ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแรงโน้มถ่วงเชิงเส้นคือการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการรบกวนกับเมตริกเทนเซอร์ที่อธิบายเรขาคณิตของปริภูมิเวลาดังนั้น แรงโน้มถ่วงเชิงเส้นจึงเป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการจำลองผลกระทบของแรงโน้มถ่วงเมื่อสนามโน้มถ่วงอ่อน การใช้แรงโน้มถ่วงเชิงเส้นมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการศึกษาคลื่นโน้มถ่วง และ เลนส์โน้มถ่วงใน สนามอ่อน

สมการสนามของไอน์สไตน์ (EFE) ที่อธิบายเรขาคณิตของปริภูมิเวลาโดยใช้แบบแผนเครื่องหมาย MTW รวมถึงเครื่องหมายเมตริก(−+++)คือ

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\คัปปา T_{\mu \nu }}$

โดยที่คือเทนเซอร์ริชชีคือสเกลาร์ริชชีคือเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมคือค่าคงที่ความโน้มถ่วงของไอน์สไตน์และคือเทนเซอร์เมตริกปริภูมิเวลาที่แสดงถึงคำตอบของสมการ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

แม้ว่าจะกระชับเมื่อเขียนออกมาโดยใช้สัญกรณ์ของไอน์สไตน์แต่ภายในเทนเซอร์ริชชีและสเกลาร์ริชชีนั้นซ่อนความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นอย่างยิ่งกับเทนเซอร์เมตริก ซึ่งทำให้การค้นหาคำตอบที่แน่นอนเป็นไปไม่ได้ในระบบส่วนใหญ่ อย่างไรก็ตาม เมื่ออธิบายระบบที่ความโค้งของปริภูมิเวลาเล็ก (หมายความว่าเทอมในสมการสนามที่เป็นกำลังสองของไม่ได้มีส่วนสำคัญต่อสมการการเคลื่อนที่) เราสามารถจำลองคำตอบของสมการสนามได้ว่าเป็นเมตริกมินคอฟสกี^{[หมายเหตุ 1 ]}บวกกับเทอมการรบกวนเล็กน้อยกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.}$

ในระบอบนี้ การแทนที่เมตริกทั่วไปด้วยการประมาณแบบรบกวนนี้ ส่งผลให้ได้นิพจน์ที่ง่ายขึ้นสำหรับเทนเซอร์ริชชี: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\สแควร์ h_{\mu \nu }),}$

โดยที่คือร่องรอยของการรบกวนคืออนุพันธ์ย่อยเทียบกับพิกัดของปริภูมิเวลา และคือตัวดำเนินการดาล็องแบร์ ${\displaystyle h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }}$${\displaystyle \partial _{\mu }}$${\displaystyle x^{\mu }}$${\displaystyle \square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$

เมื่อรวมกับสเกลาร์ริชชีแล้ว

${\displaystyle R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,}$

ด้านซ้ายของสมการสนามลดลงเหลือ

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h)}$

ดังนั้น EFE จึงลดลงเหลือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย อันดับสองเชิงเส้น ในรูปของ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

กระบวนการแยกปริภูมิเวลาทั่วไปออกเป็นเมตริกมินคอฟสกีบวกกับเทอมรบกวนนั้นไม่เป็นเอกลักษณ์ เนื่องจากการเลือกพิกัดที่แตกต่างกันอาจให้รูปแบบที่แตกต่างกันสำหรับเพื่อที่จะอธิบายปรากฏการณ์นี้ จึงมีการนำแนวคิดสมมาตรเกจมาใช้ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

สมมาตรเกจเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับอธิบายระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อระบบพิกัดพื้นฐานถูก "เลื่อน" ไปในปริมาณที่เล็กน้อยมาก ดังนั้นถึงแม้ว่าเมตริกการรบกวนจะไม่ได้รับการกำหนดอย่างสม่ำเสมอระหว่างระบบพิกัดที่แตกต่างกัน แต่ระบบโดยรวมที่มันอธิบายนั้นยังคงเหมือนเดิม ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

