ในทฤษฎีสนามแลตติส แอคชั่น ของวิลสันเป็นสูตรแบบไม่ต่อเนื่องของแอคชั่นของหยาง-มิลส์ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีเกจแลตติสแทนที่จะใช้สนามเกจที่มีค่าเป็นพีชคณิตลีเป็นพารามิเตอร์พื้นฐานของทฤษฎี กลับใช้สนามลิงก์ที่มีค่าเป็นกลุ่มแทน ซึ่งสอดคล้องกับ เส้นวิลสัน ที่เล็กที่สุด บนแลตติส ใน การจำลองสมัยใหม่ของทฤษฎีเกจบริสุทธิ์ แอคชั่นมักจะถูกปรับเปลี่ยนโดยการแนะนำตัวดำเนินการ ลำดับสูงกว่าผ่านการปรับปรุงของไซแมนซิก ซึ่งช่วยลดข้อผิดพลาด ในการแบ่งส่วนได้อย่างมากแอคชั่นนี้ได้รับการแนะนำโดยเคนเนธ วิลสันในบทความสำคัญของเขาในปี 1974 ^{[ 1 ]}ซึ่งเป็นการเริ่มต้นการศึกษาทฤษฎีสนามแลตติส

ทฤษฎีเกจแลตติสถูกกำหนดขึ้นโดยใช้องค์ประกอบของ กลุ่มเกจ แบบกระชับแทนที่จะใช้ฟิลด์เกจที่มีค่าเป็นพีชคณิตลี${\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}$, ที่ไหน${\displaystyle T^{a}}$คือตัวสร้าง กลุ่ม เส้นวิลสัน ซึ่งอธิบายการเคลื่อนย้ายแบบขนานของ องค์ประกอบ กลุ่มลีผ่านกาลอวกาศตามเส้นทาง${\displaystyle C}$ถูกกำหนดในแง่ของสนามเกจโดย

${\displaystyle W[x,y]={\mathcal {P}}e^{i\int _{C}A_{\mu }dx^{\mu }},}$

ที่ไหน${\displaystyle {\mathcal {P}}}$คือ ตัวดำเนิน การเรียงลำดับเส้นทางการแบ่งปริภูมิเวลาออกเป็นโครงข่ายที่มีจุดต่างๆ กำหนดดัชนีโดยเวกเตอร์${\displaystyle n}$สนามเกจจะมีค่าเฉพาะที่จุดเหล่านี้เท่านั้น${\displaystyle A_{\mu }(n)}$. สำหรับลำดับแรกของระยะห่างระหว่างแลตทิซ${\displaystyle a}$เส้นวิลสันที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ ซึ่งอยู่ระหว่างจุดที่อยู่ติดกันสองจุด เรียกว่าลิงก์^{[ 2 ]}

${\displaystyle U_{\mu }(n)=W[n,n+{\hat {\mu }}]+{\mathcal {O}}(a),}$

ที่ไหน${\displaystyle {\hat {\mu }}}$เป็นเวกเตอร์หน่วยใน${\displaystyle \mu }$ทิศทาง เนื่องจากในลำดับแรก ตัวดำเนินการเรียงลำดับเส้นทางจะหายไป ลิงก์จึงเกี่ยวข้องกับสนามเกจแบบไม่ต่อเนื่องโดย${\displaystyle U_{\mu }(n)=e^{iaA_{\mu }(n)}}$ตัวแปรเหล่านี้เป็นตัวแปรพื้นฐานของทฤษฎีเกจแบบแลตติส โดยมี การวัด ปริพันธ์เส้นทาง(ทางคณิตศาสตร์)บนลิงก์ที่กำหนดโดยการวัดแบบฮาร์ณ จุดแลตติสแต่ละจุด

ในการทำงานกับ การแสดงกลุ่มเกจบางรูป แบบ ลิงก์จะมีค่าเป็น เมทริกซ์และมีทิศทางลิงก์ที่มีทิศทางตรงข้ามจะถูกกำหนดขึ้นเพื่อให้ผลคูณของลิงก์จาก${\displaystyle n}$ถึง${\displaystyle n+{\หมวก {\mu }}}$โดยที่ลิงก์ในทิศทางตรงกันข้ามจะเท่ากับเอกลักษณ์ ซึ่งในกรณีของ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$กลุ่มเกจหมายความว่า${\displaystyle U_{-\mu }(n)=U_{\mu }(n-{\hat {\mu }})^{\dagger }}$ภายใต้การแปลงเกจ${\displaystyle \Omega (n)}$การเชื่อมต่อจะเปลี่ยนแปลงไปในลักษณะเดียวกับสายวิลสัน

${\displaystyle U_{\mu }(n)\rightarrow \Omega (n)U_{\mu }(n)\Omega (n+{\hat {\mu }})^{\dagger }.}$

วงวนที่ไม่ธรรมดาที่เล็กที่สุดของฟิลด์เชื่อมโยงบนโครงตาข่ายเรียกว่าเพลเกตต์ (plaquet)ซึ่งเกิดจากการเชื่อมโยงสี่จุดรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสในโครงตาข่าย${\displaystyle \mu }$-${\displaystyle \nu }$ระนาบ^{[ 3 ]}

${\displaystyle U_{\mu \nu }(n)=U_{\mu }(n)U_{\nu }(n+{\hat {\mu }})U_{\mu }(n+{\hat {\nu }})^{\dagger }U_{\nu }(n)^{\dagger }.}$

