ในทฤษฎีจำนวนสูตรสำหรับจำนวนเฉพาะคือสูตรที่ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเฉพาะสูตรดังกล่าวสำหรับการคำนวณจำนวนเฉพาะนั้นมีอยู่จริง อย่างไรก็ตาม การคำนวณนั้นช้ามากเมื่อเทียบกับอัลกอริทึม ง่ายๆ สำหรับการค้นหาจำนวนเฉพาะ มีข้อจำกัดหลายประการที่ทราบกันดี ซึ่งแสดงให้เห็นว่า "สูตร" ดังกล่าวสามารถเป็นอย่างไรได้บ้างและไม่สามารถเป็นอย่างไรได้บ้าง

สูตรอย่างง่ายที่ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด แม้ว่าส่วนใหญ่จะมีจำนวนเฉพาะ 2 แทรกอยู่ด้วยก็ตาม คือ

${\displaystyle f(n)=\left\lfloor {\frac {n!{\bmod {(}}n+1)}{n}}\right\rfloor (n-1)+2}$

สำหรับจำนวนเต็ม บวก โดยที่คือฟังก์ชันปัดเศษลง ซึ่งปัดเศษลงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด ค่าแรกๆ ของฟังก์ชันคือ 2, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 2, 2, 11... ^{[ 1 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \lfloor \ \rfloor }$

สูตรนี้ใช้ได้ผลเพราะตามทฤษฎีบทของวิลสันจะเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อดังนั้น เมื่อเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวประกอบตัวแรกในผลคูณจะเป็นหนึ่ง และสูตรจะสร้างจำนวนเฉพาะแต่เมื่อไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ตัวประกอบตัวแรกจะเป็นศูนย์ และสูตรจะสร้างจำนวนเฉพาะ 2 ^{[ ​​2 ]}สูตรนี้ไม่ใช่วิธีที่มีประสิทธิภาพในการสร้างจำนวนเฉพาะ เพราะการประเมินค่าต้องใช้การคูณและการลดทอนโมดูลัส ประมาณ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n!\equiv n\!\!\!\!\!{\pmod {n+1}}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n!{\bmod {(}}n+1)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n+1}$

ในปี 1964 วิลแลนส์ได้ให้สูตรดังกล่าว

${\displaystyle p_{n}=1+\sum _{i=1}^{2^{n}}\left\lfloor \left({\frac {n}{\sum _{j=1}^{i}\left\lfloor \left(\cos {\frac {(j-1)!+1}{j}}\pi \right)^{2}\right\rfloor }}\right)^{1/n}\right\rfloor }$

สำหรับจำนวนเฉพาะที่[ ^{3 ] สูตร}นี้ลดลงเหลือ^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle p_{n}=1+\sum _{i=1}^{2^{n}}[\pi (i)<n];}$

กล่าวคือ สูตรนี้กำหนดโดยปริยายว่าเป็นจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดซึ่งฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะมีค่าอย่างน้อยเท่ากับ สูตรนี้ยังไม่มีประสิทธิภาพอีกด้วย นอกจากการปรากฏของ แล้วยังคำนวณโดยการบวกสำเนาของ เข้า ด้วย กัน ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \pi (m)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (j-1)!}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle p_{5}=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+0+0+\dots +0=11.}$

บทความWhat is an Answer?โดยHerbert Wilf (1982) ^{[ 6 ]}และFormulas for PrimesโดยUnderwood Dudley (1983) ^{[ 7 ]}มีการอภิปรายเพิ่มเติมเกี่ยวกับความไร้ค่าของสูตรดังกล่าว

JP Jones ได้ให้สูตรที่สั้นกว่าโดยอิงตามทฤษฎีบทของ Wilson ในปี 1975 โดยใช้เป็นฟังก์ชัน: ^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathrm {mod} }$

${\displaystyle p_{n}=\sum _{i=0}^{n^{2}}\left(1\mathop {\dot {-}} \left(\left(\sum _{j=0}^{i}(j\mathop {\dot {-}} 1)!^{2}{\bmod {j}}\right)\mathop {\dot {-}} n\right)\right)}$.

