โหมดปกติของระบบพลวัตคือรูปแบบการเคลื่อนที่ที่ทุกส่วนของระบบเคลื่อนที่แบบไซน์ด้วยความถี่เดียวกันและมีความสัมพันธ์ของเฟสคงที่ การเคลื่อนที่อิสระที่อธิบายโดยโหมดปกติเกิดขึ้นที่ความถี่คงที่ ความถี่คงที่เหล่านี้ของโหมดปกติของระบบเรียกว่าความถี่ธรรมชาติหรือความถี่เรโซแนนซ์วัตถุทางกายภาพ เช่น อาคาร สะพาน หรือโมเลกุล มีชุดของโหมดปกติและความถี่ธรรมชาติที่ขึ้นอยู่กับโครงสร้าง วัสดุ และเงื่อนไขขอบเขต

การเคลื่อนที่ทั่วไปที่สุดของระบบเชิงเส้นคือการซ้อนทับกันของโหมดปกติ โหมดเหล่านี้ "ปกติ" ในแง่ที่ว่ามันเคลื่อนที่อย่างอิสระ การกระตุ้นโหมดหนึ่งจะไม่ทำให้เกิดการกระตุ้นโหมดอื่น ในทางคณิตศาสตร์ โหมดปกติจะตั้งฉากซึ่งกันและกัน

ในทฤษฎีคลื่นของฟิสิกส์และวิศวกรรมโหมดในระบบพลวัตคือ สถานะการกระตุ้น แบบคลื่นนิ่งซึ่งส่วนประกอบทั้งหมดของระบบจะได้รับผลกระทบในลักษณะคลื่นไซน์ที่ความถี่คงที่ซึ่งสัมพันธ์กับโหมดนั้น

เนื่องจากไม่มีระบบจริงใดที่สามารถเข้ากันได้อย่างสมบูรณ์แบบภายใต้กรอบของคลื่นนิ่ง แนวคิด เรื่องโหมดจึงถูกนำมาใช้เป็นลักษณะทั่วไปของสถานะการสั่นเฉพาะเจาะจง ดังนั้นจึงพิจารณาระบบไดนามิกใน ลักษณะ เชิงเส้นซึ่ง สามารถทำการ ซ้อนทับ เชิงเส้น ของสถานะได้

ตัวอย่างทั่วไปได้แก่:

• ในระบบพลวัตเชิงกล เชือกที่สั่นเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของโหมด โดยที่เชือกเป็นตัวกลาง แรงเค้นบนเชือกเป็นตัวกระตุ้น และการกระจัดของเชือกเมื่อเทียบกับสถานะหยุดนิ่งเป็นตัวแปรของโหมด
• ในระบบพลศาสตร์เสียง ระดับเสียงเดียวถือเป็นโหมด โดยที่อากาศเป็นตัวกลางความดันเสียงในอากาศเป็นตัวกระตุ้น และการกระจัดของโมเลกุลอากาศเป็นตัวแปรของโหมด
• ในระบบพลวัตเชิงโครงสร้าง อาคารสูงที่สั่นไหวรอบแกนดัดงอมากที่สุดถือเป็นโหมดหนึ่ง ซึ่งวัสดุทั้งหมดของอาคาร (ภายใต้การลดทอนเชิงตัวเลขที่เหมาะสม) ถือเป็นตัวกลาง แรงกระตุ้นจากแผ่นดินไหว ลม และสิ่งแวดล้อมถือเป็นตัวกระตุ้น และการกระจัดถือเป็นตัวแปรของโหมด
• ในระบบพลวัตทางไฟฟ้า โพรงเรโซแนนซ์ที่ทำจากผนังโลหะบางๆ ซึ่งล้อมรอบพื้นที่กลวง สำหรับเครื่องเร่งอนุภาค เป็นระบบคลื่นนิ่งบริสุทธิ์ และเป็นตัวอย่างหนึ่งของโหมด โดยที่พื้นที่กลวงของโพรงเป็นตัวกลาง แหล่งกำเนิดคลื่นวิทยุ (เช่นไคลสตรอนหรือแหล่งกำเนิดคลื่นวิทยุอื่นๆ) เป็นตัวกระตุ้น และสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นตัวแปรของโหมด
• ในบริบทของดนตรีโหมดการสั่นสะเทือนปกติของเครื่องดนตรี (เครื่องสาย เครื่องเป่าลม กลอง ฯลฯ) เรียกว่า " โอเวอร์โทน "

