ในทางคณิตศาสตร์ บทพิสูจน์ของวัตสัน ( Watson 's lemma ) ซึ่งพิสูจน์โดยGN Watson (1918, หน้า 133) มีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในทฤษฎีเกี่ยวกับพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของปริพันธ์

อนุญาต${\displaystyle 0<T\leq \infty }$จะต้องคงที่ สมมติ${\displaystyle \varphi (t)=t^{\lambda }\,g(t)}$, ที่ไหน${\displaystyle g(t)}$มีอนุพันธ์จำนวนอนันต์ในบริเวณใกล้เคียง${\displaystyle t=0}$, กับ${\displaystyle g(0)\neq 0}$, และ${\displaystyle \lambda >-1}$.

สมมติเพิ่มเติมว่าอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้เกิดขึ้นด้วย

${\displaystyle |\varphi (t)|<Ke^{bt}\ \forall t>0,}$

ที่ไหน${\displaystyle K,b}$เป็นอิสระจาก${\displaystyle t}$หรือว่า

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}$

ดังนั้น จึงเป็นความจริงที่ว่าสำหรับทุกสิ่งที่เป็นบวก${\displaystyle x}$ที่

${\displaystyle \left|\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|<\infty }$

และ มี ความสมมูลเชิงอะซิมโทติก ดังต่อไปนี้ :

${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}},\ \ (x>0,\ x\ลูกศรขวา \infty )}$

ดูตัวอย่างเช่นWatson (1918)สำหรับหลักฐานต้นฉบับ หรือMiller (2006)สำหรับการพัฒนาล่าสุด

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทของวัตสันในรูปแบบที่สมมติว่า${\displaystyle |\varphi (t)|}$มีอัตราการเติบโตสูงสุดแบบทวีคูณ${\displaystyle t\to \infty }$แนวคิดพื้นฐานเบื้องหลังการพิสูจน์คือ เราจะประมาณค่า${\displaystyle g(t)}$โดยจำนวนพจน์ที่จำกัดของอนุกรมเทย์เลอร์เนื่องจากอนุพันธ์ของ${\displaystyle g}$เนื่องจากถือว่ามีอยู่เฉพาะในบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดเท่านั้น เราจึงจะดำเนินการโดยการลบส่วนท้ายของปริพันธ์ออก ใช้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์กับส่วนที่เหลือในช่วงเล็กๆ ที่เหลืออยู่ จากนั้นจึงบวกส่วนท้ายกลับเข้าไปในตอนท้าย ในแต่ละขั้นตอน เราจะประเมินอย่างระมัดระวังว่าเรากำลังทิ้งหรือเพิ่มอะไรเข้าไป การพิสูจน์นี้เป็นการดัดแปลงมาจากการพิสูจน์ที่พบในMiller (2006 )

อนุญาต${\displaystyle 0<T\leq \infty }$และสมมติว่า${\displaystyle \varphi }$เป็นฟังก์ชันที่วัดได้ของรูปแบบ${\displaystyle \varphi (t)=t^{\lambda }g(t)}$, ที่ไหน${\displaystyle \lambda >-1}$และ${\displaystyle g}$มีอนุพันธ์ต่อเนื่องจำนวนอนันต์ในช่วง${\displaystyle [0,\delta ]}$สำหรับบางคน${\displaystyle 0<\delta <T}$และว่า${\displaystyle |\varphi (t)|\leq Ke^{bt}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle \delta \leq t\leq T}$โดยที่ค่าคงที่${\displaystyle K}$และ${\displaystyle b}$เป็นอิสระจาก${\displaystyle t}$.

เราสามารถแสดงได้ว่าปริพันธ์มีค่าจำกัดสำหรับ${\displaystyle x}$ใหญ่พอโดยการเขียน

${\displaystyle (1)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\คณิตศาสตร์ {d} เสื้อ}$

และการประมาณค่าแต่ละเทอม

สำหรับเทอมแรกเรามี

${\displaystyle \left|\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{0}^{\delta }e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\leq \int _{0}^{\delta }|\varphi (t)|\,\คณิตศาสตร์ {d} เสื้อ}$

สำหรับ${\displaystyle x\geq 0}$โดยที่ปริพันธ์สุดท้ายมีค่าจำกัดตามสมมติฐานที่ว่า${\displaystyle g}$มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา${\displaystyle [0,\delta ]}$และนั่น${\displaystyle \lambda >-1}$สำหรับเทอมที่สอง เราใช้สมมติฐานว่า${\displaystyle \varphi }$มีขอบเขตแบบเลขชี้กำลังเพื่อดูว่า สำหรับ${\displaystyle x>b}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|&\leq \int _{\delta }^{T}e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{T}e^{(bx)t}\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{\infty }e^{(bx)t}\,\mathrm {d} t\\&=K\,{\frac {e^{(bx)\delta }}{xb}}.\end{aligned}}}$

ความจำกัดของปริพันธ์ดั้งเดิมนั้นเป็นผลมาจากการนำอสมการสามเหลี่ยม มาใช้ กับ${\displaystyle (1)}$.

