ในทางคณิตศาสตร์แนวคิดเรื่องผลเฉลยความหนืดได้รับการแนะนำในช่วงต้นทศวรรษ 1980 โดยPierre-Louis LionsและMichael G. Crandallในฐานะการวางนัยทั่วไปของแนวคิดคลาสสิกเกี่ยวกับความหมายของ 'ผลเฉลย' ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) พบว่าผลเฉลยความหนืดเป็นแนวคิดผลเฉลยตามธรรมชาติที่จะนำไปใช้ในการประยุกต์ใช้ PDE หลายอย่าง รวมถึงสมการอันดับหนึ่งที่เกิดขึ้นในการเขียนโปรแกรมเชิงพลวัต ( สมการ Hamilton–Jacobi–Bellman ) เกมเชิงอนุพันธ์ ( สมการ Hamilton–Jacobi–Isaacs ) หรือปัญหาการวิวัฒนาการของแนวหน้า^{[ 1 ] [ 2 ]}ตลอดจนสมการอันดับสอง เช่น สมการที่เกิดขึ้นในการควบคุมที่เหมาะสมเชิงสุ่มหรือเกมเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม

แนวคิดดั้งเดิมคือสมการอนุพันธ์ย่อย (PDE)

${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$

เหนือโดเมน${\displaystyle x\in \Omega }$จะมีคำตอบหากเราสามารถหาฟังก์ชันu ( x ) ที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ตลอดทั้งโดเมนได้ โดยที่${\displaystyle x}$,${\displaystyle u}$,${\displaystyle Du}$,${\displaystyle D^{2}u}$เป็นไปตามสมการข้างต้น ณ ทุกจุด

ถ้าสมการสเกลาร์เป็นสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพ (นิยามไว้ด้านล่าง) เราสามารถกำหนดประเภทของคำตอบแบบอ่อนที่เรียกว่าคำตอบความหนืดได้ภายใต้แนวคิดคำตอบความหนืดนั้นuไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ อาจมีบางจุดที่ทั้งสองอย่างไม่เป็นไปตามที่นิยามไว้${\displaystyle Du}$หรือ${\displaystyle D^{2}u}$ไม่มีอยู่จริง แต่uก็สอดคล้องกับสมการในความหมายทั่วไปที่เหมาะสม นิยามนี้อนุญาตให้มีภาวะเอกฐานบางประเภทเท่านั้น ดังนั้นการมีอยู่ ความเป็นเอกลักษณ์ และความเสถียรภายใต้ขีดจำกัดที่สม่ำเสมอ จึงใช้ได้กับสมการจำนวนมาก

มีหลายวิธีเทียบเท่ากันในการกำหนดนิยามของสารละลายความหนืด ดูตัวอย่างเช่น ส่วนที่ II.4 ของหนังสือของเฟลมมิงและโซเนอร์^{[ 3 ]}หรือนิยามโดยใช้เซมิเจ็ทในคู่มือผู้ใช้^{[ 4 ]}

วงรีเสื่อมสภาพ

สมการ${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$ในโดเมน${\displaystyle \Omega }$จะถูกนิยามว่าเป็นวงรีเสื่อมสภาพ (degenerate elliptic)ถ้าสำหรับเมทริกซ์สมมาตรสองเมทริกซ์ใดๆ${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$โดยที่${\displaystyle YX}$เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนและค่าใดๆ ของ${\displaystyle x\in \Omega }$,${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$และ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$เรามีความไม่เท่าเทียมกัน${\displaystyle F(x,u,p,X)\geq F(x,u,p,Y)}$. ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle -\Delta u=0}$(ที่ไหน${\displaystyle \Delta }$(หมายถึง ตัวดำเนิน การลาปลาเซียน ) เป็นแบบวงรีเสื่อมสภาพ เนื่องจากในกรณีนี้${\displaystyle F(x,u,p,X)=-{\text{trace}}(X)}$และร่องรอยของ${\displaystyle X}$คือผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะ สมการอันดับหนึ่งจริงใดๆ ก็ตามเป็นสมการเชิงวงรีแบบเสื่อมสภาพ

สารละลายย่อยความหนืด

ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน${\displaystyle u}$ใน${\displaystyle \Omega }$ถูกกำหนดให้เป็นซับโซลูชันของสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพข้างต้นในความหมายของความหนืดถ้าสำหรับจุดใดๆ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$และใดๆ${\displaystyle C^{2}}$การทำงาน${\displaystyle \phi }$โดยที่${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$และ${\displaystyle \phi \geq u}$ในย่าน หนึ่ง ของ${\displaystyle x_{0}}$เรามี${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0}$.