แนวคิดเรื่องโหมดปกติยังนำไปประยุกต์ใช้ในระบบพลศาสตร์อื่นๆ ได้อีกด้วย เช่นทัศนศาสตร์กลศาสตร์ควอนตัม พลศาสตร์ของบรรยากาศและพลศาสตร์ ของโมเลกุล

ระบบพลวัตส่วนใหญ่สามารถถูกกระตุ้นได้หลายโหมด ซึ่งอาจเกิดขึ้นพร้อมกันได้ แต่ละโหมดมีลักษณะเฉพาะด้วยความถี่หนึ่งหรือหลายความถี่ ขึ้นอยู่กับสนามตัวแปรของโหมดนั้น ตัวอย่างเช่น เชือกที่สั่นในพื้นที่ 2 มิติ จะถูกกำหนดด้วยความถี่เดียว (การกระจัดตามแนวแกน 1 มิติ) แต่เชือกที่สั่นในพื้นที่ 3 มิติ จะถูกกำหนดด้วยความถี่สองความถี่ (การกระจัดตามแนวแกน 2 มิติ)

สำหรับค่าแอมพลิจูดที่กำหนดของตัวแปรโมดอล แต่ละโหมดจะเก็บพลังงานในปริมาณที่เฉพาะเจาะจงเนื่องจากการกระตุ้นแบบไซน์

โหมดปกติหรือ โหมด เด่นของระบบที่มีหลายโหมดจะเป็นโหมดที่เก็บพลังงานน้อยที่สุดสำหรับแอมพลิจูดที่กำหนดของตัวแปรโหมด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับปริมาณพลังงานที่เก็บไว้ที่กำหนด โหมดเด่นจะเป็นโหมดที่กำหนดให้แอมพลิจูดสูงสุดของตัวแปรโหมด

ลักษณะการสั่นของแต่ละโหมดจะถูกกำหนดด้วยความถี่โหมดและรูปร่างโหมด โดยจะกำหนดหมายเลขตามจำนวนครึ่งคลื่นในการสั่น ตัวอย่างเช่น ถ้าคานที่ยึดปลายทั้งสองข้างไว้ แสดงรูปร่างโหมดเป็นครึ่งคลื่นไซน์ (มีจุดสูงสุดหนึ่งจุดบนคานที่สั่น) จะเรียกว่าสั่นในโหมดที่ 1 แต่ถ้าเป็นคลื่นไซน์เต็ม (มีจุดสูงสุดหนึ่งจุดและจุดต่ำสุดหนึ่งจุด) จะเรียกว่าสั่นในโหมดที่ 2

ในระบบที่มีสองมิติขึ้นไป เช่น แผ่นดิสก์ในภาพ แต่ละมิติจะได้รับหมายเลขโหมด โดยใช้พิกัดเชิงขั้วเราจะมีพิกัดรัศมีและพิกัดเชิงมุม ถ้าเราวัดจากจุดศูนย์กลางออกไปตามพิกัดรัศมี เราจะพบคลื่นเต็มลูก ดังนั้นหมายเลขโหมดในทิศทางรัศมีคือ 2 ส่วนทิศทางอื่นนั้นซับซ้อนกว่า เพราะเราพิจารณาเพียงครึ่งหนึ่งของแผ่นดิสก์เท่านั้น เนื่องจากลักษณะการสั่นแบบไม่สมมาตร (หรือเรียกว่าสมมาตรเฉียง ) ของแผ่นดิสก์ในทิศทางเชิงมุม ดังนั้น การวัด 180° ตามทิศทางเชิงมุม เราจะพบคลื่นครึ่งลูก ดังนั้นหมายเลขโหมดในทิศทางเชิงมุมคือ 1 ดังนั้นหมายเลขโหมดของระบบจึงเป็น 2–1 หรือ 1–2 ขึ้นอยู่กับว่าพิกัดใดถือเป็นพิกัด "แรก" และพิกัดใดถือเป็นพิกัด "ที่สอง" (ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องระบุเสมอว่าหมายเลขโหมดใดตรงกับทิศทางพิกัดใด)

