สเปกตรัมที่สำคัญของ ซึ่งโดยทั่วไปใช้สัญลักษณ์คือเซตของจำนวนจริง ทั้งหมด ที่ทำให้${\displaystyle T}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$

ไม่ใช่ตัวดำเนินการเฟรดโฮล์มโดยที่แทนตัวดำเนินการเอกลักษณ์บนดังนั้นสำหรับทุก(ตัวดำเนินการจะเป็นเฟรดโฮล์มก็ต่อเมื่อมีขอบเขต และเคอร์เนลและโคเคอร์เนลมีมิติจำกัด)${\displaystyle I_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I_{X}(x)=x}$${\displaystyle x\in X}$

นิยามของสเปกตรัมสำคัญจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง หากเราอนุญาตให้มันประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อน ทั้งหมด (แทนที่จะเป็นเพียงจำนวนจริง) ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น ทั้งนี้เนื่องจากสเปกตรัมของตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองเป็นจำนวนจริง${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$

สเปกตรัมที่สำคัญนั้นเป็นเซตปิด เสมอ และเป็นเซตย่อยของสเปกตรัม ดังที่กล่าวมาข้างต้น เนื่องจากตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง สเปกตรัมจึงอยู่บนแกนจริง${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle T}$

สเปกตรัมสามารถแบ่งออกเป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งคือสเปกตรัมที่สำคัญ อีกส่วนหนึ่งคือสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งเป็นเซตของจุดต่างๆที่เป็นจุดโดดเดี่ยวและเป็นปริภูมิย่อยที่มีมิติจำกัด กล่าวคือ เป็นค่าลักษณะเฉพาะโดดเดี่ยวที่มีความซ้ำซ้อนทางพีชคณิตจำกัด (ค่าลักษณะเฉพาะปกติ)${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$${\displaystyle \ker(\lambda I_{X}-T)}$

สเปกตรัมที่สำคัญไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การรบกวนแบบกระชับ นั่นคือ ถ้าเป็นตัวดำเนินการสมมาตรแบบกระชับ บน แล้วสเปกตรัมที่สำคัญของและของ จะตรงกัน นั่นคือนี่คือเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกว่าสเปกตรัมที่สำคัญ : ไวล์ (1910) นิยามสเปกตรัมที่สำคัญของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์บางตัวว่าเป็นสเปกตรัมที่ไม่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขขอบเขต${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T+K}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)=\sigma _{\mathrm {ess} }(T+K)}$

สเปกตรัมที่สำคัญคือเซตย่อยของสเปกตรัมและส่วนเติมเต็มของมันเรียกว่าสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องดังนั้น${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$${\displaystyle \sigma (T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$.

ถ้าตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองแล้ว ตามคำนิยาม จำนวนใดๆจะอยู่ในสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องของตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองก็ต่อเมื่อเป็นค่าลักษณะเฉพาะที่โดดเดี่ยวซึ่งมีจำนวนจำกัด หมายความว่ามิติของปริภูมิ${\displaystyle T}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \ \mathrm {span} \{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}}$

มีมิติจำกัดแต่ไม่เป็นศูนย์ และมีอยู่จริงที่ทำให้และบ่งชี้ว่าและเท่ากัน (สำหรับตัวดำเนินการทั่วไปที่ไม่สมมาตรในปริภูมิบานาคตามคำนิยาม จำนวนเชิงซ้อนจะอยู่ในสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเป็นค่าลักษณะเฉพาะปกติหรือเทียบเท่ากับว่าเป็นจุดโดดเดี่ยวของสเปกตรัมและอันดับของตัวฉายรีซ ที่สอดคล้องกัน มีค่าจำกัด)${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \mu \in \sigma (T)}$${\displaystyle |\mu -\lambda |<\varepsilon }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(S)}$

จงให้คำจำกัดความของสิ่งต่อไปนี้:

• เวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์หน่วยก็ต่อเมื่อนอร์มของเวกเตอร์นั้นเท่ากับ 1
• ลำดับของเวกเตอร์ลู่เข้า (อย่างเข้มแข็ง) สู่ 0 ก็ต่อเมื่อ ซึ่งเขียนได้เป็น${\displaystyle (\psi _{n})_{n}}$${\displaystyle \lim _{n}\|\psi _{n}\|=0}$${\displaystyle \psi _{n}\ถึง 0}$
• ลำดับของเวกเตอร์ลู่เข้าอย่างอ่อนไปยัง 0 ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่าซึ่งเขียนได้เป็น${\displaystyle (\psi _{n})_{n}}$${\displaystyle \lim _{n}\langle \psi _{n},v\rangle =0}$${\displaystyle v\in X}$${\displaystyle \psi _{n}\xrightarrow {w} 0}$

ภายใต้นิยามเหล่านี้ เราจะได้ลักษณะเฉพาะของสเปกตรัมของตัวดำเนินการ ดังต่อไปนี้ :${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle T}$

จำนวนหนึ่งจะมีค่าก็ต่อเมื่อมีลำดับของเวกเตอร์หน่วยที่มีค่าเท่ากับ0 อยู่${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle (\psi _{n})_{n}}$${\displaystyle (T-\lambda )\psi _{n}\to 0}$

ถ้าอยู่บนสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่อง เนื่องจากแยกตัวอยู่ในลำดับเวกเตอร์หน่วยใดๆที่มีจะต้องลู่เข้าสู่และเนื่องจากมีมิติจำกัดจะต้องมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าโดยความกะทัดรัดของทรงกลมหน่วยของดังนั้นเกณฑ์ของ Weyl ระบุว่าข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน: ^{[ 1 ]}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle (\psi _{n})_{n}}$${\displaystyle (T-\lambda )\psi _{n}\to 0}$${\displaystyle \ker(\แลมบ์ดาไอที)}$${\displaystyle \ker(\แลมบ์ดาไอที)}$${\displaystyle \psi _{n}}$${\displaystyle \ker(\แลมบ์ดาไอที)}$${\displaystyle \psi _{n}\not \xrightarrow {w} 0}$

จำนวนหนึ่งจะมีอยู่ในก็ต่อเมื่อมีลำดับของเวกเตอร์หน่วยที่มีและ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$${\displaystyle (\psi _{n})_{n}}$${\displaystyle (T-\lambda )\psi _{n}\to 0}$${\displaystyle \psi _{n}\xrightarrow {w} 0}$

ลำดับดังกล่าวเรียกว่าลำดับเอกฐานหรือลำดับเวล์ (Weyl sequence ) โดยการทำให้ลำดับนั้นเบาบางลงและใช้กระบวนการแกรม-ชมิดต์ (Gram–Schmidt process)จะทำให้ลำดับนั้นเป็นลำดับตั้งฉากปกติได้

ให้เป็นตัวดำเนินการการคูณ (หรือตัวดำเนินการตำแหน่ง ) ที่กำหนดโดยช่วงสำคัญของคือดังนั้นสเปกตรัม คือสำหรับใดๆเราสามารถสร้างลำดับเอกฐานได้อย่างชัดเจนเป็นลำดับของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แคบลงและคมชัดขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งรองรับบนเซตที่ไม่ทับซ้อนกัน ตัวอย่างเช่น ให้แล้วเราสามารถสร้างให้เป็นฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนที่มีความสูงพวกมันเป็นออร์โทนอร์มอล โดยที่สังเกตว่าลำดับนี้คล้ายกับ"ฟังก์ชัน" เดลต้าของดิแรก มากขึ้นเรื่อยๆ ที่ 0 แม้ว่าจะไม่ลู่เข้าก็ตาม${\displaystyle T:L^{2}[0,1]\to L^{2}[0,1]}$${\displaystyle (Tf)(x)=xf(x)}$${\displaystyle x\mapsto x}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \sigma (T)=[0,1]}$${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \psi _{n}}$${\displaystyle [2^{-n},2^{-n+1}]}$${\displaystyle {\sqrt {2^{n}}}}$${\displaystyle \|(T-\lambda )\psi _{n}\|=O(1/2^{2n})\to 0}$