สารละลายความหนืดสูง

ฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง${\displaystyle u}$ใน${\displaystyle \Omega }$นิยามของ คือซูเปอร์โซลูชันของสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพข้างต้นในความหมายของความหนืดถ้าสำหรับจุดใดๆ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$และใดๆ${\displaystyle C^{2}}$การทำงาน${\displaystyle \phi }$โดยที่${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$และ${\displaystyle \phi \leq u}$ในย่าน หนึ่ง ของ${\displaystyle x_{0}}$เรามี${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0}$.

สารละลายความหนืด

ฟังก์ชันต่อเนื่องuคือผลเฉลยความหนืดของสมการอนุพันธ์ย่อย${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$ใน${\displaystyle \Omega }$หากเป็นทั้งซูเปอร์โซลูชันและซับโซลูชัน โปรดทราบว่าเงื่อนไขขอบเขตในแง่ของความหนืดไม่ได้ถูกกล่าวถึงในที่นี้

พิจารณาปัญหาค่าขอบเขต${\displaystyle |u'(x)|=1}$, หรือ${\displaystyle F(u')=|u'|-1=0}$, บน${\displaystyle (-1,1)}$พร้อมเงื่อนไขขอบเขต${\displaystyle u(-1)=u(1)=0}$จากนั้น ฟังก์ชัน${\displaystyle u(x)=1-|x|}$เป็นสารละลายที่มีความหนืด

ที่จริงแล้ว โปรดสังเกตว่าเงื่อนไขขอบเขตนั้นเป็นไปตามหลักการทางคลาสสิก และ${\displaystyle |u'(x)|=1}$ภายในมีการกำหนดขอบเขตไว้อย่างชัดเจน ยกเว้นที่${\displaystyle x=0}$ดังนั้น จึงยังคงต้องแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขสำหรับสารละลายย่อยความหนืดและสารละลายเกินความหนืดนั้นเป็นจริงที่${\displaystyle x=0}$สมมติว่า${\displaystyle \phi (x)}$ฟังก์ชันใดๆ สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดใด${\displaystyle x=0}$กับ${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$และ${\displaystyle \phi (x)\geq u(x)}$ใกล้${\displaystyle x=0}$จากสมมติฐานเหล่านี้ จึงสรุปได้ว่า${\displaystyle \phi (x)-\phi (0)\geq -|x|}$สำหรับผลบวก${\displaystyle x}$ความไม่เท่าเทียมกันนี้หมายความว่า${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\geq -1}$โดยใช้สิ่งนั้น${\displaystyle |x|/x=sgn(x)=1}$สำหรับ${\displaystyle x>0}$ในทางกลับกัน สำหรับ${\displaystyle x<0}$เรามีสิ่งนั้น${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\leq 1}$. เพราะ${\displaystyle \phi }$เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ลิมิตซ้ายและลิมิตขวาตรงกันและเท่ากับ${\displaystyle \phi '(0)}$และด้วยเหตุนี้เราจึงสรุปได้ว่า${\displaystyle |\phi '(0)|\leq 1}$, เช่น,${\displaystyle F(\phi '(0))\leq 0}$. ดังนั้น,${\displaystyle u}$เป็นวิธีแก้ปัญหาย่อยของความหนืด ยิ่งไปกว่านั้น ข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle u}$ซูเปอร์โซลูชันนั้นเป็นจริงโดยปริยาย เนื่องจากไม่มีฟังก์ชัน${\displaystyle \phi (x)}$อนุพันธ์ที่${\displaystyle x=0}$กับ${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$และ${\displaystyle \phi (x)\leq u(x)}$ใกล้${\displaystyle x=0}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle u}$เป็นสารละลายที่มีความหนืด

ในความเป็นจริง อาจพิสูจน์ได้ว่า${\displaystyle u}$คือคำตอบความหนืดเฉพาะสำหรับปัญหาดังกล่าว ส่วนความเฉพาะตัวนี้เกี่ยวข้องกับการให้เหตุผลที่ละเอียดกว่านั้น