ในระบบเชิงเส้น แต่ละโหมดจะมีความเป็นอิสระจากโหมดอื่นๆ อย่างสมบูรณ์ โดยทั่วไปแล้ว ทุกโหมดจะมีคลื่นความถี่ที่แตกต่างกัน (โดยโหมดที่มีคลื่นความถี่ต่ำจะมีคลื่นความถี่ต่ำกว่า) และมีรูปร่างของโหมดที่แตกต่างกันด้วย

ในระบบหนึ่งมิติที่โหมดการสั่นใด ๆ การสั่นจะมีจุดนิ่ง หรือจุดที่การกระจัดเป็นศูนย์เสมอ จุดนิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับจุดในรูปทรงโหมดที่รูปทรงโหมดเป็นศูนย์ เนื่องจาก1การสั่นของระบบกำหนดโดยรูปทรงโหมดคูณด้วยฟังก์ชันเวลา การกระจัดของจุดนิ่งจึงยังคงเป็นศูนย์ตลอดเวลา

เมื่อขยายไปสู่ระบบสองมิติ จุดเหล่านี้จะกลายเป็นเส้นตรงซึ่งการกระจัดจะมีค่าเป็นศูนย์เสมอ หากคุณดูภาพเคลื่อนไหวข้างต้น คุณจะเห็นวงกลมสองวง (วงหนึ่งอยู่กึ่งกลางระหว่างขอบและจุดศูนย์กลาง และอีกวงหนึ่งอยู่บนขอบ) และเส้นตรงที่แบ่งครึ่งวงกลม ซึ่งการกระจัดมีค่าใกล้เคียงกับศูนย์ ในระบบในอุดมคติ เส้นเหล่านี้จะมีค่าเท่ากับศูนย์อย่างแม่นยำ ดังแสดงในภาพด้านขวา

ในการวิเคราะห์ระบบอนุรักษ์ที่มีการกระจัดเล็กน้อยจากสมดุล ซึ่งมีความสำคัญในด้านเสียงสเปกตรัมโมเลกุลและวงจรไฟฟ้าระบบสามารถแปลงเป็นพิกัดใหม่ที่เรียกว่าพิกัดปกติได้ พิกัด ปกติแต่ละพิกัดสอดคล้องกับความถี่การสั่นสะเทือนเดียวของระบบ และการเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกันของระบบเรียกว่าโหมดการสั่นสะเทือนปกติ^{[ 1 ] : 332}

พิจารณาวัตถุสองชิ้นที่มีขนาดเท่ากัน (ไม่ได้รับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วง) แต่ละชิ้นมีมวลmและติดอยู่กับสปริงสามตัว โดยแต่ละตัวมีค่าคงที่สปริงk วัตถุทั้งสอง ติดอยู่ในลักษณะดังต่อไปนี้ ทำให้เกิดระบบที่มีสมมาตรทางกายภาพ:

โดยที่จุดขอบถูกตรึงไว้และไม่สามารถเคลื่อนที่ได้ ให้x ₁ ( t )แทนการกระจัด ในแนวนอน ของมวลด้านซ้าย และx ₂ ( t )แทนการกระจัดของมวลด้านขวา

เมื่อกำหนดให้ความเร่ง ( อนุพันธ์อันดับสองของx ( t )เทียบกับเวลา) เป็น สมการการเคลื่อนที่จะเป็นดังนี้: ${\textstyle {\ddot {x}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{aligned}}}$$