ให้เป็นตัวดำเนินการโมเมนตัมที่กำหนดโดยการขยายสำหรับฟังก์ชันเรียบที่มีขอบเขตจำกัด สเปกตรัมที่สำคัญของมันคือเส้นจำนวนจริงทั้งหมด นักฟิสิกส์กล่าวว่าแต่ละเป็นค่าลักษณะเฉพาะของโดยมีฟังก์ชันลักษณะ เฉพาะ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ถูกต้องในทางเทคนิค เนื่องจากมีนอร์ม L2 เป็นอนันต์ ถึงกระนั้น ก็เป็นไปได้ที่จะกล่าวอย่างเข้มงวดในทำนองเดียวกัน ในขณะที่ไม่อยู่ในมันสามารถเข้าใกล้ได้ด้วยลำดับ Weyl ในการสร้างนั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกัน โดยการสร้างลำดับที่เข้าใกล้เดลต้าของ Dirac ที่ในปริภูมิโมเมนตัมจากนั้นทำการแปลงฟูริเยร์ไปยังปริภูมิตำแหน่ง${\displaystyle T:L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle T=-i{\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle e^{ikx}}$${\displaystyle e^{ikx}}$${\displaystyle e^{ikx}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle k}$

ให้เป็นตัวดำเนินการลาปลาสโดยที่คือปริภูมิโซโบเลฟสเปกตรัมที่สำคัญของมันคือสำหรับแต่ละและเวกเตอร์หน่วยใดๆการสร้างลำดับเวล์สำหรับ "ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ" นั้นคล้ายกัน^{[ 1 ]}${\displaystyle T:H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to H^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle T=-\Delta }$${\displaystyle H^{2}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle \lambda \in [0,\infty )}$${\displaystyle {\hat {k}}}$${\displaystyle e^{i{\sqrt {\lambda }}{\hat {k}}\cdot x}}$

ให้เป็น ปริมาณ เวกเตอร์แบบบานาคและให้เป็นตัวดำเนินการที่มีการกำหนดอย่างหนาแน่นบนนั่นคือ เป็นตัวดำเนินการประเภทโดยที่เป็นปริมาณเวกเตอร์ย่อยที่มีความหนาแน่นของให้สเปกตรัมของเป็นซึ่งกำหนดโดยส่วนเติมเต็มของคือเซตตัวผกผันของ${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$${\displaystyle D(T)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \sigma (T)}$$${\displaystyle \sigma (T)=\{\lambda$$ :(\lambda IT){\text{ ไม่มีอินเวอร์สที่มีขอบเขต}}\}} ${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle T}$

มีคำจำกัดความหลายประการของสเปกตรัมที่สำคัญของซึ่งไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน คำจำกัดความแต่ละข้อเหล่านี้มีรูปแบบดังนี้มีระดับความดีอย่างน้อย 5 ระดับที่แตกต่างกัน โดยเพิ่มขึ้นตามความแข็งแกร่ง การเพิ่มขึ้นของความแข็งแกร่งแต่ละครั้งจะทำให้เซตของความดีลดลงดังนั้นจึงขยายโดเมนที่สำคัญ^{[ 2 ]}${\displaystyle T}$$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)=\{\แลมบ์ดา$$ :(\lambda I-T){\text{ is not nice}}\}} ${\displaystyle \lambda }$

ให้แทนตัวดำเนินการประเภท. ให้เป็นเคอร์เนล ของมัน เป็นโคเคอร์เนลของมันและเป็นเรนจ์ของมัน เรากล่าวว่าคือ:${\displaystyle A}$${\displaystyle A:D(T)\to X}$${\displaystyle \ker A}$${\displaystyle \operatorname {coker} A}$${\displaystyle \operatorname {ran} A}$${\displaystyle A}$

