ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีสเปกตรัมกฎของ Weylอธิบายพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ Laplace–Beltramiคำอธิบายนี้ถูกค้นพบในปี 1911 (ในกรณีนี้) โดยHermann Weylสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ Laplace–Beltrami ที่กระทำกับฟังก์ชันที่หายไปที่ขอบของโดเมนที่มีขอบเขตโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาพิสูจน์ว่าจำนวน ของค่าลักษณะเฉพาะ ของDirichlet (นับรวมความซ้ำซ้อน) ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ เป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle d=2,3}$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle N(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\frac {N(\lambda )}{\lambda ^{d/2}}}=(2\pi )^{-d}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )}$

โดยที่ ปริมาตรของลูกบอลหน่วยใน^{[ 1 ]}ในปี พ.ศ. 2455 เขาได้ให้การพิสูจน์ใหม่โดยอาศัยวิธีการแปรผัน^{[ 2 ] [ 3 ]}กฎของ Weyl สามารถขยายไปยังแมนิโฟลด์ Riemannian ปิดได้ โดยสามารถให้ การพิสูจน์อีกแบบหนึ่งโดยใช้ ฟังก์ชันซีตา ของMinakshisundaram– Pleijel ${\displaystyle \omega _{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

กฎของ Weyl ได้ถูกขยายไปสู่โดเมนและตัวดำเนินการทั่วไปมากขึ้น สำหรับตัวดำเนินการ Schrödinger

${\displaystyle H=-h^{2}\Delta +V(x)}$

มันถูกขยายออกไป

${\displaystyle N(E,h)\sim (2\pi h)^{-d}\int _{\{|\xi |^{2}+V(x)<E\}}dx\,d\xi }$

มีแนวโน้มไปทางหรือไปทางด้านล่างของสเปกตรัมที่สำคัญและ/หรือ[ ^{4 ] นี่} คือจำนวนค่าลักษณะเฉพาะด้านล่างเว้นแต่จะมีสเปกตรัมที่สำคัญด้านล่างซึ่ง ในกรณีนั้น${\displaystyle E}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle h\to +0}$${\displaystyle N(E,h)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle N(E,h)=+\infty }$

ในการพัฒนาด้านสเปกตรัมเชิงอะซิมโทติกบทบาทสำคัญนั้นตกอยู่กับวิธีการแปรผันและการวิเคราะห์ไมโครโลคอล

กฎของ Weyl ที่ขยายออกไปนั้นใช้ไม่ได้ในบางสถานการณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กฎของ Weyl ที่ขยายออกไป "อ้าง" ว่าไม่มีสเปกตรัมที่สำคัญ ก็ต่อเมื่อนิพจน์ด้านขวามือมีค่าจำกัดสำหรับทุกค่า ${\displaystyle E}$

หากพิจารณาโดเมนที่มีจุดแหลม (เช่น "ทางออกที่หดตัวไปสู่อนันต์") กฎของ Weyl (แบบขยาย) อ้างว่าไม่มีสเปกตรัมที่สำคัญก็ต่อเมื่อปริมาตรมีค่าจำกัดเท่านั้น อย่างไรก็ตาม สำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียนของ Dirichlet นั้น ไม่มีสเปกตรัมที่สำคัญแม้ว่าปริมาตรจะเป็นอนันต์ ตราบใดที่จุดแหลมหดตัวที่อนันต์ (ดังนั้นความจำกัดของปริมาตรจึงไม่จำเป็น)

ในทางกลับกัน สำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียนของนอยมันน์ จะมีสเปกตรัมที่สำคัญ เว้นแต่ว่าจุดแหลมจะหดตัวที่อนันต์เร็วกว่าเลขชี้กำลังลบ (ดังนั้น ความจำกัดของปริมาตรจึงไม่เพียงพอ)

เวย์ลตั้งข้อสันนิษฐานว่า

${\displaystyle N(\lambda )=(2\pi )^{-d}\lambda ^{d/2}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )\mp {\frac {1}{4}}(2\pi )^{1-d}\omega _{d-1}\lambda ^{(d-1)/2}\mathrm {area} (\partial \Omega )+o(\lambda ^{(d-1)/2})}$

โดยที่พจน์ที่เหลือจะเป็นลบสำหรับเงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet และเป็นบวกสำหรับเงื่อนไขขอบเขตแบบ Neumann การประมาณค่าพจน์ที่เหลือนี้ได้รับการปรับปรุงโดยนักคณิตศาสตร์หลายท่าน

ในปี พ.ศ. 2465 Richard Courantได้พิสูจน์ขอบเขตของในปี พ.ศ. 2495 Boris Levitanได้พิสูจน์ขอบเขตที่แน่นกว่าของสำหรับแมนิโฟลด์ปิดขนาดกะทัดรัดRobert Seeleyได้ขยายขอบเขตนี้ให้ครอบคลุมโดเมนยุคลิดบางโดเมนในปี พ.ศ. 2521 ^{[ 5 ]} ในปี พ.ศ. 2518 Hans DuistermaatและVictor Guilleminได้พิสูจน์ขอบเขตของ เมื่อเซตของไบคาริสติกส์แบบคาบมีมาตรวัดเป็น 0 ^{[ 6 ]} ในที่สุดVictor Ivrii ได้ทำการสรุปทั่วไป ในปี พ.ศ. 2523 ^{[ 7 ]} การสรุปทั่วไปนี้ถือว่าเซตของวิถีโคจรแบบคาบของบิลเลียดในมีมาตรวัดเป็น 0 ซึ่ง Ivrii ตั้งข้อสันนิษฐานว่าเป็นจริงสำหรับโดเมนยุคลิดที่มีขอบเขตทั้งหมดที่มีขอบเขตเรียบ ตั้งแต่นั้นมา ได้มีการค้นพบผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับตัวดำเนินการในวงกว้างขึ้น ${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )}$${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2})}$${\displaystyle o(\lambda ^{(d-1)/2})}$${\displaystyle \Omega }$

ในโพรงกลวงทรงลูกบาศก์ที่มีความยาวและปริมาตรความหนาแน่นสถานะของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีความถี่เชิงมุมจะกำหนดโดย ${\displaystyle L}$${\displaystyle V=L^{3}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle g(\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}$

ความเร็วแสงอยู่ที่ไหน กฎของ Weyl สามารถใช้เพื่อแสดงว่าความหนาแน่นของสถานะนี้ใช้ได้กับโพรงที่มีรูปร่างใดๆ ก็ได้หากมีขนาด ใหญ่พอ^{[ 8 ]}${\displaystyle c}$