแปลง" . IEEE Transactions on Education . 48 (1). IEEE : 206– 207. Bibcode : 2005ITEdu..48..206H . doi : 10.1109/TE.2004.832879 . eISSN  1557-9638 . ISSN  0018-9359 . S2CID  25576523 .
• Cavanagh, Joseph (2008). การคำนวณทางคอมพิวเตอร์และพื้นฐาน Verilog HDL (ฉบับที่ 1). CRC Press .
• โคฮาวี, ซวี; จา, นิราช เค. (2009). ทฤษฎีการสลับและจำกัดออโตมาตะ (3 เอ็ด) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ไอเอสบีเอ็น 978-0-521-85748-2.
• กรุนด์, เจอร์เก้น (2011) KV-Diagramme ใน Schaltalgebra - Verknüpfungen, Beweise, Normalformen, schaltalgebraische Umformungen, Anschauungsmodelle, Paradebeispiele [ แผนภาพ KV ในพีชคณิตแบบบูลีน - ความสัมพันธ์, การพิสูจน์, รูปแบบปกติ, การแปลงพีชคณิต, โมเดลตัวอย่าง, ตัวอย่างทั่วไป ] (ปฏิบัติการ Windows/Mac หรือ เบราว์เซอร์ที่รองรับ Adobe Flashบนซีดีรอม) (e-book) (ภาษาเยอรมัน) (1 เอ็ด). เบอร์ลิน, เยอรมนี: viademica Verlag ไอเอสบีเอ็น 978-3-939290-08-7. เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 12 พฤศจิกายน 2022 เรียกดูเมื่อวันที่ 26 พฤศจิกายน 2022[2] (282 หน้า พร้อมภาพเคลื่อนไหว 14 ภาพ)

• ตรวจจับสี่เหลี่ยมที่ทับซ้อนกันเก็บ ถาวร เมื่อ 2013-11-06 ที่Wayback Machineโดย Herbert Glarner
• การนำแผนที่คาร์โนห์ไปใช้ในทางปฏิบัติโครงการออกแบบวงจรเพื่อควบคุมสัญญาณไฟจราจร
• บทช่วยสอนการใช้ K-Map สำหรับตัวแปร 2, 3, 4 และ 5 ตัวถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 12 เมษายน 2024 ที่Wayback Machine
• การลดความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีนใน Pocket-PC โดย Ledion Bitincka — George E. Antoniou เก็บถาวรเมื่อ 2020-11-17 ที่Wayback Machine
• การแก้ไขปัญหา K-Map
• "คู่มือการใช้งานแผนที่คาร์นาห์ (K-Map) (PDF)มหาวิทยาลัยรัฐแคลิฟอร์เนีย ซานมาร์คอสสืบค้นเมื่อ18 ธันวาคม 2023