การอภิปราย

ปัญหาค่าขอบเขตก่อนหน้านี้เป็นสมการไอโคนาลในมิติเชิงพื้นที่เดียวที่มี${\displaystyle f=1}$โดยที่คำตอบคือฟังก์ชันระยะทางแบบมี เครื่องหมาย ไปยังขอบเขตของโดเมน โปรดสังเกตความสำคัญของเครื่องหมายในตัวอย่างก่อนหน้านี้ด้วย${\displaystyle F}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีแก้ปัญหาความหนืดของสมการอนุพันธ์ย่อย${\displaystyle -F=0}$โดยมีเงื่อนไขขอบเขตเดียวกันคือ${\displaystyle u(x)=|x|-1}$สิ่งนี้สามารถอธิบายได้โดยการสังเกตว่าวิธีการแก้ปัญหา${\displaystyle u(x)=1-|x|}$คือคำตอบจำกัดของปัญหาความหนืดที่หายไป${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\varepsilon u''}$เช่น${\displaystyle \varepsilon }$ไปสู่ศูนย์ ในขณะที่${\displaystyle u(x)=|x|-1}$คือคำตอบจำกัดของปัญหาความหนืดที่หายไป${\displaystyle -F(u')=1-[u']^{2}=\varepsilon u''}$[ ^{5 ]}สามารถยืนยันได้อย่างง่ายดาย^ว่า${\displaystyle u_{\varepsilon }(x)=\varepsilon [\ln(\cosh(1/\varepsilon ))-\ln(\cosh(x/\varepsilon ))]}$แก้สมการอนุพันธ์ย่อย${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\varepsilon u''}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle \varepsilon >0}$นอกจากนี้ กลุ่มของโซลูชันต่างๆ${\displaystyle u_{\varepsilon }}$ลู่เข้าสู่คำตอบ${\displaystyle u=1-|x|}$เช่น${\displaystyle \varepsilon }$หายไป (ดูรูปภาพ)

คุณสมบัติพื้นฐานสามประการของสารละลายที่มีความหนืด ได้แก่การมีอยู่ความเป็นเอกลักษณ์และความเสถียร

• ความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบต้องอาศัยสมมติฐานเชิงโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่างในสมการ อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงให้เห็นได้สำหรับสมการเชิงวงรีเสื่อมสภาพจำนวนมาก^{[ 4 ]}เป็นผลโดยตรงจากหลักการเปรียบเทียบ ตัวอย่างง่ายๆ บางตัวอย่างที่หลักการเปรียบเทียบใช้ได้คือ

1. ${\displaystyle u+H(x,\nabla u)=0}$โดยที่H เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอในตัวแปรทั้งสอง
2. (กรณีวงรีสม่ำเสมอ)${\displaystyle F(D^{2}u,Du,u)=0}$ดังนั้น${\displaystyle F}$เป็นลิปิซซิทซ์เมื่อเทียบกับตัวแปรทั้งหมดและสำหรับทุก ๆ${\displaystyle r\leq s}$และ${\displaystyle X\geq Y}$,${\displaystyle F(Y,p,s)\geq F(X,p,r)+\lambda ||X-Y||}$สำหรับบางคน${\displaystyle \lambda >0}$.

• การมีอยู่ของคำตอบนั้นใช้ได้กับทุกกรณีที่หลักการเปรียบเทียบใช้ได้ และเงื่อนไขขอบเขตสามารถบังคับใช้ได้ในบางวิธี (ผ่านฟังก์ชันกั้นในกรณีของเงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet ) สำหรับสมการอันดับแรก สามารถหาได้โดยใช้วิธีความหนืดเป็นศูนย์^{[ 6 ] [ 2 ]}หรือสำหรับสมการส่วนใหญ่โดยใช้วิธีของ Perron ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 2 ]}มีแนวคิดทั่วไปของเงื่อนไขขอบเขตในแง่ของความหนืดคำตอบของปัญหาขอบเขตที่มีเงื่อนไขขอบเขตทั่วไปสามารถหาได้เมื่อใดก็ตามที่หลักการเปรียบเทียบใช้ได้^{[ 4 ]}
• ความเสถียรของสารละลายใน${\displaystyle L^{\infty }}$ถือว่าเป็นไปตามนี้: ขีดจำกัดที่สม่ำเสมอ ในระดับท้องถิ่น ของลำดับของคำตอบ (หรือคำตอบย่อย หรือคำตอบเหนือกว่า) คือคำตอบ (หรือคำตอบย่อย หรือคำตอบเหนือกว่า) โดยทั่วไปแล้ว แนวคิดของความหนืด คำตอบย่อย และคำตอบเหนือกว่า ก็ยังคงได้รับการอนุรักษ์โดยขีดจำกัดที่ผ่อนคลายครึ่งหนึ่ง^{[ 4 ]}

