ในพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวว่าจำนวนธรรมชาติn > 1 เป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อผลคูณของจำนวนเต็มบวก ทั้งหมด ที่น้อยกว่าnมีค่าน้อยกว่าพหุคูณของn อยู่หนึ่ง นั่นคือ (โดยใช้สัญลักษณ์ของเลขคณิตมอดูลา ร์ ) แฟกทอเรี ยลเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle (n-1)!=1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)}$

${\displaystyle (n-1)!\ \equiv \;-1{\pmod {n}}}$

เฉพาะเมื่อnเป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนเต็มใดๆn > 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ ( n − 1)! + 1 หารด้วยnลงตัว^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการกล่าวถึงครั้งแรกโดยอิบนุ อัล-ฮัยธัมประมาณ ค.ศ. 1000 [ ^{2 ] เอ็ด}เวิร์ด วอริ่งประกาศทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1770 โดยไม่ได้พิสูจน์ และให้เครดิตแก่จอห์น วิลสัน นักศึกษาของเขา ว่าเป็นผู้ค้นพบ^{[ 3 ]}ลากรองจ์ได้พิสูจน์เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1771 ^{[ 4 ]} มีหลักฐานว่าไลบ์นิซก็ทราบถึงผลลัพธ์นี้มาก่อนหน้านั้นหนึ่งศตวรรษ แต่ไม่เคยตีพิมพ์^{[ 5 ]}

สำหรับค่า nแต่ละค่าตั้งแต่ 2 ถึง 30 ตารางต่อไปนี้แสดงจำนวน ( n − 1)! และเศษเหลือเมื่อ ( n − 1)! หารด้วยn (ในสัญลักษณ์ทางเลขคณิตแบบมอดูลาร์ เศษเหลือเมื่อmหารด้วยnจะเขียนว่าm mod n ) ตามที่คาดไว้เมื่อnเป็นจำนวนเฉพาะ สีพื้นหลังจะเป็นสีน้ำเงินสำหรับค่า n ที่เป็นจำนวนเฉพาะและสีทองสำหรับค่า n ที่เป็นจำนวน ประกอบ${\displaystyle (n-1)!\ \equiv n-1{\bmod {\ }}n}$

ตารางแฟกทอเรียลและเศษเหลือมอดูล n

${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)!}$ (ลำดับA000142ในOEIS )	${\displaystyle (n-1)!\ {\bmod {\ }}n}$ (ลำดับA061006ในOEIS )
2	1	1
3	2	2
4	6	2
5	24	4
6	120	0
7	720	6
8	5040	0
9	40320	0
10	362880	0
11	3628800	10
12	39916800	0
13	479001600	12
14	6227020800	0
15	87178291200	0
16	1307674368000	0
17	20922789888000	16
18	355687428096000	0
19	6402373705728000	18
20	121645100408832000	0
21	2432902008176640000	0
22	51090942171709440000	0
23	1124000727777607680000	22
24	25852016738884976640000	0
25	620448401733239439360000	0
26	15511210043330985984000000	0
27	403291461126605635584000000	0
28	10888869450418352160768000000	0
29	304888344611713860501504000000	28
30	8841761993739701954543616000000	0

เนื่องจากเป็น ประโยค เงื่อนไขสองทาง (ถ้าและก็ต่อเมื่อ) การพิสูจน์จึงแบ่งออกเป็นสองส่วน คือ ส่วนหนึ่งแสดงว่าความเท่าเทียมกันไม่เป็นจริงเมื่อเป็นจำนวนประกอบ และอีกส่วนหนึ่งแสดงว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงเมื่อเป็นจำนวนเฉพาะ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

สมมติว่าเป็นจำนวนประกอบ ดังนั้น มันหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะบางจำนวนโดยที่เนื่องจากหารลงตัวจึงมีจำนวนเต็มที่ทำให้สมมติเพื่อความขัดแย้งว่าสมมูล กับมอดูลแล้วก็จะสมมูลกับมอดูล ด้วยเช่นกัน กล่าว คือ ถ้าแล้วสำหรับจำนวนเต็มบางจำนวนและด้วยเหตุนี้จึงน้อยกว่าพหุคูณของ อยู่หนึ่งในทางกลับกัน เนื่องจากตัวประกอบตัวหนึ่งในผลคูณที่ขยายแล้วคือดังนั้นนี่คือข้อขัดแย้ง ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่เมื่อเป็นจำนวนประกอบ ${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2\leq q<n}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n=qk}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle {n}}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle {q}}$${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$${\displaystyle (n-1)!=nm-1=(qk)m-1=q(km)-1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2\leq q\leq n-1}$${\displaystyle (n-1)!=(n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {q}}}$${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$${\displaystyle n}$