จากผลการคำนวณข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า

${\displaystyle (2)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)}$

เช่น${\displaystyle x\to \infty }$.

โดยอาศัยทฤษฎีบทของเทย์เลอร์พร้อมเศษเหลือเราทราบว่า สำหรับจำนวนเต็มแต่ละจำนวน${\displaystyle N\geq 0}$,

${\displaystyle g(t)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\,t^{n}+{\frac {g^{(N+1)}(t^{*})}{(N+1)!}}\,t^{N+1}}$

สำหรับ${\displaystyle 0\leq t\leq \delta }$, ที่ไหน${\displaystyle 0\leq t^{*}\leq t}$. นำสิ่งนี้ไปใส่ในเทอมแรกใน${\displaystyle (2)}$เราได้รับ

${\displaystyle {\begin{aligned}(3)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}t^{\lambda }g(t)\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{(N+1)!}}\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

เพื่อจำกัดขอบเขตของพจน์ที่เกี่ยวข้องกับเศษเหลือ เราใช้สมมติฐานที่ว่า${\displaystyle g^{(N+1)}}$มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา${\displaystyle [0,\delta ]}$และโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันถูกจำกัดไว้ตรงนั้น ดังนั้นเราจึงเห็นว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\right|&\leq \sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\&<\sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\&=\sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\,{\frac {\Gamma (\lambda +N+2)}{x^{\lambda +N+2}}}.\end{aligned}}}$

ในที่นี้เราได้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{a}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (a+1)}{x^{a+1}}}}$

ถ้า${\displaystyle x>0}$และ${\displaystyle a>-1}$, ที่ไหน${\displaystyle \Gamma }$คือฟังก์ชันแกมมา

จากการคำนวณข้างต้น เราจะเห็นได้ว่า${\displaystyle (3)}$ที่

${\displaystyle (4)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)}$

เช่น${\displaystyle x\to \infty }$.

ต่อไปนี้เราจะเพิ่มส่วนหางให้กับอินทิกรัลแต่ละตัวใน${\displaystyle (4)}$สำหรับแต่ละ${\displaystyle n}$เรามี

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}}$

และเราจะแสดงให้เห็นว่าปริพันธ์ที่เหลือมีขนาดเล็กมากในเชิงเลขชี้กำลัง อันที่จริง หากเราทำการเปลี่ยนตัวแปร${\displaystyle t=s+\delta }$เราได้รับ

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-x(s+\delta )}\,\mathrm {d} s\\[5pt]&=e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-xs}\,\mathrm {d} s\\[5pt]&\leq e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-s}\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}$

สำหรับ${\displaystyle x\geq 1}$ดังนั้น

${\displaystyle \int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right){\text{ as }}x\to \infty .}$

ถ้าเราแทนผลลัพธ์สุดท้ายนี้ลงใน${\displaystyle (4)}$เราพบว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right)+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}$

เช่น${\displaystyle x\to \infty }$สุดท้ายนี้ ให้นำสิ่งนี้ไปแทนที่ลงใน${\displaystyle (2)}$เราจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}$

เช่น${\displaystyle x\to \infty }$.

เนื่องจากนิพจน์สุดท้ายนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวน${\displaystyle N\geq 0}$ดังนั้นเราจึงได้แสดงให้เห็นแล้วว่า

${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}}$

เช่น${\displaystyle x\to \infty }$โดยที่อนุกรมอนันต์นั้นถูกตีความว่าเป็นการขยายเชิงอะซิมโทติกของปริพันธ์ที่กล่าวถึง

เมื่อไร${\displaystyle 0<a<b}$ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกันชนิดแรกมีการแสดงผลในรูปอินทิกรัล

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{xt}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1}\,\mathrm {d} t,}$

ที่ไหน${\displaystyle \Gamma }$คือฟังก์ชันแกมมาการเปลี่ยนตัวแปร${\displaystyle t=1-s}$ใส่สิ่งนี้ลงในรูปแบบ

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\,e^{x}\int _{0}^{1}e^{-xs}(1-s)^{a-1}s^{b-a-1}\,ds,}$

ซึ่งตอนนี้สามารถใช้ทฤษฎีบทของวัตสันได้แล้ว โดยพิจารณาจาก...${\displaystyle \lambda =b-a-1}$และ${\displaystyle g(s)=(1-s)^{a-1}}$ทฤษฎีบทของวัตสันบอกเราว่า

${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{-xs}(1-s)^{a-1}s^{b-a-1}\,ds\sim \Gamma (b-a)x^{a-b}\quad {\text{as }}x\to \infty {\text{ with }}x>0,}$

ซึ่งทำให้เราสรุปได้ว่า

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)\sim {\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\,x^{a-b}e^{x}\quad {\text{as }}x\to \infty {\text{ with }}x>0.}$