ร่องรอย ของ เพลเกตต์เป็นปริมาณที่ไม่ขึ้นกับเกจ คล้ายกับลูปวิลสันในระบบต่อเนื่องโดยใช้สูตร BCHและนิพจน์สนามเกจแลตติสสำหรับตัวแปรเชื่อมโยง เพลเกตต์สามารถเขียนได้ในลำดับต่ำสุดของระยะห่างแลตติสในรูปของเทนเซอร์ความแรงสนาม แบบไม่ต่อเนื่อง

${\displaystyle U_{\mu \nu }(n)=e^{ia^{2}F_{\mu \nu }(n)+{\mathcal {O}}(a^{3})}.}$

โดยการปรับขนาดสนามเกจโดยใช้การเชื่อมต่อเกจ${\displaystyle g}$และการทำงานในรูปแบบการแสดงผลด้วยดัชนี${\displaystyle \rho }$ซึ่งกำหนดโดย${\displaystyle {\text{tr}}[T^{a}T^{b}]=\rho \delta ^{ab}}$สมการการกระทำของหยาง-มิลส์ในสภาวะต่อเนื่องสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle S={\frac {1}{2g^{2}\rho }}\int d^{4}x\ {\text{tr}}[F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }],}$

โดยที่เทนเซอร์ความแรงของสนามมีค่าเป็นพีชคณิตลี${\displaystyle F_{\mu \nu }=F_{\mu \nu }^{a}T^{a}}$เนื่องจากเพลเกตต์เชื่อมโยงตัวแปรลิงก์กับเทนเซอร์ความแรงสนามแบบไม่ต่อเนื่อง ทำให้สามารถสร้างแอคชั่น Yang–Mills เวอร์ชันแลตติสโดยใช้เพลเกตต์เหล่านี้ได้ นี่คือแอคชั่น Wilson ซึ่งกำหนดในรูปผลรวมเหนือเพลเกตต์ทั้งหมดที่มีทิศทางเดียวบนแลตติส^{[ 4 ]}

มันลดทอนลงเหลือเพียงการกระทำของหยาง-มิลส์แบบไม่ต่อเนื่อง โดยมีสิ่งประดิษฐ์แบบแลตทิซเข้ามาเกี่ยวข้องในลำดับถัดไป${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$.

การกระทำนี้ไม่ใช่เรื่องแปลก^{[ 5 ]}สามารถสร้างการกระทำเกจแลตติสได้จากลูปวิลสันแบบแยกส่วนใดๆ ก็ได้ ตราบใดที่ลูปได้รับการเฉลี่ยอย่างเหมาะสมตามทิศทางและการแปลในปริภูมิเวลาเพื่อให้เกิดสมมาตร ที่ถูกต้อง การกระทำก็จะลดลงเหลือผลลัพธ์ต่อเนื่อง ข้อดีของการใช้เพลเกตต์คือความเรียบง่าย และการกระทำนี้เหมาะสำหรับโปรแกรมปรับปรุงที่ใช้เพื่อลดสิ่งประดิษฐ์แลตติส

การกระทำของวิลสัน${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$ข้อผิดพลาดสามารถลดลงได้ด้วยการปรับปรุงแบบ Symanzik โดยการเพิ่มตัวดำเนินการลำดับสูงกว่าเข้าไปในแอ็กชันเพื่อยกเลิกสิ่งผิดปกติของโครงสร้างแลตติสเหล่านี้ มีตัวดำเนินการลำดับสูงกว่ามากมายที่สามารถเพิ่มเข้าไปในแอ็กชันของ Wilson ที่สอดคล้องกับวงวนของลิงก์ต่างๆ ได้${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ทฤษฎีเกจแอคชั่นของ Lüscher–Weiszใช้${\displaystyle 2\times 1}$สี่เหลี่ยมผืนผ้า${\displaystyle U_{rt}}$และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน${\displaystyle U_{pg}}$สร้างขึ้นจากการเชื่อมโยงรอบลูกบาศก์^{[ 6 ]}

${\displaystyle S[U]={\frac {\beta }{N}}\sum _{pl}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{\mu \nu })+{\frac {\beta _{rt}}{N}}\sum _{rt}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{rt})+{\frac {\beta _{pg}}{N}}\sum _{pg}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{pg}),}$

ที่ไหน${\displaystyle \beta =2N/g^{2}}$คือค่าคงที่การเชื่อมต่อผกผันและ${\displaystyle \beta _{rt}}$และ${\displaystyle \beta _{pg}}$คือค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้รับการปรับแต่งเพื่อลดสิ่งผิดปกติที่เกิดจากโครงสร้างตาข่ายให้น้อยที่สุด

ค่าของตัวประกอบนำหน้าทั้งสองสามารถคำนวณได้โดยใช้การกระทำเพื่อจำลองผลลัพธ์ที่ทราบและปรับพารามิเตอร์เพื่อลดข้อผิดพลาดให้น้อยที่สุด หรือโดยการคำนวณโดยใช้ทฤษฎีการรบกวน แบบปรับปรุงของแทดโพล สำหรับกรณีของ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$ทฤษฎีเกจ วิธีหลังให้ผลลัพธ์^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \beta _{rt}=-{\frac {\beta _{pl}}{20u_{0}^{2}}}(1+0.4805\alpha _{s}),\ \ \ \ \ \ \ \ \beta _{pg}=-{\frac {\beta }{u_{0}^{2}}}0.03325\alpha _{s},}$

ที่ไหน${\displaystyle u_{0}}$คือค่าของลิงก์เฉลี่ยและ${\displaystyle \alpha _{s}}$คือค่าคงที่โครงสร้างละเอียดของควอนตัมโครโมไดนามิกส์

${\displaystyle u_{0}={\big (}{\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu }\rangle {\big )}^{1/4},\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha _{s}=-{\frac {\ln({\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu }\rangle )}{3.06839}}.}$