อันที่จริงแล้วยังมีข้อเท็จจริงมากกว่านั้นอีก ยกเว้นกรณีเดียวที่ถ้าเป็นจำนวนประกอบแล้วจะสอดคล้องกับ 0 มอดูลการพิสูจน์สามารถแบ่งออกเป็นสองกรณี: กรณีแรก ถ้าสามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของจำนวนสองจำนวนที่ไม่เท่ากัน โดย ที่แล้วทั้งและจะปรากฏเป็นตัวประกอบในผลคูณดังนั้นจึงหารด้วย ลงตัวถ้าไม่มีการแยกตัวประกอบเช่นนั้น แสดงว่า ต้องเป็นกำลังสองของจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 2 แต่ในกรณีนั้นดังนั้นทั้งและจะเป็นตัวประกอบของและดังนั้น จึงหารลงตัวในกรณีนี้เช่นกัน ${\displaystyle n=4}$${\displaystyle 3!=6\equiv 2{\pmod {4}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=ab}$${\displaystyle 2\leq a<b<n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (n-1)!=(n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle ab=n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2q<q^{2}=n}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2q}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)!}$

การพิสูจน์สองข้อแรกด้านล่างใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าคลาสเศษเหลือมอดูโลจำนวนเฉพาะก่อตัวเป็นฟิลด์จำกัด (โดยเฉพาะฟิลด์จำนวนเฉพาะ ) ^{[ 6 ]}

ผลลัพธ์นั้นเป็นเรื่องง่ายเมื่อดังนั้นสมมติว่าเป็นจำนวนเฉพาะคี่เนื่องจากชั้นเศษเหลือมอดูลโลก่อตัวเป็นฟิลด์ เศษเหลือที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวจึงมีตัวผกผันการคูณที่ไม่ซ้ำกันทฤษฎีบทของยูคลิดบ่งชี้ ว่า ^{[ a ]}ค่าเดียวของสำหรับซึ่งคือดังนั้น ยกเว้นปัจจัยในรูปแบบขยายของสามารถจัดเรียงเป็นคู่ที่ไม่ซ้ำกันได้ โดยที่ผลคูณของแต่ละคู่จะสอดคล้องกับ 1 มอดูลโลสิ่งนี้พิสูจน์ทฤษฎีบทของวิลสัน ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\geq 3}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\equiv a^{-1}{\pmod {p}}}$${\displaystyle a\equiv \pm 1{\pmod {p}}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle (p-1)!}$${\displaystyle p}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับจะมี ${\displaystyle p=11}$$${\displaystyle 10!=[(1\cdot 10)]\cdot [(2\cdot 6)(3\cdot 4)(5\cdot 9)(7\cdot 8)]\equiv [-1]\cdot [1\cdot 1\cdot 1\cdot 1]\equiv -1{\pmod {11}}.}$$

อีกครั้ง ผลลัพธ์นั้นเป็นเรื่องง่ายสำหรับp  = 2 ดังนั้นสมมติว่าpเป็นจำนวนเฉพาะคี่p ≥ 3พิจารณาพหุนามต่อไปนี้

${\displaystyle g(x)=(x-1)(x-2)\cdots (x-(p-1)).}$

ฟังก์ชัน gมีดีกรีp − 1พจน์นำคือx ^{p − 1}และพจน์คงที่คือ( p − 1)! ราก p − 1ของฟังก์ชันนี้คือ 1, 2, ..., p − 1

ลองพิจารณาดูตอนนี้

${\displaystyle h(x)=x^{p-1}-1.}$

hก็มีดีกรีp − 1และพจน์นำx ^{p ​​− 1} เช่น กัน ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ กล่าวว่า มอดูโลp มัน ก็มีราก p − 1เหมือนกัน คือ1, 2, ..., p − 1

สุดท้ายนี้ ลองพิจารณาดู

${\displaystyle f(x)=g(x)-h(x).}$

ฟังก์ชัน fมีดีกรีอย่างมากที่สุดp  − 2 (เนื่องจากพจน์นำหน้าตัดกัน) และมอดูโลpก็มี ราก p − 1ราก คือ 1, 2, ..., p − 1แต่ทฤษฎีบทของลากรองจ์กล่าวว่ามันไม่สามารถมีรากมากกว่าp  − 2 รากได้ ดังนั้นfต้องเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ (mod p ) ดังนั้นพจน์คงที่ของมันคือ( p − 1)! + 1 ≡ 0 (mod p )นี่คือทฤษฎีบทของวิลสัน