ในที่นี้คือตัวดำเนินการโมโนสซึ่งกำหนดเป็นและถูกกำหนดให้เป็น ${\displaystyle \mathop {\dot {-}} }$${\displaystyle a\mathbin {\dot {-}} b=\max(ab,0)}$${\displaystyle x{\bmod {0}}}$${\displaystyle x}$

ในปี พ.ศ. 2514 JM Gandhi พิสูจน์ว่า โดยที่คือฟังก์ชันโมเบียสและวิ่งผ่านตัวหารทั้งหมดของ ซึ่งเป็น^ค่าดั้งเดิมของ[ ^{9 ] [ 10 ] [ 11 ]}สูตรนี้ควรถูกมองว่าเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับจำนวนเฉพาะ โดยแสดงในรูปของ $${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor 1-\log _{2}\left(s_{n-1}-{\frac {1}{2}}\right)\right\rfloor ,}$$${\displaystyle s_{n}=\sum _{d|p_{n}\#}{\frac {\mu (d)}{2^{d}-1}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle d}$${\displaystyle p_{n}\#}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n-1}}$

นิพจน์นี้ที่คานธีให้มานั้นเป็นผลมาจากการประยุกต์ใช้ตะแกรงของเอราโตสเธเนส ที่ดัดแปลงแล้ว ซึ่งดำเนินการกับเลขชี้กำลังของกำลังในผลรวมหลังจากขั้นตอนต่างๆ กล่าวโดยละเอียด คานธีแสดงให้เห็นว่าโดยที่จุดแทนพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นมากกว่า[ ^{11 ] มี}ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเดียวกันซึ่งกระบวนการนี้ทำในฐานอื่นที่ไม่ใช่^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{2^{p_{n+1}}}}+\dots }$${\displaystyle p_{n+1}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 2}$

ในปี 2025 ได้มีการเผยแพร่สูตรที่ง่ายกว่าสำหรับคำดังกล่าว: ${\displaystyle s_{n}}$

${\displaystyle s_{n}=\left\{{\frac {1}{2^{p_{n}\#}-1}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {2^{p_{n}\#}-2^{p_{n}\#/p_{i}}}{2^{p_{n}\#/p_{i}}-1}}\right\}}$โดยที่แสดงถึง^ส่วนที่เป็นเศษส่วนของ[ ^{14 ]}${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x}$

วิธีการนี้อาศัยการประยุกต์ใช้ตะแกรงของเอราโตสเธเนสอย่าง ชาญฉลาดมากขึ้น โดยอาศัยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน

ได้รับแรงบันดาลใจจากการพิสูจน์ของคานธีโกลอมบ์ได้พิสูจน์ความสัมพันธ์เวียนเกิดต่อไปนี้^{[ 12 ]}โดยที่แทนฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ซึ่ง อิงตามผลคูณของออยเลอร์สำหรับ$${\displaystyle p_{n}=\lim _{s\to \infty }\left(\zeta (s)\prod _{k=1}^{n-1}(1-p_{k}^{-s})-1\right)^{-{\frac {1}{s}}},}$$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \zeta }$

แนวคิดเรื่องเศษส่วนต่อเนื่องสามารถนำมาใช้กำหนดค่าคงที่(ลำดับA064442ในOEIS ) ซึ่งเราสามารถกู้คืนลำดับจำนวนเฉพาะได้โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดต่อไปนี้และเป็นผล ให้ ${\displaystyle u_{1}=[p_{1},p_{2},p_{3},...]=2.31303673643...}$${\displaystyle u_{n+1}=(u_{n}-\lfloor u_{n}\rfloor )^{-1}}$${\displaystyle p_{n}=\lfloor u_{n}\rfloor }$