คำว่า"สารละลายความหนืด"ปรากฏครั้งแรกในงานของMichael G. CrandallและPierre-Louis Lionsในปี 1983 เกี่ยวกับสมการ Hamilton–Jacobi [ ^{6 ] ชื่อ}นี้มีความเหมาะสมเนื่องจากพบว่ามีสารละลายอยู่จริงโดย วิธี ความหนืดเป็นศูนย์คำจำกัดความของสารละลายได้รับการกำหนดไว้ก่อนหน้านี้โดยLawrence C. Evansในปี 1980 ^{[ 9 ]}ต่อมาคำจำกัดความและคุณสมบัติของสารละลายความหนืดสำหรับสมการ Hamilton–Jacobi ได้รับการปรับปรุงในงานร่วมกันของ Crandall, Evans และ Lions ในปี 1984 ^{[ 10 ]}

เป็นเวลาหลายปีที่งานวิจัยเกี่ยวกับการแก้ปัญหาความหนืดมุ่งเน้นไปที่สมการอันดับแรก เนื่องจากไม่ทราบว่าสมการเชิงวงรีอันดับสองจะมีคำตอบความหนืดที่ไม่ซ้ำกันหรือไม่ ยกเว้นในกรณีพิเศษบางกรณี ผลลัพธ์ที่สำคัญเกิดขึ้นจากวิธีการที่โรเบิร์ต เจนเซน นำเสนอ ในปี 1988 เพื่อพิสูจน์หลักการเปรียบเทียบโดยใช้การประมาณค่าแบบปรับปรุงของคำตอบซึ่งมีอนุพันธ์อันดับสองเกือบทุกที่ (ในเวอร์ชันที่ทันสมัยของการพิสูจน์นี้ทำได้โดยใช้ sup-convolutions และทฤษฎีบท Alexandrov ) ^{[ 11 ]}

ในช่วงหลายปีต่อมา แนวคิดของวิธีแก้ปัญหาแบบหนืด (viscosity solution) ได้รับความนิยมมากขึ้นเรื่อยๆ ในการวิเคราะห์ PDE วงรีแบบเสื่อมสภาพ (degenerate elliptic PDE) โดยอาศัยคุณสมบัติความเสถียร Barles และ Souganidis ได้รับการพิสูจน์การลู่เข้าของแผนการผลต่างจำกัดที่ง่ายและทั่วไปมาก^{[ 12 ]}คุณสมบัติความสม่ำเสมอเพิ่มเติมของวิธีแก้ปัญหาแบบหนืดได้รับมา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีวงรีแบบสม่ำเสมอด้วยงานของLuis Caffarelli [ ^{13 ] วิธี}แก้ปัญหาแบบหนืดได้กลายเป็นแนวคิดหลักในการศึกษา PDE วงรี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีแก้ปัญหาแบบหนืดมีความสำคัญในการศึกษา Laplacian อนันต์^{[ 14 ]}

ในแนวทางสมัยใหม่ การมีอยู่ของคำตอบส่วนใหญ่มักได้มาด้วย วิธี ของPerron ^{[ 4 ]}วิธีความหนืดเป็นศูนย์นั้นไม่เหมาะสำหรับสมการอันดับสองโดยทั่วไป เนื่องจากการเพิ่มความหนืดเทียมไม่ได้รับประกันการมีอยู่ของคำตอบแบบคลาสสิก ยิ่งไปกว่านั้น นิยามของคำตอบความหนืดโดยทั่วไปไม่ได้เกี่ยวข้องกับความหนืดทางกายภาพ อย่างไรก็ตาม แม้ว่าทฤษฎีของคำตอบความหนืดบางครั้งจะถูกมองว่าไม่เกี่ยวข้องกับของไหลหนืดแต่ของไหลที่ไม่หมุนสามารถอธิบายได้ด้วยสมการ Hamilton-Jacobi ^{[ 15 ]}ในกรณีนี้ ความหนืดจะสอดคล้องกับความหนืดของของไหลที่ไม่หมุนและอัดไม่ได้ ชื่ออื่น ๆ ที่ได้รับการเสนอแนะคือคำตอบ Crandall–Lionsเพื่อเป็นเกียรติแก่ผู้บุกเบิก${\displaystyle L^{\infty }}$- โซลูชันที่อ่อนแอหมายถึง คุณสมบัติด้านเสถียรภาพ หรือโซลูชันเปรียบเทียบหมายถึง คุณสมบัติที่โดดเด่นที่สุดของโซลูชันเหล่านั้น