เนื่องจากเราคาดหวังว่าจะเป็นการเคลื่อนที่แบบสั่นของโหมดปกติ (โดยที่ωมีค่าเท่ากันสำหรับมวลทั้งสอง) เราจึงลองทำดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$$

เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการการเคลื่อนที่ เราจะได้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$$

เมื่อตัดตัวประกอบเลขยกกำลังออก (เนื่องจากเป็นตัวประกอบร่วมในทุกพจน์) และทำการลดรูปจะได้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}}$$

และใน รูปแบบ เมทริกซ์ :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0}$$

ถ้าเมทริกซ์ทางซ้ายสามารถผกผันได้ คำตอบเดียวคือคำตอบที่ไม่สำคัญ( A ₁ , A ₂ ) = ( x ₁ , x ₂ ) = (0, 0)ส่วนคำตอบที่ไม่สำคัญนั้นจะพบได้สำหรับค่าωที่ทำให้เมทริกซ์ทางซ้ายเป็นเมทริกซ์เอกฐาน กล่าวคือ ไม่สามารถผกผันได้ ดังนั้น ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต้องเท่ากับ 0 ดังนั้น:

$${\displaystyle (\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0}$$

เมื่อแก้สมการหาค่าω จะได้ คำตอบที่เป็นบวกสองคำตอบดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

เมื่อแทนค่า ω ₁ลงในเมทริกซ์และแก้หา( A ₁ , A ₂ )จะได้(1, 1)เมื่อแทน ค่า ω ₂จะได้(1, −1) (เวกเตอร์เหล่านี้คือเวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะ และความถี่คือค่าลักษณะเฉพาะ )

โหมดปกติแรกคือ: $${\displaystyle {\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}}$$

ซึ่งสอดคล้องกับการที่มวลทั้งสองเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกันในเวลาเดียวกัน โหมดนี้เรียกว่าโหมดสมมาตรผกผัน (Antisymmetric)

โหมดปกติที่สองคือ:

$${\displaystyle {\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}}$$

ลักษณะนี้สอดคล้องกับการที่มวลเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม ในขณะที่จุดศูนย์กลางมวลยังคงอยู่กับที่ โหมดนี้เรียกว่าโหมดสมมาตร

คำตอบทั่วไปคือการซ้อนทับกันของโหมดปกติโดยที่c ₁ , c ₂ , φ ₁และφ ₂ถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้นของปัญหา

กระบวนการที่แสดงให้เห็นในที่นี้สามารถสรุปและกำหนดสูตรได้โดยใช้หลักการทางกลศาสตร์ของลากรางจ์หรือกลศาสตร์ของแฮมิลตัน

คลื่นนิ่งเป็นรูปแบบต่อเนื่องของโหมดปกติ ในคลื่นนิ่ง องค์ประกอบเชิงพื้นที่ทั้งหมด (เช่น พิกัด ( x , y , z ) ) จะสั่นด้วย ความถี่และเฟสเดียวกัน(ถึง จุด สมดุลพร้อมกัน) แต่แต่ละองค์ประกอบจะมีแอมพลิจูดที่แตกต่างกัน

รูปแบบทั่วไปของคลื่นนิ่งคือ:

$${\displaystyle \Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))}$$

โดยที่f ( x , y , z )แทนความสัมพันธ์ของแอมพลิจูดกับตำแหน่ง และโคไซน์/ไซน์ คือการแกว่งตัวตามเวลา

ในทางกายภาพ คลื่นนิ่งเกิดจากการแทรกสอด (การซ้อนทับ) ของคลื่นและการสะท้อนของคลื่นเหล่านั้น (ถึงแม้ว่าเราอาจกล่าวในทางตรงกันข้ามได้เช่นกันว่า คลื่นเคลื่อนที่คือการซ้อนทับของคลื่นนิ่ง) รูปทรงเรขาคณิตของตัวกลางจะเป็นตัวกำหนดรูปแบบการแทรกสอด ซึ่งจะกำหนด รูปแบบ f ( x , y , z )ของคลื่นนิ่ง ความขึ้นอยู่กับตำแหน่งนี้เรียกว่าโหมด ปกติ