Fridman et al. ^{[ 15 ]}ได้เสนอโครงสร้างทางเลือกอีกแบบหนึ่งโดยกำหนดค่าคงที่(ลำดับA249270ในOEIS ) สำหรับให้กำหนดลำดับโดยที่คือฟังก์ชันพื้นจากนั้นสำหรับ, . ค่าคงที่เริ่มต้นที่ระบุในบทความมีความแม่นยำเพียงพอสำหรับสมการ ( 1 ) ในการสร้างจำนวนเฉพาะจนถึง 37 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะลำดับที่สิบสอง ${\displaystyle f_{1}=2.920050977316\ldots }$${\displaystyle n\geq 2}$$${\displaystyle f_{n}=\lfloor f_{n-1}\rfloor (f_{n-1}-\lfloor f_{n-1}\rfloor +1)}$$${\displaystyle \left\lfloor \ \right\rfloor }$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle p_{n}=\lfloor f_{n}\rfloor }$${\displaystyle f_{1}=2.920050977316}$

ค่าที่แน่นอนของที่สร้าง จำนวนเฉพาะ ทั้งหมด นั้น ได้มาจากอนุกรมลู่ เข้าอย่างรวดเร็ว${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle f_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p_{n}-1}{p_{n-1}\#}}={\frac {2-1}{1}}+{\frac {3-1}{2}}+{\frac {5-1}{2\cdot 3}}+{\frac {7-1}{2\cdot 3\cdot 5}}+\cdots ,}$

ยิ่งเรารู้ตัวเลขมากเท่าไหร่ สมการ ( 1 ) ก็จะสร้างจำนวนเฉพาะมากขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถใช้ 25 พจน์ในอนุกรม โดยใช้จำนวนเฉพาะ 25 ตัวที่น้อยกว่า 100 เพื่อคำนวณค่าประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้นดังต่อไปนี้: ${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle f_{1}\simeq 2.920050977316134712092562917112019.}$

ตัวเลขเหล่านี้เพียงพอสำหรับสมการ ( 1 ) เพื่อให้ได้จำนวนเฉพาะ 25 ตัวที่น้อยกว่า 100 อีกครั้ง

สูตรแรกที่รู้จักกันนั้นถูกกำหนดโดย WH Mills ( 1947 ) ซึ่งพิสูจน์ว่ามีจำนวนจริงA อยู่จริง โดยที่ ถ้า

${\displaystyle d_{n}=A^{3^{n}}}$

แล้ว

${\displaystyle \left\lfloor d_{n}\right\rfloor =\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }$

เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด[ ^{16 ] หาก}สมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง จำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดจะมีค่าประมาณ 1.3063778838630806904686144926... (ลำดับA051021ในOEIS ) และเรียกว่าค่าคงที่ของมิลส์^{[ 17 ]}ค่านี้ก่อให้เกิดจำนวนเฉพาะ, , , ... (ลำดับA051254ในOEIS ) มีความรู้เกี่ยวกับค่าคงที่นี้น้อยมากสูตรนี้ไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ เนื่องจากไม่มีวิธีใดที่ทราบในการคำนวณค่าคงที่โดยไม่ต้องค้นหาจำนวนเฉพาะก่อน ${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lfloor d_{1}\rfloor =2}$${\displaystyle \lfloor d_{2}\rfloor =11}$${\displaystyle \lfloor d_{3}\rfloor =1361}$${\displaystyle A}$

ฟังก์ชันพื้นในสูตรนั้นไม่มีอะไรพิเศษ โทธพิสูจน์แล้วว่ายังมีค่าคงที่อีกค่า หนึ่งที่ทำให้ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \left\lceil B^{r^{n}}\right\rceil }$

ยังแสดงถึงจำนวนเฉพาะสำหรับ^{[ 18 ]}${\displaystyle r>2.106\ldots }$

ในกรณีนี้ค่าคงที่เริ่มต้นด้วย 1.24055470525201424067... จำนวนเฉพาะกลุ่มแรกๆ ที่สร้างขึ้นมีดังนี้: ${\displaystyle r=3}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle 2,7,337,38272739,56062005704198360319209,}$

${\displaystyle 176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\ldots }$