เพื่อแสดงสิ่งนี้อย่างเป็นทางการ ความไม่เป็นเอกลักษณ์ของการรบกวนนั้นถูกแสดงออกมาในฐานะที่เป็นผลลัพธ์จากชุด การแปลง แบบดิฟเฟอเรนเชียล ที่หลากหลาย บนปริภูมิเวลา ซึ่งทำให้มีขนาดเล็กเพียงพอ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องกำหนด ในรูปของชุดการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลทั่วไป จากนั้นเลือกชุดย่อยของชุดเหล่านั้นที่รักษาขนาดเล็กที่จำเป็นโดยการประมาณสนามอ่อน ดังนั้นจึงสามารถกำหนดให้ แทนการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลใดๆ ที่แมปปริภูมิเวลา Minkowski แบบราบไปยังปริภูมิเวลาทั่วไปที่แสดงโดยเมตริกด้วยเหตุนี้ เมตริกการรบกวนจึงสามารถกำหนดได้ว่าเป็นผลต่างระหว่างพูลแบ็กของและเมตริก Minkowski: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.}$

ดังนั้น ดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมจึงสามารถเลือกได้เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข⁠ ⁠ . ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \vert h_{\mu \nu }\vert \ll 1}$

เมื่อกำหนดสนามเวกเตอร์บนปริภูมิเวลาพื้นหลังแบบราบ แล้ว จะสามารถกำหนดตระกูลของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเพิ่มเติมได้อีกตระกูลหนึ่ง คือ ตระกูลที่สร้างขึ้นโดยและกำหนดพารามิเตอร์โดย⁠ ⁠ การแปลงแบบดิฟ เฟอเรนเชียลใหม่เหล่านี้จะถูกนำมาใช้เพื่อแสดงการแปลงพิกัดสำหรับ "การเลื่อนแบบอนันต์" ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อรวมกับ⁠ ⁠จะได้ตระกูลของการรบกวนโดย ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$${\displaystyle \psi _{\เอปไซลอน }}$${\displaystyle \xi ^{\mu }}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\เอตา )_{\mu \nu }-\เอตา _{\mu \nu }}{\เอปไซลอน }}\right].\end{aligned}}}$

ดังนั้น ในขีดจำกัด⁠ ⁠${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ,

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}__{\xi }\eta _{\mu \nu }}$

โดยที่อนุพันธ์ลีตามแนวเวกเตอร์ฟิลด์คือ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }}$${\displaystyle \xi _{\mu }}$

อนุพันธ์ของ Lie จะให้ผลลัพธ์เป็นการแปลงเกจขั้น สุดท้าย ของเมตริกการรบกวน⁠ ⁠${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ :

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),}$

ซึ่งกำหนดชุดของเมตริกการรบกวนที่อธิบายระบบทางกายภาพเดียวกันอย่างแม่นยำ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มันแสดงลักษณะสมมาตรเกจของสมการสนามเชิงเส้น

ด้วยการใช้ประโยชน์จากความไม่แปรเปลี่ยนภาย ใต้การแปลงเกจ คุณสมบัติบางประการของเมตริกการรบกวนสามารถรับประกันได้โดยการเลือกฟิลด์เวกเตอร์ที่${\displaystyle \xi ^{\mu }}$เหมาะสม

เพื่อศึกษาว่าการรบกวนส่งผลต่อการวัดความยาวอย่างไร จึงเป็นประโยชน์ที่จะกำหนดเทนเซอร์เชิงพื้นที่ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}}$

(โปรดทราบว่าดัชนีครอบคลุมเฉพาะส่วนประกอบเชิงพื้นที่เท่านั้น: ⁠ ⁠${\displaystyle i,j\in \{1,2,3\}}$ ) ดังนั้น โดยการใช้⁠ ⁠${\displaystyle s_{ij}}$ส่วนประกอบเชิงพื้นที่ของการรบกวนสามารถแยกย่อยได้ดังนี้