โดยทั่วไป สำหรับปัญหาที่มีการพึ่งพาอย่างต่อเนื่องกับ( x , y , z )จะไม่มีโหมดปกติเพียงโหมดเดียวหรือจำนวนจำกัด แต่จะมีโหมดปกติเป็นอนันต์ หากปัญหาถูกจำกัดขอบเขต (กล่าวคือ กำหนดไว้บนส่วนของพื้นที่ที่มีขอบเขตจำกัด) จะมีโหมดปกติจำนวนนับได้ (โดยปกติจะกำหนดหมายเลขเป็น n = 1, 2, 3, ... ) หากปัญหาไม่ถูกจำกัดขอบเขต จะมีสเปกตรัมของโหมดปกติแบบต่อเนื่อง

ในของแข็งใดๆ ที่อุณหภูมิใดๆ อนุภาคหลัก (เช่น อะตอมหรือโมเลกุล) ไม่ได้อยู่นิ่ง แต่จะสั่นรอบตำแหน่งเฉลี่ย ในฉนวน ความสามารถของของแข็งในการเก็บพลังงานความร้อนนั้นเกิดจากการสั่นเหล่านี้เกือบทั้งหมด คุณสมบัติทางกายภาพหลายอย่างของของแข็ง (เช่น โมดูลัสความยืดหยุ่น) สามารถทำนายได้จากความรู้เกี่ยวกับความถี่ที่อนุภาคสั่น สมมติฐานที่ง่ายที่สุด (โดยไอน์สไตน์) คืออนุภาคทั้งหมดสั่นรอบตำแหน่งเฉลี่ยด้วยความถี่ธรรมชาติเดียวกันνซึ่งเทียบเท่ากับสมมติฐานที่ว่าอะตอมทั้งหมดสั่นอย่างอิสระด้วยความถี่νไอน์สไตน์ยังสมมติว่าสถานะพลังงานที่อนุญาตของการสั่นเหล่านี้เป็นฮาร์มอนิก หรือผลคูณจำนวนเต็มของhνสเปกตรัมของรูปคลื่นสามารถอธิบายได้ทางคณิตศาสตร์โดยใช้ชุดฟูริเยร์ของการผันผวนของความหนาแน่นแบบไซน์ (หรือโฟนอน ความร้อน )

ต่อมาเดบายตระหนักว่าออสซิลเลเตอร์แต่ละตัวนั้นเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิดกับออสซิลเลเตอร์ข้างเคียงตลอดเวลา ดังนั้น โดยการแทนที่ออสซิลเลเตอร์ที่ไม่เชื่อมโยงกันซึ่งเหมือนกันของไอน์สไตน์ด้วยออสซิลเลเตอร์ที่เชื่อมโยงกันจำนวนเท่ากัน เดบายจึงเชื่อมโยงการสั่นสะเทือนแบบยืดหยุ่นของของแข็งหนึ่งมิติกับจำนวนโหมดการสั่นสะเทือนพิเศษทางคณิตศาสตร์ของสายที่ยืดออก (ดูรูป) เสียงบริสุทธิ์ที่มีระดับเสียงหรือความถี่ต่ำที่สุดเรียกว่าความถี่พื้นฐาน และความถี่ที่เป็นพหุคูณของความถี่นั้นเรียกว่าความถี่ฮาร์มอนิก เขาได้กำหนดความถี่ของการสั่นสะเทือนพื้นฐานของก้อนของแข็งทั้งหมดให้กับออสซิลเลเตอร์ตัวหนึ่ง และกำหนดความถี่ของฮาร์มอนิกของความถี่พื้นฐานนั้นให้กับออสซิลเลเตอร์ที่เหลือ โดยความถี่สูงสุดทั้งหมดนั้นถูกจำกัดโดยการเคลื่อนที่ของหน่วยหลักที่เล็กที่สุด