โดยไม่ ตั้งสมมติฐานของ Riemann Elsholtz ได้พัฒนา ฟังก์ชันแทนจำนวนเฉพาะหลาย ฟังก์ชัน ที่คล้ายกับของ Mills ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วจะเป็นจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ในทำนอง เดียวกัน ถ้าแล้วจะเป็นจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด^{[ 19 ]}${\displaystyle A=1.00536773279814724017\ldots }$${\displaystyle \left\lfloor A^{10^{10n}}\right\rfloor }$${\displaystyle n}$${\displaystyle A=3.8249998073439146171615551375\ldots }$${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{13n}}\right\rfloor }$${\displaystyle n}$

สูตร การสร้างจำนวนเฉพาะที่เติบโต แบบเททราชันนัลคล้ายกับของมิลส์ มาจากทฤษฎีบทของอีเอ็ม ไรท์เขาพิสูจน์ว่ามีจำนวนจริงα อยู่จริง ซึ่งถ้า

${\displaystyle g_{0}=\alpha }$และ

${\displaystyle g_{n+1}=2^{g_{n}}}$สำหรับ,${\displaystyle n\geq 0}$

แล้ว

${\displaystyle \lfloor g_{n}\rfloor =\left\lfloor 2^{\dots ^{2^{2^{\alpha }}}}\right\rfloor }$

เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับทุก[ ^{20 ] ไร}ท์ให้ค่าคงที่ดังกล่าวเป็นจำนวนเฉพาะเจ็ดตำแหน่งแรก: ค่านี้ทำให้เกิดจำนวนเฉพาะ, , และ เป็นจำนวน คู่ดังนั้นจึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม เมื่อ, , , และไม่เปลี่ยนแปลง ในขณะที่เป็นจำนวนเฉพาะที่มี 4932 หลัก^{[ 21 ]}ลำดับ ของจำนวนเฉพาะ นี้ไม่สามารถขยายออกไปได้มากกว่านี้โดยไม่ทราบจำนวนหลักเพิ่มเติมของเช่นเดียวกับสูตรของมิลส์ และด้วยเหตุผลเดียวกัน สูตรของไรท์จึงไม่สามารถใช้เพื่อหาจำนวนเฉพาะได้ ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \alpha =1.9287800}$${\displaystyle \lfloor g_{1}\rfloor =\lfloor 2^{\alpha }\rfloor =3}$${\displaystyle \lfloor g_{2}\rfloor =13}$${\displaystyle \lfloor g_{3}\rfloor =16381}$${\displaystyle \lfloor g_{4}\rfloor }$${\displaystyle \alpha =1.9287800+8.2843\cdot 10^{-4933}}$${\displaystyle \lfloor g_{1}\rfloor }$${\displaystyle \lfloor g_{2}\rfloor }$${\displaystyle \lfloor g_{3}\rfloor }$${\displaystyle \lfloor g_{4}\rfloor }$${\displaystyle \lfloor g_{4}\rfloor }$${\displaystyle \alpha }$

ในปี 2018 ไซมอน พลูฟฟ์ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับชุดสูตรสำหรับจำนวนเฉพาะ ซึ่งคล้ายกับสูตรของมิลส์ โดยมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \left\{a_{0}^{r^{n}}\right\}}$

โดยที่ฟังก์ชันจะปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด ตัวอย่างเช่น ด้วยและจะได้ 113, 367, 1607, 10177, 102217... (ลำดับA323176ในOEIS ) เมื่อใช้และกับจำนวนหนึ่งระหว่าง 0 ถึงครึ่งหนึ่ง พลูฟพบว่าเขาสามารถสร้างลำดับของจำนวนเฉพาะที่เป็นไปได้ 50 จำนวน (โดยมีความน่าจะเป็นสูงที่จะเป็นจำนวนเฉพาะ) สันนิษฐานว่ามี ε อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้สูตรนี้ให้ลำดับของจำนวนเฉพาะจริงที่ไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนหลักเริ่มต้นที่ 501 และเพิ่มขึ้นประมาณ 1% ในแต่ละครั้ง^{[ 22 ] [ 23 ]}${\displaystyle \{\ \}}$${\displaystyle a_{0}\approx 43.80468771580293481}$${\displaystyle r=5/4}$${\displaystyle a_{0}=10^{500}+961+\varepsilon }$${\displaystyle r=1.01}$${\displaystyle \varepsilon }$