${\displaystyle h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}}$

ที่ไหน. ${\displaystyle \Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}}$

โดยโครงสร้างแล้วเทนเซอร์ นี้ ไม่มีร่องรอยและถูกเรียกว่าความเครียด (strain) เนื่องจากมันแสดงถึงปริมาณที่การรบกวนยืดและหดตัวการวัดพื้นที่ในบริบทของการศึกษาการแผ่รังสีโน้มถ่วงความเครียดมีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อใช้ร่วมกับเกจตามขวาง (transverse gauge)เกจนี้ถูกกำหนดโดยการเลือกส่วนประกอบเชิงพื้นที่ของเพื่อให้สอดคล้องกับความสัมพันธ์ ${\displaystyle s_{ij}}$${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}}\partial _{j}\partial _{i}\xi ^{i}=-\partial _{i}s^{ij},}$

จากนั้นจึงเลือกองค์ประกอบด้านเวลาเพื่อให้ตรงตามความต้องการ ${\displaystyle \xi ^{0}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\xi ^{0}=\partial _{i}h_{0i}+\partial _{0}\partial _{i}\xi ^{i}.}$

หลังจากทำการแปลงเกจโดยใช้สูตรในส่วนก่อนหน้าแล้ว ความเครียดจะกลายเป็นแบบขวางในเชิงพื้นที่:

${\displaystyle \partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0,}$

พร้อมคุณสมบัติเพิ่มเติม:

${\displaystyle \partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0.}$

เกจซิงโครนัสช่วยลดความซับซ้อนของเมตริกการรบกวนโดยกำหนดให้เมตริกนั้นไม่บิดเบือนการวัดเวลา กล่าวคือ เกจซิงโครนัสถูกเลือกเพื่อให้ส่วนประกอบที่ไม่เกี่ยวกับพื้นที่ของมีค่าเป็นศูนย์ กล่าวคือ ${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}}$

${\displaystyle h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0.}$

สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการกำหนดให้องค์ประกอบด้านเวลาเป็นไปตามเงื่อนไข ที่กำหนด${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}}$

และกำหนดให้องค์ประกอบเชิงพื้นที่ต้องเป็นไปตามข้อกำหนด

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}.}$

เกจฮาร์มอนิก (เรียกอีกอย่างว่าเกจลอเรนซ์^{[หมายเหตุ 2 ]} ) จะถูกเลือกใช้เมื่อใดก็ตามที่จำเป็นต้องลดสมการสนามเชิงเส้นให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ซึ่งสามารถทำได้หากเงื่อนไขเป็นไปตามที่กำหนด

${\displaystyle \partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h}$

เป็นความจริง เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้จำเป็นต้องทำให้ความสัมพันธ์เป็นไปตามที่กำหนด ${\displaystyle \xi _{\mu }}$

${\displaystyle \square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h.}$

ดังนั้น โดยการใช้เกจฮาร์มอนิก เทนเซอร์ของไอน์สไตน์ จึงลดลงเหลือ ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right).}$

ดังนั้น โดยการเขียนในรูปของเมตริกแบบ "กลับทิศทางร่องรอย" สม${\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }}$การสนามเชิงเส้นจึงลดลง เหลือ

${\displaystyle \square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-2\kappa T_{\mu \nu }.}$

ปัญหานี้สามารถแก้ได้อย่างแม่นยำ เพื่อสร้างคำตอบของคลื่นที่กำหนดการแผ่รังสี ความโน้มถ่วง

• แคร์รอล, ฌอน เอ็ม. (2003). กาลอวกาศและเรขาคณิต: บทนำสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป . แอดดิสัน-เวสลีย์. ISBN 978-0-805-38732-2.

• คำคมที่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงเชิงเส้นใน Wikiquote