1. โดยปกติแล้วสามารถหาคำตอบได้ถ้าเป็นตัวดำเนินการปิดและเป็นเซตปิด สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ทฤษฎีบทช่วงปิด${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {ran} A}$
2. เซมิ-เฟรดโฮล์ม หากเป็นมิติจำกัดแบบรวม หรือเป็นมิติจำกัด${\displaystyle \ker A}$${\displaystyle \operatorname {coker} A}$
3. นอกจากนี้Fredholmยังมีมิติจำกัดและมีมิติจำกัดด้วย${\displaystyle \ker A}$${\displaystyle \operatorname {coker} A}$
4. Fredholm ที่มีดัชนีเป็นศูนย์ ถ้ายิ่งไปกว่านั้นและมีมิติเดียวกัน${\displaystyle \ker A}$${\displaystyle \operatorname {coker} A}$
5. นอกจากนี้ หากมีบริเวณใกล้เคียงที่ถูกลบของศูนย์ซึ่งเป็นเซตย่อยของเซตตัวแก้ไขอยู่ด้วย
   • กล่าวอีกนัยหนึ่ง ศูนย์ไม่ใช่จุดลิมิตของ${\displaystyle \sigma (A)}$
6. มีอินเวอร์สที่มีขอบเขต หากมีตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต อยู่ซึ่งทำให้เป็นอินเวอร์สซึ่งกันและกัน${\displaystyle A^{-1}:X\to D(T)}$${\displaystyle A,A^{-1}}$

ทีนี้ ตั้งค่าจากนั้นเงื่อนไขที่ 1 ถึง 5 จะกำหนดสเปกตรัมที่สำคัญ 5 สเปกตรัมและเงื่อนไขที่ 6 จะกำหนดสเปกตรัมเห็นได้ชัดว่าเงื่อนไขที่ 1 ถึง 5 มีความเข้มงวดมากขึ้น นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าเงื่อนไขที่ 6 เข้มงวดกว่าเงื่อนไขที่ 5 ดังนั้นการรวมใดๆ เหล่านี้อาจเป็นแบบเข้มงวดก็ได้${\displaystyle A=(\lambda I-T)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$${\displaystyle 1\leq k\leq 5}$${\displaystyle \sigma (T)}$$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subseteq \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subseteq \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subseteq \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subseteq \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subseteq \sigma (T)\subseteq \mathbb {C} ,}$$

ผู้เขียนหลายคนกำหนดสเปกตรัมที่สำคัญแตกต่างกัน ส่งผลให้มีคำศัพท์ที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น Kato ใช้, Wolf ใช้, Schechter ใช้, Browderใช้ดังนั้น จึงเรียกว่าสเปกตรัมที่สำคัญของ Browderเป็นต้น^{[ 3 ]}${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}}$

ยังมีคำจำกัดความเพิ่มเติมของสเปกตรัมที่สำคัญอีกด้วย^{[ 2 ]}

นิยามต่อไปนี้ระบุว่า สเปกตรัมที่สำคัญคือส่วนของสเปกตรัมที่เสถียรภายใต้การรบกวนแบบกระชับ: นิยามอีกประการหนึ่งระบุว่า: เมื่อกำหนดให้จะเป็นค่าลักษณะเฉพาะที่โดดเดี่ยวของที่มีจำนวนจำกัดก็ต่อเมื่อมีมิติบวกจำกัด และเป็นจุดโดดเดี่ยวของ$${\displaystyle w(T):=\bigcap _{B{\text{ is compact}}}\sigma (T+B)}$$$${\displaystyle \sigma _{l}(T)=\sigma (T)\setminus \{{\text{isolated eigenvalues of }}T{\text{ with finite multiplicity}}\}}$$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \ker(\lambda I-T)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \sigma (T)}$