เป็นที่ทราบกันว่าไม่มีฟังก์ชันพหุนามที่ไม่คงที่P ( n ) ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มซึ่งประเมินค่าเป็นจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็มn ทั้งหมด การพิสูจน์มีดังนี้: สมมติว่าพหุนามดังกล่าวมีอยู่จริง ดังนั้นP (1) จะประเมินค่าเป็นจำนวนเฉพาะpดังนั้นแต่สำหรับจำนวนเต็มk ใดๆ ก็ตามก็เช่นกัน ดังนั้น จึงไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้ (เนื่องจากจะหารด้วยp ลงตัว ) เว้นแต่จะเป็นpเอง แต่ทางเดียว สำหรับ kทั้งหมดคือถ้าฟังก์ชันพหุนามเป็นค่าคงที่ เหตุผลเดียวกันนี้แสดงให้เห็นผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งยิ่งกว่า: ไม่มีฟังก์ชันพหุนามที่ไม่คงที่P ( n ) ใดที่ประเมินค่าเป็นจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็มn เกือบทั้งหมด ${\displaystyle P(1)\equiv 0{\pmod {p}}}$${\displaystyle P(1+kp)\equiv 0{\pmod {p}}}$${\displaystyle P(1+kp)}$${\displaystyle P(1+kp)=P(1)=p}$

ออยเลอร์เป็นคนแรกที่สังเกตเห็น (ในปี 1772) ว่าพหุนามกำลังสอง

${\displaystyle P(n)=n^{2}+n+41}$

เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็ม 40 จำนวนที่มีจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกันความแตกต่างระหว่างพจน์ต่างๆ คือสำหรับมันจะสร้างจำนวนกำลังสองซึ่งเท่ากับ ซึ่งเป็นจำนวนประกอบที่เล็กที่สุดสำหรับสูตรนี้สำหรับถ้าหารมันก็จะหารเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากสามารถเขียนได้เป็นถ้าหารแทน มันก็จะหาร ด้วยปรากฏการณ์นี้เกี่ยวข้องกับเกลียวอูลัมซึ่งเป็นพหุนามกำลังสองโดยปริยาย และจำนวนชั้น พหุนามนี้เกี่ยวข้องกับจำนวนฮีกเนอร์มีพหุนามที่คล้ายกันสำหรับ( จำนวนนำโชคของออยเลอร์ ) ที่สอดคล้องกับจำนวนฮีกเนอร์อื่นๆ ${\displaystyle n=0,1,2,\dots ,39}$${\displaystyle 41,43,47,53,61,71,\dots ,1601}$${\displaystyle 2,4,6,8,10\dots }$${\displaystyle n=40}$${\displaystyle 1681}$${\displaystyle 41\times 41}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle 41}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(n)}$${\displaystyle P(n)}$${\displaystyle n(n+1)+41}$${\displaystyle 41}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle P(n)}$${\displaystyle 163=4\cdot 41-1}$${\displaystyle p=2,3,5,11{\text{ and }}17}$

เมื่อกำหนดจำนวนเต็มบวกมาหนึ่งจำนวนอาจมีจำนวนเต็มบวก อนันต์จำนวน ที่ทำให้พจน์นั้น เป็นจำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์กับจำนวนเต็มบวกนั้นเสมอจำนวนเต็มนั้นอาจเป็นจำนวนลบ ซึ่งในกรณีนี้จะมีช่วงเวลาหน่วงก่อนที่จะได้จำนวนเฉพาะ ${\displaystyle S}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n^{2}+n+c}$${\displaystyle S}$${\displaystyle c}$