โดยทั่วไปแล้ว โหมดการสั่นสะเทือนปกติของผลึกจะเป็นการซ้อนทับกันของโอเวอร์โทนหลายๆ โอเวอร์โทน โดยแต่ละโอเวอร์โทนจะมีแอมพลิจูดและเฟสที่เหมาะสมโฟนอนที่ มีความยาวคลื่นยาวกว่า (ความถี่ต่ำ) คือการสั่นสะเทือนทางเสียงที่นำมาพิจารณาในทฤษฎีเสียงนั่นเอง ทั้งคลื่นตามยาวและคลื่นตามขวางสามารถแพร่กระจายผ่านของแข็งได้ ในขณะที่โดยทั่วไปแล้ว ของเหลวจะรองรับได้เฉพาะคลื่นตามยาวเท่านั้น

ในโหมดตามยาวการเคลื่อนที่ของอนุภาคจากตำแหน่งสมดุลจะสอดคล้องกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น คลื่นกลตามยาวจึงถูกเรียกว่าคลื่นอัด ด้วยเช่นกัน สำหรับโหมดตามขวางอนุภาคแต่ละตัวจะเคลื่อนที่ตั้งฉากกับการแพร่กระจายของคลื่น

ตามทฤษฎีควอนตัม พลังงานเฉลี่ยของโหมดการสั่นปกติของของแข็งผลึกที่มีความถี่เฉพาะνคือ:

$${\displaystyle E(\nu )={\frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}}$$

เทอม(1/2) hνแสดงถึง " พลังงานจุดศูนย์ " หรือพลังงานที่ออสซิลเลเตอร์จะมีที่อุณหภูมิศูนย์สัมบูรณ์E ( ν )มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าคลาสสิกkTที่อุณหภูมิสูง

$${\displaystyle E(\nu )=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]}$$

โดยการทราบสูตรทางเทอร์โมไดนามิก

$${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}}$$

เอนโทรปีต่อโหมดปกติคือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(\nu \right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)\end{aligned}}}$$

พลังงานอิสระคือ:

$${\displaystyle F(\nu )=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)}$$

ซึ่งสำหรับkT ≫ hνจะมีแนวโน้มเป็น:

$${\displaystyle F(\nu )=kT\log \left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}$$

ในการคำนวณพลังงานภายในและความร้อนจำเพาะ เราต้องทราบจำนวนโหมดการสั่นปกติและความถี่ระหว่างค่าνและν + dνให้จำนวนนี้เป็นf ( ν ) dνเนื่องจากจำนวนโหมดปกติทั้งหมดคือ3 Nฟังก์ชันf ( ν )จึงกำหนดโดย:

$${\displaystyle \int f(\nu )\,d\nu =3N}$$

การอินทิเกรตจะดำเนินการกับความถี่ทั้งหมดของผลึก จากนั้นพลังงานภายในUจะคำนวณได้จากสูตร:

$${\displaystyle U=\int f(\nu )E(\nu )\,d\nu }$$

สถานะผูกพันในกลศาสตร์ควอนตัมเปรียบได้กับโหมด คลื่นในระบบควอนตัมคือการสั่นของแอมพลิจูดความน่าจะเป็นแทนที่จะเป็นการกระจัดของวัสดุ ความถี่ของการสั่นfเกี่ยวข้องกับพลังงานของโหมดโดยE = hfโดยที่hคือค่าคงที่ของพลังค์ดังนั้น ระบบเช่นอะตอมจึงประกอบด้วยการรวมเชิงเส้นของโหมดที่มีพลังงานที่แน่นอน พลังงานเหล่านี้เป็นลักษณะเฉพาะของอะตอมนั้นๆ กำลังสอง (เชิงซ้อน) ของแอมพลิจูดความน่าจะเป็น ณ จุดหนึ่งในอวกาศจะให้ความน่าจะเป็นของการวัดอิเล็กตรอน ณ ตำแหน่งนั้น การกระจายเชิงพื้นที่ของความน่าจะเป็นนี้เป็นลักษณะเฉพาะของอะตอม^{[ 2 ] : I49–S5}