เป็นไปได้ที่จะอนุมานทฤษฎีบทของวิลสันจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของไซโลว์ ในกรณีเฉพาะ ให้pเป็นจำนวนเฉพาะ จะเห็นได้ทันทีว่ากลุ่มสมมาตร มีสมาชิกที่มีอันดับp อยู่จำนวนหนึ่ง พอดี นั่นคือวัฏจักรpในทางกลับกัน แต่ละกลุ่มย่อยไซโลว์pในเป็นสำเนาของดังนั้นจึงสรุปได้ว่าจำนวนกลุ่มย่อยไซโลว์pคือทฤษฎีบทไซโลว์ข้อที่สามบ่งชี้ว่า ${\displaystyle S_{p}}$${\displaystyle (p-1)!}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle S_{p}}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle n_{p}=(p-2)!}$

${\displaystyle (p-2)!\equiv 1{\pmod {p}}.}$

คูณทั้งสองข้างด้วย( p − 1)จะได้

${\displaystyle (p-1)!\equiv p-1\equiv -1{\pmod {p}},}$

นั่นคือ ผลลัพธ์

ในทางปฏิบัติ ทฤษฎีบทของวิลสันไม่มีประโยชน์ในการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะเนื่องจากการคำนวณ ( n − 1)! modulo nสำหรับn ขนาดใหญ่ มีความซับซ้อนในการคำนวณ^{[ 7 ]}

โดยใช้ทฤษฎีบทของวิลสัน สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ใดๆp = 2m + 1เราสามารถจัดเรียงด้านซ้ายของสมการใหม่ เพื่อให้ได้ความเท่าเทียมกัน ซึ่งจะกลายเป็น หรือ เราสามารถใช้ข้อเท็จจริงนี้เพื่อพิสูจน์ส่วนหนึ่งของผลลัพธ์ที่มีชื่อเสียง: สำหรับจำนวนเฉพาะp ใดๆ ที่p  ≡ 1 (mod 4)จำนวน (−1) เป็นกำลังสอง ( เศษกำลังสอง ) mod pสำหรับสิ่งนี้ สมมติว่าp  = 4k + 1 สำหรับจำนวนเต็ม k  บางตัวจากนั้นเราสามารถใช้m  = 2kข้างต้น และเราสรุปได้ว่า ( m !) ²สอดคล้องกับ (−1) (mod p ) $${\displaystyle 1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv \ -1\ {\pmod {p}}}$$$${\displaystyle 1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\ \equiv \ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}$$$${\displaystyle \prod _{j=1}^{m}\ j^{2}\ \equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}}$$$${\displaystyle (m!)^{2}\equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}.}$$

ทฤษฎีบทของวิลสันถูกนำมาใช้สร้างสูตรสำหรับจำนวนเฉพาะแต่สูตรเหล่านั้นช้าเกินไปจนไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ

ทฤษฎีบทของวิลสันอนุญาตให้กำหนดฟังก์ชันแกมมา p-adicได้

เกาส์พิสูจน์^{[ 8 ] [ 9 ]}ว่า โดยที่pแทนจำนวนเฉพาะคี่และจำนวนเต็มบวก นั่นคือ ผลคูณของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าmและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับmจะน้อยกว่าพหุคูณของm อยู่หนึ่ง เมื่อmเท่ากับ 4 หรือกำลังของจำนวนเฉพาะคี่ หรือสองเท่าของกำลังของจำนวนเฉพาะคี่ มิฉะนั้น ผลคูณจะมากกว่าพหุคูณของm อยู่หนึ่ง ค่าของmที่ผลคูณเป็น −1 คือค่าที่มีรากปฐมภูมิโมดูลัส m อย่าง แม่นยำ$${\displaystyle \prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m-1}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \alpha }$

• วิลสัน ไพรม์
• ตารางความสอดคล้อง
• สมมติฐานอะโกห์-จิวกา

• "ทฤษฎีบทวิลสัน"สารานุกรมคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์ EMS 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทของวิลสัน" . แมธเวิลด์ .
• หลักฐานระบบ Mizar : http://mizar.org/version/current/html/nat_5.html#T22
• โอฮานา, แอนดรูว์. "การสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทของวิลสัน" (PDF )