ในทำนองเดียวกัน พหุนามอื่นๆ (ที่มีดีกรีสูงกว่า) จะสร้างลำดับจำกัดของจำนวนเฉพาะ^{[ 24 ]}ในปี 2010 Dress และ Landreau พบพหุนามต่อไปนี้ซึ่งแสดงถึงจำนวนเฉพาะ 58 ตัวที่ทำลายสถิติที่ค่าต่อเนื่องกัน: ^{[ 25 ] [ 26 ]}กล่าวโดยละเอียดคือ เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับช่วงตั้งแต่ -42 ถึง 15 $${\displaystyle Q(n)={\frac {1}{72}}n^{6}-{\frac {5}{24}}n^{5}-{\frac {1493}{72}}n^{4}+{\frac {1027}{8}}n^{3}+{\frac {100471}{18}}n^{2}-{\frac {11971}{6}}n-57347}$$${\displaystyle |Q(n)|}$${\displaystyle n}$

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า จากทฤษฎีบทของดิริชเลต์เกี่ยวกับลำดับเลขคณิตฟังก์ชันพหุนามเชิงเส้นจะสร้างจำนวนเฉพาะได้ไม่จำกัดตราบใดที่ a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน (ถึงแม้ว่าจะไม่มีฟังก์ชันใดที่ให้ค่าเป็นจำนวนเฉพาะสำหรับทุกค่าของa ก็ตาม) ยิ่งไปกว่านั้นทฤษฎีบทกรีน-เทากล่าวว่า สำหรับค่าใดๆจะมีคู่ของaและbที่มีคุณสมบัติว่า a และ b เป็น จำนวนเฉพาะสำหรับค่าใดๆตั้งแต่ 0 ถึง n อย่างไรก็ตาม ณ ปี 2020 ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่ทราบกันดีในประเภทนี้คือ สำหรับค่า a = 0 : ${\displaystyle L(n)=an+b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L(n)=an+b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle k=27}$

${\displaystyle 224584605939537911+18135696597948930n}$

เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับทุกค่าตั้งแต่ 0 ถึง 26 ^{[ 27 ]}ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดด้วยซ้ำว่ามีพหุนามเอกตัวแปรที่มีดีกรีอย่างน้อย 2 ที่มีค่าเป็นจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์หรือไม่ ดู สมมติฐาน ของ บุนยาคอฟสกี${\displaystyle n}$

ตัวสร้างจำนวนเฉพาะอีกตัวหนึ่งถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+\gcd(n,a_{n-1}),\quad a_{1}=7,}$

โดยที่หมายถึง ฟังก์ชัน ตัวหารร่วมมากลำดับของผลต่างเริ่มต้นด้วย 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, ... (ลำดับA132199ในOEIS ) โรว์แลนด์ (2008)พิสูจน์แล้วว่าลำดับนี้ประกอบด้วยเลข 1 และจำนวนเฉพาะเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ลำดับนี้ไม่ได้ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมด เนื่องจากพจน์ต่างๆเป็นจำนวนคี่ เสมอ ดังนั้นจึงไม่เท่ากับ 2 เอกสารฉบับเดียวกันนี้ตั้งข้อสันนิษฐานว่าลำดับนี้ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะคี่ทั้งหมด ในความเป็นจริง 587 เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่เล็กที่สุดที่ไม่ปรากฏในผลลัพธ์ 10,000 อันดับแรกที่แตกต่างจาก 1 ^{[ 28 ]}${\displaystyle \gcd }$${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$${\displaystyle \gcd(n+1,a_{n})}$

ความสัมพันธ์ เวียนเกิดนี้ค่อนข้างไม่มีประสิทธิภาพ เมื่อพิจารณาในแง่ของความเป็นจริง การเขียนอัลกอริทึมเพื่อสร้างจำนวนเฉพาะทั้งหมด (จากนิยาม) นั้นทำได้ง่ายมาก และยัง มี อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากกว่านี้ อีกมากมาย ดังนั้น ความสัมพันธ์เวียนเกิดเช่นนี้จึงเป็นเพียงเรื่องที่น่าสนใจมากกว่าจะมีประโยชน์ในทางปฏิบัติ