โหมดปกติเกิดขึ้นในโลกจากคลื่นแผ่นดินไหวที่ มีความยาวคลื่นยาว จากแผ่นดินไหวขนาดใหญ่ที่รบกวนกันจนเกิดเป็นคลื่นนิ่ง

สำหรับทรงกลมที่มีความยืดหยุ่น ไอโซโทรปิก และเป็นเนื้อเดียวกัน จะเกิดโหมดทรงกลม โหมดทรงวงแหวน และโหมดรัศมี (หรือโหมดหายใจ) โหมดทรงกลมเกี่ยวข้องเฉพาะคลื่น P และ SV (เช่นคลื่นเรย์ลี ) และขึ้นอยู่กับเลขโอเวอร์โทนnและลำดับเชิงมุมlแต่มีความเสื่อมของลำดับเชิงมุมmการเพิ่มlจะทำให้กิ่งพื้นฐานมีความเข้มข้นมากขึ้นใกล้กับพื้นผิว และที่l มาก ๆ จะมีแนวโน้มเป็นคลื่นเรย์ลี โหมดทรงวงแหวนเกี่ยวข้องเฉพาะคลื่น SH (เช่นคลื่นเลิฟ ) และไม่มีอยู่ในแกนโลกชั้นนอกที่เป็นของเหลว โหมดรัศมีเป็นเพียงส่วนย่อยของโหมดทรงกลมที่มีl = 0ความเสื่อมนี้ไม่มีอยู่บนโลกเนื่องจากถูกทำลายโดยการหมุน ความเป็นวงรี และโครงสร้างความเร็วและความหนาแน่นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันแบบ 3 มิติ

อาจสันนิษฐานได้ว่าแต่ละโหมดสามารถแยกออกจากกันได้ ซึ่งเป็นการประมาณแบบการจับคู่ตัวเอง หรือโหมดจำนวนมากที่มีความถี่ใกล้เคียงกัน จะเกิด การสั่นพ้อง ซึ่งเป็นการประมาณแบบการจับคู่ข้ามโหมด การจับคู่ตัวเองจะเปลี่ยนเฉพาะความเร็วเฟสเท่านั้น ไม่ใช่จำนวนคลื่นรอบวงกลมใหญ่ ส่งผลให้รูปแบบคลื่นนิ่งยืดหรือหดตัว การจับคู่ข้ามโหมดเกิดขึ้นเนื่องจากการหมุนของโลก จากโครงสร้างยืดหยุ่นที่ไม่เป็นทรงกลม หรือเนื่องจากความรีของโลก และนำไปสู่การผสมผสานของโหมดทรงกลมและโหมดทรงโดนัทพื้นฐาน

• แอนติเรโซแนนซ์
• ความเร็ววิกฤต
• ออสซิเลเตอร์ฮาร์มอนิก
• อนุกรมฮาร์มอนิก (ดนตรี)
• สเปกโทรสโกปีอินฟราเรด
• โหมดรั่ว
• การสั่นสะเทือนเชิงกล
• การวิเคราะห์แบบจำลอง
• โหมด (แม่เหล็กไฟฟ้า)
• โหมดกึ่งปกติ
• ทฤษฎีสตูร์ม-ลิอูวิลล์
• การสั่นสะเทือนแบบบิดตัว
• การสั่นของเยื่อวงกลม

• เบลวินส์, โรเบิร์ต ดี. (2001). สูตรสำหรับความถี่ธรรมชาติและรูปแบบการสั่น (ฉบับพิมพ์ซ้ำ). มาลาบาร์, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ครีเกอร์ISBN 978-1575241845.
• Tzou, HS; Bergman, LA, บรรณาธิการ (2008). พลวัตและการควบคุมของระบบกระจาย . เคมบริดจ์ [อังกฤษ]: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0521033749.
• เชียเรอร์, ปีเตอร์ เอ็ม. (2009). บทนำสู่วิทยาแผ่นดินไหว (ฉบับที่ 2). เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า  231–237 . ISBN 9780521882101.

• บันทึกการบรรยายของมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดเกี่ยวกับโหมดปกติ