เนื่องจากเซตของจำนวนเฉพาะเป็นเซตที่สามารถนับได้ด้วยการคำนวณตามทฤษฎีบทของ Matiyasevichจึงสามารถหาได้จากระบบสมการไดโอแฟนไทน์ Jones et al. (1976)พบชุดสมการไดโอแฟนไทน์ 14 สมการใน 26 ตัวแปรอย่างชัดเจนโดยที่จำนวนที่กำหนดจะเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อระบบนั้นมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ: ^{[ 29 ]}${\displaystyle a,b,...,z}$${\displaystyle k+2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=wz+h+j-q=0\\\alpha _{1}&=(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z=0\\\alpha _{2}&=16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}=0\\\alpha _{3}&=2n+p+q+z-e=0\\\alpha _{4}&=e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}=0\\\alpha _{5}&=(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}=0\\\alpha _{6}&=16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}=0\\\alpha _{7}&=n+\ell +v-y=0\\\alpha _{8}&=(a^{2}-1)\ell ^{2}+1-m^{2}=0\\\alpha _{9}&=ai+k+1-\ell -i=0\\\alpha _{10}&=((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}=0\\\alpha _{11}&=p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m=0\\\alpha _{12}&=q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x=0\\\alpha _{13}&=z+p\ell (a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm=0\end{aligned}}}$

สมการทั้ง 14 สมการสามารถนำมาใช้สร้างอสมการพหุนามที่สร้างจำนวนเฉพาะในตัวแปร 26 ตัวได้: ${\displaystyle \alpha _{0},\dots ,\alpha _{13}}$

${\displaystyle (k+2)(1-\alpha _{0}^{2}-\alpha _{1}^{2}-\cdots -\alpha _{13}^{2})>0}$

เป็นอสมการพหุนามในตัวแปร 26 ตัว และเซตของจำนวนเฉพาะจะเหมือนกับเซตของค่าบวกที่ด้านซ้ายมือรับมาเมื่อตัวแปรอยู่ในช่วงจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ${\displaystyle a,b,...,z}$

ทฤษฎีบททั่วไปของMatiyasevichกล่าวว่า ถ้าเซตถูกกำหนดโดยระบบสมการไดโอแฟนไทน์ เซตนั้นก็สามารถถูกกำหนดโดยระบบสมการไดโอแฟนไทน์ที่มีเพียง 9 ตัวแปรได้เช่น กัน ^{[ 30 ]}ดังนั้น จึงมีอสมการพหุนามที่สร้างจำนวนเฉพาะดังที่กล่าวมาข้างต้นซึ่งมีเพียง 10 ตัวแปร อย่างไรก็ตาม ดีกรีของมันมีขนาดใหญ่ (อยู่ในลำดับ 10 ⁴⁵ ) ในทางกลับกัน ยังมีชุดสมการที่มีดีกรีเพียง 4 แต่มี 58 ตัวแปร^{[ 31 ]}

• ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ

• Regimbal, Stephen (1975), "สูตรที่ชัดเจนสำหรับจำนวนเฉพาะลำดับที่ k", Mathematics Magazine , 48 (4), Mathematical Association of America: 230– 232, doi : 10.2307/2690354 , JSTOR  2690354

• Venugopalan, A (กันยายน 1983), "สูตรสำหรับจำนวนเฉพาะ จำนวนเฉพาะคู่ จำนวนจำนวนเฉพาะ และจำนวนเฉพาะคู่", Proceedings of the Indian Academy of Sciences—Mathematical Sciences , 92 (1): 49– 52, doi : 10.1007/BF02866907( แก้ไขข้อผิดพลาด )

• Weisstein, Eric W. , " สูตรจำนวนเฉพาะ " (" พหุนามสร้างจำนวนเฉพาะ ") ที่MathWorld .